مقاومة الهواء (الفيزياء)

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 73 صور
الموسوعة الحرة

السحب هو المكون الموازي لاتجاه التدفق، والرفع هو المكون من القوة الديناميكية الهوائية العمودي على اتجاه التدفق.

في ديناميكا الموائع ، تُعرف قوة السحب ، التي تُسمى أحيانًا مقاومة المائع ، وتُعرف أيضًا بالقوة اللزجة ، بأنها قوة تعمل في عكس اتجاه حركة أي جسم يتحرك بالنسبة للمائع المحيط به . [ 1 ] يمكن أن توجد هذه القوة بين طبقتين من المائع، أو بين مائع وسطح صلب. تميل قوى السحب إلى تقليل سرعة المائع بالنسبة للجسم الصلب الموجود في مساره.

على عكس قوى المقاومة الأخرى، تعتمد قوة السحب على السرعة. [ 2 ] [ 3 ] تتناسب قوة السحب طرديًا مع السرعة النسبية في التدفقات منخفضة السرعة، وتتناسب طرديًا مع مربع السرعة في التدفقات عالية السرعة. ويُقاس هذا التمييز بين التدفقات منخفضة وعالية السرعة برقم رينولدز .

أمثلة

من أمثلة السحب ما يلي:

  • القوة الديناميكية الهوائية أو الهيدروديناميكية الصافية : السحب الذي يعمل في الاتجاه المعاكس لحركة جسم صلب مثل السيارات والطائرات [ 3 ] وهياكل القوارب.
  • مقاومة اللزوجة للسائل في أنبوب : تحد قوة السحب المؤثرة على الأنبوب الثابت من سرعة السائل داخله. [ 4 ] [ 5 ]
  • في فيزياء الرياضة، تُعدّ قوة السحب ضرورية لتفسير حركة الكرات والرماح والسهام وأقراص الفريسبي، وأداء العدائين والسباحين. [ 6 ] بالنسبة للعداء السريع، قد يتطلب التغلب على السحب 5% من طاقته المبذولة. [ 7 ]

الأنواع

توجد أنواع عديدة ومختلفة من مقاومة الهواء الناتجة عن تفاعلات فيزيائية متنوعة بين الجسم والسائل. ويُعدّ نوعان من مقاومة الهواء مهمين لجميع الأجسام:

  • مقاومة الشكل ، التي تنتج عن الضغط الواقع على الجسم أثناء تدفق السائل حوله. وتتحدد مقاومة الشكل بشكل ومساحة المقطع العرضي للجسم.
  • مقاومة الاحتكاك السطحي (أو المقاومة اللزجة)، والتي تنتج عن الاحتكاك بين السائل وسطح الجسم. قد يكون السطح هو السطح الخارجي للجسم، مثل هيكل قارب، أو السطح الداخلي للجسم، مثل تجويف أنبوب.

هناك نوعان منها ذوا صلة أساسية بالطائرات:

تؤثر مقاومة الأمواج على المركبات المائية:

أخيرًا، يُستخدم مصطلح "السحب الطفيلي" بكثرة في الديناميكا الهوائية. السحب الطفيلي هو مجموع السحب الناتج عن شكل الطائرة والسحب الناتج عن احتكاك سطحها، وهو سلبي تمامًا بالنسبة للطائرة، على عكس السحب الناتج عن الرفع والذي ينتج عن توليد الرفع.

مقارنة بين مقاومة الشكل والاحتكاك السطحي

الشكل والتدفقسحب النموذجاحتكاك الجلد
≈0%≈100%
≈10%≈90%
≈90%≈10%
≈100%≈0%

يوضح الجدول على اليمين تأثير الانسيابية على النسب النسبية للاحتكاك السطحي ومقاومة الشكل لجناح طائرة (جسم انسيابي) وأسطوانة (جسم غير انسيابي). كما يوضح الجدول صفيحة مسطحة في وضعيتين مختلفتين، مبينًا تأثير الوضعية على النسب النسبية للاحتكاك السطحي ومقاومة الشكل، وموضحًا فرق الضغط بين الأمام والخلف.

يُعرف الجسم بأنه غير انسيابي أو غير حاد عندما تهيمن قوى الضغط على مصدر السحب، وانسيابي إذا كانت قوى اللزوجة هي المهيمنة على السحب. على سبيل المثال، تُعد المركبات البرية أجسامًا غير انسيابية. [ 9 ] بالنسبة للطائرات، يُدرج كل من سحب الضغط والاحتكاك ضمن تعريف السحب الطفيلي . غالبًا ما يُعبّر عن السحب الطفيلي بصورة افتراضية.

السحب الناتج عن الرفع

يُعرف السحب الناتج عن الرفع (أو السحب المستحث ) بأنه السحب الذي ينشأ نتيجةً لتوليد قوة رفع على جسم ثلاثي الأبعاد ، مثل جناح أو مروحة طائرة. ويتكون السحب المستحث أساسًا من عنصرين: السحب الناتج عن تكوّن الدوامات الخلفية ( سحب الدوامات )؛ ووجود سحب لزج إضافي ( السحب اللزج الناتج عن الرفع ) لا يوجد عندما تكون قوة الرفع معدومة. وتنشأ الدوامات الخلفية في مجال التدفق، الموجودة في أعقاب الجسم المرفوع، من الاختلاط المضطرب للهواء من أعلى الجسم وأسفله، والذي يتدفق في اتجاهات مختلفة قليلاً نتيجةً لتوليد قوة الرفع .

مع ثبات باقي المعايير، كلما زادت قوة الرفع المتولدة عن الجسم، زادت قوة السحب الناتجة عن الرفع. وهذا يعني أنه مع ازدياد زاوية هجوم الجناح (حتى حد أقصى يُسمى زاوية التوقف)، يزداد معامل الرفع ، وبالتالي تزداد قوة السحب الناتجة عن الرفع. عند بداية التوقف ، تنخفض قوة الرفع فجأة، وكذلك قوة السحب الناتجة عن الرفع، لكن قوة السحب الناتجة عن الضغط اللزج، وهي أحد مكونات قوة السحب الطفيلية، تزداد نتيجة لتكوّن تدفق مضطرب غير متصل في منطقة الاضطراب خلف الجسم.

