حساب ريتشي

يُميز حساب ريتشي، ورموز المؤشرات بشكل عام، بين المؤشرات السفلية (المؤشرات السفلية) والمؤشرات العلوية (المؤشرات العلوية)؛ وهذه الأخيرة ليست أسسًا، على الرغم من أنها قد تبدو كذلك للقارئ المطلع فقط على أجزاء أخرى من الرياضيات.

في الحالة الخاصة التي يكون فيها موتر القياس مساويًا لمصفوفة الوحدة في كل مكان، يمكن حذف التمييز بين المؤشرات العلوية والسفلية، وعندها يمكن كتابة جميع المؤشرات في الموضع السفلي. صيغ الإحداثيات في الجبر الخطي مثل${\displaystyle a_{ij}b_{jk}}$قد يكون ضرب المصفوفات مثالاً على ذلك. ولكن بشكل عام، ينبغي الحفاظ على التمييز بين المؤشرات العليا والسفلى.

يلخص هذا الجدول كيفية توافق معالجة المؤشرات المتغيرة والمتغيرة عكسيًا مع الثبات تحت تحويل سلبي بين القواعد، حيث تنعكس مكونات كل مجموعة أساسية بدلالة الأخرى في العمود الأول. تشير المؤشرات المشطوبة إلى نظام الإحداثيات النهائي بعد التحويل. ^{[ 12 ]}

يتم استخدام دلتا كرونكر ، انظر أيضًا أدناه .

	تحويل الأساس	تحويل المكونات	الثبات
المتجه المحمل، المتجه المتغير، الشكل التفاضلي من الدرجة الأولى	${\displaystyle \omega ^{\bar {\alpha }}=L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma} {}_{\bar {\alpha }}}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}\omega ^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }\omega ^{\beta }=a_{\beta }\omega ^{\beta }}$
المتجه، المتجه المتغاير	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }}$	${\displaystyle u^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }}$	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}u^{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }u^{\gamma }}$

تُسمى المؤشرات غير المستخدمة في عمليات الانكماش بالمؤشرات الحرة . أما المؤشرات المستخدمة في عمليات الانكماش فتُسمى بالمؤشرات الوهمية أو مؤشرات الجمع .

مكونات الموترات (مثل A ^α و B _β ^γ وما إلى ذلك) هي أعداد حقيقية. ولأن المؤشرات تأخذ قيمًا صحيحة مختلفة لاختيار مكونات محددة من الموترات، فإن معادلة موترية واحدة تمثل العديد من المعادلات العادية. إذا كان لمعادلة موترية n مؤشرًا حرًا، وكان بُعد فضاء المتجهات الأساسي m ، فإن المعادلة تمثل m^ ⁿ معادلة: يأخذ كل مؤشر قيمة من مجموعة محددة من القيم.

على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

إذا كان النظام رباعي الأبعاد (أي أن كل فهرس يتراوح من 0 إلى 3 أو من 1 إلى 4)، فبما أن هناك ثلاثة فهارس حرة ( α ، β ، δ )، فإن عدد المعادلات هو ⁶⁴ معادلة. ثلاث من هذه المعادلات هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

يوضح هذا مدى اختصار وكفاءة استخدام تدوين الفهرس: يمكن تجميع العديد من المعادلات التي تشترك جميعها في بنية مماثلة في معادلة موتر بسيطة واحدة.

لا يؤثر استبدال أي رمز فهرس بآخر على معادلة الموتر (شريطة عدم وجود تعارض مع الرموز المستخدمة مسبقًا). يُفيد هذا عند التعامل مع الفهارس، مثل استخدام ترميز الفهرس للتحقق من متطابقات حساب المتجهات أو متطابقات دلتا كرونكر ورمز ليفي-سيفيتا (انظر أدناه أيضًا). مثال على تغيير صحيح:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

أما التغيير الخاطئ فهو:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

في الاستبدال الأول، حلت λ محل α وحلت μ محل γ في كل مكان ، لذا لا يزال التعبير يحمل نفس المعنى. أما في الاستبدال الثاني، فلم تحل λ محل α بالكامل ، ولم تحل μ محل γ بالكامل (وبالمناسبة، أصبح الانكماش على مؤشر γ ناتج ضرب موتر)، وهو أمر غير متسق تمامًا للأسباب الموضحة لاحقًا.

