القيمة الزمنية للنقود

تشير القيمة الزمنية للنقود إلى فكرة أن الحصول على مبلغ من المال الآن يحقق فائدة أكبر عموماً من الحصول على مبلغ مماثل لاحقاً. ويمكن اعتبار ذلك نتيجة لمفهوم تفضيل الوقت الذي تطور لاحقاً .

تشير القيمة الزمنية للنقود إلى حقيقة أن الحصول على المال عاجلاً أفضل من الحصول عليه آجلاً. فالمال الذي تملكه اليوم يمكن استثماره لتحقيق عائد إيجابي، مما ينتج عنه المزيد من المال غداً. لذلك، فإن قيمة الدولار اليوم تفوق قيمته في المستقبل. ^{[ 1 ]}

تُعدّ القيمة الزمنية للنقود من بين العوامل التي تُؤخذ في الاعتبار عند تقييم تكلفة الفرصة البديلة للإنفاق بدلاً من الادخار أو الاستثمار . ولذلك، فهي من بين الأسباب التي تُدفع أو تُكتسب من أجلها الفائدة : فالفائدة، سواءً كانت على وديعة بنكية أو دين ، تُعوّض المودع أو المُقرض عن خسارة استخدام أمواله. ولا يُبدي المستثمرون استعداداً للتخلي عن إنفاق أموالهم الآن إلا إذا توقعوا عائداً صافياً مُجزياً على استثماراتهم في المستقبل، بحيث تكون القيمة المُضافة المُتاحة لاحقاً عالية بما يكفي لتعويض كلٍ من تفضيل إنفاق المال الآن والتضخم (إن وُجد)؛ انظر معدل العائد المطلوب .

تقارن القيمة الزمنية للنقود التدفقات النقدية التي تحدث في تواريخ مختلفة عن طريق تحويلها إلى تاريخ تقييم واحد (يُسمى غالبًا "الزمن صفر"). في نموذج زمني منفصل بسيط، يُقاس الزمن بفترات متساوية الطول.${\displaystyle t=0,1,2,\dots }$وسعر فائدة فعلي ثابت${\displaystyle i}$يتم تطبيقه مرة واحدة في كل فترة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

إذا كان المبلغ${\displaystyle \mathrm {PV} }$يتم استثمارها في الوقت 0، وقيمتها بعد ذلك${\displaystyle n}$الفترات (القيمة المستقبلية) هي $${\displaystyle \mathrm {FV} =\mathrm {PV} (1+i)^{n}.}$$ يؤدي الخصم إلى عكس هذه العلاقة، بحيث تصبح القيمة الحالية لمبلغ معين${\displaystyle \mathrm {FV} }$مستحق في الوقت المحدد${\displaystyle n}$يكون $${\displaystyle \mathrm {PV} =\mathrm {FV} (1+i)^{-n}={\frac {\mathrm {FV} }(1+i)^{n}}}.}$$ العامل${\displaystyle (1+i)^{n}}$هو عامل التراكم على${\displaystyle n}$فترات، و${\displaystyle (1+i)^{-n}}$وهو عامل الخصم المقابل. ^{[ 3 ] [ 2 ]}

بالنسبة لسلسلة من التدفقات النقدية المؤرخة${\displaystyle \mathrm {CF} _{t}}$(موجب للإيرادات وسالب للمدفوعات)، القيمة الحالية هي المجموع المخصوم لكل تدفق نقدي: $${\displaystyle \mathrm {PV} =\sum _{t=0}^{n}{\frac {\mathrm {CF} _{t}}{(1+i)^{t}}}.}$$ يُعدّ هذا الشكل المُخصوم أساسًا لحسابات صافي القيمة الحالية المستخدمة في التقييم والميزانية الرأسمالية. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 3 ]}

يجب الحفاظ على اتساق التحليلات الاسمية والحقيقية. تُخصم التدفقات النقدية الاسمية بمعدلات اسمية، بينما تُخصم التدفقات النقدية الحقيقية (بعد استبعاد التضخم العام) بمعدلات حقيقية؛ وتؤدي اتفاقيات المزج إلى تغيير النتائج آليًا حتى عندما تبقى العوامل الاقتصادية الأساسية دون تغيير. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

إنّ احتساب أو دفع الفائدة، وتراكم الأرصدة بمرور الوقت، ومقارنة المدفوعات في تواريخ مختلفة، أمورٌ تسبق المصطلحات الحديثة بزمن طويل. وتصف الروايات التاريخية للممارسة الإكتوارية استخدام الفائدة المركبة في المعاملات التجارية منذ العصور الوسطى فصاعدًا، مع تطور المعالجات الرياضية المنهجية للمدفوعات المشروطة بالحياة لاحقًا جنبًا إلى جنب مع نظرية الاحتمالات وبيانات الوفيات. ^{[ 8 ]}

شكّل تسعير المعاشات السنوية وغيرها من العقود طويلة الأجل سياقًا هامًا لتطوير أساليب القيمة الحالية الرسمية. وتُرجع الدراسات التاريخية الحديثة في الاقتصاد المالي التطورات الرئيسية إلى تقييم المعاشات السنوية باستخدام أساليب القيمة المتوقعة المخصومة، وتربط هذه التطورات بظهور جداول الحياة والأساليب الحسابية لخصم التدفقات النقدية المشروطة. ^{[ 9 ]}

يناقش بويتراس إسهامات القرن السابع عشر المرتبطة بيوهان دي ويت وإدموند هالي، ويشير إليها ليوين في سياق تاريخي اكتواري: تناولت مراسلات دي ويت مع جان هود (1671) تقييم المعاشات التقاعدية مدى الحياة، وأظهر عمل هالي عام 1693 كيف يمكن تطبيق جدول الحياة على تسعير المعاشات التقاعدية باستخدام بيانات الوفيات التجريبية. ^{[ 9 ] [ 8 ]}

شكّلت الأفكار الاقتصادية المبكرة حول الإقراض والربا والقوة الشرائية للنقود جزءًا من الخلفية لنظريات الخصم والفائدة اللاحقة. ففي القرنين السادس عشر والسابع عشر، ناقش علماء منتسبون إلى جامعة سالامانكا تغير القوة الشرائية للنقود والوضع الأخلاقي والقانوني للائتمان ضمن تقليد أكاديمي تناول المسائل النقدية والتجارية إلى جانب اللاهوت والقانون. ^{[ 10 ]}

تُفسر بعض الروايات الحديثة مناقشات مارتن دي أزبيلكويتا حول المال والتبادل على أنها استباق لعناصر نظرية الفائدة اللاحقة، لكن الدراسات المتخصصة تحذر من اعتبار عمله بيانًا مبكرًا لنظرية تفضيل الوقت الحديثة ، وتشير إلى أنه استمر في إدانة الربا بشكل عام. ^{[ 11 ]}

في علم الاقتصاد، وضع كتاب إيرفينغ فيشر " نظرية الفائدة " (1930) إطاراً رسمياً للتقييم بين الفترات الزمنية يربط الفائدة بنفاد الصبر (تفضيل الوقت) وفرص الاستثمار، وقد أثر على المعالجات اللاحقة للخصم والقيمة الحالية في التحليل الاقتصادي والتمويل. ^{[ 12 ]}

تتضمن مسائل القيمة الزمنية للنقود القيمة الصافية للتدفقات النقدية في نقاط زمنية مختلفة.

في الحالة النموذجية، قد تكون المتغيرات هي: الرصيد (القيمة الحقيقية أو الاسمية للدين أو الأصل المالي بوحدات نقدية)، ومعدل الفائدة الدوري، وعدد الفترات، وسلسلة من التدفقات النقدية. (في حالة الدين، تمثل التدفقات النقدية المدفوعات من أصل الدين والفائدة؛ أما في حالة الأصل المالي، فتمثل هذه المدفوعات المساهمات في الرصيد أو السحوبات منه). وبشكل عام، قد لا تكون التدفقات النقدية دورية، بل يمكن تحديدها بشكل فردي. أي من هذه المتغيرات قد يكون المتغير المستقل (الإجابة المطلوبة) في مسألة معينة. على سبيل المثال، قد يكون معروفًا أن: الفائدة 0.5% لكل فترة (شهريًا مثلاً)؛ وعدد الفترات 60 (شهرًا)؛ والرصيد الابتدائي (للدين في هذه الحالة) 25,000 وحدة؛ والرصيد النهائي 0 وحدة. أما المتغير المجهول فقد يكون القسط الشهري الذي يجب على المقترض دفعه.

على سبيل المثال، إذا استثمرت 100 جنيه إسترليني لمدة عام واحد بفائدة 5%، فستصبح قيمتها 105 جنيهات إسترلينية بعد عام واحد؛ وبالتالي، فإن مبلغ 100 جنيه إسترليني المدفوع الآن ومبلغ 105 جنيهات إسترلينية المدفوع بعد عام واحد بالضبط لهما نفس القيمة بالنسبة للمستفيد الذي يتوقع فائدة 5% بافتراض أن التضخم سيكون صفرًا. أي أن مبلغ 100 جنيه إسترليني المستثمر لمدة عام واحد بفائدة 5% ستكون قيمته المستقبلية 105 جنيهات إسترلينية بافتراض أن التضخم سيكون صفرًا. ^{[ 13 ]}

يُتيح هذا المبدأ تقييم تدفق الدخل المُحتمل في المستقبل، بحيث يتم خصم الدخول السنوية ثم جمعها، مما يُوفر قيمة إجمالية "للقيمة الحالية" لتدفق الدخل بأكمله؛ وتستند جميع الحسابات القياسية للقيمة الزمنية للنقود إلى أبسط تعبير جبري للقيمة الحالية لمبلغ مستقبلي، "مُخصوم" إلى القيمة الحالية بمقدار يساوي القيمة الزمنية للنقود. على سبيل المثال، مجموع القيمة المستقبلية${\displaystyle FV}$يتم خصم المبلغ المستحق خلال عام واحد بسعر الفائدة${\displaystyle r}$لإعطاء مجموع القيمة الحالية${\displaystyle PV}$:

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+r)}}}$

بعض الحسابات القياسية القائمة على القيمة الزمنية للنقود هي:

• القيمة الحالية : هي القيمة الحالية لمبلغ نقدي مستقبلي أو تدفق نقدي ، مع الأخذ في الاعتبار معدل عائد محدد. تُخصم التدفقات النقدية المستقبلية بمعدل الخصم  ؛ فكلما ارتفع معدل الخصم، انخفضت القيمة الحالية للتدفقات النقدية المستقبلية. ويُعد تحديد معدل الخصم المناسب أساسيًا لتقييم التدفقات النقدية المستقبلية بشكل صحيح، سواء كانت أرباحًا أو التزامات. ^{[ 14 ]}
• القيمة الحالية للدفعات الدورية : الدفعات الدورية هي سلسلة من المدفوعات أو المقبوضات المتساوية التي تحدث على فترات منتظمة. وتُعدّ عقود الإيجار والدفعات الإيجارية أمثلة على ذلك. تحدث المدفوعات أو المقبوضات في نهاية كل فترة بالنسبة للدفعات الدورية العادية، بينما تحدث في بداية كل فترة بالنسبة للدفعات الدورية المستحقة.

القيمة الحالية للدفعات الدائمة هي تدفق لا نهائي وثابت من التدفقات النقدية المتطابقة. ^{[ 15 ]}

• القيمة المستقبلية : قيمة الأصل أو النقد في تاريخ محدد في المستقبل، بناءً على قيمة ذلك الأصل في الوقت الحاضر. ^{[ 16 ]}
• القيمة المستقبلية للدفعات السنوية (FVA) : القيمة المستقبلية لتدفق المدفوعات (الدفعات السنوية)، بافتراض استثمار المدفوعات بمعدل فائدة معين.

توجد عدة معادلات أساسية تمثل المتساويات المذكورة أعلاه. ويمكن إيجاد الحلول باستخدام (في معظم الحالات) الصيغ، أو الآلة الحاسبة المالية، أو برنامج الجداول الإلكترونية . وتُبرمج الصيغ في معظم الآلات الحاسبة المالية وفي العديد من وظائف برامج الجداول الإلكترونية (مثل PV وFV وRATE وNPER وPMT). ^{[ 17 ]}

بالنسبة لأي من المعادلات أدناه، يمكن إعادة ترتيب الصيغة لتحديد أحد المجاهيل الأخرى. في حالة صيغة الدفعات السنوية القياسية، لا يوجد حل جبري مغلق لسعر الفائدة (مع أن الآلات الحاسبة المالية وبرامج الجداول الإلكترونية يمكنها إيجاد الحلول بسهولة من خلال خوارزميات التجربة والخطأ السريعة).

تُستخدم هذه المعادلات غالبًا معًا لأغراض محددة. على سبيل المثال، يمكن تسعير السندات بسهولة باستخدام هذه المعادلات. يتكون سند الكوبون النموذجي من نوعين من المدفوعات: سلسلة من مدفوعات الكوبون تشبه الدفعة السنوية، واسترداد رأس المال دفعة واحدة في نهاية تاريخ استحقاق السند ، أي دفعة مستقبلية. يمكن دمج المعادلتين لتحديد القيمة الحالية للسند.

من المهم ملاحظة أن معدل الفائدة (i) هو معدل الفائدة للفترة المعنية. بالنسبة للمعاشات التي تُدفع دفعة واحدة سنويًا، سيكون (i) هو معدل الفائدة السنوي. أما بالنسبة للدخل أو التدفقات النقدية ذات جدول سداد مختلف، فيجب تحويل معدل الفائدة إلى معدل الفائدة الدوري المناسب. على سبيل المثال، يتطلب المعدل الشهري لقرض عقاري ذي أقساط شهرية قسمة معدل الفائدة على 12 (انظر المثال أدناه). راجع قسم الفائدة المركبة للاطلاع على تفاصيل التحويل بين معدلات الفائدة الدورية المختلفة.

يمكن أن يكون معدل العائد في الحسابات إما المتغير الذي يتم حسابه، أو متغيرًا محددًا مسبقًا يقيس معدل الخصم، أو الفائدة، أو التضخم، أو معدل العائد، أو تكلفة حقوق الملكية، أو تكلفة الدين، أو أي عدد من المفاهيم المماثلة الأخرى. يُعد اختيار المعدل المناسب أمرًا بالغ الأهمية، واستخدام معدل خصم غير صحيح سيجعل النتائج عديمة الجدوى.

في حسابات الدفعات الدورية، يجب تحديد ما إذا كانت الدفعات تُسدد في نهاية كل فترة (وتُعرف بالدفعة الدورية العادية)، أو في بداية كل فترة (وتُعرف بالدفعة الدورية المستحقة). عند استخدام آلة حاسبة مالية أو برنامج جداول بيانات ، يمكن عادةً ضبطها لكلا النوعين من الحسابات. الصيغ التالية خاصة بالدفعة الدورية العادية. أما بالنسبة للقيمة الحالية للدفعة الدورية المستحقة، فيمكن ضرب قيمتها الحالية في (1 + معدل الفائدة ).

تستخدم الصيغة التالية هذه المتغيرات الشائعة:

• القيمة الحالية ( PV ) هي القيمة عند الزمن صفر.
• القيمة المستقبلية هي القيمة عند الزمن ن (القيمة المستقبلية).
• أ هي قيمة المدفوعات الفردية في كل فترة تراكم.
• يمثل n عدد الفترات (ليس بالضرورة عددًا صحيحًا).
• يمثل i معدل الفائدة الذي يتم بموجبه حساب الفائدة المركبة على المبلغ في كل فترة
• يمثل g معدل النمو المتزايد للمدفوعات خلال كل فترة زمنية

جدول الصيغ

يلخص الجدول التالي الصيغ المختلفة الشائعة الاستخدام في حساب القيمة الزمنية للنقود. ^{[ 19 ]} غالبًا ما تُعرض هذه القيم في جداول تُحدد فيها نسبة الفائدة والمدة الزمنية.

يجد	منح	صيغة
القيمة المستقبلية (F)	القيمة الحالية (P)	${\displaystyle F=P\cdot (1+i)^{n}}$
القيمة الحالية (P)	القيمة المستقبلية (F)	${\displaystyle P=F\cdot (1+i)^{-n}}$
الدفع المتكرر (أ)	القيمة المستقبلية (F)	${\displaystyle A=F\cdot {\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}}$
الدفع المتكرر (أ)	القيمة الحالية (P)	${\displaystyle A=P\cdot {\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}$
القيمة المستقبلية (F)	الدفع المتكرر (أ)	${\displaystyle F=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}}$
القيمة الحالية (P)	الدفع المتكرر (أ)	${\displaystyle P=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}}$
القيمة المستقبلية (F)	الدفعة الأولية للتدرج (G)	${\displaystyle F=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}}}}$
القيمة الحالية (P)	الدفعة الأولية للتدرج (G)	${\displaystyle P=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}(1+i)^{n}}}}$
الدفعة الثابتة (أ)	الدفعة الأولية للتدرج (G)	${\displaystyle A=G\cdot \left[{\frac {1}{i}}-{\frac {n}{(1+i)^{n}-1}}\right]}$
القيمة المستقبلية (F)	الدفعة الأولية المتزايدة بشكل كبير (د) زيادة النسبة المئوية (غ)	${\displaystyle F=D\cdot {\frac {(1+g)^{n}-(1+i)^{n}}{g-i}}}$ (لـ i ≠ g ) ${\displaystyle F=D\cdot {\frac {n(1+i)^{n}}{1+g}}}$ (لـ i = g )
القيمة الحالية (P)	الدفعة الأولية المتزايدة بشكل كبير (د) زيادة النسبة المئوية (غ)	${\displaystyle P=D\cdot {\frac {\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}-1}{g-i}}}$ (لـ i ≠ g ) ${\displaystyle P=D\cdot {\frac {n}{1+g}}}$ (لـ i = g )
القيمة الحالية (P)	دفعة أولية متزايدة بشكل كبير (D) مع معاش تقاعدي ذي مزايا ثابتة (F) زيادة النسبة المئوية (غ)	${\displaystyle P=(D+F)\cdot {\frac {\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}-1}{g-i}}-{\frac {F}{i}}\left[1-{1 \over (1+i)^{n}}\right]}$

ملحوظات:

• أ هو مبلغ دفع ثابت، كل فترة
• يمثل G مبلغ الدفعة الأولية لمبلغ دفع متزايد، يبدأ من G ويزداد بمقدار G لكل فترة لاحقة.
• D هو مبلغ الدفعة الأولية لمبلغ دفع متزايد بشكل أسي (هندسي)، والذي يبدأ عند D ويزداد بمعامل (1 + g ) في كل فترة لاحقة.

تُحوّل المعدلات أحيانًا إلى ما يُعادلها من معدل الفائدة المركبة المستمرة، لأن المكافئ المستمر أكثر ملاءمة (على سبيل المثال، أسهل في التفاضل). يمكن إعادة صياغة كل صيغة من الصيغ المذكورة أعلاه في مكافئاتها المستمرة. على سبيل المثال، يمكن إعادة صياغة القيمة الحالية عند الزمن 0 لدفعة مستقبلية عند الزمن t بالطريقة التالية، حيث e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي و r هو معدل الفائدة المركبة المستمرة:

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}$

يمكن تعميم ذلك على معدلات الخصم المتغيرة بمرور الوقت: فبدلاً من معدل خصم ثابت r، يُستخدم دالة زمنية r ( t ). في هذه الحالة، يُعطى عامل الخصم، وبالتالي القيمة الحالية، للتدفق النقدي عند الزمن T بتكامل المعدل المركب باستمرار r ( t ).

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}$

في الواقع، يتمثل أحد الأسباب الرئيسية لاستخدام التراكم المستمر في تبسيط تحليل معدلات الخصم المتغيرة، وإتاحة استخدام أدوات التفاضل والتكامل. علاوة على ذلك، بالنسبة للفائدة المتراكمة والمضافة إلى رأس المال خلال الليل (وبالتالي تراكمها يوميًا)، يُعد التراكم المستمر تقريبًا دقيقًا للتراكم اليومي الفعلي. وتشمل التحليلات الأكثر تعقيدًا استخدام المعادلات التفاضلية ، كما هو موضح أدناه.

تُعدّ المعادلات التفاضلية العادية والجزئية (ODEs وPDEs) - وهي معادلات تتضمن مشتقات ومتغيرًا واحدًا ( أو عدة متغيرات على التوالي) - شائعة في المعالجات المتقدمة للرياضيات المالية . وبينما يمكن فهم القيمة الزمنية للنقود دون استخدام إطار المعادلات التفاضلية، فإنّ هذا التعقيد الإضافي يُلقي مزيدًا من الضوء على القيمة الزمنية، ويُقدّم مدخلًا بسيطًا قبل الخوض في حالات أكثر تعقيدًا وأقل شيوعًا. يتبع هذا العرض ( كار وفليسكر ، 2006 ، ص 6-7) .

يتمثل التغيير الجوهري الذي يُحدثه منظور المعادلات التفاضلية في أنه بدلاً من حساب عدد (القيمة الحالية الآن )، يتم حساب دالة (القيمة الحالية الآن أو في أي وقت في المستقبل ). ويمكن بعد ذلك تحليل هذه الدالة (كيف تتغير قيمتها بمرور الوقت؟) أو مقارنتها بدوال أخرى.

بصورة رسمية، تُعطى عبارة "تتناقص القيمة بمرور الوقت" من خلال تعريف المؤثر التفاضلي الخطي${\displaystyle {\mathcal {L}}}$مثل:

${\displaystyle {\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).}$

ينص هذا على أن القيمة تتناقص (-) بمرور الوقت (∂t ₎ بمعدل الخصم ( r ( t )). عند تطبيقه على دالة، ينتج ما يلي:

${\displaystyle {\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).}$

بالنسبة لأداة مالية يُوصف تدفق مدفوعاتها بالدالة f ( t )، فإن القيمة V ( t ) تحقق المعادلة التفاضلية العادية غير المتجانسة من الدرجة الأولى${\displaystyle {\mathcal {L}}V=f}$"غير متجانس" لأن لدينا f بدلاً من 0، و"من الدرجة الأولى" لأن لدينا مشتقات أولى ولكن ليس لدينا مشتقات أعلى) - وهذا يشفر حقيقة أنه عندما يحدث أي تدفق نقدي، تتغير قيمة الأداة بقيمة التدفق النقدي (إذا تلقى المرء قسيمة بقيمة 10 جنيهات إسترلينية، فإن القيمة المتبقية تنخفض بمقدار 10 جنيهات إسترلينية بالضبط).

تُعدّ دوال غرين الأداة التقنية القياسية في تحليل المعادلات التفاضلية العادية ، والتي يمكن من خلالها بناء حلول أخرى. من منظور القيمة الزمنية للنقود، تُمثّل دالة غرين (للمعادلة التفاضلية العادية للقيمة الزمنية) قيمة سند يدفع جنيهًا إسترلينيًا واحدًا عند لحظة زمنية محددة u ؛ ويمكن الحصول على قيمة أي تدفق نقدي آخر من خلال جمع هذه التدفقات النقدية الأساسية. رياضيًا، يُنمذج هذا التدفق النقدي اللحظي باستخدام دالة ديراك دلتا.${\displaystyle \delta _{u}(t):=\delta (t-u).}$

دالة غرين لقيمة التدفق النقدي البالغ جنيهًا إسترلينيًا واحدًا في الوقت u عند الزمن t هي

${\displaystyle b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)}$

حيث H هي دالة هيفسايد المتدرجة . الرمز "${\displaystyle ;u}$يهدف هذا إلى التأكيد على أن u مُعامل ( ثابت في أي لحظة - وقت حدوث التدفق النقدي)، بينما t متغير (الزمن). بعبارة أخرى، يتم خصم التدفقات النقدية المستقبلية أُسّيًا (exp) بواسطة مجموع (التكامل ،${\displaystyle \textstyle {\int }}$) معدلات الخصم المستقبلية (${\displaystyle \textstyle {\int _{t}^{u}}}$(للمستقبل، r ( v ) لمعدلات الخصم)، بينما تبلغ قيمة التدفقات النقدية السابقة صفرًا (${\displaystyle H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u}$لأنها قد حدثت بالفعل. لاحظ أن قيمة التدفق النقدي في لحظة حدوثه غير محددة بدقة، إذ يوجد انقطاع عند تلك النقطة، ويمكن استخدام اصطلاح (بافتراض أن التدفقات النقدية قد حدثت بالفعل، أو لم تحدث بعد)، أو ببساطة عدم تحديد القيمة عند تلك النقطة.

في حالة ثبات معدل الخصم،${\displaystyle r(v)\equiv r,}$وهذا يتبسط إلى

${\displaystyle b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}}$

أين${\displaystyle (u-t)}$هو "الوقت المتبقي حتى التدفق النقدي".

وبالتالي، بالنسبة لتدفقات نقدية f ( u ) تنتهي بحلول الوقت T (والذي يمكن ضبطه على${\displaystyle T=+\infty }$(بدون أفق زمني) القيمة عند الزمن t،${\displaystyle V(t;T)}$يتم الحصول عليها من خلال جمع قيم هذه التدفقات النقدية الفردية:

${\displaystyle V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.}$

هذا يضفي طابعاً رسمياً على القيمة الزمنية للنقود إلى القيم المستقبلية للتدفقات النقدية بمعدلات خصم متغيرة، وهو أساس العديد من الصيغ في الرياضيات المالية، مثل صيغة بلاك-شولز مع معدلات فائدة متغيرة .

• العلوم الاكتوارية
• التدفق النقدي المخصوم
• نمو الأرباح
• النمو الأسي
• الإدارة المالية
• الخصم المفرط
• استهداف التضخم
• معدل العائد الداخلي
• القيمة الحالية الصافية
• قيمة وقت الخيار
• القيمة الحقيقية مقابل القيمة الاسمية (الاقتصاد)
• العائد على الوقت المستثمر
• تأثير كرة الثلج
• القيمة الحالية عامل الفائدة

• كتاب إلكتروني عن القيمة الزمنية للنقود