زوج متساهل

ويمكن أيضًا إثبات النتيجة باستخدام الثوابت${\displaystyle \operatorname {tr} (L^{n})}$لأي${\displaystyle n}$هذه الأمور تُرضي $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\operatorname {tr} (L^{n})=0}$$ بسبب معادلة لاكس، وبما أنه يمكن كتابة متعددة الحدود المميزة بدلالة هذه الآثار، فإن الطيف محفوظ بواسطة التدفق. ^{[ 1 ]}

تُشكّل الخاصية المذكورة أعلاه أساس طريقة التشتت العكسي. في هذه الطريقة، يؤثر كل من L و P على فضاء دالي (وبالتالي ψ = ψ ( t , x )) ويعتمدان على دالة مجهولة u ( t , x ) التي يجب تحديدها. يُفترض عمومًا أن u (0, x ) معلومة، وأن P لا يعتمد على u في منطقة التشتت حيث   ${\displaystyle \|x\|\to \infty .}$ ثم تأخذ الطريقة الشكل التالي:

1. احسب طيف${\displaystyle L(0)}$، إعطاء${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \psi (0,x).}$
2. في منطقة التشتت حيث${\displaystyle P}$معروف، انشر${\displaystyle \psi }$في الوقت المناسب باستخدام${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)}$مع الشرط الابتدائي${\displaystyle \psi (0,x).}$
3. معرفة${\displaystyle \psi }$في منطقة التشتت، احسب${\displaystyle L(t)}$و/أو${\displaystyle u(t,x).}$

إذا كانت مصفوفة لاكس تعتمد تحليليًا أيضًا على مُعامل مُركب${\displaystyle z}$(كما هو الحال بالنسبة، على سبيل المثال، لـ sin-Gordon )، ويكون التشوه متساوي الطيف، فإن المعادلة $${\displaystyle \det {\big (}wI-L(z){\big )}=0,}$$ يُعرّف مجموعة فرعية تحليلية من${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$مع الإحداثيات${\displaystyle w,z,}$وهو منحنى، في ظل فرضيات مناسبة، غالبًا بعد إزالة النقاط الشاذة. وبفضل خاصية تساوي الطيف، يبقى هذا المنحنى محفوظًا عند الانتقال الزمني. ويُسمى هذا المنحنى بالمنحنى الطيفي ، غالبًا بعد إجراء عملية تكثيف مناسبة. عندما يكون اعتماد L على z جبريًا، يُسمى منحنى جبريًا . تظهر هذه المنحنيات في نظرية أنظمة هيتشين . ^{[ 2 ]}

تُوصَف معادلات الانحناء الصفري بزوج من الدوال ذات القيم المصفوفية${\displaystyle A_{x}(x,t),A_{t}(x,t),}$حيث تشير الرموز السفلية إلى مؤشرات الإحداثيات بدلاً من المشتقات. غالبًا ما${\displaystyle (x,t)}$يتم الاعتماد من خلال دالة قياسية واحدة${\displaystyle \varphi (x,t)}$ومشتقاتها. وتكون معادلة الانحناء الصفري هي $${\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0.}$$ يُطلق عليه هذا الاسم لأنه يتوافق مع تلاشي موتر الانحناء ، والذي في هذه الحالة هو$$$وهذا يختلف عن التعبير التقليدي ببعض علامات السالب، والتي لا أهمية لها في نهاية المطاف.

لإيجاد حل ذاتي لمؤثر لاكس${\displaystyle L}$، لدى المرء $${\displaystyle L\psi =\lambda \psi ,\psi _{t}+A\psi =0.}$$ إذا قمنا بدلاً من ذلك بفرض هذه الشروط، إلى جانب استقلال الوقت عن${\displaystyle \lambda }$بدلاً من ذلك، تنشأ معادلة لاكس كمعادلة اتساق لنظام محدد بشكل زائد.

ثنائي لاكس${\displaystyle (L,P)}$يمكن استخدامها لتحديد مكونات الاتصال${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$عندما تقبل معادلة تفاضلية جزئية تمثيلاً بانحناء صفري ولكن ليس تمثيلاً بمعادلة لاكس، فإن مكونات الاتصال${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$يُشار إليهما باسم الزوج المرن، والوصلة باسم وصلة مرنة.

معادلة كورتيويغ -دي فريس

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}}$

يمكن إعادة صياغتها كمعادلة لاكس

${\displaystyle L_{t}=[P,L]}$

مع

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}$( مؤثر ستورم-ليوفيل )،

${\displaystyle P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x},}$

حيث تؤثر جميع المشتقات على جميع العناصر الموجودة على اليمين. وهذا يفسر العدد اللانهائي من التكاملات الأولى لمعادلة KdV.

استخدم المثال السابق فضاء هيلبرت لانهائي الأبعاد. ويمكن أيضًا استخدام فضاءات هيلبرت محدودة الأبعاد في أمثلة أخرى، منها قمة كوفاليفسكايا وتعميمها ليشمل المجال الكهربائي.${\displaystyle {\vec {h}}}$[ ^{4 ]​}

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1}\\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}},\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3}+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

في تصور هايزنبرغ لميكانيكا الكم ، فإن الكمية القابلة للرصد A بدون اعتماد صريح على الزمن t تحقق ما يلي:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],}$

حيث H هو الهاميلتوني و ħ هو ثابت بلانك المختزل . وبصرف النظر عن عامل، يمكن ملاحظة أن الكميات القابلة للرصد (بدون اعتماد زمني صريح) في هذه الصورة تشكل أزواج لاكس مع الهاميلتوني. ثم تُفسَّر صورة شرودنغر على أنها التعبير البديل من حيث التطور الطيفي المتساوي لهذه الكميات القابلة للرصد.

ومن الأمثلة الأخرى لأنظمة المعادلات التي يمكن صياغتها كزوج لاكس ما يلي:

• معادلة بنجامين-أونو
• معادلة شرودنغر غير الخطية المكعبة أحادية البعد
• نظام ديفي-ستيوارتسون
• أنظمة قابلة للتكامل مع أزواج لاكس المتصلة ^{[ 5 ]}
• معادلة كادومتسيف-بيتفياشفيلي
• معادلة كورتيغ-دي فريس
• التسلسل الهرمي لـ KdV
• معادلة مارشينكو
• معادلة Korteweg-de Vries المعدلة
• معادلة ساين-غوردون
• شبكة تودا
• لاغرانج، وأويلر، وكوفاليفسكايا في الصدارة
• تحويل بيلينسكي-زاخاروف في النسبية العامة.

الأمر الأخير جدير بالملاحظة، لأنه يشير إلى أنه يمكن فهم كل من مقياس شوارزشيلد ومقياس كير على أنهما سوليتونات.