الطول الموجي الحراري دي برولي

في الفيزياء ، طول موجة دي برولي الحرارية (${\displaystyle \lambda _{\text{th}}}$، ويرمز إليه أحيانًا أيضًا بـ${\displaystyle \Lambda }$يُعدّ مقياسًا لعدم اليقين في موقع جسيم ذي زخم متوسط ​​ديناميكي حراري في غاز مثالي . ^{[ 1 ]} وهو تقريبًا متوسط ​​طول موجة دي برولي للجسيمات في غاز مثالي عند درجة الحرارة المحددة.

يمكننا اعتبار متوسط ​​المسافة بين الجسيمات في الغاز مساويًا تقريبًا لـ ( V / N ) ^1/3 ، حيث V هو الحجم و N هو عدد الجسيمات. عندما يكون طول موجة دي برولي الحراري أصغر بكثير من المسافة بين الجسيمات، يُمكن اعتبار الغاز غازًا كلاسيكيًا أو غاز ماكسويل-بولتزمان . من ناحية أخرى، عندما يكون طول موجة دي برولي الحراري مساويًا أو أكبر من المسافة بين الجسيمات، ستسود التأثيرات الكمومية، ويجب التعامل مع الغاز كغاز فيرمي أو غاز بوز ، اعتمادًا على طبيعة جسيمات الغاز. درجة الحرارة الحرجة هي نقطة الانتقال بين هذين النظامين، وعند هذه الدرجة الحرجة، سيكون طول الموجة الحرارية مساويًا تقريبًا للمسافة بين الجسيمات. أي أن الطبيعة الكمومية للغاز ستكون واضحة. $${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\text{th}}^{3}}}\leq 1\ ,{\text{ or }}\left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\text{th}}}$$

أي عندما تكون المسافة بين الجسيمات أقل من طول موجة دي برولي الحرارية؛ في هذه الحالة، سيخضع الغاز لإحصاءات بوز-أينشتاين أو إحصاءات فيرمي-ديراك ، أيهما أنسب. هذا هو الحال، على سبيل المثال، بالنسبة للإلكترونات في معدن نموذجي عند درجة حرارة 300 كلفن ، حيث يخضع غاز الإلكترونات لإحصاءات فيرمي-ديراك ، أو في مكثف بوز-أينشتاين . من ناحية أخرى، بالنسبة لـ $${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\text{th}}^{3}}}\gg 1\ ,{\text{or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\text{th}}}$$

أي عندما تكون المسافة بين الجسيمات أكبر بكثير من طول موجة دي برولي الحرارية، فإن الغاز سيخضع لإحصاءات ماكسويل-بولتزمان . ^{[ 2 ]} هذا هو الحال بالنسبة للغازات الجزيئية أو الذرية في درجة حرارة الغرفة، وبالنسبة للنيوترونات الحرارية المنتجة بواسطة مصدر نيوتروني .

بالنسبة للجسيمات غير المتفاعلة ذات الكتلة، يمكن اشتقاق طول موجة دي برولي الحرارية من حساب دالة التوزيع . بافتراض صندوق أحادي البعد طوله L ، فإن دالة التوزيع (باستخدام حالات الطاقة للجسيم أحادي البعد في الصندوق ) هي $${\displaystyle Z=\sum _{n}\exp {\left(-{\frac {E_{n}}{k_{\text{B}}T}}\right)}=\sum _{n}\exp {\left(-{\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}k_{\text{B}}T}}\right)}.}$$

بما أن مستويات الطاقة متقاربة للغاية، يمكننا تقريب هذا المجموع كتكامل: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle Z=\int _{0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}k_{\text{B}}T}}\right)}dn={\sqrt {\frac {2\pi mk_{\text{B}}T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{\text{th}}}}.}$$

