نظرية الوزن الأعلى

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي معقد شبه بسيط ذو أبعاد منتهية مع جبر كارتان الفرعي${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. يترك${\displaystyle R}$ليكن نظام الجذر المرتبط . ثم نقول أن العنصر${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$يكون صحيحًا ^{[ 5 ]} إذا

${\displaystyle 2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$

يمثل عددًا صحيحًا لكل جذر${\displaystyle \alpha }$بعد ذلك، نختار مجموعة${\displaystyle R^{+}}$من الجذور الإيجابية ونقول أن عنصرًا${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$يكون سائداً إذا${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \geq 0}$للجميع${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$عنصر${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$تكون الدالة مهيمنة وتكاملية إذا كانت مهيمنة وتكاملية في آن واحد. وأخيرًا، إذا${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \mu }$في${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$نقول ذلك${\displaystyle \lambda }$أعلى ^{[ 6 ]} من​${\displaystyle \mu }$لو${\displaystyle \lambda -\mu }$يمكن التعبير عنها كتركيبة خطية من الجذور الموجبة ذات المعاملات الحقيقية غير السالبة.

وزن​${\displaystyle \lambda }$تمثيل${\displaystyle V}$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُطلق عليه حينها أعلى وزن إذا${\displaystyle \lambda }$أعلى من كل وزن آخر${\displaystyle \mu }$ل${\displaystyle V}$.

وتنص نظرية الوزن الأعلى على ما يلي: ^{[ 2 ]}

• لو${\displaystyle V}$هو تمثيل غير قابل للاختزال ذو أبعاد محدودة لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، ثم${\displaystyle V}$له وزن أعلى فريد، وهذا الوزن الأعلى هو التكامل المهيمن.
• إذا كان لتمثيلين غير قابلين للاختزال ذوي أبعاد محدودة نفس الوزن الأعلى، فإنهما متماثلان.
• لكل عنصر تكاملي مهيمن${\displaystyle \lambda }$يوجد تمثيل غير قابل للاختزال ذو أبعاد محدودة وله أعلى وزن${\displaystyle \lambda }$.

الجزء الأكثر صعوبة هو الجزء الأخير؛ وهو بناء تمثيل غير قابل للاختزال ذي أبعاد محدودة مع وزن أعلى محدد مسبقًا.

يترك${\displaystyle K}$ليكن زمرة لي متصلة ومتراصة مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {ك}}}$ودع${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}}$أن يكون تعقيد${\displaystyle {\mathfrak {ك}}}$. يترك${\displaystyle T}$أن يكون طارة قصوى في${\displaystyle K}$باستخدام جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. ثم${\displaystyle {\mathfrak {h}}:={\mathfrak {t}}+i{\mathfrak {t}}}$هي جبر فرعي من كارتان${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وقد نشكل نظام الجذر المرتبط به${\displaystyle R}$ثم تسير النظرية بنفس الطريقة تقريبًا كما في حالة جبر لي، مع اختلاف جوهري واحد: مفهوم التكامل مختلف. على وجه التحديد، نقول إن العنصر${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$يكون التكامل التحليلي ^{[ 7 ]} إذا

${\displaystyle \langle \lambda ,H\rangle }$

يكون عددًا صحيحًا كلما

${\displaystyle e^{2\pi H}=I}$

أين${\displaystyle I}$هو عنصر الهوية لـ${\displaystyle K}$كل عنصر متكامل تحليليًا هو عنصر متكامل في جبر لي، ^{[ 8 ]} ولكن قد توجد عناصر متكاملة في جبر لي ليست متكاملة تحليليًا. يعكس هذا التمييز حقيقة أنه إذا${\displaystyle K}$لا يقتصر الأمر على مجرد الاتصال، فقد تكون هناك تمثيلات لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$التي لا تأتي من تمثيلات لـ${\displaystyle K}$من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle K}$ببساطة، تتطابق مفاهيم "التكامل" و"التكامل التحليلي". ^{[ 3 ]}

نظرية الوزن الأعلى لتمثيلات${\displaystyle K}$^{[ 9 ]} هو نفسه كما في حالة جبر لي، باستثناء أن "التكامل" يتم استبداله بـ "التكامل التحليلي".