جورج بيكوك

كان جورج بيكوك (9 أبريل 1791 - 8 نوفمبر 1858) عالم رياضيات إنجليزي ورجل دين أنجليكاني . أسس ما يُعرف باسم الجبر البريطاني للمنطق . ^{[ 1 ]}

وُلد بيكوك في 9 أبريل 1791 في ثورنتون هول ، دينتون، بالقرب من دارلينجتون ، مقاطعة دورهام. ^{[ 2 ]} كان والده، توماس بيكوك، كاهنًا في كنيسة إنجلترا ، وشغل منصب راعي أبرشية دينتون لمدة 50 عامًا، حيث كان يدير أيضًا مدرسة. في صغره، لم يُظهر بيكوك أي نبوغٍ مبكر. اشتهر بمغامراته الجريئة في التسلق أكثر من أي شغفٍ خاص بالدراسة. تلقى تعليمه الابتدائي على يد والده، ثم في مدرسة سيدبيرج ، ^{[ 3 ]} وفي سن السابعة عشرة، أُرسل إلى مدرسة ريتشموند تحت إشراف جيمس تيت ، خريج جامعة كامبريدج . في هذه المدرسة، برز بشكلٍ كبير في الأدب الكلاسيكي وفي الرياضيات الأساسية التي كانت مطلوبة آنذاك للالتحاق بجامعة كامبريدج. في عام 1809، أصبح طالبًا في كلية ترينيتي، كامبريدج . ^{[ 4 ]}

في عام 1813، حاز بيكوك على لقب ثاني أفضل متنافس ، وجائزة سميث الثانية ، وكان جون هيرشل هو المتنافس الأقدم . بعد ذلك بعامين، ترشح لزمالة في كليته وفاز بها فورًا، ويعود ذلك جزئيًا إلى معرفته الواسعة والدقيقة بالأدب الكلاسيكي. كانت الزمالة آنذاك تُقدّر بحوالي 200 جنيه إسترليني سنويًا، لمدة سبع سنوات بشرط ألا يتزوج الحاصل عليها خلالها، وقابلة للتجديد بعد انقضاء السنوات السبع بشرط أن يلتحق الحاصل عليها بالكهنوت، وهو ما فعله بيكوك في عام 1819. ^{[ 5 ]}

في العام التالي لحصوله على الزمالة، عُيّن بيكوك مُدرّسًا ومحاضرًا في كليته، وهو المنصب الذي شغله لسنوات عديدة. كان بيكوك، شأنه شأن العديد من الطلاب الآخرين من نفس مستواه، مُتأثرًا بشدة بضرورة إصلاح موقف كامبريدج الذي كان يتجاهل الترميز التفاضلي في حساب التفاضل والتكامل، وبينما كان لا يزال طالبًا جامعيًا، شكّل تحالفًا مع باباج وهيرشل لتبني تدابير لتحقيق ذلك. في عام 1812، أسسوا ما أسموه الجمعية التحليلية ، ^{[ 6 ]} والتي كان هدفها المعلن هو الدفاع عن مبدأ " اللامركزية " في القارة الأوروبية في مقابل مبدأ "اللامركزية " في الجامعة.

كانت أولى خطوات الجمعية التحليلية ترجمة كتاب لاكروا المختصر عن التفاضل والتكامل من الفرنسية ، ونُشر عام ١٨١٦. ^{[ ٧ ]} في ذلك الوقت، كانت اللغة الفرنسية تزخر بأفضل الكتب المرجعية وأعظم المؤلفات في الرياضيات. وأتبع بيكوك هذه الترجمة بمجلدٍ يضم مجموعةً وافيةً من الأمثلة التطبيقية للتفاضل والتكامل ، نُشر عام ١٨٢٠. ^{[ ٨ ]} حقق الكتابان مبيعاتٍ سريعة، وساهما بشكلٍ كبير في تحقيق أهداف الجمعية. في تلك الفترة، أصبح الطلاب المتفوقون في عامهم الأول ممتحنين في امتحان الرياضيات الثلاثي بعد ثلاث أو أربع سنوات. عُيّن بيكوك ممتحنًا عام ١٨١٧، ولم يُفوّت فرصة استغلال منصبه كأداةٍ فعّالةٍ لدعم الإصلاح. في أسئلته للامتحان، استُخدمت رموز التفاضل رسميًا لأول مرة في كامبريدج. لم يسلم هذا الابتكار من الانتقادات، لكنه كتب إلى صديق له على النحو التالي: ^{[ 9 ]}

