دالة متعددة القيم

في الرياضيات ، الدالة متعددة القيم ^{[ 1 ]} ، أو الدالة متعددة القيم ^{[ 2 ]} ، ^أو الدالة ذات القيم الكثيرة ^{[ 3 ]} ، أو الدالة المتعددة [ ^{4 ]،} هي دالة لها قيمتان أو أكثر في مداها لنقطة واحدة على الأقل في مجالها. ^{[ 5 ]} وهي دالة متعددة القيم ذات خصائص إضافية تعتمد على السياق؛ مع أن بعض المؤلفين لا يفرقون بين الدوال متعددة القيم والدوال متعددة القيم. ^{[ 6 ]}

الدالة متعددة القيم للمجموعات f  : X → Y هي مجموعة جزئية

${\displaystyle \Gamma _{f}\ \subseteq \ X\times Y.}$

اكتب f(x) لمجموعة القيم y ∈ Y التي تحقق ( x,y ) ∈ Γf . إذا كانت f دالة عادية، فإنها تصبح دالة متعددة القيم بأخذ رسمها البياني _.

${\displaystyle \Gamma _{f}\ =\ \{(x,f(x))\$ :\ x\in X\}.}

تُسمى هذه الدوال بالدوال أحادية القيمة لتمييزها.

نشأ مصطلح الدالة متعددة القيم في التحليل المركب، من مفهوم الاستمرار التحليلي . وكثيراً ما يحدث أن يعرف المرء قيمة دالة تحليلية مركبة.${\displaystyle f(z)}$في منطقة ما من نقطة ما${\displaystyle z=a}$ينطبق هذا على الدوال المعرفة بواسطة نظرية الدالة الضمنية أو بواسطة متسلسلة تايلور حول${\displaystyle z=a}$في مثل هذه الحالة، يمكن توسيع نطاق الدالة أحادية القيمة${\displaystyle f(z)}$على طول المنحنيات في المستوى المركب بدءًا من${\displaystyle a}$وبذلك، يجد المرء أن قيمة الدالة الممتدة عند نقطة ما${\displaystyle z=b}$يعتمد ذلك على المنحنى المختار من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$بما أنه لا توجد قيمة جديدة أكثر طبيعية من غيرها، يتم دمجها جميعًا في دالة متعددة القيم.

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}\,}$لتكن دالة الجذر التربيعي المعتادة على الأعداد الحقيقية الموجبة. يمكن توسيع نطاقها إلى جوار لـ${\displaystyle z=1}$في المستوى المركب، ثم على طول المنحنيات التي تبدأ من${\displaystyle z=1}$بحيث تتغير القيم على طول منحنى معين بشكل مستمر من${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$عند التمديد إلى الأعداد الحقيقية السالبة، نحصل على قيمتين متعاكستين للجذر التربيعي - على سبيل المثال ± i لـ -1 - وذلك تبعًا لما إذا كان المجال قد مُدِّد عبر النصف العلوي أو السفلي من المستوى المركب. هذه الظاهرة شائعة جدًا، وتحدث للجذور النونية ، واللوغاريتمات ، والدوال المثلثية العكسية .

لتمييز دالة أحادية القيمة عن دالة متعددة القيم معقدة، يمكن تمييز إحدى القيم المتعددة كقيمة رئيسية ، مما ينتج عنه دالة أحادية القيمة على كامل المستوى، وهي دالة غير متصلة على طول منحنيات حدودية معينة. بدلاً من ذلك، يسمح التعامل مع الدالة متعددة القيم بالحصول على دالة متصلة في كل مكان، ولكن على حساب احتمالية تغير القيم عند اتباع مسار مغلق ( أحادية المسار ). تُحل هذه المشكلات في نظرية أسطح ريمان : بالنظر إلى دالة متعددة القيم${\displaystyle f(z)}$كدالة عادية دون إهمال أي قيم، يتم ضرب المجال في فضاء تغطية متعدد الطبقات ، وهو فضاء متعدد الشعب يمثل سطح ريمان المرتبط بـ${\displaystyle f(z)}$.

إذا كانت f  : X → Y دالة عادية، فإن معكوسها هو دالة متعددة القيم

${\displaystyle \Gamma _{f^{-1}}\ \subseteq \ Y\times X}$

تُعرَّف f على أنها Γ _f ، وتُعتبر مجموعة جزئية من X × Y. عندما تكون f دالة قابلة للتفاضل بين متعددات الشعب ، فإن نظرية الدالة العكسية تعطي شروطًا لكي تكون هذه الدالة أحادية القيمة محليًا في X.

على سبيل المثال، اللوغاريتم المركب log(z) هو معكوس متعدد القيم للدالة الأسية e ^z  : C → C ^× ، مع الرسم البياني

${\displaystyle \Gamma _{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\$ :\ w=\log(z)\}\ \subseteq \ \mathbf {C} \times \mathbf {C} ^{\times }.}

إنها ليست ذات قيمة واحدة، فإذا أعطينا قيمة واحدة لـ w حيث w = log(z) ، فسنحصل على

${\displaystyle \log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i\mathbf {Z} .}$

بالنظر إلى أي دالة هولومورفية على مجموعة فرعية مفتوحة من المستوى المركب C ، فإن استمرارها التحليلي يكون دائمًا دالة متعددة القيم.

