دوامة

يُعدّ مفهوم الدوامية أساسيًا في ديناميكيات الدوامات ، وهو متجه يصف الحركة الدورانية الموضعية عند نقطة في المائع، كما يراها مراقب يتحرك معها. من الناحية النظرية، يمكن ملاحظة الدوامية بوضع كرة صغيرة خشنة عند النقطة المعنية، حرة الحركة مع المائع، ومراقبة دورانها حول مركزها. يُعرَّف اتجاه متجه الدوامية بأنه اتجاه محور دوران هذه الكرة الوهمية (وفقًا لقاعدة اليد اليمنى )، بينما طوله يساوي ضعف السرعة الزاوية للكرة . رياضيًا، تُعرَّف الدوامية بأنها التفاف (أو دوران) حقل سرعة المائع، ويُرمز لها عادةً بـ${\displaystyle {\vec {\أوميغا }}}$ويتم التعبير عنها بواسطة صيغة تحليل المتجهات${\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathit {u}}}}$، أين${\displaystyle \nabla }$هو مشغل نابلا و${\displaystyle {\vec {\mathit {u}}}}$هي سرعة التدفق المحلية. ^{[ 5 ]}

الدوران المحلي الذي يتم قياسه بواسطة الدوامة${\displaystyle {\vec {\أوميغا }}}$يجب عدم الخلط بينه وبين متجه السرعة الزاوية لذلك الجزء من السائل بالنسبة للبيئة الخارجية أو لأي محور ثابت. في الدوامة، على وجه الخصوص،${\displaystyle {\vec {\أوميغا }}}$قد يكون معاكساً لمتجه السرعة الزاوية المتوسطة للسائل بالنسبة لمحور الدوامة.

نظرياً، قد تتغير سرعة الجسيمات u (وبالتالي، الدوامية) في الدوامة بتغير المسافة r من المحور بعدة طرق. ومع ذلك، توجد حالتان خاصتان مهمتان:

• إذا دار المائع كجسم صلب - أي إذا كانت السرعة الدورانية الزاوية Ω منتظمة، بحيث تزداد u تناسبياً مع المسافة r من المحور - فإن كرة صغيرة يحملها التدفق ستدور أيضاً حول مركزه كما لو كانت جزءاً من ذلك الجسم الصلب. في مثل هذا التدفق، تكون الدوامة متساوية في كل مكان: اتجاهها موازٍ لمحور الدوران، ومقدارها يساوي ضعف السرعة الزاوية المنتظمة Ω للمائع حول مركز الدوران.

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=(0,0,\Omega ),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=(-\Omega y,\Omega x,0),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=(0,0,2\Omega )=2{\vec {\Omega }}.\end{aligned}}}$

• إذا كانت سرعة الجسيم u تتناسب عكسيًا مع المسافة r من المحور، فإن كرة الاختبار الافتراضية لن تدور حول نفسها؛ بل ستحافظ على نفس الاتجاه أثناء تحركها في دائرة حول محور الدوامة. في هذه الحالة، تكون الدوامية${\displaystyle {\vec {\omega }}}$تكون القيمة صفرًا عند أي نقطة ليست على ذلك المحور، ويقال إن التدفق غير دوراني .

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=\left(0,0,\alpha r^{-2}\right),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=\left(-\alpha yr^{-2},\alpha xr^{-2},0\right),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=0.\end{aligned}}}$

الدوامات غير الدورانية

في غياب القوى الخارجية، تتطور الدوامة عادةً بسرعة نسبياً نحو نمط التدفق غير الدوراني ، حيث تتناسب سرعة التدفق u عكسياً مع المسافة r . وتُسمى الدوامات غير الدورانية أيضاً بالدوامات الحرة .

بالنسبة للدوامة غير الدورانية، يكون الدوران معدومًا على طول أي مسار مغلق لا يحيط بمحور الدوامة؛ وله قيمة ثابتة، Γ ، لأي مسار يحيط بالمحور مرة واحدة. ^{[ 6 ]} ويكون المركب المماسي لسرعة الجسيم عندئذٍ${\displaystyle u_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi r}}}$وبالتالي، فإن الزخم الزاوي لكل وحدة كتلة بالنسبة لمحور الدوامة يكون ثابتاً.${\displaystyle ru_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi }}}$.

إن التدفق الدوامي المثالي غير الدوراني في الفضاء الحر غير قابل للتحقيق فيزيائيًا، لأنه يعني أن سرعة الجسيمات (وبالتالي القوة اللازمة لإبقاء الجسيمات في مساراتها الدائرية) ستزداد بلا حدود كلما اقتربنا من محور الدوامة. في الواقع، في الدوامات الحقيقية، توجد دائمًا منطقة مركزية تحيط بالمحور حيث تتوقف سرعة الجسيمات عن الزيادة ثم تتناقص إلى الصفر عندما يقترب نصف القطر (r) من الصفر. داخل هذه المنطقة، لم يعد التدفق غير دوراني: بل يصبح دواميًا.${\displaystyle {\vec {\omega }}}$تصبح قيمتها غير صفرية، ويكون اتجاهها موازياً تقريباً لمحور الدوامة. تُعد دوامة رانكين نموذجاً يفترض تدفقاً دورانياً صلباً حيث تكون المسافة r أقل من مسافة ثابتة r₀ _، وتدفقاً غير دوراني خارج تلك المناطق المركزية.

في الموائع اللزجة، يحتوي التدفق غير الدوراني على تبديد لزج في كل مكان، ومع ذلك لا توجد قوى لزجة صافية، بل إجهادات لزجة فقط. ^{[ 7 ]} وبسبب هذا التبديد، يتطلب الحفاظ على دوامة لزجة غير دورانية بذل شغل مستمر عند مركزها (على سبيل المثال، بتدوير أسطوانة بثبات عند المركز). في الفضاء الحر، لا يوجد دخل للطاقة عند المركز، وبالتالي فإن الدوامة المدمجة الموجودة في المركز ستنتشر بشكل طبيعي إلى الخارج، محولةً المركز إلى تدفق جسم صلب يتباطأ وينمو تدريجيًا، محاطًا بالتدفق غير الدوراني الأصلي. تمتلك هذه الدوامة غير الدورانية المتلاشية حلًا دقيقًا لمعادلات نافيير-ستوكس اللزجة ، والمعروفة باسم دوامة لامب-أوسين .

الدوامات الدورانية

لا يمكن للدوامة الدورانية - وهي دوامة تدور بنفس طريقة دوران الجسم الصلب - أن تبقى في تلك الحالة إلى الأبد إلا بتطبيق قوة إضافية لا تنتج عن حركة المائع نفسها. وتمتلك هذه الدوامة قيمة غير صفرية في كل مكان خارج مركزها. وتُسمى الدوامات الدورانية أيضاً بالدوامات الصلبة أو الدوامات القسرية.

على سبيل المثال، إذا دُوِّر دلو ماء بسرعة زاوية ثابتة w حول محوره الرأسي، فسيدور الماء في النهاية كجسم صلب. وستتحرك الجسيمات حينها على طول مسارات دائرية، بسرعة u تساوي wr . ^{[ 6 ]} في هذه الحالة، سيتخذ سطح الماء الحر شكلًا مكافئًا .

في هذه الحالة، يوفر الغلاف الدوار الصلب قوة إضافية، وهي تدرج ضغط إضافي في الماء، موجه إلى الداخل، مما يمنع انتقال تدفق الجسم الصلب إلى الحالة غير الدورانية.

تُعرَّف هياكل الدوامات بدواميتها ، وهي معدل الدوران الموضعي لجزيئات المائع. تتشكل هذه الدوامات عبر ظاهرة تُعرف بانفصال الطبقة الحدية ، والتي تحدث عندما يتحرك المائع فوق سطح ما ويتعرض لتسارع سريع من سرعة المائع إلى الصفر نتيجةً لشرط عدم الانزلاق . يُنشئ هذا التسارع السالب السريع طبقة حدية تُسبب دورانًا موضعيًا للمائع عند الجدار (أي الدوامية)، ويُشار إلى هذا الدوران بمعدل القص الجداري. يتناسب سُمك هذه الطبقة الحدية طرديًا مع${\displaystyle \surd (vt)}$(حيث v هي سرعة سائل التيار الحر و t هو الزمن).

إذا كان قطر أو سمك الوعاء أو السائل أقل من سمك الطبقة الحدية، فلن تنفصل الطبقة الحدية ولن تتشكل الدوامات. أما إذا تجاوز سمك الطبقة الحدية هذا الحد الحرج، فسيحدث الانفصال، مما يؤدي إلى توليد الدوامات.

يمكن أن يحدث انفصال الطبقة الحدية أيضًا في وجود تدرجات ضغط معاكسة (أي ضغط يتطور في اتجاه التدفق). ويظهر هذا في الأسطح المنحنية والتغيرات الهندسية العامة كالأسطح المحدبة. ومن الأمثلة الفريدة على التغيرات الهندسية الشديدة الحافة الخلفية لجسم غير انسيابي ، حيث يتباطأ تدفق المائع، وبالتالي تتشكل الطبقة الحدية والدوامات.

من أشكال تكوّن الدوامات على الحدود أيضاً تدفق السائل عمودياً على الجدار، مما يُحدث تأثيراً تناثرياً. تنحرف خطوط انسياب السرعة وتتباطأ فوراً، فتنفصل الطبقة الحدية وتتشكل حلقة دوامية حلقية . ^{[ 8 ]}

في الدوامة الساكنة، يكون خط الانسياب النموذجي (خط مماس لمتجه سرعة التدفق في كل نقطة) حلقة مغلقة تحيط بالمحور؛ ويكون كل خط دوامي (خط مماس لمتجه الدوامية في كل نقطة) موازياً تقريباً للمحور. يُطلق على السطح المماس لكل من سرعة التدفق والدوامية في كل نقطة اسم أنبوب دوامي . عموماً، تتداخل الأنابيب الدوامية حول محور الدوران. المحور نفسه هو أحد الخطوط الدوامية، وهو حالة خاصة لأنبوب دوامي قطره صفر.

وفقًا لنظريات هيلمهولتز ، لا يمكن لخط الدوامة أن يبدأ أو ينتهي داخل المائع، إلا لحظيًا في التدفق غير المستقر، أثناء تشكل الدوامة أو تلاشيها. عمومًا، تكون خطوط الدوامة (وخاصةً خط المحور) إما حلقات مغلقة أو تنتهي عند حدود المائع. الدوامة المائية مثال على الحالة الأخيرة، أي دوامة في جسم مائي ينتهي محورها عند السطح الحر. أما أنبوب الدوامة الذي تكون جميع خطوط دواماته مغلقة، فسيكون سطحًا مغلقًا يشبه الحلقة .

تتمدد الدوامة المتشكلة حديثًا وتنحني بسرعة لإزالة أي خطوط دوامية مفتوحة. على سبيل المثال، عند تشغيل محرك الطائرة، تتشكل دوامة عادةً أمام كل مروحة ، أو أمام المحرك التوربيني لكل محرك نفاث . يرتبط أحد طرفي خط الدوامة بالمحرك، بينما يمتد الطرف الآخر وينحني عادةً حتى يصل إلى الأرض.

عندما تظهر الدوامات بفعل الدخان أو آثار الحبر، قد تبدو وكأنها ذات مسارات حلزونية أو خطوط انسيابية. إلا أن هذا المظهر غالباً ما يكون وهماً، إذ تتحرك جزيئات السائل في مسارات مغلقة. أما الخطوط الحلزونية التي تُعتبر خطوطاً انسيابية فهي في الواقع سحب من سائل التحديد كانت تمتد في الأصل عبر عدة أنابيب دوامية، ثم امتدت لتأخذ أشكالاً حلزونية بفعل التوزيع غير المنتظم لسرعة التدفق.

تُولّد حركة المائع في الدوامة ضغطًا ديناميكيًا (بالإضافة إلى أي ضغط هيدروستاتيكي ) يكون في أدنى مستوياته في المنطقة المركزية، الأقرب إلى المحور، ويزداد كلما ابتعدنا عنه، وفقًا لمبدأ برنولي . ويمكن القول إن تدرج هذا الضغط هو ما يُجبر المائع على اتباع مسار منحني حول المحور.

في تدفق دوامي لجسم صلب لسائل ذي كثافة ثابتة ، يتناسب الضغط الديناميكي طرديًا مع مربع المسافة r من المحور. وفي مجال جاذبية ثابت ، يكون السطح الحر للسائل، إن وُجد، على شكل قطع مكافئ مقعر .

في تدفق دوامي غير دوراني ذي كثافة سائل ثابتة وتناظر أسطواني، يتغير الضغط الديناميكي وفقًا للمعادلة _{P∞ − K/r²، حيث P∞} هو الضغط الحدي _عند مسافة لانهائية من ^المحور . توفر هذه المعادلة قيدًا إضافيًا على امتداد النواة، إذ لا يمكن أن يكون الضغط سالبًا. ينخفض ​​السطح الحر (إن وُجد) بشدة قرب خط المحور، ويتناسب عمقه عكسيًا مع r² . يُطلق على الشكل الذي يُشكّله السطح الحر اسم القطع الزائد ، أو " بوق جبرائيل " (كما وصفه ^{إيفانجيليستا} توريتشيلي ).