السحب الطفيلي

المقاومة الطفيلية ، أو مقاومة الشكل، هي مجموع مقاومة الضغط اللزج ( مقاومة الشكل ) والمقاومة الناتجة عن خشونة السطح ( مقاومة الاحتكاك السطحي ). بالإضافة إلى ذلك، قد يؤدي وجود أجسام متعددة متقاربة نسبيًا إلى ما يُسمى بمقاومة التداخل ، والتي تُوصف أحيانًا بأنها أحد مكونات المقاومة الطفيلية. في مجال الطيران، غالبًا ما تُذكر المقاومة الطفيلية والمقاومة الناتجة عن الرفع بشكل منفصل.

بالنسبة للطائرات التي تحلق بسرعات منخفضة، يكون السحب المستحث أكبر نسبيًا من السحب الطفيلي، وذلك لأن الحفاظ على قوة الرفع يتطلب زاوية هجوم عالية ، مما يزيد من السحب المستحث. ومع ازدياد السرعة، تقل زاوية الهجوم ويقل السحب المستحث. أما السحب الطفيلي، فيزداد لأن تدفق المائع حول الأجسام البارزة يزداد، مما يزيد الاحتكاك أو السحب. وعند السرعات العالية ( فوق سرعة الصوت )، يظهر السحب الموجي . ويتغير كل نوع من أنواع السحب هذه تناسبًا مع الأنواع الأخرى تبعًا للسرعة. ولذلك، يُظهر منحنى السحب الكلي حدًا أدنى عند سرعة جوية معينة - حيث تكون الطائرة التي تحلق بهذه السرعة عند أو قريبة من كفاءتها المثلى. ويستخدم الطيارون هذه السرعة لزيادة مدة الطيران (تقليل استهلاك الوقود)، أو لزيادة مدى الانزلاق في حالة تعطل المحرك.

مساحة التطفل المكافئة هي المساحة التي يجب أن تشغلها صفيحة مسطحة عمودية على التدفق لتُعادل مقاومة التطفل للطائرة. وهي مقياس يُستخدم عند مقارنة مقاومة الطائرات المختلفة. على سبيل المثال، تبلغ مساحة التطفل المكافئة لطائرة دوغلاس دي سي-3 حوالي 2.20 متر مربع (23.7 قدم مربع )، بينما تبلغ مساحة التطفل المكافئة لطائرة ماكدونيل دوغلاس دي سي-9 ، التي شهدت تطورًا في تصميم الطائرات على مدى 30 عامًا، حوالي 1.91 متر مربع (20.6 قدم مربع )، على الرغم من أنها كانت تحمل خمسة أضعاف عدد الركاب. [ 10 ]    

معادلة السحب

معامل السحب C <sub>d</sub> للكرة كدالة لعدد رينولدز Re ، كما تم الحصول عليه من التجارب المخبرية. الخط الداكن يمثل الكرة ذات السطح الأملس، بينما يمثل الخط الفاتح حالة السطح الخشن.

تعتمد قوة السحب على خصائص السائل وعلى حجم الجسم وشكله وسرعته. إحدى طرق التعبير عن ذلك هي باستخدام معادلة السحب : Fد=12ρv2جدأ{\displaystyle F_{\mathrm {D} }\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{\mathrm {D} }\,A} أين

يعتمد معامل السحب على شكل الجسم وعلى رقم رينولدزRهـ=vدν=ρvدμ،{\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {vD}{\nu }}={\frac {\rho vD}{\mu }},} أين

  • د{\displaystyle D}هو قطر مميز أو بُعد خطي . في الواقع،د{\displaystyle D}القطر المكافئدهـ{\displaystyle D_{e}}بالنسبة للجسم. بالنسبة للكرة،دهـ{\displaystyle D_{e}}هو قطر الكرة نفسها.
  • بالنسبة لمقطع عرضي مستطيل الشكل في اتجاه الحركة،دهـ=1.30⋅(أ⋅ب)0.625(أ+ب)0.25{\displaystyle D_{e}=1.30\cdot {\frac {(a\cdot b)^{0.625}}{(a+b)^{0.25}}}}، حيث يمثل a و b حواف المستطيل.
  • ν{\displaystyle {\nu }}اللزوجة الحركية للسائل (تساوي اللزوجة الديناميكية)μ{\displaystyle {\mu }}مقسومًا على الكثافةρ{\displaystyle {\rho }}).

عند مستوى منخفضRهـ{\displaystyle \mathrm {Re} }،جد{\displaystyle C_{\rm {D}}}يتناسب تقاربياً معRهـ-1{\displaystyle \mathrm {Re} ^{-1}}وهذا يعني أن قوة السحب تتناسب طرديًا مع السرعة، أي أن قوة السحب المؤثرة على كرة صغيرة تتحرك عبر سائل لزج تُعطى بقانون ستوكس : Fد=3πμدv{\displaystyle F_{\rm {d}}=3\pi \mu Dv} في المرتفعاتRهـ{\displaystyle \mathrm {Re} }،جد{\displaystyle C_{\rm {D}}}تكون قيمة المقاومة ثابتة تقريبًا، لكنها تتغير بتغير مربع السرعة. يوضح الرسم البياني على اليمين كيفجد{\displaystyle C_{\rm {D}}}يختلف بـRهـ{\displaystyle \mathrm {Re} }بالنسبة لحالة الكرة. بما أن القدرة اللازمة للتغلب على قوة السحب هي حاصل ضرب القوة في السرعة، فإن القدرة اللازمة للتغلب على السحب ستتناسب مع مربع السرعة عند أرقام رينولدز المنخفضة، ومع مكعب السرعة عند الأرقام العالية.