أؤكد لكم أنني لن أتوقف عن بذل قصارى جهدي في سبيل الإصلاح، ولن أرفض أي منصب يزيد من قدرتي على تحقيقه. أكاد أجزم بترشيحي لمنصب رئيس الجامعة في العام الدراسي ١٨١٨-١٨١٩، وبصفتي ممتحنًا بحكم منصبي، فسأتبع في العام المقبل نهجًا أكثر حزمًا من ذي قبل، إذ أشعر أن الناس قد استعدوا للتغيير، وسيتمكنون حينها من اكتساب نظام أفضل من خلال نشر كتب تمهيدية مُحسّنة. لديّ نفوذ كبير كمحاضر، ولن أتجاهله. بالمثابرة الصامتة وحدها، يُمكننا أن نأمل في كبح جماح وحش التعصب المتشعب، وجعل الجامعة ترقى إلى مستوى دورها كأم حنونة للعلم والمعرفة.

تعطي هذه الجمل القليلة لمحة عن شخصية بيكوك: لقد كان مصلحًا متحمسًا، وحقق النجاح لقضية الجمعية التحليلية في غضون بضع سنوات.

من الإصلاحات الأخرى التي سعى إليها بيكوك تدريس الجبر . ففي عام ١٨٣٠، نشر كتابًا بعنوان "رسالة في الجبر" كان هدفه إرساء الجبر على أسس علمية سليمة، تتناسب مع التطور الذي شهده على يد علماء الرياضيات في أوروبا القارية. وللارتقاء بعلم الفلك، تأسست الجمعية الفلكية في لندن، وكان الإصلاحيون الثلاثة بيكوك وباباج وهيرشل من أبرز الداعمين لهذا المشروع. وكان بيكوك من أشد المتحمسين لإنشاء مرصد فلكي في كامبريدج، وأحد مؤسسي الجمعية الفلسفية في كامبريدج.

في عام ١٨٣١، عقدت الجمعية البريطانية لتقدم العلوم اجتماعها الأول في مدينة يورك العريقة . وكان من بين القرارات الأولى التي تم اتخاذها طلب تقارير دورية عن حالة وتقدم العلوم المختلفة، يُعدّها مختصون لإطلاع الاجتماعات السنوية، وكان أول تقرير يُدرج في القائمة هو تقرير عن تقدم العلوم الرياضية. وكان ويليام ويول نائبًا لرئيس الاجتماع، وقد كُلِّف باختيار مُعدّ التقرير. فسأل أولًا ويليام روان هاميلتون ، الذي رفض، ثم سأل بيكوك، الذي وافق. وكان بيكوك قد أعدّ تقريره للاجتماع الثالث للجمعية، الذي عُقد في كامبريدج عام ١٨٣٣، والذي تناول الجبر ، وعلم المثلثات ، وحساب الجيب.

في عام 1837، عُيّن بيكوك أستاذاً لعلم الفلك في جامعة كامبريدج. وكان من بين أهداف الإصلاح لوائح الجامعة؛ فعمل بجد على ذلك، وأصبح عضواً في لجنة شكلتها الحكومة لهذا الغرض.

تم انتخابه زميلاً في الجمعية الملكية في يناير 1818. ^{[ 10 ]}

في عام 1842، تم انتخاب بيكوك كعضو في الجمعية الفلسفية الأمريكية . ^{[ 11 ]}

رُسِّم بيكوك شماسًا في عام 1819، وكاهنًا في عام 1822، وعُيِّن قسيسًا لمدينة وايمسولد في ليسترشاير في عام 1826 (حتى عام 1835). ^{[ 12 ]}

في عام 1839، عُيّن عميدًا لكاتدرائية إيلي في كامبريدجشير، وهو المنصب الذي شغله لبقية حياته، أي نحو عشرين عامًا. وبالتعاون مع المهندس المعماري جورج جيلبرت سكوت ، قام بترميم شامل لمبنى الكاتدرائية، شمل تركيب السقف الخشبي. ^{[ 13 ]}

أثناء توليه هذا المنصب، ألف كتاباً مدرسياً في الجبر بعنوان " رسالة في الجبر " (1830). وفي وقت لاحق، صدرت طبعة ثانية في مجلدين، أحدهما بعنوان "الجبر الحسابي " (1842) والآخر بعنوان "في الجبر الرمزي وتطبيقاته في هندسة المواضع" (1845).