تظهر المؤشرات الحرة في تعبير الموتر دائمًا في نفس الموضع (علوي أو سفلي) في جميع الحدود، وفي معادلة الموتر تكون المؤشرات الحرة متطابقة على كلا الجانبين. أما المؤشرات الوهمية (التي تعني الجمع على ذلك المؤشر) فلا يشترط أن تكون متطابقة، على سبيل المثال:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

أما بالنسبة للتعبير الخاطئ:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

بمعنى آخر، يجب أن تكون المؤشرات غير المتكررة من النوع نفسه في كل حد من حدود المعادلة. في المتطابقة أعلاه، تتطابق α و β و δ في جميع الحدود، ويظهر γ مرتين في حد واحد نتيجةً لانكماش (مرة كمؤشر علوي ومرة ​​كمؤشر سفلي)، وبالتالي فهي تعبير صحيح. أما في التعبير غير الصحيح، فبينما تتطابق β ، لا تتطابق α و δ ، ويظهر γ مرتين في حد واحد (انكماش) ​​ومرة ​​واحدة في حد آخر، وهو أمر غير متسق.

عند تطبيق قاعدة على عدد من المؤشرات (التفاضل، التناظر، إلخ، كما هو موضح لاحقًا)، فإن الأقواس أو رموز الترقيم التي تشير إلى القواعد لا تظهر إلا على مجموعة واحدة من المؤشرات التي تنطبق عليها.

إذا كانت الأقواس تحيط بمؤشرات متغايرة – فإن القاعدة تنطبق فقط على جميع المؤشرات المتغايرة الموجودة داخل الأقواس ، وليس على أي مؤشرات متغايرة عكسية يتم وضعها بشكل وسيط بين الأقواس.

وبالمثل، إذا كانت الأقواس تحيط بمؤشرات متغايرة - فإن القاعدة تنطبق فقط على جميع المؤشرات المتغايرة المحصورة ، وليس على المؤشرات المتغايرة الموضوعة بشكل وسيط.

تشير الأقواس (  ) حول مؤشرات متعددة إلى الجزء المتناظر من الموتر. عند تناظر p مؤشر باستخدام σ للتنقل بين تباديل الأعداد من 1 إلى p ، يتم حساب مجموع تباديل تلك المؤشرات α _{σ ( i )} لـ i = 1, 2, 3, ..., p ، ثم يُقسم الناتج على عدد التباديل.

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

على سبيل المثال، يعني وجود مؤشرين متناظرين وجود مؤشرين للتبديل والجمع عليهما:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

أما بالنسبة لثلاثة مؤشرات متناظرة، فهناك ثلاثة مؤشرات يجب جمعها وتبديلها:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

التناظر هو توزيعي على الجمع؛

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

لا تُعتبر المؤشرات جزءًا من عملية التناظر عندما تكون:

• ليس على نفس المستوى، على سبيل المثال؛

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• داخل الأقواس وبين الخطوط العمودية (أي |⋅⋅⋅|)، مع تعديل المثال السابق؛

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

هنا يتم تماثل المؤشرين α و γ ، بينما لا يتم تماثل المؤشر β .

تشير الأقواس المربعة [  ] حول المؤشرات المتعددة إلى الجزء غير المتناظر من الموتر. بالنسبة لـ p مؤشرًا مضادًا للتناظر، يتم حساب مجموع تباديل تلك المؤشرات α _{σ ( i )} مضروبًا في إشارة التبديل sgn( σ ) ، ثم يُقسم الناتج على عدد التباديل.

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

حيث δ β 1 ⋅⋅⋅ β p α 1 ⋅⋅⋅ α p هي دلتا كرونكر المعممة من الدرجة 2 p ، مع القياس كما هو محدد أدناه.

على سبيل المثال، يشير مؤشران مضادان للتناظر إلى ما يلي:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

بينما تشير ثلاثة مؤشرات مضادة للتناظر إلى ما يلي:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

أما بالنسبة لمثال أكثر تحديدًا، إذا كان F يمثل موتر الكهرومغناطيسية ، فإن المعادلة

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

يمثل قانون جاوس للمغناطيسية وقانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي .

كما في السابق، فإن عملية التناظر العكسي هي عملية توزيعية على الجمع؛

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

كما هو الحال مع التناظر، فإن المؤشرات لا تكون متناظرة عكسياً عندما تكون:

• ليس على نفس المستوى، على سبيل المثال؛

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• داخل الأقواس المربعة وبين الخطوط العمودية (أي |⋅⋅⋅|)، مع تعديل المثال السابق؛

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

هنا تكون المؤشرات α و γ متناظرة عكسيًا، بينما لا تكون β كذلك.

يمكن كتابة أي موتر على أنه مجموع أجزائه المتناظرة وغير المتناظرة على مؤشرين:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

كما يتضح من جمع التعبيرات المذكورة أعلاه لـ A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} و A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . ولا ينطبق هذا على غير مؤشرين.

بينما تُعدّ معظم تعابير حساب ريتشي صالحةً لأي أساس، فإنّ التعابير التي تتضمن المشتقات الجزئية لمكونات الموترات بالنسبة للإحداثيات لا تنطبق إلا مع أساس إحداثي : وهو أساس يُعرَّف من خلال التفاضل بالنسبة للإحداثيات. يُرمز للإحداثيات عادةً بـ x ^μ ، ولكنها لا تُشكّل عمومًا مكونات متجه. في الزمكان المسطح ذي الإحداثيات الخطية، يمكن التعامل مع مجموعة من فروق الإحداثيات، Δ x ^μ ، كمتجه متغاير. مع نفس القيود المفروضة على الفضاء واختيار نظام الإحداثيات، تُعطي المشتقات الجزئية بالنسبة للإحداثيات نتيجةً متغايرةً فعليًا. بصرف النظر عن استخدامها في هذه الحالة الخاصة، فإنّ المشتقات الجزئية لمكونات الموترات لا تتحول عمومًا بشكل متغاير، ولكنها مفيدة في بناء تعابير متغايرة، وإن كانت لا تزال تعتمد على أساس إحداثي إذا استُخدمت المشتقات الجزئية صراحةً، كما هو الحال مع المشتقات المتغايرة والخارجية ومشتقات لي المذكورة أدناه.

للإشارة إلى التفاضل الجزئي لمكونات حقل الموتر بالنسبة لمتغير الإحداثيات x ^γ ، يتم وضع فاصلة قبل الفهرس السفلي الملحق لمتغير الإحداثيات.

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

يمكن تكرار هذا (بدون إضافة فواصل أخرى):

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

لا تتحول هذه المكونات بشكل متغاير، إلا إذا كان التعبير المراد تفاضله كمية قياسية. وتتميز هذه المشتقة بقاعدة الضرب ومشتقات الإحداثيات.

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

حيث δ هي دالة كرونكر دلتا .

لا يُعرَّف المشتق المتغير إلا إذا تم تعريف اتصال . بالنسبة لأي حقل موتر، تشير الفاصلة المنقوطة (  ؛ ) الموضوعة قبل فهرس سفلي (متغير) ملحق إلى التفاضل المتغير. تشمل البدائل الأقل شيوعًا للفاصلة المنقوطة الشرطة المائلة ( / ) ^{[ 15 ]} أو في الفضاء المنحني ثلاثي الأبعاد، خط عمودي واحد (  |  ) ^{[ 16 ] .}

المشتقة المتغيرة لدالة قياسية، ومتجه متغير عكسي، ومتجه متغير مشترك هي:

${\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta }}$

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha$ ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,}

حيث Γ ^α _γβ هي معاملات الاتصال.

بالنسبة لموتر عشوائي: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

يُستخدم رمز نابلا ذو الدليل السفلي ∇ _β كبديل لتمثيل المشتقة المتغيرة لأي موتر . في حالة حقل متجه A ^α : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.}$

يمكن التعبير عن الصيغة المتغيرة للمشتقة الاتجاهية لأي حقل موتر على طول متجه v ^γ على أنها انكماشها مع المشتقة المتغيرة، على سبيل المثال:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha$ ;\gamma }\,.}

تتحول مكونات هذا المشتق لحقل الموتر بشكل متغاير، وبالتالي تشكل حقل موتر آخر، على الرغم من أن التعبيرات الفرعية (المشتق الجزئي ومعاملات الاتصال) لا تتحول بشكل متغاير بشكل منفصل.