يمكن إثبات أن قوة السحب يمكن التعبير عنها كدالة لعدد لا بُعدي، وهو مطابق بُعديًا لعدد بيجان . [ 12 ] وبالتالي، يمكن اعتبار قوة السحب ومعامل السحب دالتين لعدد بيجان. في الواقع، من تعبير قوة السحب، تم الحصول على ما يلي: Fد=Δصأw=12جدأوνμل2Rهـل2{\displaystyle F_{\rm {d}}=\Delta _{\rm {p}}A_{\rm {w}}={\frac {1}{2}}C_{\rm {D}}A_{\rm {f}}{\frac {\nu \mu }{l^{2}}}\mathrm {Re} _{L}^{2}} وبالتالي يسمح بالتعبير عن معامل السحبجد{\displaystyle C_{\rm {D}}}كدالة لرقم بيجان والنسبة بين المساحة الرطبةأw{\displaystyle A_{\rm {w}}}والمنطقة الأماميةأو{\displaystyle A_{\rm {f}}}[ 12 ]​جد=2أwأوبهـRهـل2{\displaystyle C_{\rm {D}}=2{\frac {A_{\rm {w}}}{A_{\rm {f}}}}{\frac {\mathrm {Be} }{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}} أينRهـل{\displaystyle \mathrm {Re} _{L}}هل يرتبط رقم رينولدز بطول مسار السائل L؟

بسرعة عالية

شرح لظاهرة السحب من قبل وكالة ناسا .

كما ذكرنا، فإن معادلة السحب بمعامل سحب ثابت تعطي القوة المتحركة عبر سائل بسرعة كبيرة نسبياً، أي رقم رينولدز عالي ، Re  >  ~1000. وهذا يسمى أيضاً السحب التربيعي .

Fد=12ρv2جدأ،{\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A,} يتم عرض اشتقاق هذه المعادلة في قسم اشتقاق معادلة السحب  .

غالبًا ما تكون المساحة المرجعية A هي الإسقاط المتعامد للجسم، أو المساحة الأمامية، على مستوى عمودي على اتجاه الحركة. بالنسبة للأجسام ذات الشكل البسيط، مثل الكرة، تكون هذه المساحة هي مساحة المقطع العرضي . أحيانًا يكون الجسم مُركبًا من أجزاء مختلفة، لكل منها مساحة مرجعية مختلفة (يجب تحديد معامل السحب المقابل لكل من هذه المساحات المختلفة).

في حالة الجناح ، تكون مساحات المرجعية متساوية، وتكون قوة السحب بنفس نسبة قوة الرفع . [ 13 ] لذلك، غالبًا ما تكون مساحة الرفع هي المرجع للجناح، والتي يُشار إليها أحيانًا باسم "مساحة الجناح" بدلاً من المساحة الأمامية. [ 14 ]

بالنسبة لجسم ذي سطح أملس ونقاط فصل غير ثابتة (مثل كرة أو أسطوانة دائرية)، قد يتغير معامل السحب بتغير عدد رينولدز Re ، ليصل إلى قيم عالية للغاية ( Re من رتبة 10⁷ ). [ 15 ] [ 16 ]

بالنسبة لجسم ذي نقاط فصل ثابتة ومحددة جيدًا، مثل قرص دائري يكون مستواه عموديًا على اتجاه التدفق، يكون معامل السحب ثابتًا لـ Re  >  3500. [ 16 ] كلما زاد معامل السحب C d ، بشكل عام، يكون دالة لاتجاه التدفق بالنسبة للجسم (باستثناء الأجسام المتناظرة مثل الكرة).

قوة

بافتراض أن السائل لا يتحرك بالنسبة لنظام الإسناد المستخدم حاليًا، فإن القدرة المطلوبة للتغلب على السحب الديناميكي الهوائي تُعطى بالمعادلة التالية: Pد=Fد⋅v=12ρv3أجد{\displaystyle P_{D}=\mathbf {F} _{D}\cdot \mathbf {v} ={\tfrac {1}{2}}\rho v^{3}AC_{D}} تزداد القدرة اللازمة لدفع جسم عبر سائل مع ازدياد مكعب السرعة. على سبيل المثال، قد تحتاج سيارة تسير على طريق سريع بسرعة 80 كم /ساعة (50 ميل/ساعة) إلى 7.5 كيلوواط (10 أحصنة ) فقط للتغلب على مقاومة الهواء، بينما تحتاج نفس السيارة بسرعة 160 كم /ساعة (100 ميل/ساعة) إلى 60 كيلوواط (80 حصانًا) . [ 17 ] ومع مضاعفة السرعة، تتضاعف قوة السحب أربع مرات وفقًا للمعادلة. إن بذل قوة أكبر بأربع مرات على مسافة ثابتة ينتج عنه شغل أكبر بأربع مرات. وعند مضاعفة السرعة، يُنجز الشغل (الناتج عن إزاحة على مسافة ثابتة) بسرعة مضاعفة. وبما أن القدرة هي معدل إنجاز الشغل، فإن إنجاز أربعة أضعاف الشغل في نصف الوقت يتطلب ثمانية أضعاف القدرة.       

عندما يتحرك السائل بالنسبة إلى نظام مرجعي، على سبيل المثال، سيارة تسير في مواجهة الرياح، فإن الطاقة المطلوبة للتغلب على السحب الديناميكي الهوائي تُعطى بالصيغة التالية: Pد=Fد⋅vo=12جدأρ(vw+vo)2vo{\displaystyle P_{D}=\mathbf {F} _{D}\cdot \mathbf {v_{o}} ={\tfrac {1}{2}}C_{D}A\rho (v_{w}+v_{o})^{2}v_{o}}

أينvw{\displaystyle v_{w}}سرعة الرياح وvo{\displaystyle v_{o}}هي سرعة الجسم (كلاهما بالنسبة للأرض).

سرعة جسم ساقط

يتسارع جسم ساقط عبر وسط لزج بسرعة نحو سرعته النهائية، ويقترب منها تدريجيًا كلما اقتربت سرعته من السرعة النهائية. ويؤثر نوع مقاومة الجسم، سواء كانت مضطربة أو انسيابية، على الشكل المميز للرسم البياني، حيث ينتج عن التدفق المضطرب تسارع ثابت لجزء أكبر من زمن التسارع.