يُعدّ إسهام بيكوك الرئيسي في التحليل الرياضي محاولته وضع الجبر على أساس منطقي بحت. وقد أسس ما يُعرف بالجبر المنطقي البريطاني ، والذي انتمى إليه كلٌّ من غريغوري ، ودي مورغان ، وبول . وكان رده على ماسيريس وفريند أن علم الجبر يتألف من جزأين: الجبر الحسابي والجبر الرمزي ، وأنهما أخطأا في حصر هذا العلم في الجزء الحسابي. أما رؤيته للجبر الحسابي فهي كالتالي: "في الجبر الحسابي، نعتبر الرموز ممثلة للأعداد، والعمليات التي تخضع لها مُدرجة في نفس تعريفات الحساب العادي؛ الإشارات${\displaystyle +}$و${\displaystyle -}$تشير إلى عمليتي الجمع والطرح بمعناهما العادي فقط، وتُعتبر هاتان العمليتان مستحيلتين في جميع الحالات التي تمتلك فيها الرموز الخاضعة لهما قيمًا تجعلهما كذلك في حال استبدالها بأرقام رقمية؛ وبالتالي في تعابير مثل${\displaystyle a+b}$يجب أن نفترض${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$أن تكون كميات من نفس النوع؛ في حالات أخرى، مثل${\displaystyle ab}$، يجب أن نفترض${\displaystyle a}$أكبر من${\displaystyle b}$وبالتالي متجانسة معه؛ في المنتجات والنسب، مثل${\displaystyle ab}$و${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$يجب أن نفترض أن المضاعف والمقسوم عليه أعداد مجردة؛ يجب رفض جميع النتائج مهما كانت، بما في ذلك الكميات السالبة، التي لا يمكن استنتاجها بشكل صارم كاستنتاجات مشروعة من تعريفات العمليات المختلفة، باعتبارها مستحيلة أو غريبة عن العلم.

يمكن صياغة مبدأ بيكوك على النحو التالي: يرمز الرمز الأساسي في الجبر الحسابي إلى عدد رقمي ، أي عدد صحيح؛ ويجب أن يختزل كل تركيب من الرموز الأساسية إلى عدد رقمي، وإلا فإنه يكون مستحيلاً أو غريباً عن هذا العلم.${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$إذا كانت أرقامًا،${\displaystyle a+b}$هو دائمًا رقم؛ لكن${\displaystyle ab}$هو رقم فقط عندما${\displaystyle b}$أقل من${\displaystyle a}$ومرة أخرى، في ظل نفس الظروف،${\displaystyle ab}$هو دائمًا رقم، لكن${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$لا يُعتبر رقمًا إلا عندما${\displaystyle b}$هو قاسم دقيق لـ${\displaystyle a}$ومن هنا تنشأ المعضلة التالية: إما${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$يجب اعتبار هذا التعبير مستحيلاً بشكل عام، وإلا يجب توسيع معنى الرمز الأساسي للجبر ليشمل الكسور النسبية. إذا تم اختيار الخيار الأول، يصبح الجبر الحسابي مجرد ظل؛ وإذا تم اختيار الخيار الثاني، فلا يمكن تعريف عمليات الجبر على افتراض أن الرمز الأولي هو عدد صحيح. يحاول بيكوك الخروج من هذه المعضلة بافتراض أن الرمز المستخدم كمُضاعِف هو دائمًا عدد صحيح، ولكن الرمز الذي يحل محل المضروب قد يكون كسرًا. على سبيل المثال، في${\displaystyle ab}$،${\displaystyle a}$لا يمكن أن يشير إلا إلى عدد صحيح، ولكن${\displaystyle b}$قد يشير إلى كسر نسبي. الآن، لا يوجد مبدأ أكثر جوهرية في الجبر الحسابي من ذلك.${\displaystyle ab=ba}$؛ وهو ما سيكون غير شرعي وفقًا لمبدأ بيكوك.

يُعد روبرت ريكورد أحد أوائل الكتاب الإنجليز في علم الحساب ، وقد أهدى عمله إلى الملك إدوارد السادس .

