معادلة تفاضلية عادية

منح${\displaystyle F}$، وهي وظيفة من${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$ومشتقات${\displaystyle y}$ثم معادلة على الصورة

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

تُسمى معادلة تفاضلية عادية صريحة من الرتبة${\displaystyle n}$[ ^{13 ] [ 14 ]​}

وبشكل أعم، معادلة تفاضلية عادية ضمنية من الرتبة${\displaystyle n}$يأخذ الشكل التالي: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

وهناك تصنيفات أخرى:

مستقل

تكون المعادلة التفاضلية مستقلة إذا لم تعتمد على المتغير x .

خطي

تكون المعادلة التفاضلية خطية إذا${\displaystyle F}$يمكن كتابتها كمزيج خطي من مشتقات${\displaystyle y}$أي أنه يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

أين${\displaystyle a_{i}(x)}$و${\displaystyle r(x)}$هي دوال متصلة لـ${\displaystyle x}$[ ^{13 ] [ 16 ] [ 17 ]​}

الوظيفة${\displaystyle r(x)}$يُطلق عليه اسم المصطلح المصدر ، مما يؤدي إلى مزيد من التصنيف. ^{[ 16 ] [ 18 ]}

متجانس

تكون المعادلة التفاضلية الخطية متجانسة إذا${\displaystyle r(x)=0}$في هذه الحالة، يوجد دائمًا " الحل البسيط " .${\displaystyle y=0}$.

غير متجانس (أو غير متجانس)

تكون المعادلة التفاضلية الخطية غير متجانسة إذا${\displaystyle r(x)\neq 0}$.

غير خطي

معادلة تفاضلية غير خطية.

يشكل عدد من المعادلات التفاضلية المترابطة نظامًا من المعادلات. إذا${\displaystyle \mathbf {y} }$هو متجه عناصره عبارة عن دوال؛${\displaystyle \mathbf {y} (x)=[y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{m}(x)]}$، و${\displaystyle \mathbf {F} }$هي دالة ذات قيم متجهة لـ${\displaystyle \mathbf {y} }$ومشتقاتها، إذن

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}$

هو نظام صريح من المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة${\displaystyle n}$والأبعاد​${\displaystyle m}$. في شكل متجه عمودي :

$// {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^ {(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

هذه ليست بالضرورة خطية. والنظير الضمني لها هو:

${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}}$

أين${\displaystyle {\boldsymbol {0}}=(0,0,\ldots ,0)}$هو المتجه الصفري . في شكل مصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^ {(ن)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

بالنسبة لنظام من الشكل${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}}$تتطلب بعض المصادر أيضًا أن تكون مصفوفة جاكوبي${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}}$يُشترط أن تكون المصفوفة غير منفردة لكي يُطلق على هذا النظام اسم نظام معادلات تفاضلية عادية ضمني؛ ويمكن تحويل نظام المعادلات التفاضلية العادية الضمني الذي يحقق شرط عدم التفرد في مصفوفة جاكوبي إلى نظام معادلات تفاضلية عادية صريح. في المصادر نفسها، تُسمى أنظمة المعادلات التفاضلية العادية الضمنية ذات مصفوفة جاكوبي المنفردة بالمعادلات التفاضلية الجبرية . هذا التمييز ليس مجرد تمييز مصطلحي؛ فالمعادلات التفاضلية الجبرية لها خصائص مختلفة جوهريًا، وعادةً ما يكون حلها أكثر تعقيدًا من حل أنظمة المعادلات التفاضلية العادية (غير المنفردة). ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]} يُفترض، بالنسبة للمشتقات الإضافية، أن مصفوفة هيسيان وما إلى ذلك تُفترض أيضًا غير منفردة وفقًا لهذا المخطط، مع ملاحظة أنه يمكن (ويُعاد عادةً) إعادة كتابة أي معادلة تفاضلية عادية من رتبة أكبر من واحد كنظام معادلات تفاضلية عادية من الرتبة الأولى ، ^{[ 22 ]} مما يجعل معيار تفرد مصفوفة جاكوبي كافيًا لشمولية هذا التصنيف لجميع الرتب.