السرعة كدالة للزمن لجسم يسقط عبر وسط غير كثيف، ويتم إطلاقه بسرعة نسبية صفرية v  =  0 عند الزمن t  =  0، تُعطى تقريبًا بواسطة دالة تتضمن الظل الزائدي (tanh): v(ت)=2مزρأجدtanh⁡(تزρجدأ2م).{\displaystyle v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{D}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho C_{D}A}{2m}}}\right).\,}

للدالة الظلية الزائدية قيمة حدية تساوي واحدًا، عند الزمن t الكبير . بعبارة أخرى، تقترب السرعة بشكل تقاربي من قيمة قصوى تسمى السرعة النهائية v t .vت=2مزρأجد.{\displaystyle v_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{D}}}}.\,}

بالنسبة لجسم يسقط ويُطلق بسرعة نسبية v  =  v i عند الزمن t  =  0، حيث v i < v t ، يتم تعريفها أيضًا بدلالة دالة الظل الزائدي: v(ت)=vتtanh⁡(تزvت+arctanh⁡(vأناvت)).{\displaystyle v(t)=v_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{v_{t}}}+\operatorname {arctanh} \left({\frac {v_{i}}{v_{t}}}\right)\right).\,}

بالنسبة لـ v i > v t ، يتم تعريف دالة السرعة بدلالة دالة الظل الزائدي : v(ت)=vتملابس⁡(تزvت+ملابس-1⁡(vأناvت)).{\displaystyle v(t)=v_{t}\coth \left(t{\frac {g}{v_{t}}}+\coth ^{-1}\left({\frac {v_{i}}{v_{t}}}\right)\right).\,}

للدالة الظل الزائدي قيمة حدية تساوي واحدًا، وذلك عند الزمن الكبير t . وتقترب السرعة بشكل مقارب من السرعة النهائية v t ، من الأعلى v t .

بالنسبة لـ v i = v t ، تكون السرعة ثابتة: v(ت)=vت.{\displaystyle v(t)=v_{t}.}

تُعرَّف هذه الدوال بحل المعادلة التفاضلية التالية : ز-ρأجد2مv2=دvدت.{\displaystyle g-{\frac {\rho AC_{D}}{2m}}v^{2}={\frac {dv}{dt}}.\,}

أو بشكل أكثر عمومية (حيث F ( v ) هي القوى المؤثرة على الجسم بالإضافة إلى قوة السحب): 1م∑F(v)-ρأجد2مv2=دvدت.{\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum F(v)-{\frac {\rho AC_{D}}{2m}}v^{2}={\frac {dv}{dt}}.\,}

بالنسبة لجسم على شكل حبة بطاطس بقطر متوسط ​​d وكثافة ρ obj ، فإن السرعة النهائية تبلغ حوالي vت=زدρoبجρ.{\displaystyle v_{t}={\sqrt {gd{\frac {\rho _{obj}}{\rho }}}}.\,}

بالنسبة للأجسام ذات الكثافة المشابهة لكثافة الماء (قطرات المطر، والبرد، والكائنات الحية - الثدييات، والطيور، والحشرات، وما إلى ذلك) التي تسقط في الهواء بالقرب من سطح الأرض عند مستوى سطح البحر، فإن السرعة النهائية تساوي تقريبًا vت=90د،{\displaystyle v_{t}=90{\sqrt {d}},\,}حيث d بالمتر و v t بالمتر/ثانية. على سبيل المثال، بالنسبة لجسم الإنسان (د{\displaystyle d}≈0.6 متر)vت{\displaystyle v_{t}}≈70  م/ث، بالنسبة لحيوان صغير مثل القط (د{\displaystyle d}≈0.2 متر)vت{\displaystyle v_{t}}≈40  م/ث، بالنسبة لطائر صغير (د{\displaystyle d}≈0.05 متر)vت{\displaystyle v_{t}}≈20  م/ث، بالنسبة للحشرات (د{\displaystyle d}≈0.01 متر)vت{\displaystyle v_{t}}≈9  م/ث، وهكذا. يتم تحديد السرعة النهائية للأجسام الصغيرة جدًا (حبوب اللقاح، وما إلى ذلك) عند أرقام رينولدز المنخفضة بواسطة قانون ستوكس.

باختصار، تكون السرعة النهائية أعلى بالنسبة للكائنات الأكبر حجماً، وبالتالي قد تكون أكثر فتكاً. فمخلوق مثل فأر يسقط بسرعته النهائية يكون أكثر عرضة للنجاة من الاصطدام بالأرض من إنسان يسقط بنفس السرعة. [ 18 ]

أرقام رينولدز المنخفضة: مقاومة ستوكس

مسارات ثلاثة أجسام مقذوفة بنفس الزاوية (70 درجة). الجسم الأسود لا يتعرض لأي مقاومة ويتحرك على مسار مكافئ. الجسم الأزرق يتعرض لمقاومة ستوكس ، والجسم الأخضر لمقاومة نيوتن .

تُعدّ معادلة المقاومة اللزجة أو السحب الخطي مناسبة للأجسام أو الجسيمات المتحركة في سائل بسرعات منخفضة نسبيًا (بافتراض عدم وجود اضطراب). ولا يوجد تدفق انسيابي بحت إلا حتى عدد رينولدز 0.1 وفقًا لهذا التعريف. في هذه الحالة، تتناسب قوة السحب تقريبًا مع السرعة. معادلة المقاومة اللزجة هي: [ 19 ]

Fد=-بv{\displaystyle \mathbf {F} _{D}=-b\mathbf {v} \,}

أين:

  • ب{\displaystyle b}هو ثابت يعتمد على كل من الخصائص المادية للجسم والسائل، بالإضافة إلى هندسة الجسم؛ و
  • v{\displaystyle \mathbf {v} }هي سرعة الجسم.

عندما يسقط جسم من السكون، ستكون سرعته v(ت)=(ρ-ρ0)Vزب(1-هـ-بت/م){\displaystyle v(t)={\frac {(\rho -\rho _{0})\,V\,g}{b}}\left(1-e^{-b\,t/m}\right)} أين:

  • ρ{\displaystyle \rho }هي كثافة الجسم،
  • ρ0{\displaystyle \rho _{0}}هي كثافة السائل،
  • V{\displaystyle V}حجم الجسم،
  • ز{\displaystyle g}هو التسارع الناتج عن الجاذبية (أي 9.8  م/ث²)2{\displaystyle ^{2}})، و
  • م{\displaystyle m}كتلة الجسم.

تقترب السرعة بشكل مقارب من السرعة النهائية.vت=(ρ-ρ0)Vزب{\displaystyle v_{t}={\frac {(\rho -\rho _{0})Vg}{b}}}بالنسبة لـب{\displaystyle b}الأجسام الأكثر كثافة تسقط بسرعة أكبر.