والحقيقة هي أنه حتى في الحساب، يتم تعميم عمليتي الضرب والقسمة إلى عملية ضرب مشتركة؛ وتكمن الصعوبة في الانتقال من الفكرة الأصلية للضرب إلى الفكرة المعممة للموتر ، والتي تتضمن ضغط القيمة المطلقة بالإضافة إلى تمديدها.${\displaystyle m}$يدل على عدد صحيح؛ والخطوة التالية هي اكتساب فكرة مقلوبه .${\displaystyle m}$ليس كما${\displaystyle {\frac {1}{m}}}$ولكن ببساطة كما${\displaystyle /m}$. متى${\displaystyle m}$و${\displaystyle /n}$عند حساب الأعداد المركبة، نحصل على فكرة الكسر النسبي؛ لأنه بشكل عام${\displaystyle m/n}$لن يختزل إلى عدد ولا إلى مقلوب عدد.

لنفترض، مع ذلك، أننا نتجاوز هذا الاعتراض؛ كيف يضع بيكوك الأساس للجبر العام؟ يسميه الجبر الرمزي، وينتقل من الجبر الحسابي إلى الجبر الرمزي على النحو التالي: "يتبنى الجبر الرمزي قواعد الجبر الحسابي ولكنه يزيل قيودها تمامًا؛ وهكذا يختلف الطرح الرمزي عن العملية نفسها في الجبر الحسابي في كونه ممكنًا لجميع علاقات قيمة الرموز أو التعبيرات المستخدمة. جميع نتائج الجبر الحسابي التي تُستنتج بتطبيق قواعده، والتي تكون عامة في الشكل وإن كانت خاصة في القيمة، هي أيضًا نتائج للجبر الرمزي حيث تكون عامة في القيمة كما هي في الشكل؛ وهكذا يكون حاصل ضرب${\displaystyle a^{m}}$و${\displaystyle a^{n}}$وهو${\displaystyle a^{m+n}}$متى${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$الأعداد الصحيحة، وبالتالي فهي عامة في شكلها وإن كانت خاصة في قيمتها، سيكون حاصل ضربها كذلك عندما${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$تتسم هذه السلسلة بالعمومية في قيمتها وشكلها؛ وهي سلسلة لـ${\displaystyle (a+b)^{n}}$يتم تحديدها وفقًا لمبادئ الجبر الحسابي عندما${\displaystyle n}$يمكن تمثيل أي عدد صحيح، إذا عُرض في صورة عامة دون الإشارة إلى حد نهائي ، بنفس المبدأ في المتسلسلة المكافئة لـ${\displaystyle (a+b)^{n}}$متى${\displaystyle n}$"عامة في الشكل والقيمة على حد سواء." ^{[ 14 ]}

المبدأ الذي تم توضيحه هنا من خلال الأمثلة أطلق عليه بيكوك اسم " مبدأ ثبات الأشكال المتكافئة "، وفي الصفحة 59 من كتاب الجبر الرمزي تم توضيحه على النحو التالي: "أي شكل جبري متكافئ عندما تكون الرموز عامة في الشكل، ولكنها محددة في القيمة، سيكون متكافئًا أيضًا عندما تكون الرموز عامة في القيمة وكذلك في الشكل".

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$،${\displaystyle d}$تشير إلى أي أعداد صحيحة، ولكن مع مراعاة القيود التي${\displaystyle b}$أقل من${\displaystyle a}$، و${\displaystyle d}$أقل من${\displaystyle c}$ويمكن بعد ذلك إثبات ذلك حسابيًا.${\displaystyle (ab)(cd)=ac+bd-ad-bc}$ينص مبدأ بيكوك على أن الشكل الموجود على الجانب الأيسر مكافئ للشكل الموجود على الجانب الأيمن، ليس فقط عند إزالة القيود المذكورة المتعلقة بكونه أصغر، ولكن أيضًا عندما${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$،${\displaystyle d}$يرمز إلى الرمز الجبري الأكثر عمومية. وهذا يعني أن${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$،${\displaystyle d}$قد تكون كسورًا نسبية، أو جذورًا صماء، أو كميات تخيلية، أو حتى عوامل مثل${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$. لا يتم إثبات التكافؤ من خلال طبيعة الكمية المشار إليها؛ يُفترض أن التكافؤ صحيح، ثم تتم محاولة إيجاد التفسيرات المختلفة التي يمكن وضعها على الرمز.

ليس من الصعب إدراك أن المشكلة التي أمامنا تنطوي على المشكلة الأساسية للمنطق العقلاني أو نظرية المعرفة؛ أي كيف يمكننا الارتقاء من الحقائق الجزئية إلى الحقائق الأكثر عمومية؟${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$،${\displaystyle d}$تشير إلى الأعداد الصحيحة، منها${\displaystyle b}$أقل من${\displaystyle a}$و${\displaystyle d}$أقل من${\displaystyle c}$، ثم${\displaystyle (ab)(cd)=ac+bd-ad-bc}$.