يمكن تصور سلوك نظام المعادلات التفاضلية العادية من خلال استخدام مخطط الطور .

بفرض معادلة تفاضلية

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}$

دالة${\displaystyle u:I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$، أين${\displaystyle I}$إذا كانت فترة، فإنها تسمى حلاً أو منحنى تكاملي لـ${\displaystyle F}$، لو${\displaystyle u}$يكون${\displaystyle n}$قابلة للتفاضل مرات على${\displaystyle I}$، و

${\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

بافتراض وجود حلين${\displaystyle u:J\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$و${\displaystyle v:I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$،${\displaystyle u}$يُطلق عليه اسم امتداد لـ${\displaystyle v}$لو${\displaystyle I\subset J}$و

${\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

يُطلق على الحل الذي ليس له امتداد اسم الحل الأقصى . الحل المعرف على جميع${\displaystyle \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسم الحل العالمي .

حل عام لـ${\displaystyle n}$المعادلة من الرتبة n هي حل يحتوي على${\displaystyle n}$ثوابت تكامل مستقلة اختيارية . يُشتق حل خاص من الحل العام بتحديد قيم معينة للثوابت، تُختار غالبًا لتحقيق مجموعة من " الشروط الابتدائية أو الشروط الحدية ". ^{[ 23 ]} الحل الشاذ هو حل لا يمكن الحصول عليه بتعيين قيم محددة للثوابت الاختيارية في الحل العام. ^{[ 24 ]}

في سياق المعادلات التفاضلية الخطية، يُمكن أن يُشير مصطلح " الحل الخاص" إلى أي حل للمعادلة التفاضلية (حتى لو لم يُحقق الشروط الابتدائية)، والذي يُضاف إلى الحل المتجانس (الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة)، ليُشكّل في النهاية الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية. هذا هو المصطلح المُستخدم في قسم طريقة التخمين في هذه المقالة، ويُستخدم بكثرة عند مناقشة طريقة المعاملات غير المُحددة وتغيير المعاملات .

بالنسبة للمعادلات التفاضلية العادية غير الخطية المستقلة، من الممكن، في ظل شروط معينة، إيجاد حلول ذات مدة زمنية محدودة ^{[ 25 ]،} أي أن النظام، بحكم ديناميكيته، سيصل إلى القيمة صفر عند لحظة زمنية محددة، ويبقى عند الصفر إلى الأبد. لا يمكن أن تكون هذه الحلول ذات المدة الزمنية المحدودة دوالًا تحليلية على كامل خط الأعداد الحقيقية، ولأنها ستكون دوالًا غير ليبشيتزية عند لحظة نهايتها، فإنها لا تدخل ضمن نظرية تفرد حلول المعادلات التفاضلية الليبشيتزية.

على سبيل المثال، المعادلة

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

يقبل الحل ذو المدة المحدودة:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

كانت نظرية الحلول الشاذة للمعادلات التفاضلية العادية والجزئية موضوعًا للبحث منذ عهد لايبنتز، لكنها لم تحظَ باهتمام خاص إلا منذ منتصف القرن التاسع عشر. ومن الأعمال القيّمة، وإن كانت غير معروفة على نطاق واسع، في هذا المجال عمل هوتان (1854). وكان داربو (منذ عام 1873) رائدًا في هذه النظرية، وفي التفسير الهندسي لهذه الحلول، فتح آفاقًا جديدةً أمام العديد من الباحثين، ولا سيما كاسوراتي وكايلي . ويعود الفضل إلى كايلي (1872) في وضع نظرية الحلول الشاذة للمعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى، كما تم قبولها في حوالي عام 1900 .

كانت المحاولة البدائية في معالجة المعادلات التفاضلية تهدف إلى اختزالها إلى تكاملات تربيعية ، أي التعبير عن الحلول بدلالة دوال معلومة وتكاملاتها. كان هذا ممكنًا للمعادلات الخطية ذات المعاملات الثابتة، ولكن تبين في القرن التاسع عشر أنه مستحيل عمومًا في الحالات الأخرى. ومن ثم، بدأ المحللون بدراسة الدوال التي تمثل حلولًا للمعادلات التفاضلية (لأغراضهم الخاصة)، مما فتح مجالًا جديدًا وخصبًا. وكان كوشي أول من أدرك أهمية هذا المنظور. بعد ذلك، لم يعد السؤال الحقيقي هو ما إذا كان الحل ممكنًا بالتكاملات التربيعية، بل ما إذا كانت معادلة تفاضلية معينة كافية لتعريف دالة، وإذا كان الأمر كذلك، فما هي الخصائص المميزة لهذه الدوال.