• لكل عدد حقيقي أكبر من الصفر جذران تربيعيان حقيقيان ، لذا يمكن اعتبار الجذر التربيعي دالة متعددة القيم. على سبيل المثال، يمكننا كتابة${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}}$على الرغم من أن الصفر له جذر تربيعي واحد فقط،${\displaystyle {\sqrt {0}}=\{0\}}$. لاحظ أن${\displaystyle {\sqrt {x}}}$يشير عادةً إلى الجذر التربيعي الرئيسي فقط لـ${\displaystyle x}$.
• لكل عدد مركب غير صفري جذران تربيعيان، وثلاثة جذور تكعيبية ، وبشكل عام له n جذر من الرتبة n . الجذر الوحيد من الرتبة n للعدد 0 هو 0.
• دالة اللوغاريتم المركب متعددة القيم. القيم التي تأخذها${\displaystyle \log(a+bi)}$للأعداد الحقيقية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$نكون${\displaystyle \log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni}$لجميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle n}$.
• الدوال المثلثية العكسية متعددة القيم لأن الدوال المثلثية دورية. لدينا$${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(4n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$$نتيجةً لذلك، ترتبط دالة الظل العكسي (arctan(1)) بشكلٍ بديهي بعدة قيم: π /4، 5π /4، -3π / 4، وهكذا. يمكننا اعتبار دالة الظل العكسي دالة أحادية القيمة بتقييد مجال tan x إلى -π / 2 < x < π /2 ، وهو مجال تكون فيه tan x متزايدة بشكلٍ رتيب. وبالتالي، يصبح مدى دالة الظل العكسي (arctan( x )) هو -π / 2 < y < π /2 . تُسمى هذه القيم من مجال مُقيّد بالقيم الرئيسية .
• يمكن اعتبار الدالة الأصلية دالة متعددة القيم. الدالة الأصلية لدالة ما هي مجموعة الدوال التي مشتقتها هي تلك الدالة. أما ثابت التكامل فيُستنتج من حقيقة أن مشتقة الدالة الثابتة تساوي صفرًا.
• تكون الدوال الزائدية العكسية على المجال المركب متعددة القيم لأن الدوال الزائدية دورية على طول المحور التخيلي. أما على المجال الحقيقي، فهي أحادية القيمة، باستثناء دالتي arcosh و arsech.

هذه كلها أمثلة على الدوال متعددة القيم التي تنشأ من الدوال غير الأحادية . ولأن الدوال الأصلية لا تحتفظ بجميع معلومات مدخلاتها، فهي غير قابلة للعكس. غالبًا ما يكون تقييد الدالة متعددة القيم معكوسًا جزئيًا للدالة الأصلية.

للدوال متعددة القيم لمتغير مركب نقاط تفرع . على سبيل المثال، بالنسبة لدالة الجذر النوني واللوغاريتم، فإن الصفر نقطة تفرع؛ وبالنسبة لدالة الظل العكسي، فإن الوحدتين التخيليتين i و -i نقطتا تفرع . باستخدام نقاط التفرع، يمكن إعادة تعريف هذه الدوال لتصبح دوالًا أحادية القيمة، وذلك بتقييد مداها. يمكن إيجاد فترة مناسبة باستخدام قطع التفرع ، وهو نوع من المنحنيات التي تربط أزواجًا من نقاط التفرع، مما يُختزل سطح ريمان متعدد الطبقات للدالة إلى طبقة واحدة. وكما هو الحال مع الدوال الحقيقية، يُطلق على المدى المُقيد اسم الفرع الرئيسي للدالة.

في الفيزياء، تلعب الدوال متعددة القيم دورًا متزايد الأهمية. فهي تُشكل الأساس الرياضي لأحاديات الأقطاب المغناطيسية لديراك ، ولنظرية العيوب في البلورات وما ينتج عنها من لدونة في المواد، وللدوامات في الموائع الفائقة والموصلات الفائقة ، وللتحولات الطورية في هذه الأنظمة، مثل الانصهار وحصر الكواركات . كما أنها أصل بنى حقول القياس في العديد من فروع الفيزياء.

• العلاقة (الرياضيات)
• الدالة (الرياضيات)
• العلاقة الثنائية
• دالة متعددة القيم

• H. Kleinert ، الحقول متعددة القيم في المادة المكثفة، والديناميكا الكهربائية، والجاذبية ، دار النشر العالمية (سنغافورة، 2008) (متوفر أيضًا عبر الإنترنت )
• H. Kleinert ، حقول القياس في المادة المكثفة ، المجلد الأول: التدفق الفائق وخطوط الدوامة، 1-742، المجلد الثاني: الإجهادات والعيوب، 743-1456، دار النشر العالمية، سنغافورة، 1989 (متوفر أيضًا عبر الإنترنت: المجلد الأول والمجلد الثاني )