مؤشر التنوع

مؤشر التنوع هو طريقة لقياس عدد الأنواع المختلفة (مثل الأنواع ) الموجودة في مجموعة بيانات (مثل مجتمع حيوي). تمثل مؤشرات التنوع تمثيلات إحصائية لجوانب مختلفة من التنوع البيولوجي (مثل الثراء والتجانس والهيمنة ) ، وهي تبسيطات مفيدة لمقارنة المجتمعات الحيوية أو المواقع المختلفة.

عند استخدام مؤشرات التنوع في علم البيئة ، عادةً ما تكون الأنواع هي محل الاهتمام، ولكن يمكن أن تكون أيضًا فئات أخرى، مثل الأجناس ، والفصائل ، والأنواع الوظيفية ، أو الأنماط الفردية . أما الكيانات محل الاهتمام فهي عادةً كائنات حية فردية (مثل النباتات أو الحيوانات)، ويمكن أن يكون مقياس الوفرة، على سبيل المثال، عدد الأفراد، أو الكتلة الحيوية، أو التغطية. في علم السكان ، يمكن أن تكون الكيانات محل الاهتمام هي البشر، وتكون الأنواع محل الاهتمام هي مجموعات ديموغرافية مختلفة. في علم المعلومات ، يمكن أن تكون الكيانات هي الأحرف وأنواع حروف الأبجدية المختلفة. تُعد مؤشرات التنوع الأكثر شيوعًا تحويلات بسيطة للعدد الفعلي للأنواع (المعروف أيضًا باسم "التنوع الحقيقي")، ولكن يمكن أيضًا تفسير كل مؤشر تنوع على حدة كمقياس يُشير إلى ظاهرة حقيقية (ولكنها تختلف من مؤشر لآخر). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

تُراعي العديد من المؤشرات التنوع الفئوي بين الأفراد أو الكيانات فقط. إلا أن هذه المؤشرات لا تُراعي التباين الكلي (التنوع) الذي قد يوجد بين الأفراد أو الكيانات، والذي لا يظهر إلا عند حساب كل من التنوع الفئوي والنوعي.

تشمل مؤشرات التنوع الموصوفة في هذه المقالة ما يلي:

• الثراء، ببساطة هو عدد الأنواع في مجموعة البيانات.
• مؤشر شانون، الذي يأخذ في الاعتبار أيضًا الوفرة النسبية لكل فئة في ظل المتوسط ​​الهندسي المرجح.
  • إن إنتروبيا ريني، التي تضيف القدرة على تغيير نوع المتوسط ​​المرجح المستخدم بحرية.
• مؤشر سيمبسون، الذي يأخذ في الاعتبار أيضًا الوفرة النسبية لكل فئة في ظل المتوسط ​​الحسابي المرجح
• مؤشر بيرغر-باركر، الذي يعطي الوفرة النسبية للنوع الأكثر وفرة.
• العدد الفعال للأنواع (التنوع الحقيقي)، والذي يسمح بتغيير نوع المتوسط ​​المرجح المستخدم بحرية، وله معنى بديهي. ^{[ 4 ]}

تُراعي بعض المؤشرات الأكثر تطوراً أيضاً القرابة التطورية بين الأنواع. تُسمى هذه المؤشرات بمؤشرات التباعد التطوري، ولم يتم وصفها بعد في هذه المقالة. ^{[ 5 ]}

يشير التنوع الحقيقي، أو العدد الفعلي للأنواع، إلى عدد الأنواع المتساوية في الوفرة اللازمة لكي يتساوى متوسط ​​الوفرة النسبية للأنواع مع ما هو مُلاحظ في مجموعة البيانات محل الاهتمام (حيث قد لا تكون جميع الأنواع متساوية في الوفرة). يُحسب التنوع الحقيقي في مجموعة البيانات بأخذ المتوسط ​​العام المرجح Mq _{− 1} للوفرة النسبية للأنواع في مجموعة البيانات، ثم بأخذ مقلوب هذا المتوسط. المعادلة هي: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle {}^{q}\!D={1 \over M_{q-1}}={1 \over {\sqrt[{q-1}]{\sum _{i=1}^{R}p_{i}p_{i}^{q-1}}}}=\left({\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{q}}\right)^{1/(1-q)}}$$

