حل المثلثات

الطريقة القياسية لحل المشكلة هي استخدام العلاقات الأساسية.

قانون جيب التمام$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \\b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}$$

قانون الجيب$${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$$

مجموع الزوايا

$${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$$

قانون المماسات$${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}$$

هناك علاقات عالمية أخرى (مفيدة عمليًا في بعض الأحيان): قانون الظل التمام وصيغة مولفيدي .

لنفترض أن أطوال ثلاثة أضلاع هي a و b و c . لإيجاد الزاويتين α و β ، يمكن استخدام قانون جيب التمام : ^{[ 3 ]}$$\displaystyle \begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}$$

ثم الزاوية γ = 180° − α − β .

توصي بعض المصادر بإيجاد الزاوية β من قانون الجيب ولكن (كما هو مذكور في الملاحظة 1 أعلاه) هناك خطر الخلط بين قيمة الزاوية الحادة والزاوية المنفرجة.

هناك طريقة أخرى لحساب الزوايا من الأضلاع المعروفة وهي تطبيق قانون الظل التمام .

المساحة باستخدام صيغة هيرون : ${\displaystyle A={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$أين${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

صيغة هيرون بدون استخدام نصف المحيط : ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb)(a+bc)}}{4}}}$

هنا، تُعرف أطوال الضلعين a و b والزاوية γ بينهما. ويمكن تحديد الضلع الثالث من قانون جيب التمام: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$$ والآن نستخدم قانون جيب التمام لإيجاد الزاوية الثانية: $${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$$ أخيرًا، β = 180° − α − γ .

لا يمكن حل هذه المسألة في جميع الحالات؛ إذ يُضمن أن يكون الحل فريدًا فقط إذا كان طول الضلع المجاور للزاوية أقصر من طول الضلع الآخر. لنفترض أن طولَي الضلعين b و c والزاوية β معلومان. يمكن استنتاج معادلة الزاوية γ من قانون الجيب : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$$ نرمز أيضًا إلى D = c / b sin β (الطرف الأيمن من المعادلة ) . هناك أربع حالات محتملة:

1. إذا كانت D > 1 ، فلا يوجد مثلث من هذا النوع لأن الضلع b لا يصل إلى الخط BC . وللسبب نفسه، لا يوجد حل إذا كانت الزاوية β ≥ 90° و b ≤ c .
2. إذا كانت D = 1 ، يوجد حل وحيد: γ = 90° ، أي أن المثلث قائم الزاوية .
3. إذا كانت قيمة D أقل من 1، فهناك بديلان ممكنان.
   1. إذا كان b ≥ c ، فإن β ≥ γ (الضلع الأكبر يقابل زاوية أكبر). وبما أنه لا يمكن أن يحتوي المثلث على زاويتين منفرجتين، فإن γ زاوية حادة، وبالتالي فإن الحل γ = arcsin D وحيد.
   2. إذا كان b < c ، فقد تكون الزاوية γ حادة: γ = arcsin D أو منفرجة: γ ′ = 180° − γ . يوضح الشكل على اليمين النقطة C والضلع b والزاوية γ كحل أول، والنقطة C ′ والضلع b ′ والزاوية γ ′ كحل ثانٍ.

بمجرد الحصول على γ ، تكون الزاوية الثالثة α = 180° − β − ​​γ .

ويمكن إيجاد الطرف الثالث من قانون الجيب: $${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$$

أو من قانون جيب التمام: $${\displaystyle a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$$

الخصائص المعروفة هي الضلع c والزاويتان α و β ، اللتان إما متجاورتان أو متجاورتان ومتقابلتان. يتم حل كلتا الحالتين بإيجاد الزاوية الثالثة أولاً γ = 180° − α − β .

بعد ذلك، يمكن حساب الجانبين المجهولين من قانون الجيب: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}\\[4pt]b&=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}$$

في كثير من الحالات، يمكن حل المثلثات بمعرفة ثلاث معلومات، منها أطوال متوسطات المثلث ، وارتفاعاته ، ومنصفات زواياه . وقد أورد بوسامنتير وليمان ^{[ 7 ]} نتائج مسألة قابلية الحل باستخدام الجذور التربيعية فقط (أي قابلية الإنشاء ) لكل حالة من الحالات الـ 95 المختلفة؛ 63 منها قابلة للإنشاء.

المعطيات: أطوال الأضلاع أ ، ب ، ج (بالوحدات الزاوية). تُحسب زوايا المثلث باستخدام قانون جيب التمام الكروي . $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}},\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}},\\[4pt]\gamma &=\arccos {\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}.\end{محاذاة}}}$$

المعطيات: الضلعان a و b والزاوية γ بينهما. يمكن إيجاد الضلع c من قانون جيب التمام الكروي . $${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}$$

يمكن حساب الزاويتين α و β كما هو مذكور أعلاه، أو باستخدام تشبيهات نابيير:

$$\begin{aligned}\alpha &=\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b+a)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(ba)}},\\[4pt]\beta &=\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a+b)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(ab)}}.\end{aligned}}}$$

تظهر هذه المشكلة في مسائل الملاحة المتعلقة بإيجاد الدائرة العظمى بين نقطتين على سطح الأرض، تُحددان بخط العرض وخط الطول؛ وفي هذا التطبيق، من المهم استخدام صيغ لا تتأثر بأخطاء التقريب. ولتحقيق هذا الغرض، يمكن استخدام الصيغ التالية (التي يمكن اشتقاقها باستخدام الجبر المتجهي): $${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\[4pt]\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\[4pt]\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}$$ حيث يجب استخدام إشارات البسط والمقام في هذه التعبيرات لتحديد ربع دالة الظل العكسي.

