الجبر المتناظر

في الرياضيات ، يُعرف الجبر المتناظر S ( V ) (ويُرمز له أيضًا بـ Sym( V )) على فضاء متجهي V فوق حقل K بأنه جبر تبديلي فوق K يحتوي على V ، وهو، بمعنى ما، جبر أدنى لهذه الخاصية. هنا، تعني كلمة "أدنى" أن S ( V ) يحقق الخاصية العامة التالية : لكل دالة خطية f من V إلى جبر تبديلي A ، يوجد تشاكل جبري وحيد g  : S ( V ) → A بحيث f = g ∘ i ، حيث i هي دالة تضمين V في S ( V ) .

إذا كانت B أساسًا للفضاء V ، فيمكن تحديد الجبر المتناظر S ( V ) ، من خلال تماثل قانوني ، مع حلقة كثيرات الحدود K [ B ] ، حيث تُعتبر عناصر B غير محددة. لذلك، يمكن اعتبار الجبر المتناظر على V حلقة كثيرات حدود " خالية من الإحداثيات" على V.

يمكن بناء الجبر المتناظر S ( V ) كحاصل قسمة الجبر الموتري T ( V ) بواسطة المثالي ذي الجانبين الناتج عن العناصر من الشكل x ⊗ y − y ⊗ x .

تمتد جميع هذه التعريفات والخصائص بشكل طبيعي إلى الحالة التي يكون فيها V عبارة عن وحدة نمطية (ليس بالضرورة وحدة نمطية حرة) على حلقة تبديلية .

الجبر المتناظر هو جبر متدرج . أي أنه مجموع مباشر

${\displaystyle S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),}$

أين${\displaystyle S^{n}(V),}$يُطلق عليه اسم القوة المتناظرة النونية لـ V ، وهو الفضاء المتجهي الجزئي أو الوحدة الفرعية المتولدة من حاصل ضرب n عنصر من V. (القوة المتناظرة الثانية)${\displaystyle S^{2}(V)}$يُطلق عليه أحيانًا اسم المربع المتناظر لـ V ).

يمكن إثبات ذلك بوسائل مختلفة. إحداها تتبع من بناء جبر الموترات: بما أن جبر الموترات متدرج، والجبر المتناظر هو خارج قسمته على مثالي متجانس : المثالي المتولد بواسطة جميع${\displaystyle x\otimes yy\otimes x,}$حيث x و y ينتميان إلى V ، أي متجانسان من الدرجة الأولى.

في حالة الفضاء المتجهي أو الوحدة الحرة، يكون التدرج هو تدرج كثيرات الحدود بالنسبة للدرجة الكلية . يمكن كتابة الوحدة غير الحرة على الصورة L / M ، حيث L وحدة حرة ذات أساس B ؛ وجبرها المتناظر هو خارج قسمة الجبر المتناظر (المتدرج) لـ L (حلقة كثيرات الحدود) على المثالي المتجانس الناتج عن عناصر M ، وهي عناصر متجانسة من الدرجة الأولى.

يمكن للمرء أيضًا أن يُعرّف${\displaystyle S^{n}(V)}$كحل للمسألة العامة للدوال المتناظرة الخطية من الرتبة n من V إلى فضاء متجهي أو وحدة نمطية، ثم التحقق من أن المجموع المباشر لجميع${\displaystyle S^{n}(V)}$يحل المشكلة العامة للجبر المتناظر.

بما أن الجبر المتناظر لفضاء متجهي هو خارج قسمة جبر الموترات، فإن عنصرًا من عناصر الجبر المتناظر ليس موترًا، وبالتحديد ليس موترًا متناظرًا . ومع ذلك، ترتبط الموترات المتناظرة ارتباطًا وثيقًا بالجبر المتناظر.

الموتر المتناظر من الدرجة n هو عنصر من T n ( V ) يكون ثابتًا تحت تأثير المجموعة المتناظرة${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}$وبعبارة أدق، بالنظر إلى${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {S}}_{n},}$التحول${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}}$يُعرّف تحويلاً خطياً داخلياً لـ T n ( V ) . الموتر المتناظر هو موتر ثابت تحت جميع هذه التحويلات الداخلية. تُشكّل الموترات المتناظرة من الدرجة n فضاءً متجهياً جزئياً (أو وحدة نمطية) Sym n ( V ) ⊂ T n  ( V ) . الموترات المتناظرة هي عناصر المجموع المباشر.${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),}$وهو فضاء متجهي متدرج (أو وحدة متدرجة ). وهو ليس جبرًا، لأن حاصل الضرب الموتري لموترين متناظرين ليس متناظرًا بشكل عام.