المقام M _{q −1} يساوي متوسط ​​الوفرة النسبية للأنواع في مجموعة البيانات، محسوبًا باستخدام المتوسط ​​العام المرجح ذي الأس q − 1. في المعادلة، R هو الثراء (إجمالي عدد الأنواع في مجموعة البيانات)، والوفرة النسبية للنوع i هي p _i . تُستخدم الوفرة النسبية نفسها كأوزان اسمية.  ${\displaystyle ^{q}D}$وتسمى هذه الأرقام بأعداد هيل من الرتبة q أو العدد الفعال للأنواع . ^{[ 6 ]}

عندما تكون قيمة q تساوي 1 ، تكون المعادلة أعلاه غير مُعرَّفة. مع ذلك، فإن الحد الرياضي عندما تقترب q من 1 يكون مُعرَّفًا جيدًا، ويتم حساب التنوع المقابل باستخدام المعادلة التالية:

$${\displaystyle {}^{1}\!D={1 \over {\prod _{i=1}^{R}p_{i}^{p_{i}}}}=\exp \left(-\sum _{i=1}^{R}p_{i}\ln(p_{i})\right)}$$

وهو الأسّية لإنتروبيا شانون المحسوبة باستخدام اللوغاريتمات الطبيعية (انظر أعلاه). في مجالات أخرى، تُعرف هذه الإحصائية أيضًا باسم الحيرة .

غالباً ما تُكتب المعادلة العامة للتنوع بالشكل ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle {}^{q}\!D=\left({\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{q}}\right)^{1/(1-q)}}$$

ويُطلق على الحد الموجود داخل القوسين اسم المجموع الأساسي. وتتوافق بعض مؤشرات التنوع الشائعة مع المجموع الأساسي المحسوب بقيم مختلفة لـ q . ^{[ 2 ]}

غالبًا ما يُشار إلى قيمة q برتبة التنوع. وهي تُحدد حساسية التنوع الحقيقي للأنواع النادرة مقابل الأنواع الوفيرة من خلال تعديل كيفية حساب المتوسط ​​المرجح للوفرة النسبية للأنواع. مع بعض قيم المعامل q ، تأخذ قيمة المتوسط ​​المعمم M _{q −1} أنواعًا مألوفة من المتوسطات المرجحة كحالات خاصة. على وجه الخصوص،

• q = 0 يتوافق مع المتوسط ​​التوافقي المرجح ،
• q = 1 إلى المتوسط ​​الهندسي المرجح، و
• q = 2 إلى المتوسط ​​الحسابي المرجح . ^{[ 7 ]}
• عندما تقترب قيمة q من اللانهاية ، فإن المتوسط ​​العام المرجح ذو الأس q  −  1 يقترب من قيمة p _i القصوى ، وهي الوفرة النسبية للأنواع الأكثر وفرة في مجموعة البيانات.

بشكل عام، تؤدي زيادة قيمة q إلى زيادة الوزن الفعلي الممنوح للأنواع الأكثر وفرة. وهذا بدوره يؤدي إلى الحصول على قيمة M _{q −1 أكبر وقيمة تنوع حقيقي (} ^q D ) أصغر مع زيادة q .

عندما تكون قيمة q تساوي 1 ، يُستخدم المتوسط ​​الهندسي المرجح لقيم _pᵢ ، ويُوزن كل نوع بدقة وفقًا لوفرته النسبية (في المتوسط ​​الهندسي المرجح، تمثل الأوزان الأسس). عندما تكون q > 1 ، يُبالغ في وزن الأنواع الوفيرة، وعندما تكون q < 1 ، يُبالغ في وزن الأنواع النادرة. عند q = 0 ، تُلغي أوزان الأنواع وفرتها النسبية تمامًا، بحيث يساوي المتوسط ​​المرجح لقيم _pᵢ 1 / R حتى عندما لا تكون جميع الأنواع متساوية الوفرة. عند q = 0 ، يكون العدد الفعلي للأنواع، ^√D ، مساويًا للعدد الفعلي للأنواع R. في سياق التنوع، تقتصر قيمة q عمومًا على القيم غير السالبة. وذلك لأن القيم السالبة لـ q ستعطي الأنواع النادرة وزنًا أكبر بكثير من الأنواع الوفيرة، مما ^{يجعل qᵢ} يتجاوز R. [ ^{3 ] [ 4 ]}

