الأساس القياسي

في الرياضيات ، الأساس القياسي (يسمى أيضًا الأساس الطبيعي أو الأساس القانوني ) لفضاء متجهي إحداثي (مثل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أو${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) هي مجموعة المتجهات التي تكون جميع مكوناتها أصفارًا، باستثناء مكون واحد يساوي 1. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، في حالة المستوى الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$تتكون القاعدة القياسية من أزواج ( س ، ص ) من الأعداد الحقيقية ، وتتكون من المتجهات. $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}$$ وبالمثل، الأساس القياسي للفضاء ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يتكون من متجهات $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$$ هنا، يشير المتجه e_{_x} إلى اتجاه المحور x ، ويشير المتجه e_{_y} إلى اتجاه المحور y ، ويشير المتجه e _{_z} إلى اتجاه المحور z . توجد عدة رموز شائعة لمتجهات الأساس القياسي، منها { e _{_x} , e_y , e _{_z} } ، و{ e _₁ , e _₂ , e₃ } ، و { i , j , k } ، و { x , y , z } . تُكتب هذه المتجهات أحيانًا بعلامة القبعة (#) للتأكيد على كونها متجهات وحدة ( متجهات وحدة قياسية ).

تُشكّل هذه المتجهات أساسًا بمعنى أنه يُمكن التعبير عن أي متجه آخر بشكل فريد كتركيبة خطية منها. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، يُمكن كتابة كل متجه v في الفضاء ثلاثي الأبعاد بشكل فريد على النحو التالي: $${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$$ القيم العددية v _x و v _y و v _z هي المكونات العددية للمتجه v .

في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، يتكون الأساس القياسي من n متجهات مميزة $${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}$$ حيث يشير e _i إلى المتجه الذي يحتوي على 1 في الإحداثي i و 0 في باقي الإحداثيات .

يمكن تعريف قواعد قياسية لفضاءات متجهة أخرى ، والتي يتضمن تعريفها معاملات ، مثل كثيرات الحدود والمصفوفات . في كلتا الحالتين، تتكون القاعدة القياسية من عناصر الفضاء التي تكون جميع معاملاتها صفرًا باستثناء معامل واحد، ويكون هذا المعامل غير الصفري واحدًا. بالنسبة لكثيرات الحدود، تتكون القاعدة القياسية من أحاديات الحدود ، وتُسمى عادةً قاعدة أحاديات الحدود . أما بالنسبة للمصفوفات _من الرتبة m _{× n} ، فتتكون القاعدة القياسية من مصفوفات m × n التي تحتوي على عنصر واحد غير صفري فقط، وهو 1. على سبيل المثال، تتكون القاعدة القياسية للمصفوفات 2×2 من 4 مصفوفات. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{11}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {e} _{12}&={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\\\mathbf {e} _ {21}&={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {e} _{22}&={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{محاذاة}}}$$

بحسب التعريف، فإن الأساس القياسي هو سلسلة من متجهات الوحدة المتعامدة . بعبارة أخرى، هو أساس مرتب ومتعامد .

مع ذلك، فإن الأساس المتعامد المرتب ليس بالضرورة أساسًا قياسيًا. على سبيل المثال، المتجهان اللذان يمثلان دورانًا بزاوية 30 درجة للأساس القياسي ثنائي الأبعاد الموصوف أعلاه، أي $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\\v_{2}&=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\end{aligned}}}$$ وهي أيضًا متجهات وحدة متعامدة، لكنها لا تتماشى مع محاور نظام الإحداثيات الديكارتية ، لذا فإن الأساس الذي يحتوي على هذه المتجهات لا يفي بتعريف الأساس القياسي.

يوجد أساس قياسي أيضًا لحلقة كثيرات الحدود في n غير المحددات على حقل ، وهي أحاديات الحدود .

جميع ما سبق هي حالات خاصة من العائلة المفهرسة$${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}}$$ حيث I أي مجموعة، و _δij هي دالة كرونكر دلتا ، وتساوي صفرًا عندما i ≠ j ، وتساوي 1 عندما i = j . هذه العائلة هي الأساس المتعارف عليه لوحدة R ( الوحدة الحرة ). $${\displaystyle R^{(I)}}$$ من بين جميع العائلات $${\displaystyle f=(f_{i})}$$ من I إلى حلقة R ، والتي تساوي صفرًا باستثناء عدد محدود من المؤشرات ، إذا فسرنا 1 على ^أنه 1 _R ، الوحدة في R. ^{[ 3} ]

أصبح وجود قواعد "قياسية" أخرى موضوعًا ذا أهمية في الهندسة الجبرية ، بدءًا من أعمال هودج عام 1943 حول غراسمانيان . وهو الآن جزء من نظرية التمثيل المعروفة بنظرية الأحاديات القياسية . وقد تم إثبات فكرة القاعدة القياسية في الجبر الشامل لجبر لي بواسطة نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت .

تُسمى قواعد غروبنر أحيانًا بالقواعد القياسية.

في الفيزياء ، يُشار أحيانًا إلى متجهات الأساس القياسية لفضاء إقليدي معين باسم متجهات محاور نظام الإحداثيات الديكارتية المقابل.

• الوحدات الكنسية
• أمثلة على فضاءات المتجهات §  فضاء الإحداثيات المعمم