لذلك، $${\displaystyle \lambda _{\text{th}}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\text{B}}T}}},}$$ أين${\displaystyle h}$يمثل ثابت بلانك ، و m كتلة جسيم غازي.${\displaystyle k_{\text{B}}}$هو ثابت بولتزمان ، و T هي درجة حرارة الغاز. ^{[ 2 ]} ويمكن التعبير عن ذلك أيضًا باستخدام ثابت بلانك المختزل.${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$مثل $${\displaystyle \lambda _{\text{th}}={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{\text{B}}T}}}.}$$

بالنسبة للجسيمات عديمة الكتلة (أو ذات السرعة النسبية العالية )، يُعرَّف الطول الموجي الحراري على النحو التالي: $${\displaystyle \lambda _{\text{th}}={\frac {hc}{2\pi ^{1/3}k_{\text{B}}T}}={\frac {\pi ^{2/3}\hbar c}{k_{\text{B}}T}},}$$

حيث c هي سرعة الضوء . وكما هو الحال مع الطول الموجي الحراري للجسيمات ذات الكتلة، فإن هذا الطول الموجي يُقارب متوسط ​​الطول الموجي للجسيمات في الغاز، ويُحدد نقطة حرجة تبدأ عندها التأثيرات الكمومية بالهيمنة. على سبيل المثال، عند رصد طيف الموجات الطويلة لإشعاع الجسم الأسود ، يُمكن تطبيق قانون رايلي-جينز الكلاسيكي ، ولكن عندما تقترب الأطوال الموجية المرصودة من الطول الموجي الحراري للفوتونات في مشع الجسم الأسود، يجب استخدام قانون بلانك الكمومي.

يمكن تقديم تعريف عام للطول الموجي الحراري لغاز مثالي من الجسيمات التي تربطها علاقة أسية اختيارية بين الطاقة والزخم (علاقة التشتت)، في أي عدد من الأبعاد. ^{[ 1 ]} إذا كان n هو عدد الأبعاد، وكانت العلاقة بين الطاقة  ( E ) والزخم  ( p ) معطاة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle E=ap^{s}}$$ (مع اعتبار a و s ثابتين)، فإن الطول الموجي الحراري يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \lambda _{\text{th}}={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {a}{k_{\text{B}}T}}\right)^{1/s}\left[{\frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n},}$$ حيث Γ هي دالة غاما . ويحتفظ هذا التعريف بالشكل البسيط التالي للجهد الكيميائي في حالة التخفيف (الغاز المثالي الكلاسيكي): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mu =k_{\text{B}}T\ln {\frac {(\lambda _{\text{th}})^{n}N}{gV}},}$

بالنسبة للانحلال الداخلي g (مثل انحلال الدوران g = 2 للإلكترونات)، كما يوفر تعبيرات واضحة للديناميكا الحرارية لغازات فيرمي وبوز. ^{[ 1 ]}

على وجه الخصوص، بالنسبة لغاز ثلاثي الأبعاد ( n = 3 ) من الجسيمات ذات الكتلة أو عديمة الكتلة ، لدينا E = p² / ^2m ( حيث a = ½m ، s = 2) و E = pc ( حيث a = c ، s = 1) ، على التوالي، مما ينتج عنه التعبيرات المذكورة في الأقسام السابقة. تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للجسيمات غير النسبية ذات الكتلة ( s = 2)، فإن التعبير لا يعتمد على n . وهذا يفسر سبب توافق الاشتقاق أحادي البعد المذكور أعلاه مع الحالة ثلاثية الأبعاد.

بعض الأمثلة على طول موجة دي برولي الحرارية عند 298  كلفن مذكورة أدناه.

صِنف	الكتلة (كجم)	${\displaystyle \lambda _{\text{th}}}$(م)
إلكترون	9.1094 × 10 −31	4.3179 × 10 −9
فوتون	0	1.6483 × 10 −5
H 2	3.3474 × 10 −27	7.1228 × 10 −11
O 2	5.3135 × 10 −26	1.7878 × 10 −11

• Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics) , 2008. هذا الموقع على ويكي معطل؛ انظر هذه المقالة في أرشيف الويب بتاريخ 28 أبريل 2012 .