لا يمكن حل هذه المسألة في جميع الحالات؛ إذ يُضمن وجود حل فريد فقط إذا كان طول الضلع المجاور للزاوية أقصر من طول الضلع الآخر. المعطيات: الضلعان b و c والزاوية β غير المحصورة بينهما. يوجد حل إذا تحقق الشرط التالي: $${\displaystyle b>\arcsin \!{\bigl (}\sin c\,\sin \beta {\bigr )}.}$$يمكن إيجاد الزاوية γ من قانون الجيب الكروي : $${\displaystyle \gamma =\arcsin {\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}.}$$ أما بالنسبة لحالة المستوى، إذا كان b < c، فهناك حلان: γ و 180° - γ .

يمكننا إيجاد خصائص أخرى باستخدام تشبيهات نابيير: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(b-c)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(b+c)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(b-c)}}\right].\end{aligned}}}$$

المعطيات: طول الضلع c والزاويتان α و β . أولاً، نحدد الزاوية γ باستخدام قانون جيب التمام الكروي : $${\displaystyle \gamma =\arccos \!{\bigl (}\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta {\bigr )}.\,}$$

يمكننا إيجاد الضلعين المجهولين من قانون جيب التمام الكروي (باستخدام الزاوية المحسوبة γ ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }},\end{aligned}}}$$

أو باستخدام تشبيهات نابيير: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan {\frac {2\sin \alpha }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta +\alpha )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta -\alpha )}},\\[4pt]b&=\arctan {\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}$$

المعطيات: الضلع a والزاويتان α و β . يمكن إيجاد الضلع b من قانون الجيب الكروي . $${\displaystyle b=\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

إذا كانت الزاوية للضلع a حادة و α > β ، فهناك حل آخر: $${\displaystyle b=\pi -\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

يمكننا إيجاد خصائص أخرى باستخدام تشبيهات نابيير: $${\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\frac {1}{2}}(a-b)}}\right].\end{aligned}}}$$

المعطيات: الزوايا α، β، γ . من قانون جيب التمام الكروي نستنتج ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }},\\[4pt]c&=\arccos {\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}}$$

تصبح الخوارزميات المذكورة أعلاه أبسط بكثير إذا كانت إحدى زوايا المثلث (على سبيل المثال، الزاوية ج ) زاوية قائمة . يُعرَّف هذا المثلث الكروي بالكامل من خلال عنصريه، ويمكن حساب العناصر الثلاثة الأخرى باستخدام خماسي نابيير أو العلاقات التالية.

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}$(من قانون الجيوب الكروي )

${\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$(من قانون جيب التمام الكروي )

${\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}$(أيضًا من قانون جيب التمام الكروي)

${\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}$

إذا أراد المرء قياس المسافة d من الشاطئ إلى سفينة بعيدة باستخدام التثليث، فإنه يحدد على الشاطئ نقطتين بمسافة معلومة بينهما l (خط الأساس). ولتكن α و β الزاويتين بين خط الأساس والاتجاه نحو السفينة.

من الصيغ المذكورة أعلاه (في حالة ASA، بافتراض هندسة مستوية) يمكن حساب المسافة على أنها ارتفاع المثلث : $${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}$$

في حالة الشكل الكروي، يمكن أولاً حساب طول الضلع من النقطة α إلى السفينة (أي الضلع المقابل لـ β ) باستخدام صيغة ASA $${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha -\beta )}},}$$ وأدخل هذا في صيغة AAS للمثلث الفرعي القائم الزاوية الذي يحتوي على الزاوية α والضلعين b و d : $${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}$$ (الصيغة المستوية هي في الواقع الحد الأول من توسيع تايلور لـ d للحل الكروي بدلالة قوى ℓ .)

تُستخدم هذه الطريقة في النقل الساحلي . يتم تحديد الزاويتين α و β من خلال ملاحظة المعالم المألوفة من السفينة.

كمثال آخر، إذا أردنا قياس ارتفاع جبل أو مبنى شاهق ( h) ، فإننا نحدد الزاويتين α و β من نقطتين على الأرض إلى القمة. ولنفترض أن ℓ هي المسافة بين هاتين النقطتين. ومن صيغ حالة ASA نفسها، نحصل على: $${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .}$$

لحساب المسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية،

النقطة أ: خط العرض λ _أ ، خط الطول ل _أ ، و

النقطة ب: خط العرض _λ ب _، خط الطول LB

نعتبر المثلث الكروي ABC ، حيث C هو القطب الشمالي. ومن خصائصه: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=90^{\circ }-\lambda _{B},\\b&=90^{\circ }-\lambda _{A},\\\gamma &=L_{A}-L_{B}.\end{aligned}}}$$ إذا عُلم ضلعان والزاوية المحصورة بينهما ، فإننا نحصل من الصيغ على $${\displaystyle {\overline {AB}}=R\arccos \!{\Bigr [}\sin \lambda _{A}\sin \lambda _{B}+\cos \lambda _{A}\cos \lambda _{B}\cos(L_{A}-L_{B}){\Bigr ]}.}$$ هنا R هو نصف قطر الأرض .