نظرية بيتر-ويل

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية بيتر-ويل نتيجةً أساسيةً في نظرية التحليل التوافقي ، وهي تنطبق على الزمر الطوبولوجية المدمجة ، ولكنها ليست بالضرورة تبديلية . وقد أثبتها هيرمان ويل ، مع تلميذه فريتز بيتر ، في سياق زمرة طوبولوجية مدمجة G ( بيتر وويل ، 1927 ) . تُشكّل هذه النظرية مجموعةً من النتائج التي تُعمّم الحقائق المهمة حول تفكيك التمثيل المنتظم لأي زمرة منتهية ، كما اكتشفها فرديناند جورج فروبينيوس وإسحاق شور .

لتكن G زمرة متراصة. تتألف النظرية من ثلاثة أجزاء. ينص الجزء الأول على أن معاملات المصفوفات للتمثيلات غير القابلة للاختزال في G كثيفة في فضاء الدوال المركبة المتصلة C ( G ) على G ، وبالتالي في فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي L² ( G ) . يؤكد الجزء الثاني على قابلية اختزال التمثيلات الوحدوية في G بشكل كامل . ثم يؤكد الجزء الثالث أن التمثيل المنتظم لـ G على L² ( G ) يتحلل إلى مجموع مباشر لجميع التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال. ^علاوة على ذلك، تشكل معاملات المصفوفات للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال أساسًا متعامدًا لـ L² ( G ). ^في حالة كون G زمرة الأعداد المركبة الوحدوية، فإن هذه النتيجة الأخيرة هي ببساطة نتيجة قياسية من ^{متسلسلات} فورييه .

معامل المصفوفة للمجموعة G هو دالة ذات قيم مركبة${\displaystyle \varphi }$على G المعطاة كتركيب

${\displaystyle \varphi =L\circ \pi }$

حيث π  : G → GL( V ) هو تمثيل زمرة محدود الأبعاد ( متصل ) للمجموعة G ، و L دالة خطية على فضاء المتجهات للتشاكلات الداخلية للمجموعة V (مثل الأثر)، والذي يحتوي على GL( V ) كمجموعة فرعية مفتوحة. معاملات المصفوفة متصلة، لأن التمثيلات متصلة بحكم تعريفها، والدوال الخطية على الفضاءات محدودة الأبعاد متصلة أيضًا.   

ينص الجزء الأول من نظرية بيتر-ويل على ما يلي ( بامب 2004 ، §4.1 ؛ كناب 1986 ، النظرية 1.12 ):

نظرية بيتر-ويل (الجزء الأول). مجموعة معاملات المصفوفة G كثيفة في فضاء الدوال المركبة المستمرة C( G ) على G ، المزودة بالمعيار المنتظم .

تشبه هذه النتيجة الأولى نظرية ستون-ويرستراس في كونها تشير إلى كثافة مجموعة من الدوال في فضاء جميع الدوال المتصلة، مع مراعاة التوصيف الجبري فقط . في الواقع، تُشكل معاملات المصفوفة جبرًا أحاديًا ثابتًا تحت الاقتران المركب، لأن حاصل ضرب معاملي مصفوفة هو معامل مصفوفة لتمثيل الضرب الموتري، والمرافق المركب هو معامل مصفوفة للتمثيل الثنائي. ومن ثم، تتبع النظرية مباشرةً من نظرية ستون-ويرستراس إذا فصلت معاملات المصفوفة النقاط، وهو أمر بديهي إذا كانت G زمرة مصفوفات ( كناب 1986 ، ص 17) . وعلى العكس، من نتائج النظرية أن أي زمرة لي متراصة متماثلة مع زمرة مصفوفات ( كناب 1986 ، النظرية 1.15) . 

ومن النتائج المترتبة على هذه النتيجة أن معاملات المصفوفة G كثيفة في L ² ( G ).

يُبيّن الجزء الثاني من النظرية وجود تفكيك للتمثيل الوحدوي للمجموعة G إلى تمثيلات ذات أبعاد منتهية. وبما أن المجموعات تُفهم بديهيًا على أنها دورانات على أشكال هندسية، فمن الطبيعي دراسة التمثيلات التي تنشأ أساسًا من تأثيرات متصلة على فضاءات هيلبرت. (بالنسبة لمن تعرّفوا لأول مرة على المجموعات الثنائية المكونة من خصائص تُمثل تشاكلات متصلة في مجموعة الدائرة ، فإن هذا النهج مشابه، باستثناء أن مجموعة الدائرة تُعمّم (في النهاية) إلى مجموعة المؤثرات الوحدوية على فضاء هيلبرت مُعطى ).

ليكن G مجموعة طوبولوجية و H فضاء هيلبرت معقد.

يؤدي الفعل الخطي المتصل ∗  : G × H → H إلى تطبيق متصل ρ _∗  : G → H ^H (دوال من H إلى H ذات طوبولوجيا قوية ) مُعرَّف بالعلاقة: ρ _∗ ( g )( v ) = ∗(g,v) . من الواضح أن هذا التطبيق هو تشاكل من G إلى GL( H )، وهي المؤثرات الخطية المحدودة على H. وبالعكس، بمعرفة هذا التطبيق، يمكننا استعادة الفعل بشكل فريد وبديهي.

وبالتالي، نُعرّف تمثيلات G على فضاء هيلبرت H بأنها تلك التشاكلات الزمرية ، ρ، التي تنشأ من التأثيرات المستمرة لـ G على H. ونقول إن التمثيل ρ وحدوي إذا كان ρ( g ) مؤثرًا وحدويًا لجميع g  ∈ G ؛ أي، ${\displaystyle \langle \rho (g)v,\rho (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$لكل v و w  ∈ H. (أي أنها وحدوية إذا ρ : G → U( H ). لاحظ كيف يعمم هذا الحالة الخاصة لفضاء هيلبرت أحادي البعد، حيث U( C ) هي ببساطة مجموعة الدائرة.)  