بالنسبة للحالة الخاصة للأجسام الكروية الصغيرة التي تتحرك ببطء عبر سائل لزج (وبالتالي عند رقم رينولدز صغير)، اشتق جورج غابرييل ستوكس تعبيرًا لثابت السحب: ب=6πηر{\displaystyle b=6\pi \eta r\,} أينر{\displaystyle r}يمثل نصف قطر ستوكس للجسيم، وη{\displaystyle \eta }هي لزوجة السائل .

يُعرف التعبير الناتج عن السحب باسم سحب ستوكس : [ 20 ]Fد=-6πηرv=ρv2جدπر22{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{D}&=-6\pi \eta rv\\&={\frac {\rho v^{2}C_{\mathrm {D} }\pi r^{2}}{2}}\\\end{محاذاة}}}

على سبيل المثال، لنفترض كرة صغيرة نصف قطرهار{\displaystyle r}= 0.5 ميكرومتر (القطر = 1.0  ميكرومتر) يتحرك عبر الماء بسرعةv{\displaystyle v}بسرعة 10  ميكرومتر/ثانية. وباستخدام 10⁻³ باسكال.ثانية كلزوجة ديناميكية للماء بوحدات النظام الدولي، نجد أن قوة السحب تبلغ 0.09 بيكو نيوتن. وهذا يعادل تقريبًا قوة السحب التي تتعرض لها البكتيريا أثناء سباحتها في الماء.

يمكن استخدام الصيغة المذكورة أعلاه لقوة السحب لحساب معامل السحب بدلالة رقم رينولدز لقيم صغيرة جدًا (<1) لرقم رينولدز، مع افتراض أن الكرة ملساء مرة أخرى:

|-6πηرv|=|ρv2جدπر22||12|=|ρvجدرη|Rهـ=ρvلη،ل=2ر|12|=|جدRهـ2|جد=24Rهـ{\displaystyle {\begin{aligned}|-6\pi \eta rv|&=\left|{\frac {\rho v^{2}C_{\mathrm {D} }\pi r^{2}}{2}}\right|\\|12|&=\left|{\frac {\rho vC_{\mathrm {D} }r}{\eta }}\right|\\\mathrm {Re} &={\frac {\rho vL}{\eta }},&&L=2r\\|12|&=\left|{\frac {C_{\mathrm {D} }\mathrm {Re} }{2}}\right|\\C_{\mathrm {D} }&={\frac {24}{\mathrm {Re} }}\end{aligned}}}

يمكن تحديد معامل السحب للكرة في الحالة العامة للتدفق الصفائحي بأرقام رينولدز أقل من2⋅105{\displaystyle 2\cdot 10^{5}}باستخدام الصيغة التالية: [ 21 ]

جد=24Rهـ+4Rهـ+0.4،Rهـ<2⋅105{\displaystyle C_{\mathrm {D} }={\frac {24}{\mathrm {Re} }}+{\frac {4}{\sqrt {\mathrm {Re} }}}+0.4,\mathrm {Re} <2\cdot 10^{5}}

تتوفر تركيبة قابلة للتمديد حتى 10[ 22 ] :

جد=24Rهـ+13Rهـ25+50.48Rهـ1.52+0.411(2.63×105)7.94Rهـ0.06Rهـ8+(2.63×105)8+Rهـ4(106+Rهـ)،Rهـ≤106{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\mathrm {D} }&={\frac {24}{\mathrm {Re} }}+{\frac {13\mathrm {Re} }{25+5^{.48}\mathrm {Re} ^{1.52}}}+{\frac {.411(2.63\times 10^{5})^{7.94}\mathrm {Re} ^{.06}}{\mathrm {Re} ^{8}+\left(2.63\times 10^{5}\right)^{8}}}+{\frac {\mathrm {Re} }{4\left(10^{6}+\mathrm {Re} \right)}},\mathrm {Re} \leq 10^{6}\end{aligned}}}

بالنسبة لأرقام رينولدز الأقل من 1، ينطبق قانون ستوكس ويقترب معامل السحب من24Rهـ{\displaystyle {\frac {24}{Re}}}.

الديناميكا الهوائية

في الديناميكا الهوائية ، يُعرف السحب الديناميكي الهوائي ، أو مقاومة الهواء ، بأنه قوة السحب التي تؤثر على أي جسم صلب متحرك في اتجاه تدفق الهواء الحر . [ 23 ]

  • من منظور الجسم (نهج المجال القريب)، ينتج السحب عن قوى ناتجة عن توزيعات الضغط على سطح الجسم، ويرمز لها بـدصر{\displaystyle D_{pr}}.
  • القوى الناتجة عن احتكاك الجلد، والتي هي نتيجة للزوجة، ويرمز لها بـدو{\displaystyle D_{f}}.

بدلاً من ذلك، عند حسابها من منظور مجال التدفق (نهج المجال البعيد)، تنتج قوة السحب عن ثلاث ظواهر طبيعية: موجات الصدمة ، والطبقة الدوامية، واللزوجة .

لمحة عامة عن الديناميكا الهوائية

عندما تُولّد الطائرة قوة رفع، ينتج عن ذلك مُكوّن آخر من قوة السحب. السحب المُستحث ، ويرمز له بـدأنا{\displaystyle D_{i}}يعود ذلك إلى تعديل توزيع الضغط الناتج عن نظام الدوامات الخلفية المصاحب لتوليد الرفع. ويمكن الحصول على منظور بديل للرفع والسحب من خلال النظر في تغير زخم تدفق الهواء. يعترض الجناح تدفق الهواء ويجبره على التحرك لأسفل، مما ينتج عنه قوة مساوية ومعاكسة تؤثر لأعلى على الجناح، وهي قوة الرفع. ويؤدي تغير زخم تدفق الهواء لأسفل إلى انخفاض في زخم التدفق الخلفي، وهو ما ينتج عن قوة تؤثر للأمام على تدفق الهواء ويطبقها الجناح عليه؛ وتؤثر قوة مساوية ومعاكسة على الجناح للخلف، وهي السحب المستحث. وهناك مكون آخر للسحب، وهو سحب الموجة .دw{\displaystyle D_{w}}تنتج هذه الظاهرة عن موجات الصدمة في سرعات الطيران فوق الصوتية وفوق الصوتية. وتؤدي موجات الصدمة إلى تغييرات في الطبقة الحدية وتوزيع الضغط على سطح الجسم.

