تحليل متناهي الصغر سلس

التحليل التفاضلي السلس هو إعادة صياغة حديثة لحساب التفاضل والتكامل بدلالة الكميات المتناهية الصغر . يستند هذا التحليل إلى أفكار فريدريك و. لوفير، ويستخدم أساليب نظرية الفئات ، وينظر إلى جميع الدوال على أنها متصلة ولا يمكن التعبير عنها بدلالة كيانات منفصلة . ويُعدّ، كنظرية، فرعًا من الهندسة التفاضلية التركيبية .

الأعداد المتناهية الصغر الصفرية أو عديمة القوة هي أعداد ε حيث يكون ε² = 0 صحيحًا، ولكن ليس بالضرورة أن يكون ε = 0 صحيحًا في الوقت نفسه. ويستخدم كتاب "حساب التفاضل والتكامل ببساطة" الأعداد المتناهية الصغر الصفرية بشكل ملحوظ.

يختلف هذا النهج عن المنطق الكلاسيكي المستخدم في الرياضيات التقليدية برفضه قانون الوسط المرفوع ، فمثلاً، ليس بالضرورة أن يكون a = b إذا كان a ≠ b . وبالتحديد، في نظرية التحليل اللامتناهي الصغر السلس، يمكن إثبات أنه بالنسبة لجميع اللامتناهيات الصغر ε ، ليس بالضرورة أن يكون ε ≠ 0؛ ومع ذلك، من الخطأ إثبات أن جميع اللامتناهيات الصغر تساوي صفرًا. ^{[ 1 ]} ويمكن ملاحظة أن قانون الوسط المرفوع لا يمكن أن يكون صحيحًا من خلال النظرية الأساسية التالية (مرة أخرى، في سياق نظرية التحليل اللامتناهي الصغر السلس):

كل دالة مجالها R ، أي الأعداد الحقيقية ، تكون متصلة وقابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية .

على الرغم من ذلك، يمكن محاولة تعريف دالة غير متصلة f ( x ) بتحديد أن f ( x ) = 1 عندما x = 0، و f ( x ) = 0 عندما x ≠ 0. إذا كان قانون الوسط المرفوع صحيحًا، لكانت هذه دالة غير متصلة ومُعرَّفة بالكامل. مع ذلك، توجد العديد من قيم x ، وتحديدًا القيم المتناهية الصغر، بحيث لا يتحقق الشرط x = 0 ولا x ≠ 0، لذا فإن الدالة غير مُعرَّفة على مجموعة الأعداد الحقيقية.

في النماذج النموذجية للتحليل التفاضلي السلس، لا تكون الكميات المتناهية الصغر قابلة للعكس، وبالتالي لا تحتوي النظرية على أعداد لانهائية. ومع ذلك، توجد أيضًا نماذج تتضمن كميات متناهية الصغر قابلة للعكس.

توجد أنظمة رياضية أخرى تتضمن الكميات المتناهية في الصغر، بما في ذلك التحليل غير القياسي والأعداد السريالية . يشبه التحليل المتناهي في الصغر السلس التحليل غير القياسي في كونه (1) أساسًا للتحليل ، و(2) لا تمتلك الكميات المتناهية في الصغر أحجامًا محددة (على عكس الأعداد السريالية، حيث تكون الكمية المتناهية في الصغر النموذجية 1/ω ، حيث ω عدد ترتيبي فون نيومان ). مع ذلك، يختلف التحليل المتناهي في الصغر السلس عن التحليل غير القياسي في استخدامه للمنطق غير الكلاسيكي ، وفي افتقاره لمبدأ النقل . بعض نظريات التحليل القياسي وغير القياسي خاطئة في التحليل المتناهي في الصغر السلس، بما في ذلك نظرية القيمة المتوسطة ومفارقة باناخ-تارسكي . يمكن ترجمة عبارات التحليل غير القياسي إلى عبارات حول النهايات ، لكن هذا لا ينطبق دائمًا على التحليل المتناهي في الصغر السلس.

يمكن تفسير التحليل المتناهي الصغر السلس، بشكل بديهي، على أنه يصف عالماً تتكون فيه الخطوط من أجزاء متناهية الصغر، لا من نقاط. يمكن تصور هذه الأجزاء على أنها طويلة بما يكفي لتكون لها اتجاه محدد، ولكنها ليست طويلة بما يكفي لتكون منحنية. يفشل بناء الدوال غير المتصلة لأن الدالة تُعرَّف بمنحنى، ولا يمكن بناء المنحنى نقطياً. يمكننا تصور فشل نظرية القيمة المتوسطة كنتيجة لقدرة الجزء المتناهي الصغر على أن يمتد على جانبي خط. وبالمثل، تفشل مفارقة باناخ-تارسكي لأن الحجم لا يمكن تقسيمه إلى نقاط.

• نظرية الفئات
• تحليل غير قياسي
• الهندسة التفاضلية التركيبية
• رقم الهاتف

• جون لين بيل ، دعوة إلى التحليل المتناهي الصغر السلس (ملف PDF)
• إيكي مورديجك ورييس، جنرال إلكتريك، نماذج للتحليل السلس المتناهي الصغر ، سبرينغر-فيرلاغ، 1991.

• مايكل أوكونور، مقدمة في التحليل المتناهي الصغر السلس