بناءً على هذه التعريفات، يمكننا ذكر الجزء الثاني من نظرية بيتر-ويل ( كناب 1986 ، النظرية 1.12) :

نظرية بيتر-ويل (الجزء الثاني). ليكن ρ تمثيلاً وحدوياً لمجموعة متراصة G على فضاء هيلبرت معقد H. عندئذٍ ينقسم H إلى مجموع مباشر متعامد لتمثيلات وحدوية غير قابلة للاختزال ذات أبعاد منتهية لـ G.

أما الجزء الثالث والأخير من النظرية، فهو فضاء هيلبرت طبيعي فوق G يتكون من دوال قابلة للتكامل التربيعي .${\displaystyle L^{2}(G)}$وهذا منطقي لأن مقياس هار موجود على G. المجموعة G لها تمثيل وحدوي ρ على${\displaystyle L^{2}(G)}$يتم ذلك من خلال العمل على اليسار، عبر

${\displaystyle \rho (h)f(g)=f(h^{-1}g).}$

تُقدّم الصيغة النهائية لنظرية بيتر-ويل ( كناب 1986 ، النظرية 1.12) أساسًا متعامدًا صريحًا لـ${\displaystyle L^{2}(G)}$باختصار، يؤكد هذا أن معاملات المصفوفة G ، ^بعد إعادة تطبيعها بشكل مناسب، تشكل أساسًا متعامدًا لـ L² ( G ). على وجه الخصوص،${\displaystyle L^{2}(G)}$يتحلل إلى مجموع مباشر متعامد لجميع التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال، حيث تكون تعددية كل تمثيل غير قابل للاختزال مساوية لدرجته (أي بُعد الفضاء الأساسي للتمثيل). وبالتالي،

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }^{\oplus \dim E_{\pi }}}$

حيث تشير Σ إلى مجموعة (فئات التشاكل لـ) التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لـ G ، ويشير الجمع إلى إغلاق المجموع المباشر للفضاءات الكلية E _π للتمثيلات π.

قد نعتبر أيضًا${\displaystyle L^{2}(G)}$كتمثيل لمجموعة المنتج المباشر${\displaystyle G\times G}$، حيث يعمل العاملان عن طريق الإزاحة على اليسار واليمين على التوالي. حدد تمثيلاً${\displaystyle (\pi ,E_{\pi })}$ل${\displaystyle G}$يمكن تحديد فضاء معاملات المصفوفة للتمثيل بـ${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$، فضاء الخرائط الخطية لـ${\displaystyle E_{\pi }}$لنفسه. الحركة الطبيعية لليسار واليمين لـ${\displaystyle G\times G}$معاملات المصفوفة تتوافق مع التأثير على${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$مقدم من

${\displaystyle (g,h)\cdot A=\pi (g)A\pi (h)^{-1}.}$

ثم يمكننا التفكيك${\displaystyle L^{2}(G)}$كتمثيل موحد لـ${\displaystyle G\times G}$على شكل

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }\otimes E_{\pi }^{*}.}$

وأخيرًا، يمكننا تشكيل أساس متعامد لـ${\displaystyle L^{2}(G)}$كما يلي. لنفترض أنه تم اختيار ممثل π لكل فئة تماثل من فئات التمثيل الوحدوي غير القابل للاختزال، ولنرمز إلى مجموعة جميع هذه الممثلات π بالرمز Σ.${\displaystyle \scriptstyle {u_{ij}^{(\pi )}}}$لتكن معاملات المصفوفة π في أساس متعامد، بعبارة أخرى

${\displaystyle u_{ij}^{(\pi )}(g)=\langle \pi (g)e_{j},e_{i}\rangle .}$

لكل دالة g  ∈ G. وأخيرًا، ليكن d ^(π) درجة التمثيل π. تنص النظرية الآن على أن مجموعة الدوال 

${\displaystyle \left\{{\sqrt {d^{(\pi )}}}u_{ij}^{(\pi )}\mid \,\pi \in \Sigma ,\,\,1\leq i,j\leq d^{(\pi )}\right\}}$

هو أساس متعامد لـ${\displaystyle L^{2}(G).}$

• ازدواجية بونترياجين

• بيتر، ف؛ Weyl، H. (1927)، “Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe”، الرياضيات. آن. ، 97 : 737-755 ، دوى : 10.1007 / BF01447892.
• بامب، دانيال (2004)، مجموعات لي ، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-21154-3.
• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666.
• "نظرية بيتر-ويل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• كناب، أنتوني (1986)، نظرية تمثيل المجموعات شبه البسيطة ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-09089-0.
• كناب، أنتوني و. (2002)، زمر لي: ما وراء المقدمة ، سلسلة التقدم في الرياضيات، المجلد  140 (  الطبعة الثانية)، بوسطن: بيركهاوزر، ISBN 0-8176-4259-5.
• موستو، جورج د. (1961)، "علم التماثل للمجموعات الطوبولوجية والمتشعبات الحلية"، حوليات الرياضيات ، 73 (1)، مطبعة جامعة برينستون: 20-48 ، doi : 10.2307/1970281 ، JSTOR 1970281 
• باليه، ريتشارد س .؛ ستيوارت، ت. إي. (1961)، "التماثل المشترك لمجموعات التحويل التفاضلية"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 83 (4)، مطبعة جامعة جونز هوبكنز: 623-644 ، doi : 10.2307/2372901 ، JSTOR 2372901 .

محدد