لذا، توجد ثلاث طرق لتصنيف السحب. [ 24 ] : 19

  1. مقاومة الضغط ومقاومة الاحتكاك
  2. مقاومة المقطع الجانبي والمقاومة المستحثة
  3. مقاومة الدوامة ، ومقاومة الموجة ، ومقاومة التخلف

يُؤثر توزيع الضغط على سطح الجسم بقوى عمودية عليه. ويمكن جمع هذه القوى، ويمثل مُركب القوة الذي يعمل في اتجاه التيار قوة السحب.دصر{\displaystyle D_{pr}}إن طبيعة هذه القوى العمودية تجمع بين تأثيرات الموجات الصدمية، وتأثيرات توليد نظام الدوامات، وآليات اللزوجة في منطقة التخلف.

تؤثر لزوجة السائل بشكل كبير على مقاومة الهواء. في حالة انعدام اللزوجة، تتلاشى قوى الضغط التي تعيق حركة المركبة بفعل قوة ضغط أخرى في الجزء الخلفي تدفعها للأمام؛ وهذا ما يُعرف باستعادة الضغط، والنتيجة هي انعدام مقاومة الهواء. أي أن الشغل الذي يبذله الجسم على تدفق الهواء قابل للانعكاس ويُستعاد لعدم وجود تأثيرات احتكاكية لتحويل طاقة التدفق إلى حرارة. وتستمر استعادة الضغط حتى في حالة التدفق اللزج. مع ذلك، تُسبب اللزوجة مقاومة ضغط، وهي المكون الرئيسي لمقاومة الهواء في المركبات التي تحتوي على مناطق تدفق منفصلة، ​​حيث تكون استعادة الضغط فعالة.

تعتمد قوة الاحتكاك، وهي قوة مماسية على سطح الطائرة، بشكل كبير على تكوين الطبقة الحدية ولزوجتها. قوة الاحتكاك الكلية،دو{\displaystyle D_{f}}يُحسب هذا المقدار كمسقط قوى اللزوجة على سطح الجسم. ويُطلق على مجموع مقاومة الاحتكاك ومقاومة الضغط (الشكل) اسم مقاومة اللزوجة. ويعود هذا المكون من المقاومة إلى اللزوجة.

تاريخ

كانت فكرة مقاومة الجسم المتحرك للهواء أو أي سائل آخر معروفة منذ عهد أرسطو . ووفقًا لميرفين أوغورمان ، أطلق أرشيبالد ريث لو على هذه المقاومة اسم "السحب" . [ 25 ] بدأت جهود تقليل السحب من خلال الانسيابية في ورقة بحثية نشرها لويس شارل بريغيه عام 1922. [ 26 ] واصل بريغيه تطبيق أفكاره عمليًا بتصميم العديد من الطائرات التي حطمت الأرقام القياسية في عشرينيات وثلاثينيات القرن العشرين. وقد وفرت نظرية الطبقة الحدية للودفيغ براندتل في عشرينيات القرن العشرين الدافع لتقليل الاحتكاك السطحي. كما دعا السير ميلفيل جونز بقوة إلى الانسيابية، حيث قدم المفاهيم النظرية التي أثبتت بشكل قاطع أهمية الانسيابية في تصميم الطائرات . [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] في عام 1929، كانت ورقته البحثية "الطائرة الانسيابية" التي قدمها للجمعية الملكية للملاحة الجوية، ذات أهمية بالغة. فقد اقترح طائرة مثالية ذات مقاومة هواء ضئيلة، مما أدى إلى ظهور مفهومي الطائرة أحادية السطح "النظيفة" والهيكل السفلي القابل للسحب . وكان أكثر ما أثار دهشة مصممي ذلك الوقت في ورقة جونز هو رسمه البياني الذي يوضح العلاقة بين القدرة الحصانية المطلوبة والسرعة، لطائرة حقيقية وأخرى مثالية. فمن خلال النظر إلى نقطة بيانات لطائرة معينة واستقراءها أفقيًا إلى المنحنى المثالي، يمكن ملاحظة الزيادة في السرعة لنفس القدرة. وعندما أنهى جونز عرضه، وصف أحد الحضور النتائج بأنها لا تقل أهمية عن دورة كارنو في الديناميكا الحرارية. [ 26 ] [ 27 ]

منحنى القدرة في مجال الطيران

منحنى القدرة : السحب الطفيلي والسحب الناتج عن الرفع مقابل سرعة الهواء

يمكن تمثيل تفاعل السحب الطفيلي والمستحث مع سرعة الطيران بمنحنى مميز، كما هو موضح هنا. في مجال الطيران، يُشار إلى هذا المنحنى غالبًا باسم منحنى القدرة ، وهو مهم للطيارين لأنه يُظهر أنه عند سرعات جوية أقل من حد معين، يتطلب الحفاظ على السرعة، على عكس المتوقع، قوة دفع أكبر مع انخفاض السرعة، وليس العكس. تُعد عواقب التخلف عن هذا المنحنى أثناء الطيران بالغة الأهمية، ويتم تدريسها كجزء من تدريب الطيارين. عند السرعات الجوية دون سرعة الصوت، حيث يكون شكل "U" لهذا المنحنى واضحًا، لم يصبح سحب الموجة عاملًا مؤثرًا بعد، ولذلك لا يظهر في المنحنى.

مقاومة الأمواج في التدفقات فوق الصوتية وفوق الصوتية

التغير النوعي في معامل السحب مع رقم ماخ للطائرات

مقاومة الأمواج، والتي تُعرف أحيانًا بمقاومة الانضغاط، هي المقاومة التي تنشأ عندما يتحرك جسم ما في سائل قابل للانضغاط وبسرعة قريبة من سرعة الصوت في ذلك السائل. في الديناميكا الهوائية ، تتكون مقاومة الأمواج من عدة عناصر تبعًا لسرعة الطيران.