ألهمت مذكرتان لفوش ^{[ 26 ]} منهجًا جديدًا، طوّره لاحقًا كلٌ من تومي وفروبينيوس . (من؟) كان كوليه مساهمًا بارزًا بدءًا من عام 1869. وقد أبلغ برتراند بطريقته لتكامل نظام غير خطي في عام 1868. هاجم كليبش (1873) النظرية بخطوط موازية لتلك الموجودة في نظريته عن التكاملات الأبيلية . ولأن الأخيرة يمكن تصنيفها وفقًا لخصائص المنحنى الأساسي الذي يظل دون تغيير تحت تحويل كسري، فقد اقترح كليبش تصنيف الدوال المتسامية المعرفة بواسطة المعادلات التفاضلية وفقًا للخصائص الثابتة للأسطح المقابلة.${\displaystyle f=0}$في ظل التحويلات النسبية أحادية التقابل.

منذ عام 1870، أرست أعمال سوفوس لي أسسًا أكثر متانة لنظرية المعادلات التفاضلية. فقد بيّن أن نظريات التكامل التي وضعها علماء الرياضيات الأقدم يمكن ربطها، باستخدام زمر لي ، بمصدر مشترك، وأن المعادلات التفاضلية العادية التي تقبل نفس التحويلات المتناهية الصغر تُظهر صعوبات تكاملية مماثلة. كما ركّز على موضوع تحويلات التماس .

لقد تم إثبات صحة نظرية لي للمجموعات في المعادلات التفاضلية، وتحديداً: (1) أنها توحد العديد من الطرق المخصصة المعروفة لحل المعادلات التفاضلية، و(2) أنها توفر طرقاً جديدة فعالة لإيجاد الحلول. وللنظرية تطبيقات على كل من المعادلات التفاضلية العادية والجزئية. ^{[ 27 ]}

يعتمد منهج الحل العام على خاصية التناظر للمعادلات التفاضلية، والتحويلات المتناهية الصغر المستمرة للحلول إلى حلول أخرى ( نظرية لي ). وتُستخدم نظرية الزمر المستمرة ، وجبر لي ، والهندسة التفاضلية لفهم بنية المعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية (الجزئية) لتوليد معادلات قابلة للتكامل، ولإيجاد أزواج لاكس ، ومؤثرات التكرار، وتحويل باكلوند ، وأخيرًا إيجاد حلول تحليلية دقيقة للمعادلات التفاضلية.

تم تطبيق أساليب التناظر على المعادلات التفاضلية التي تنشأ في الرياضيات والفيزياء والهندسة وغيرها من التخصصات.

نظرية ستورم-ليوفيل هي نظرية لنوع خاص من المعادلات التفاضلية الخطية العادية من الرتبة الثانية. تعتمد حلولها على القيم الذاتية والدوال الذاتية المناظرة لها لمؤثرات خطية مُعرَّفة عبر معادلات خطية متجانسة من الرتبة الثانية . تُعرف هذه المسائل بمسائل ستورم-ليوفيل (SLP)، وهي نسبةً إلى يوهان  سي.  إف.  ستورم وجون ليوفيل اللذين درساها في منتصف القرن التاسع عشر. تتميز مسائل ستورم- ليوفيل  بعدد لا نهائي من القيم الذاتية، وتشكل الدوال الذاتية المناظرة لها مجموعة كاملة ومتعامدة، مما يُتيح إجراء عمليات توسيع متعامدة. تُعد هذه فكرة أساسية في الرياضيات التطبيقية والفيزياء والهندسة. ^{[ 28 ]} كما تُستخدم مسائل ستورم-ليوفيل في تحليل بعض المعادلات التفاضلية الجزئية.

