شبه منحرف مماس

في الهندسة الإقليدية ، يُعرف شبه المنحرف المماسي ، أو شبه المنحرف المحيط ، بأنه شبه منحرف جميع أضلاعه الأربعة مماسة لدائرة داخله تُسمى الدائرة الداخلية أو الدائرة المُحاطة . وهو حالة خاصة من الشكل الرباعي المماسي الذي يكون فيه ضلعان متقابلان على الأقل متوازيين . وكما هو الحال في أشباه المنحرفات الأخرى، يُطلق على الضلعين المتوازيين اسم القاعدتين ، وعلى الضلعين الآخرين اسم الساقين . قد يكون الساقان متساويين (انظر شبه المنحرف المماسي متساوي الساقين أدناه)، ولكن ليس بالضرورة.

من أمثلة الأشكال شبه المنحرفة المماسية المعينات والمربعات .

إذا كانت الدائرة الداخلية مماسة للضلعين AB و CD عند النقطتين W و Y على التوالي، فإن الشكل الرباعي المماسي ABCD يكون أيضًا شبه منحرف ذي ضلعين متوازيين AB و CD إذا وفقط إذا ^{[ 1 ] : نظرية 2}

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {DY}}={\overline {BW}}\cdot {\overline {CY}}}$

ويكون AD و BC ضلعين متوازيين في شبه منحرف إذا وفقط إذا

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {BW}}={\overline {CY}}\cdot {\overline {DY}}.}$

يمكن تبسيط صيغة مساحة شبه المنحرف باستخدام نظرية بيتو للحصول على صيغة مساحة شبه منحرف مماس. إذا كان طول قاعدتيه a و b ، وطول أي من الضلعين الآخرين c ، فإن المساحة K تُعطى بالصيغة ^{[ 2 ]} (لا يمكن استخدام هذه الصيغة إلا في حالة توازي القاعدتين).

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {ab(ac)(cb)}}.}$

يمكن التعبير عن المساحة بدلالة أطوال المماس e و f و g و h كما في ^{[ 3 ] : ص 129}

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

باستخدام نفس الرموز المستخدمة للمساحة، يكون نصف القطر في الدائرة الداخلية هو ^{[ 2 ]}

${\displaystyle r={\frac {K}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(ac)(cb)}}{|ba|}}.}$

قطر الدائرة الداخلية يساوي ارتفاع شبه المنحرف المماسي .

يمكن أيضًا التعبير عن نصف القطر الداخلي بدلالة أطوال المماس كما يلي ^{[ 3 ] : ص 129}

${\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}.}$

علاوة على ذلك، إذا كانت أطوال المماس e و f و g و h تنبثق على التوالي من الرؤوس A و B و C و D و AB موازية لـ DC ، فإن ^{[ 1 ]}

${\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.}$

إذا كانت الدائرة الداخلية مماسية للقاعدتين عند النقطتين P و Q ، فإن النقاط P و I و Q تقع على خط مستقيم واحد ، حيث I هي مركز الدائرة الداخلية. ^{[ 4 ]}

الزوايا ∠ AID و ∠ BIC في شبه المنحرف المماسي ABCD ، بقاعدتين AB و DC ، هي زوايا قائمة . ^{[ 4 ]}

يقع مركز الدائرة الداخلية على الخط المتوسط ​​(ويسمى أيضًا القطعة الوسطى؛ أي القطعة التي تربط منتصفات الساقين). ^{[ 4 ]}

يُساوي متوسط ​​(القطعة الوسطى) شبه المنحرف المماسي ربع محيط شبه المنحرف. كما يُساوي نصف مجموع قاعدتيه، كما هو الحال في جميع أشباه المنحرفات .

إذا رُسمت دائرتان، قطر كل منهما يتطابق مع ساقي شبه منحرف مماس، فإن هاتين الدائرتين تكونان مماستين لبعضهما البعض. ^{[ 5 ]}

شبه المنحرف المماسي القائم هو شبه منحرف مماسي تكون فيه زاويتان متجاورتان قائمتين . إذا كان طول قاعدتيه a و b ، فإن نصف قطر الدائرة الداخلية هو ^{[ 6 ].}

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}.}$

وبالتالي فإن قطر الدائرة الداخلية هو المتوسط ​​التوافقي للقاعدتين.

مساحة شبه المنحرف المماسي الأيمن هي ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \displaystyle K=ab}$

ومحيطها P هو ^{[ 6 ]}​

${\displaystyle \displaystyle P=2(a+b).}$

شبه المنحرف المماسي متساوي الساقين هو شبه منحرف مماس تكون فيه ساقاه متساويتين. ولأن شبه المنحرف متساوي الساقين دائري ، فإن شبه المنحرف المماسي متساوي الساقين هو شكل رباعي ثنائي المركز . أي أنه يحتوي على دائرة داخلية ودائرة خارجية .

إذا كانت القواعد هي a و b ، فإن نصف القطر الداخلي يُعطى بواسطة ^{[ 7 ]}

${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}.}$

كان اشتقاق هذه الصيغة مسألة بسيطة من مسائل سانغاكو اليابانية . من نظرية بيتو، يتبين أن طولَي ساقي الشكل يساوي نصف مجموع طولَي قاعدتيه. وبما أن قطر الدائرة الداخلية يساوي الجذر التربيعي لحاصل ضرب القاعدتين، فإن شبه المنحرف المماس متساوي الساقين يُعطي تفسيرًا هندسيًا مناسبًا للمتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي للقاعدتين باعتبارهما طول ساق وقطر الدائرة الداخلية على التوالي.

المساحة K لشبه منحرف متساوي الساقين مماس له قاعدتان a و b معطاة بواسطة ^{[ 8 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b).}$