في الطيران فوق الصوتي، ينتج سحب الموجة عن تكوّن موجات صدمية في المائع، تتشكل عند تكوّن مناطق موضعية من التدفق فوق الصوتي ( عدد ماخ أكبر من 1.0). عمليًا، يحدث التدفق فوق الصوتي على الأجسام التي تتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الصوت، حيث تزداد السرعة الموضعية للهواء أثناء تسارعه فوق الجسم إلى سرعات أعلى من 1.0 ماخ. مع ذلك، لا يتطور التدفق فوق الصوتي الكامل فوق المركبة إلا بعد تجاوز 1.0 ماخ بكثير. غالبًا ما تتعرض الطائرات التي تحلق بسرعة فوق صوتية لسحب الموجة خلال مسار التشغيل العادي. في الطيران فوق الصوتي، يُشار إلى سحب الموجة عادةً باسم سحب الانضغاط فوق الصوتي . يزداد سحب الانضغاط فوق الصوتي بشكل ملحوظ مع ازدياد سرعة الطيران باتجاه 1.0 ماخ، متفوقًا على أشكال السحب الأخرى عند تلك السرعات.

في الطيران فوق الصوتي (أرقام ماخ أكبر من 1.0)، ينتج سحب الموجة عن موجات الصدمة الموجودة في المائع والملتصقة بالجسم، وعادةً ما تكون موجات صدمة مائلة تتشكل عند الحافتين الأمامية والخلفية للجسم. في التدفقات فوق الصوتية العالية، أو في الأجسام ذات زوايا الدوران الكبيرة بما يكفي، تتشكل بدلاً من ذلك موجات صدمة غير ملتصقة ، أو ما يُعرف بموجات القوس . بالإضافة إلى ذلك، قد تظهر مناطق محلية من التدفق فوق الصوتي خلف موجة الصدمة الأولية عند سرعات فوق صوتية أقل، مما قد يؤدي إلى ظهور موجات صدمة إضافية أصغر حجماً على أسطح الأجسام الرافعة الأخرى، على غرار تلك الموجودة في التدفقات فوق الصوتية. في أنظمة التدفق فوق الصوتي، يُقسم سحب الموجة عادةً إلى مُكوّنين: سحب الموجة فوق الصوتي المعتمد على قوة الرفع ، وسحب الموجة فوق الصوتي المعتمد على حجم الجسم .

توصل سيرز وهاك إلى الحل المغلق لأقل مقاومة للأمواج لجسم دوراني ذي طول ثابت، ويُعرف هذا الحل بتوزيع سيرز-هاك . وبالمثل، بالنسبة لحجم ثابت، يكون شكل منحنى فون كارمان التراكمي هو الشكل الأمثل لأقل مقاومة للأمواج .

إن المفهوم النظري للطائرة ثنائية السطح من طراز بوسمان لا يخضع لسحب الأمواج عند تشغيلها بسرعة التصميم، ولكنه غير قادر على توليد قوة الرفع في هذه الحالة.

مفارقة دالمبير

في عام ١٧٥٢، أثبت دالمبير أن التدفق الكامن ، وهو أحدث نظرية في القرن الثامن عشر حول التدفق غير اللزج والقابلة للحلول الرياضية، يؤدي إلى التنبؤ بانعدام مقاومة الهواء. وقد تعارض هذا مع الأدلة التجريبية، وأصبح يُعرف باسم مفارقة دالمبير . في القرن التاسع عشر، طوّر كلٌ من سان فينان ونافييه وستوكس معادلات نافيير-ستوكس لوصف التدفق اللزج . واشتق ستوكس معادلة مقاومة الهواء حول كرة عند أرقام رينولدز المنخفضة جدًا ، والتي تُعرف نتيجتها بقانون ستوكس . [ ٣٠ ]

في حالة أرقام رينولدز العالية، تقترب معادلات نافيير-ستوكس من معادلات أويلر غير اللزجة ، والتي تُعد حلول التدفق الكامن التي درسها دالمبير من بين حلولها. ومع ذلك، أظهرت جميع التجارب عند أرقام رينولدز العالية وجود مقاومة. ولم تُسفر محاولات بناء حلول تدفق مستقر غير لزج لمعادلات أويلر، بخلاف حلول التدفق الكامن، عن نتائج واقعية. [ 30 ]