يترك${\displaystyle \pi _{n}}$ليكن تقييد Sym ⁿ ( V ) للإسقاط الكنسي الشامل${\displaystyle T^{n}(V)\إلى S^{n}(V).}$إذا كان n ! قابلاً للعكس في المجال الأرضي (أو الحلقة)، فإن${\displaystyle \pi _{n}}$هو تماثل . هذا هو الحال دائمًا مع حقل أساسي ذي خاصية صفرية. التماثل العكسي هو التطبيق الخطي المعرف (على جداءات n متجهات) بواسطة التناظر

${\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}.}$

الخريطة${\displaystyle \pi _{n}}$لا تكون الدالة أحادية إذا كانت الخاصية أقل من n + 1؛ على سبيل المثال${\displaystyle \pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy}$يساوي صفرًا في الخاصية الثانية. على حلقة ذات خاصية صفرية،${\displaystyle \pi _{n}}$قد تكون غير شاملة؛ على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الصحيحة، إذا كان x و y عنصرين مستقلين خطيًا من V = S ¹ ( V ) وليسا في 2 V ، فإن${\displaystyle xy\not \in \pi _{n}(\operatorname {Sym} ^{2}(V)),}$منذ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x\otimes y+y\otimes x)\not \in \operatorname {Sym} ^{2}(V).}$

باختصار، في حقل ذي خاصية صفرية، تُشكّل الموترات المتناظرة والجبر المتناظر فضاءين متجهيين متدرجين متماثلين. وبالتالي، يمكن تحديدهما فيما يتعلق ببنية الفضاء المتجهي فقط، لكن لا يمكن تحديدهما بمجرد إدخال الضرب. علاوة على ذلك، لا يمتد هذا التماثل إلى حالات الحقول ذات الخاصية الموجبة والحلقات التي لا تحتوي على الأعداد النسبية .

بالنظر إلى وحدة نمطية V على حلقة تبديلية K ، يمكن تعريف الجبر المتناظر S ( V ) بالخاصية العامة التالية :

لكل تطبيق خطي من النوع K ، f، من V إلى جبر تبديلي من النوع K ، A ، يوجد تماثل جبر وحيد من النوع K${\displaystyle g:S(V)\to A}$بحيث${\displaystyle f=g\circ i,}$حيث i هو تضمين V في S ( V ) .

كما هو الحال مع كل خاصية شاملة، فبمجرد وجود حل، يُحدد هذا الحل الجبر المتناظر بشكل فريد، حتى التشاكل القانوني . ويترتب على ذلك أنه يمكن استنتاج جميع خصائص الجبر المتناظر من الخاصية الشاملة. يُخصص هذا القسم للخصائص الرئيسية التي تنتمي إلى نظرية الفئات .

الجبر المتناظر هو دالة من فئة الوحدات النمطية K إلى فئة الجبر التبادلي K ، لأن الخاصية الشاملة تعني أن كل تماثل نمطي${\displaystyle f:V\to W}$يمكن تمديدها بشكل فريد إلى تشاكل جبري${\displaystyle S(f):S(V)\to S(W).}$

يمكن إعادة صياغة الخاصية الشاملة بالقول إن الجبر المتناظر هو مساعد أيسر للدالة النسيانية التي ترسل جبرًا تبادليًا إلى وحدته الأساسية.

يمكن بناء الجبر المتناظر على فضاء أفيني بطريقة مماثلة . والفرق الرئيسي هو أن الجبر المتناظر للفضاء الأفيني ليس جبرًا متدرجًا، بل جبرًا مُرشَّحًا : إذ يمكن تحديد درجة متعددة الحدود على الفضاء الأفيني، ولكن ليس أجزائها المتجانسة.

على سبيل المثال، إذا أعطيت متعددة حدود خطية على فضاء متجهي، فيمكن للمرء تحديد الجزء الثابت منها عن طريق التقييم عند 0. أما في الفضاء الأفيني، فلا توجد نقطة مميزة، لذلك لا يمكن للمرء القيام بذلك (اختيار نقطة يحول الفضاء الأفيني إلى فضاء متجهي).

تُعتبر الدوال S ^k دوالًا قابلة للمقارنة مع القوى الخارجية ؛ ومع ذلك، يزداد البُعد هنا مع k ؛ ويُعطى بواسطة

${\displaystyle \operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}}$

حيث n هو بُعد V. هذا المعامل ذو الحدين هو عدد أحاديات الحدود ذات n متغير من الدرجة k . في الواقع، يظهر الجبر المتناظر والجبر الخارجي كمكونات متماثلة النمط للتمثيل التافه وتمثيل الإشارة لفعل${\displaystyle S_{n}}$التأثير على حاصل الضرب الموتري${\displaystyle V^{\otimes n}}$(على سبيل المثال، على الحقل المركب)

يمكن إعطاء الجبر المتناظر بنية جبر هوبف . انظر جبر الموترات لمزيد من التفاصيل.

الجبر المتناظر S ( V ) هو الجبر الشامل الشامل لجبر لي أبيلي ، أي الجبر الذي يكون فيه قوس لي هو 0 بشكل مطابق.

• الجبر الخارجي ، وهو نظير الجبر المتناوب
• الجبر المتناظر المتدرج ، وهو تعميم شائع للجبر المتناظر والجبر الخارجي
• جبر فايل ، وهو تشويه كمي للجبر المتناظر بواسطة شكل سيمبليكتيكي
• جبر كليفورد ، وهو تشويه كمي للجبر الخارجي بواسطة شكل تربيعي
• بناء الإسقاط §  إسقاط حزمة شبه متماسكة ، تطبيق للجبر المتناظر في الهندسة الجبرية

• بورباكي، نيكولاس (1989)، عناصر الرياضيات، الجبر 1 ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-64243-9