يُحدد مؤشر الثراء R ببساطة عدد الأنواع المختلفة التي تحتويها مجموعة البيانات محل الاهتمام. على سبيل المثال، يُشير ثراء الأنواع (ويُرمز له عادةً بـ S ) إلى عدد الأنواع، كما هو الحال في موقع معين. يُعدّ الثراء مقياسًا بسيطًا، ولذلك فهو مؤشر شائع للتنوع في علم البيئة، حيث غالبًا ما تكون بيانات الوفرة غير متوفرة. ^{[ 8 ]} إذا تم حساب التنوع الحقيقي باستخدام q = 0 ، فإن العدد الفعلي للأنواع ( ^0D ) يساوي العدد الفعلي للأنواع، وهو ما يُطابق الثراء ( R ). ^{[ 2 ] [ 4 ]}

يُعدّ مؤشر شانون من مؤشرات التنوع الشائعة في الأدبيات البيئية، حيث يُعرف أيضًا باسم مؤشر شانون للتنوع ، ومؤشر شانون- وينر ، و(خطأً) مؤشر شانون- ويفر . ^{[ 9 ]} اقترح كلود شانون هذا المقياس لأول مرة عام 1948 لقياس الإنتروبيا (ومن هنا جاءت تسمية إنتروبيا شانون ، المرتبطة بمحتوى معلومات شانون ) في سلاسل النصوص. ^{[ 10 ]} تقوم الفكرة على أنه كلما زاد عدد الأحرف، وتقاربت نسب وفرتها في السلسلة النصية محل الاهتمام، زادت صعوبة التنبؤ بدقة بالحرف التالي في السلسلة. تُحدد إنتروبيا شانون درجة عدم اليقين (الإنتروبيا أو درجة المفاجأة) المرتبطة بهذا التنبؤ. ويتم حسابها غالبًا على النحو التالي:

$${\displaystyle H'=-\sum _{i=1}^{R}p_{i}\ln(p_{i})}$$

حيث تمثل p _{_i} نسبة الأحرف التي تنتمي إلى النوع i من الأحرف في السلسلة محل الاهتمام. في علم البيئة، غالبًا ما تمثل p_{_i} نسبة الأفراد الذين ينتمون إلى النوع i في مجموعة البيانات محل الاهتمام. ثم يقيس إنتروبيا شانون عدم اليقين في التنبؤ بهوية نوع فرد تم اختياره عشوائيًا من مجموعة البيانات.

على الرغم من أن المعادلة مكتوبة هنا باستخدام اللوغاريتمات الطبيعية ، إلا أنه يمكن اختيار أساس اللوغاريتم المستخدم في حساب إنتروبيا شانون بحرية. وقد ناقش شانون نفسه أسس اللوغاريتمات 2 و10 و e ، والتي أصبحت منذ ذلك الحين الأكثر شيوعًا في التطبيقات التي تستخدم إنتروبيا شانون. يتوافق كل أساس لوغاريتمي مع وحدة قياس مختلفة، والتي تُسمى الأرقام الثنائية (بتات)، والأرقام العشرية (ديسيتات)، والأرقام الطبيعية (ناتس) للأسس 2 و10 و e على التوالي. تتطلب مقارنة قيم إنتروبيا شانون التي حُسبت في الأصل باستخدام أسس لوغاريتمية مختلفة تحويلها إلى نفس الأساس اللوغاريتمي: يتم الحصول على التغيير من الأساس a إلى الأساس b عن طريق الضرب في log _b (a) . ^{[ 10 ]}

يرتبط مؤشر شانون ( H' ) بالمتوسط ​​الهندسي المرجح للوفرة النسبية للأنواع. وعلى وجه التحديد، فهو يساوي لوغاريتم التنوع الحقيقي كما تم حسابه باستخدام q = 1 : ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle H'=-\sum _{i=1}^{R}p_{i}\ln(p_{i})=-\sum _{i=1}^{R}\ln \left(p_{i}^{p_{i}}\right)}$$

ويمكن كتابة هذا أيضًا

$${\displaystyle {\begin{aligned}H'&=-\left[\ln \left(p_{1}^{p_{1}}\right)+\ln \left(p_{2}^{p_{2}}\right)+\ln \left(p_{3}^{p_{3}}\right)+\cdots +\ln \left(p_{R}^{p_{R}}\right)\right]\\[1ex]&=-\ln \left(p_{1}^{p_{1}}p_{2}^{p_{2}}p_{3}^{p_{3}}\cdots p_{R}^{p_{R}}\right)=\ln \left({1 \over p_{1}^{p_{1}}p_{2}^{p_{2}}p_{3}^{p_{3}}\cdots p_{R}^{p_{R}}}\right)\\&=\ln \left({1 \over {\prod _{i=1}^{R}p_{i}^{p_{i}}}}\right)\end{aligned}}}$$

_{بما أن} مجموع _قيم pᵢ يساوي 1 بحسب التعريف، فإن المقام يساوي المتوسط ​​الهندسي المرجح لقيم _pᵢ ، حيث تُستخدم قيم pᵢ نفسها كأوزان (أسس في المعادلة). وبالتالي، فإن الحد الموجود بين القوسين يساوي التنوع الحقيقي ^1/ D ، و H' يساوي ln( ^1/ D ) . ^{[ 1 ] [ 3 ] [ 4 ]}

عندما تكون جميع الأنواع في مجموعة البيانات محل الاهتمام متساوية في شيوعها، فإن جميع قيم p _{_i} تساوي 1/ R ، وبالتالي يأخذ مؤشر شانون القيمة ln( R ) . كلما زاد التفاوت في وفرة الأنواع، زاد المتوسط ​​الهندسي المرجح لقيم p_{_i}، وقلّت قيمة إنتروبيا شانون المقابلة. إذا تركزت الوفرة عمليًا في نوع واحد، وكانت الأنواع الأخرى نادرة جدًا (حتى لو كانت كثيرة)، فإن إنتروبيا شانون تقترب من الصفر. عندما يكون هناك نوع واحد فقط في مجموعة البيانات، فإن إنتروبيا شانون تساوي صفرًا تمامًا (لا يوجد شك في التنبؤ بنوع الكيان التالي المختار عشوائيًا).

في مجال التعلم الآلي، يُطلق على مؤشر شانون أيضًا اسم كسب المعلومات .

طُرح مؤشر سيمبسون عام 1949 على يد إدوارد هـ. سيمبسون لقياس درجة التركيز عند تصنيف الأفراد إلى أنواع. ^{[ 11 ]} وأعاد أوريس س. هيرفيندال اكتشاف المؤشر نفسه عام 1950. ^{[ 12 ]} وكان الجذر التربيعي للمؤشر قد طُرح بالفعل عام 1945 على يد الخبير الاقتصادي ألبرت أو. هيرشمان . ^{[ 13 ]} ونتيجة لذلك، يُعرف هذا المقياس عادةً باسم مؤشر سيمبسون في علم البيئة، وباسم مؤشر هيرفيندال أو مؤشر هيرفيندال-هيرشمان (HHI) في علم الاقتصاد.

يُساوي هذا المقياس احتمال أن يُمثل كيانان تم اختيارهما عشوائيًا من مجموعة البيانات محل الاهتمام نفس النوع. ^{[ 11 ]} وهو يساوي:

$${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{2},}$$

حيث R هي الثراء (إجمالي عدد الأنواع في مجموعة البيانات). هذه المعادلة تساوي أيضًا المتوسط ​​الحسابي المرجح للوفرة النسبية pᵢ للأنواع محل الاهتمام، حيث تُستخدم الوفرة النسبية نفسها كأوزان. ^{[ 1 ]} تُحصر الوفرة النسبية، بحكم تعريفها، بين الصفر والواحد، ولكنها متوسط ​​حسابي مرجح، وبالتالي _λ ≥ 1/ R ، والذي يتحقق عندما تكون جميع الأنواع متساوية الوفرة.

بمقارنة المعادلة المستخدمة لحساب λ مع المعادلات المستخدمة لحساب التنوع الحقيقي، يتضح أن 1/λ يساوي ^2D ، أي التنوع الحقيقي المحسوب باستخدام q = 2. وبالتالي ، فإن مؤشر سيمبسون الأصلي يساوي المجموع الأساسي المقابل. ^{[ 2 ]}

يفترض تفسير λ على أنه احتمال أن يمثل كيانان تم اختيارهما عشوائيًا من مجموعة البيانات محل الاهتمام نفس النوع، أن يتم اختيار الكيانات مع الإحلال. إذا كانت مجموعة البيانات كبيرة جدًا، فإن أخذ العينات بدون إحلال يعطي نتيجة مماثلة تقريبًا، ولكن في مجموعات البيانات الصغيرة، قد يكون الفرق كبيرًا. إذا كانت مجموعة البيانات صغيرة، وبافتراض أخذ العينات بدون إحلال، فإن احتمال الحصول على نفس النوع في كلتا عمليتي السحب العشوائيتين هو:

$${\displaystyle \ell ={\frac {\sum _{i=1}^{R}n_{i}(n_{i}-1)}{N(N-1)}}}$$

حيث _يمثل nᵢ عدد الكيانات التي تنتمي إلى النوع i ، و N هو العدد الإجمالي للكيانات في مجموعة البيانات. ^{[ 11 ]} يُعرف هذا الشكل من مؤشر سيمبسون أيضًا باسم مؤشر هنتر-غاستون في علم الأحياء الدقيقة. ^{[ 14 ]}

بما أن متوسط ​​الوفرة النسبية للأنواع يزداد مع انخفاض عدد الأنواع وزيادة وفرة النوع الأكثر وفرة، فإن قيمة λ تكون صغيرة في مجموعات البيانات ذات التنوع العالي، وكبيرة في مجموعات البيانات ذات التنوع المنخفض. وهذا سلوك غير بديهي لمؤشر التنوع، لذا غالبًا ما تُستخدم تحويلات لـ λ تزداد مع زيادة التنوع. ومن أشهر هذه المؤشرات مؤشر سيمبسون العكسي (1/λ) ومؤشر جيني -سيمبسون (1  −  λ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} ويُطلق على كليهما أيضًا اسم مؤشر سيمبسون في الأدبيات البيئية، لذا يجب توخي الحذر لتجنب المقارنة الخاطئة بين المؤشرات المختلفة كما لو كانت متطابقة.

مؤشر بيرغر-باركر، المسمى نسبةً إلى وولفغانغ هـ. بيرغر وفرانسيس لورانس باركر ، ^{[ 18 ]} يساوي أعلى قيمة لـ p _i في مجموعة البيانات، أي الوفرة النسبية للنوع الأكثر وفرة. وهذا يتوافق مع المتوسط ​​العام المرجح لقيم p _i عندما تقترب q من اللانهاية، وبالتالي يساوي معكوس التنوع الحقيقي من رتبة اللانهاية ( 1/ ^∞D ) .

• كولينفو، بول أ. (1973). مقدمة في علم البيئة . وايلي. ISBN 0-471-16498-4.
• كوفر، توماس م.؛ توماس، جوي أ. (1991). عناصر نظرية المعلومات . وايلي. ISBN 0-471-06259-6. راجع الفصل الخامس للاطلاع على شرح مفصل لإجراءات الترميز الموصوفة بشكل غير رسمي أعلاه.
• تشاو، أ .؛ شين، ت. ج. (2003). "التقدير غير البارامتري لمؤشر شانون للتنوع عند وجود أنواع غير مرئية في العينة" (ملف PDF) . الإحصاءات البيئية والإيكولوجية . 10 (4): 429-443 . Bibcode : 2003EnvES..10..429C . doi : 10.1023/A:1026096204727 . S2CID 20389926 . 

• مؤشر سيمبسون للتنوع
• مؤشرات التنوع المؤرشفة بتاريخ 19-12-2005 في Wayback Machine تقدم بعض الأمثلة على تقديرات مؤشر سيمبسون للنظم البيئية الحقيقية.