يمكن صياغة النظرية ببساطة على النحو التالي. ^{[ 30 ]} بالنسبة للمعادلة ومسألة القيمة الابتدائية: $${\displaystyle y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})}$$ لو${\displaystyle F}$و${\displaystyle \partial F/\partial y}$متصلة في مستطيل مغلق $${\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$$ في${\displaystyle x-y}$طائرة، حيث${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$حقيقية (رمزياً :${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$) و ${\displaystyle \times }$يرمز إلى الضرب الديكارتي ، وترمز الأقواس المربعة إلى فترات مغلقة ، إذن توجد فترة $${\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$$ بالنسبة للبعض${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$حيث يمكن إيجاد حل المعادلة المذكورة أعلاه ومسألة القيمة الابتدائية. أي أن هناك حلاً وهو حل وحيد. بما أنه لا يوجد قيد على${\displaystyle F}$لكي تكون خطية، ينطبق هذا على المعادلات غير الخطية التي تأخذ الشكل التالي:${\displaystyle F(x,y)}$ويمكن تطبيقه أيضاً على أنظمة المعادلات.

عندما تتحقق فرضيات نظرية بيكارد-ليندلوف، يمكن تعميم الوجود المحلي والوحدانية ليشمل نتيجة شاملة. بتعبير أدق: ^{[ 31 ]}

لكل شرط ابتدائي${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$توجد فترة مفتوحة قصوى فريدة (ربما لا نهائية)

${\displaystyle I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}$

بحيث يكون أي حل يحقق هذا الشرط الابتدائي بمثابة تقييد للحل الذي يحقق هذا الشرط الابتدائي ذي المجال${\displaystyle I_{\max }}$.

في حالة أن${\displaystyle x_{\pm }\neq \pm \infty }$هناك احتمالان فقط

• انفجار في وقت محدود:${\displaystyle \limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty }$
• نطاق التعريف:${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}}$

أين${\displaystyle \Omega }$هي المجموعة المفتوحة التي${\displaystyle F}$يتم تعريفها، و${\displaystyle \partial {\bar {\Omega }}}$هي حدودها.

لاحظ أن المجال الأقصى للحل

• هي دائماً فترة (لتحقيق التفرد)
• قد يكون أصغر من${\displaystyle \mathbb {R} }$
• قد يعتمد ذلك على الاختيار المحدد لـ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

مثال.

${\displaystyle y'=y^{2}}$

هذا يعني أن${\displaystyle F(x,y)=y^{2}}$، وهو${\displaystyle C^{1}}$وبالتالي فهي متصلة محليًا وفقًا لشرط ليبشيتز، مما يحقق نظرية بيكارد-ليندلوف.

حتى في مثل هذه الحالة البسيطة، لا يمكن أن يكون نطاق الحل الأقصى هو كل شيء${\displaystyle \mathbb {R} }$لأن الحل هو

${\displaystyle y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}}$

الذي يمتلك أقصى مدى:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}}$

يُظهر هذا بوضوح أن الحد الأقصى للفترة الزمنية قد يعتمد على الشروط الابتدائية. مجال${\displaystyle y}$يمكن اعتبار ذلك بمثابة${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),}$لكن هذا سيؤدي إلى مجال ليس فترة، بحيث يكون الجانب المقابل للشرط الأولي منفصلاً عن الشرط الأولي، وبالتالي لا يتم تحديده بشكل فريد من خلاله.

المجال الأقصى ليس${\displaystyle \mathbb {R} }$لأن

${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,}$

وهو أحد الحالتين المحتملتين وفقًا للنظرية المذكورة أعلاه.

أي معادلة تفاضلية صريحة من الرتبة${\displaystyle n}$،

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

يمكن كتابتها كنظام من${\displaystyle n}$المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى عن طريق تعريف عائلة جديدة من الدوال المجهولة

${\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}.\!}$

ل${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$. ال${\displaystyle n}$ثم يكون النظام ذو الأبعاد n من المعادلات التفاضلية المقترنة من الدرجة الأولى هو

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}}$

بشكل أكثر إيجازًا في تدوين المتجهات:

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )}$

أين

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).}$