يتضح أولًا أنه يمكن إزالة القيود المذكورة أعلاه، ومع ذلك تظل المعادلة المذكورة أعلاه صحيحة. لكن المقدمة لا تزال ضيقة للغاية؛ تكمن المشكلة العلمية الحقيقية في تحديد معنى الرموز، أيها فقط، الذي يسمح بتساوي الأشكال. ليس الهدف إيجاد "بعض المعاني"، بل "المعنى الأكثر عمومية"، الذي يسمح بصحة التكافؤ. دعونا ندرس بعض الحالات الأخرى؛ سنجد أن مبدأ بيكوك ليس حلًا للمشكلة؛ لا يمكن اختزال عملية التعميم المنطقية العظيمة إلى أي إجراء سهل وعشوائي كهذا. عندما${\displaystyle a}$،${\displaystyle m}$،${\displaystyle n}$إذا رمزنا للأعداد الصحيحة، فيمكن إثبات أن${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}$.

بحسب بيكوك، يجب أن يكون الشكل الموجود على اليسار مساوياً دائماً للشكل الموجود على اليمين، ومعاني${\displaystyle a}$،${\displaystyle m}$،${\displaystyle n}$يتم التوصل إليها عن طريق التفسير. لنفترض أن${\displaystyle a}$يأخذ شكل الكمية غير المتناسبة${\displaystyle e}$، أساس النظام الطبيعي للوغاريتمات . العدد هو شكل مبسط لكمية مركبة${\displaystyle p+q^{\sqrt {-1}}}$والكمية المركبة هي شكل متدهور من الرباعية ؛ وبالتالي فإن أحد المعاني التي يمكن إسنادها إلى${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$وهو مبدأ الكواترنيون. سيقودنا مبدأ بيكوك إلى افتراض أن${\displaystyle e^{m}e^{n}=e^{m+n}}$،${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$تشير إلى الأعداد الرباعية؛ لكن هذا تحديدًا ما ينكره ويليام روان هاميلتون ، مخترع تعميم الأعداد الرباعية. هناك أسباب تدعو للاعتقاد بأنه كان مخطئًا، وأن الصيغ تظل متكافئة حتى في ظل هذا التعميم المتطرف لـ${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$لكن بيت القصيد هو: أن المسألة لا تتعلق بالتعريف التقليدي والحقيقة الشكلية، بل بالتعريف الموضوعي والحقيقة الواقعية. لنفترض أن للرموز المعنى المحدد، فهل لا يزال التكافؤ قائماً أم لا؟ وإذا لم يكن قائماً، فما هو الشكل الأعلى أو الأكثر تعقيداً الذي يتخذه التكافؤ؟ أم هل يوجد أصلاً شكل كهذا للتكافؤ؟

سياسياً، كان جورج بيكوك من حزب الأحرار (الويغ) . ^{[ 15 ]} تزوج من فرانسيس إليزابيث، ابنة ويليام سيلوين . لم يرزقا بأطفال.

كان آخر عمل علني له حضور اجتماع لجنة إصلاح الجامعة. توفي في إيلي في 8 نوفمبر 1858، عن عمر يناهز 68 عامًا، ودُفن في مقبرة إيلي.

• رسالة في الجبر (ج. وج.ج. دايتون، 1830).
• رسالة في الجبر (الطبعة الثانية، سكريبت ماثيماتيكا، 1842-1845).
  • المجلد 1: الجبر الحسابي (1842).
  • المجلد 2: في الجبر الرمزي وتطبيقاته على هندسة الموضع (1845)
• حياة توماس يونغ : طبيب، زميل الجمعية الملكية، إلخ؛ وواحد من ثمانية أعضاء أجانب في المعهد الوطني الفرنسي (جون موراي، 1855).

• ماكفارلين، ألكسندر (2009) [1916]. محاضرات عن عشرة رياضيين بريطانيين من القرن التاسع عشر . دراسات رياضية. المجلد  17. مكتبة جامعة كورنيل. ISBN 978-1-112-28306-2.( النص الكامل مؤرشف بتاريخ 29 يوليو 2017 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine ) التابع لمشروع غوتنبرغ )

• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "جورج بيكوك" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز