تقريب الزاوية الصغيرة

بالنسبة للزاوية الصغيرة، يكون طول الوتر H والضلع A متقاربًا جدًا، وبالتالي فإن جيب تمام الزاوية θ يساوي تقريبًا 1. القطعة المستقيمة d (باللون الأحمر على اليمين) هي الفرق بين طول الوتر H والضلع المجاور A ، وطولها${\displaystyle \textstyle H-{\sqrt {H^{2}-O^{2}}}}$والتي تساوي تقريبًا بالنسبة للزوايا الصغيرة${\displaystyle \textstyle O^{2}\!/2H\approx {\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}H}$كتقريب من الدرجة الثانية، $${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}.}$$

الضلع المقابل، O ، يساوي تقريبًا طول القوس الأزرق، s . طول القوس s هو θA ، وبحسب التعريف sin θ = O / H و tan θ = O / A ، وبالنسبة للزاوية الصغيرة، O ≈ s و H ≈ A ، مما يؤدي إلى :$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

أو باختصار أكثر، $${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

باستخدام نظرية الضغط ، ^{[ 4 ]} يمكن إثبات أن $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$وهو إعادة صياغة رسمية للتقريب${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$بالنسبة للقيم الصغيرة لـ θ .

يثبت تطبيق أكثر دقة لنظرية الضغط أن$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$ومن ذلك نستنتج أن${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$بالنسبة للقيم الصغيرة لـ θ .

وأخيرًا، تخبرنا قاعدة المستشفى أن$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$والذي يُعاد ترتيبه إلى${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$بالنسبة للقيم الصغيرة لـ θ . بدلاً من ذلك، يمكننا استخدام صيغة ضعف الزاوية.${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$عن طريق السماح${\displaystyle \theta =2A}$، فهمنا ذلك${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$.

متسلسلات تايلور لتوسيع الدوال المثلثية الجيب وجيب التمام والظل بالقرب من الصفر هي: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}+{\frac {1}{120}}\theta ^{5}-\cdots ,\\[6mu]\cos \theta &=1-{\frac {1}{2}}{\theta ^{2}}+{\frac {1}{24}}\theta ^{4}-\cdots ,\\[6mu]\tan \theta &=\theta +{\frac {1}{3}}\theta ^{3}+{\frac {2}{15}}\theta ^{5}+\cdots .\end{aligned}}}$$

أين​${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بالراديان. بالنسبة للزوايا الصغيرة جدًا، تكون قوى أعلى من .${\displaystyle \theta }$تصبح صغيرة للغاية، على سبيل المثال إذا${\displaystyle \theta =0.01}$ثم​​${\displaystyle \theta ^{3}=0.000\,001}$، جزء واحد فقط من عشرة آلاف من${\displaystyle \theta }$لذا ، ولأغراض كثيرة، يكفي حذف الحدود التكعيبية وما فوقها، وتقريب جيب وظل زاوية صغيرة باستخدام قياس الزاوية بالراديان .${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta }$ثم نحذف الحد التربيعي ونقرب قيمة جيب التمام إلى ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$⁠ .

إذا لزم الأمر دقة إضافية، يمكن أيضًا تضمين الحدود التربيعية والتكعيبية .${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -{\tfrac {1}{6}}\theta ^{3}}$،​ ​${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$و​ ​${\displaystyle \tan \theta \approx \theta +{\tfrac {1}{3}}\theta ^{3}}$⁠ .

في علم الفلك ، غالبًا ما يكون الحجم الزاوي أو الزاوية التي تشكلها صورة جسم بعيد بضع ثوانٍ قوسية فقط (يرمز لها بالرمز ″)، لذا فهي مناسبة تمامًا لتقريب الزاوية الصغيرة. ^{[ 7 ]} يرتبط الحجم الخطي ( D ) بالحجم الزاوي ( X ) والمسافة من الراصد ( d ) بالصيغة البسيطة التالية:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}}$

حيث يتم قياس X بالثواني القوسية.

الكمية206 265 ″ تساوي تقريبًا عدد الثواني القوسية في راديان واحد، وهو عدد الثواني القوسية في دائرة (1 296 000 ″ ) مقسومة على 2π .

الصيغة الدقيقة هي

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)}$

ويتحقق التقريب المذكور أعلاه عند استبدال tan X بـ X.

على سبيل المثال، يتم تعريف الفرسخ الفلكي بقيمة d عندما D = 1 وحدة فلكية، X = 1 ثانية قوسية، ولكن التعريف المستخدم هو تقريب الزاوية الصغيرة (المعادلة الأولى أعلاه).

يُعدّ تقريب جيب التمام من الدرجة الثانية مفيدًا بشكل خاص في حساب طاقة الوضع للبندول ، والذي يمكن تطبيقه بعد ذلك مع دالة لاغرانج لإيجاد معادلة الحركة غير المباشرة (الطاقة). عند حساب دورة البندول البسيط، يُستخدم تقريب الزاوية الصغيرة للجيب لتسهيل حل المعادلة التفاضلية الناتجة عن طريق مقارنتها بالمعادلة التفاضلية التي تصف الحركة التوافقية البسيطة . ^{[ 8 ]}

في علم البصريات، تشكل تقريبات الزاوية الصغيرة أساس التقريب المحوري .

يتم استخدام تقريبات الجيب والظل للزاوية الصغيرة فيما يتعلق بتجربة الشق المزدوج أو محزز الحيود لتطوير معادلات مبسطة مثل ما يلي، حيث y هي المسافة بين الهدب ومركز أقصى شدة للضوء، و m هي رتبة الهدب، و D هي المسافة بين الشقوق وشاشة العرض، و d هي المسافة بين الشقوق: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}}$$

يظهر تقريب الزاوية الصغيرة أيضاً في ميكانيكا الإنشاءات ، وخاصة في تحليلات الاستقرار والتشعب (وخاصة للأعمدة المحملة محورياً والمعرضة للانبعاج ). ويؤدي هذا إلى تبسيطات كبيرة، ولكن على حساب الدقة وفهم السلوك الحقيقي.

تستند قاعدة 1 في 60 المستخدمة في الملاحة الجوية إلى تقريب الزاوية الصغيرة، بالإضافة إلى حقيقة أن الراديان الواحد يساوي تقريبًا 60 درجة .

يمكن استخدام صيغ الجمع والطرح التي تتضمن زاوية صغيرة للاستيفاء بين قيم الجداول المثلثية :

مثال: sin(0.755) $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}$$ حيث تُستخرج قيم sin(0.75) و cos(0.75) من جدول الدوال المثلثية. وتكون النتيجة دقيقة حتى أربعة أرقام معطاة.