تتميز هذه المشتقة بقاعدة الضرب:

${\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots$ ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots  ;\epsilon }\,.}

المشتق الخارجي لحقل موتر من النوع (0, s ) ذي مركبات A _{α 1 ⋅⋅⋅ α s} (ويُسمى أيضًا الصيغة التفاضلية ) هو مشتق متغير تحت تحويلات الأساس. لا يعتمد على موتر متري أو اتصال، بل يتطلب فقط بنية مشعب قابل للتفاضل. في أساس إحداثي، يمكن التعبير عنه على أنه تناظر مضاد للمشتقات الجزئية لمركبات الموتر: ^{[ 3 ] : 232-233}

${\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.}$

لا تُعرَّف هذه المشتقة على أي حقل موتر ذي مؤشرات متغايرة أو غير متناظر تمامًا. وتتميز بقاعدة الضرب المتدرج.

مشتقة لي هي مشتقة أخرى متغيرة تحت تحويلات الأساس. ومثل المشتقة الخارجية، فهي لا تعتمد على موتر متري أو اتصال. يمكن التعبير عن مشتقة لي لحقل موتر من النوع ( r , s ) T على طول (تدفق) حقل متجه متغاير X ^ρ باستخدام أساس إحداثي كما في ^{[ 19 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

تتميز هذه المشتقة بقاعدة الضرب وحقيقة أن مشتقة لي لحقل متجه متغاير على طول نفسه تساوي صفرًا:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.}$

دالة كرونكر دلتا تشبه مصفوفة الوحدة عند ضربها وتقليصها:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}}$

المكونات δ ^α _β متماثلة في أي أساس وتشكل موترًا ثابتًا من النوع (1، 1) ، أي هوية الحزمة المماسية على تطبيق الهوية للمشعب الأساسي ، وبالتالي فإن أثره ثابت. [20] أثره ^{هو بُعد الفضاء} ؛ على سبيل المثال، في الزمكان رباعي الأبعاد ،

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

تُعدّ دالة كرونكر دلتا إحدى دوال كرونكر دلتا المعممة. ويمكن تعريف دالة كرونكر دلتا المعممة من الدرجة 2p بدلالة دالة كرونكر دلتا كما يلي (يتضمن التعريف الشائع مُضاعِفًا إضافيًا p ! على اليمين):

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},}$

ويعمل كمضاد للتناظر على مؤشرات p :

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

اتصال تقاربي يحتوي على موتر الالتواء T ^α _βγ :

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },}$

حيث يتم إعطاء γ ^α _{β γ} بواسطة مكونات قوس لي للأساس المحلي، والتي تتلاشى عندما يكون أساس إحداثيات.

بالنسبة لوصلة ليفي-تشيفيتا، يُعرَّف هذا الموتر بأنه يساوي صفرًا، وهو ما يعطي المعادلات في أساس الإحداثيات

${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.}$

إذا تم تعريف هذا الموتر على النحو التالي

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

إذن فهو مبدل المشتقة المتغيرة مع نفسها: ^{[ 21 ] [ 22 ]}

${\displaystyle A_{\nu$ ;\rho \sigma }-A_{\nu  ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}

بما أن الاتصال خالٍ من الالتواء، فهذا يعني أن موتر الالتواء يتلاشى.

يمكن تعميم ذلك للحصول على المبدل لمشتقين متغايرين لموتر عشوائي على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

والتي يشار إليها غالبًا باسم هويات ريتشي . ^{[ 23 ]}

يُستخدم موتر القياس g _αβ لخفض المؤشرات، وهو يُعطي طول أي منحنى فضائي.

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

حيث γ هي أي تمثيل سلس ورتيب تمامًا للمسار. كما أنها تعطي مدة أي منحنى زمني.

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

حيث γ هي أي تمثيل سلس ورتيب تمامًا للمسار. انظر أيضًا عنصر الخط .

المصفوفة العكسية g ^αβ لموتر القياس هي موتر مهم آخر، يستخدم لرفع المؤشرات:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$