إن مفهوم الطبقات الحدية - الذي قدمه براندتل عام 1904، والمستند إلى كل من النظرية والتجارب - يفسر أسباب مقاومة الهواء عند أرقام رينولدز العالية. الطبقة الحدية هي طبقة رقيقة من السائل قريبة من حدود الجسم، حيث تظل تأثيرات اللزوجة مهمة حتى عندما تكون اللزوجة منخفضة جدًا (أو بعبارة أخرى، عندما يكون رقم رينولدز كبيرًا جدًا). ​​[ 30 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "تعريف كلمة DRAG" . قاموس ميريام-ويبستر . تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 مايو 2023 .
  2. ↑ فرينش (1970)، ص 211، المعادلة 7-20
  3. 1 2 "ما هو فن الدراج؟" . مؤرشف من الأصل في 24 مايو 2010. تم الاطلاع عليه في 16 أكتوبر 2011 .
  4. ↑ "حساب التدفق اللزج: ملامح السرعة في الأنهار والأنابيب" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 أكتوبر 2011 .
  5. ↑ "قوى السحب اللزجة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 أكتوبر 2011 .
  6. ↑ هيرنانديز-غوميز، جيه جيه؛ ماركينا، في؛ غوميز، آر دبليو (25 يوليو 2013). "حول أداء أوسين بولت في سباق 100 متر" . المجلة الأوروبية لعلم الفيزياء . 34 (5): 1227-1233 . arXiv : 1305.3947 . Bibcode : 2013EJPh...34.1227H . doi : 10.1088/0143-0807/34/5/1227 . S2CID 118693492. تاريخ الاسترجاع: 23 أبريل 2016 . 
  7. ↑ هيل، فيفيان هيل (1928). "مقاومة الهواء للعداء" . وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة ب، التي تحتوي على أوراق ذات طابع بيولوجي . 102 (718). الجمعية الملكية: 380-385 . doi : 10.1098/rspb.1928.0012 . ISSN 0950-1193 . 
  8. ↑ دراسة حالة أجرتها شركتا إيروسباسيال وبريتيش إيروسبيس على طائرة الكونكورد، بقلم جان ريش وكليف إس. ليمان، سلسلة دراسات AIAA المهنية، الشكل 3.6
  9. ↑ موسوعة هندسة السيارات، ديفيد كرولا، ورقة بحثية بعنوان "الأساسيات والمبادئ الأساسية في ديناميكا الهواء وتصميم المركبات على الطرق"، رقم ISBN 978 0 470 97402 5
  10. ↑ أساسيات الطيران، الطبعة الثانية، ريتشارد إس. شيفيل، رقم ISBN 0 13 339060 8، ص 185
  11. ↑ بالنسبة للغلاف الجوي للأرض ، يمكن إيجاد كثافة الهواء باستخدام الصيغة البارومترية . وهي 1.292 كجم/م³ عند درجة حرارة 0 درجة مئوية وضغط جوي واحد .
  12. 1 2 ليفرساج، ب.، وترانكوسي، م. (2018). " تحليل ملامح جلد القرش المثلثة وفقًا للقانون الثاني "، النمذجة والقياس والتحكم ب . 87(3)، 188-196.
  13. ↑ تأثيرات الحجم على السحب مؤرشفة في 2016-11-09 في Wayback Machine ، من مركز أبحاث ناسا جلين.
  14. ↑ تعريفات هندسة الجناح مؤرشفة في 2011-03-07 في Wayback Machine ، من مركز أبحاث ناسا جلين.
  15. ↑ روشكو، أناتول (1961). "تجارب على التدفق حول أسطوانة دائرية عند عدد رينولدز مرتفع جدًا" (ملف PDF) . مجلة ميكانيكا الموائع . 10 (3): 345-356 . Bibcode : 1961JFM....10..345R . doi : 10.1017/S0022112061000950 . S2CID 11816281 . 
  16. 1 2 باتشيلور (1967)، ص 341.
  17. ↑ برايان بيكمان (1991)، الجزء 6: السرعة والقوة الحصانية ، مؤرشف من الأصل في 16 يونيو 2019 ، تم استرجاعه في 18 مايو 2016
  18. ↑ هالدين، جيه بي إس (مارس 1926)، حول كون المرء بالحجم المناسب
  19. ↑ احتكاك الهواء ، من قسم الفيزياء وعلم الفلك، جامعة ولاية جورجيا
  20. ↑ كولينسون، كريس؛ روبر، توم (1995). ميكانيكا الجسيمات . باتروورث-هاينمان. ص 30. ISBN  9780080928593.
  21. ↑ tec-science (31 مايو 2020). "معامل السحب (سحب الاحتكاك وسحب الضغط)" . tec-science . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يونيو 2020 .
  22. ↑ موريسون، فيث (10 نوفمبر 2016). "ارتباط البيانات لمعامل السحب للكرة" (ملف PDF) . جامعة ميشيغان التقنية . تم الاطلاع عليه في 14 يناير 2026 .
  23. ↑ أندرسون، جون د. الابن، مقدمة في الطيران
  24. ↑ غوري، إروين ريكي (20 مايو 2014). تأثير تدفق خط التثبيت على مقاومة الشكل (أطروحة دكتوراه) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2022 .
  25. ↑ https://archive.org/details/Flight_International_Magazine_1913-02-01-pdf/page/n19/mode/2up مجلة فلايت، 1913، صفحة 126
  26. 1 2 أندرسون، جون ديفيد (1929).تاريخ الديناميكا الهوائية: وتأثيرها على الآلات الطائرةجامعة كامبريدج.
  27. 1 2 "قسم الهندسة بجامعة كامبريدج" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 يناير 2014 .
  28. ↑ السير مورين مورغان، السير أرنولد هول (نوفمبر 1977).مذكرات سيرة ذاتية لزملاء الجمعية الملكية: بينيت ميلفيل جونز. 28 يناير 1887 - 31 أكتوبر 1975المجلد  23. الجمعية الملكية. الصفحات 252-282 . 
  29. ^ ماير، واشنطن (1976).قاموس أكسفورد للسير الوطنية.
  30. 1 2 3 باتشيلور (2000)، ص 337-343.
  • «نموذج تجريبي مُحسَّن للتنبؤ بمقاومة القاعدة على تكوينات الصواريخ، استنادًا إلى بيانات جديدة من نفق الرياح»، فرانك جي مور وآخرون، مركز لانغلي التابع لناسا
  • "دراسة حسابية لتقليل مقاومة القاعدة لمقذوف في أنظمة طيران مختلفة"، بقلم محمد علي سليمان وآخرون. وقائع المؤتمر الدولي الثالث عشر لعلوم الفضاء وتكنولوجيا الطيران، ASAT-13، 26-28 مايو 2009
  • "مقاومة القاعدة والحواف الخلفية السميكة"، سيغارد ف. هورنر، قيادة المواد الجوية، في: مجلة العلوم الجوية، أكتوبر 1950، الصفحات 622-628

فهرس

  • فرينش، أ.ب. (1970). الميكانيكا النيوتونية (سلسلة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا التمهيدية في الفيزياء) (  الطبعة الأولى). دبليو دبليو وايت وشركاه، نيويورك. رقم ISBN 978-0-393-09958-4.
  • جي. فالكوفيتش (2011). ميكانيكا الموائع (دورة قصيرة للفيزيائيين) . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-00575-4.
  • سيرواي، ريموند أ.؛ جويت، جون و. (2004). الفيزياء للعلماء والمهندسين (  الطبعة السادسة). بروكس/كول. ISBN 978-0-534-40842-8.
  • تيبلر، بول (2004). الفيزياء للعلماء والمهندسين: الميكانيكا، والتذبذبات والأمواج، والديناميكا الحرارية (الطبعة الخامسة  ). دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 978-0-7167-0809-4.
  • هانتلي، هـ. إي. (1967). التحليل البُعدي . LOC 67-17978.
  • باتشيلور، جورج (2000). مقدمة في ديناميكا الموائع . مكتبة كامبريدج الرياضية (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-66396-0MR 1744638 .​ 
  • إل جيه كلانسي (1975)، الديناميكا الهوائية ، دار بيتمان للنشر المحدودة، لندن. رقم ISBN 978-0-273-01120-0
  • أندرسون، جون د. الابن (2000)؛ مقدمة في الطيران ، الطبعة الرابعة، ماكجرو هيل للتعليم العالي، بوسطن، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية. الطبعة الثامنة، 2015، رقم ISBN 978-0078027673.