قد يكون مركز الدوامة الهوائية مرئيًا أحيانًا لأن بخار الماء يتكثف نتيجة انخفاض الضغط في المركز، مما يُسبب تبريدًا أديباتيًا ؛ وقمع الإعصار مثال على ذلك. عندما ينتهي خط الدوامة عند سطح فاصل، قد يسحب انخفاض الضغط أيضًا مواد من ذلك السطح إلى المركز. على سبيل المثال، زوبعة الغبار هي عمود من الغبار يلتقطه مركز دوامة هوائية متصلة بالأرض. قد تسحب الدوامة التي تنتهي عند السطح الحر لمسطح مائي (مثل الدوامة التي تتشكل غالبًا فوق مصرف حوض الاستحمام) عمودًا من الهواء إلى أسفل المركز. يمكن للدوامة الأمامية الممتدة من محرك نفاث لطائرة متوقفة أن تسحب الماء والحصى الصغيرة إلى المركز ثم إلى المحرك.

لا يشترط أن تكون الدوامات ثابتة؛ إذ يمكنها الحركة وتغيير شكلها. في الدوامة المتحركة، لا تكون مسارات الجسيمات مغلقة، بل منحنيات مفتوحة حلقية كاللوالب والمنحنيات الدائرية . وقد يقترن تدفق الدوامة بنمط تدفق شعاعي أو محوري. في هذه الحالة، لا تكون خطوط الانسياب ومسارات الجسيمات منحنيات مغلقة، بل لولبية أو حلزونية على التوالي. وهذا ما يحدث في الأعاصير القمعية ودوامات المصارف. وتُسمى الدوامة ذات خطوط الانسياب الحلزونية بالدوامة اللولبية .

طالما أن تأثيرات اللزوجة والانتشار ضئيلة، فإن السائل في الدوامة المتحركة يُحمل معها. وعلى وجه الخصوص، يميل السائل الموجود في مركز الدوامة (والمادة المحتجزة فيه) إلى البقاء في المركز أثناء حركة الدوامة. هذه نتيجة لنظرية هيلمهولتز الثانية . وبالتالي، يمكن للدوامات (على عكس الموجات السطحية وموجات الضغط ) نقل الكتلة والطاقة والزخم لمسافات كبيرة مقارنة بحجمها، مع تشتت ضئيل بشكل مدهش. ويتجلى هذا التأثير في حلقات الدخان، ويُستغل في ألعاب وبنادق حلقات الدوامة .

تتجاذب دوامتان أو أكثر متوازيتان تقريبًا وتدوران في الاتجاه نفسه، ثم تندمجان في النهاية لتشكيل دوامة واحدة، يساوي دورانها مجموع دوران الدوامات المكونة لها. على سبيل المثال، يُولّد جناح الطائرة الذي يكتسب قوة رفع طبقة من الدوامات الصغيرة عند حافته الخلفية. تندمج هذه الدوامات الصغيرة لتشكيل دوامة طرف الجناح ، على مسافة أقل من وتر الجناح نفسه من تلك الحافة. ​​تحدث هذه الظاهرة أيضًا مع أسطح انسيابية أخرى نشطة ، مثل شفرات المراوح. من ناحية أخرى، تميل دوامتان متوازيتان تدوران في اتجاهين متعاكسين (مثل دوامتي طرف جناح الطائرة) إلى البقاء منفصلتين.

تحتوي الدوامات على طاقة كبيرة ناتجة عن الحركة الدائرية للسائل. في السوائل المثالية، لا يمكن تبديد هذه الطاقة أبدًا، وستبقى الدوامة إلى الأبد. مع ذلك، تتميز السوائل الحقيقية باللزوجة ، مما يؤدي إلى تبديد الطاقة ببطء شديد من مركز الدوامة. ولا يمكن أن ينتهي خط الدوامة داخل السائل، بدلًا من أن ينتهي عند حدوده، إلا من خلال تبديد الطاقة الناتج عن اللزوجة.

• لوبير، ديفيد إي. (نوفمبر 1966). تحليل تدفقات الدوامات المغناطيسية المائية المحصورة (ملف PDF) (تقرير متعاقد مع وكالة ناسا، رقم ناسا CR-646). واشنطن: الإدارة الوطنية للملاحة الجوية والفضاء. LCCN 67060315 . 
• باتشيلور، جي كي (1967). مقدمة في ديناميكا الموائع . مطبعة جامعة كامبريدج. الفصل 7 وما يليه. ISBN 9780521098175.
• فالكوفيتش، ج. (2011). ميكانيكا الموائع، دورة مختصرة للفيزيائيين . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-00575-4.
• دي لا فوينتي ماركوس، سي.؛ بارج، ب. (2001). "تأثير الدوران الدوامي طويل الأمد على ديناميكيات جزيئات الغبار في المستوى المتوسط ​​لقرص كوكبي أولي" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 323 (3): 601-614 . Bibcode : 2001MNRAS.323..601D . doi : 10.1046/j.1365-8711.2001.04228.x .