معدل العائد الداخلي

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 49 صور
الموسوعة الحرة

معدل العائد الداخلي ( IRR ) هو طريقة لحساب معدل العائد على الاستثمار . يشير مصطلح "داخلي" إلى أن الحساب يستبعد العوامل الخارجية، مثل معدل العائد الخالي من المخاطر ، والتضخم ، وتكلفة رأس المال ، أو المخاطر المالية .

يمكن تطبيق هذه الطريقة إما بعد وقوع الحدث أو قبل وقوعه . عند تطبيقها قبل وقوع الحدث، يُعدّ معدل العائد الداخلي تقديرًا لمعدل العائد السنوي المستقبلي. أما عند تطبيقها بعد وقوع الحدث، فإنه يقيس العائد الفعلي المحقق من استثمار سابق.

ويُطلق عليه أيضاً معدل العائد على التدفقات النقدية المخصومة (DCFROR) [ 1 ] أو معدل العائد. [ 2 ]

تعريف

معدل العائد الداخلي (IRR) للاستثمار أو المشروع هو "معدل العائد المركب السنوي الفعلي" أو معدل العائد الذي يجعل صافي القيمة الحالية (NPV) لجميع التدفقات النقدية (سواء كانت موجبة أو سالبة) من الاستثمار مساوياً للصفر. [ 2 ] [ 3 ] وبصورة مكافئة، هو سعر الفائدة الذي تتساوى عنده صافي القيمة الحالية للتدفقات النقدية المستقبلية مع الاستثمار الأولي، [ 2 ] [ 3 ] وهو أيضاً سعر الفائدة الذي تتساوى عنده القيمة الحالية الإجمالية للتكاليف (التدفقات النقدية السالبة) مع القيمة الحالية الإجمالية للمنافع (التدفقات النقدية الموجبة).

يمثل معدل العائد الداخلي (IRR) العائد على الاستثمار الذي يتحقق عندما يصل المشروع إلى نقطة التعادل، أي عندما يكون المشروع ذا قيمة هامشية فقط. عندما تكون القيمة الحالية الصافية (NPV) موجبة، فهذا يشير إلى أن المشروع من المتوقع أن يحقق قيمة. وعلى العكس، إذا كانت القيمة الحالية الصافية سالبة، فمن المتوقع أن يخسر المشروع قيمة. باختصار، يشير معدل العائد الداخلي إلى معدل العائد الذي يتحقق عندما تصل القيمة الحالية الصافية للمشروع إلى حالة محايدة، أي عند نقطة التعادل. [ 4 ]

يُراعي معدل العائد الداخلي (IRR) تفضيل الوقت للنقود والاستثمارات. فالعائد المُستلم على الاستثمار في وقت مُحدد يكون أعلى من العائد نفسه المُستلم في وقت لاحق، وبالتالي فإن العائد في الحالة الأخيرة يكون أقل من العائد في الحالة الأولى، إذا تساوت جميع العوامل الأخرى. فعلى سبيل المثال، يكون معدل العائد الداخلي للاستثمار ذي الدخل الثابت، الذي يُودع فيه المال مرة واحدة، ويُدفع للمستثمر فائدة على هذا الإيداع بسعر فائدة مُحدد في كل فترة زمنية، دون أن يزيد أو ينقص المبلغ الأصلي للإيداع، مساوياً لسعر الفائدة المُحدد. أما الاستثمار الذي يحقق نفس إجمالي العوائد للاستثمار السابق، ولكنه يؤجل العوائد لفترة زمنية واحدة أو أكثر، فيكون معدل العائد الداخلي له أقل.

الاستخدامات

المدخرات والقروض

في سياق الادخار والقروض، يُطلق على معدل العائد الداخلي أيضًا اسم معدل الفائدة الفعلي .

ربحية الاستثمار

معدل العائد الداخلي (IRR) هو مؤشر على ربحية الاستثمار وكفاءته وجودته وعائده . وهذا يختلف عن صافي القيمة الحالية (NPV )، الذي يُعد مؤشراً على القيمة الصافية أو حجم الزيادة الناتجة عن الاستثمار.

لتحقيق أقصى قيمة للمشروع، لا ينبغي القيام بأي استثمار إلا إذا كانت ربحيته، كما يُقاس بمعدل العائد الداخلي، أعلى من الحد الأدنى المقبول للعائد . فإذا تجاوز معدل العائد الداخلي المُقدَّر لمشروع أو استثمار - على سبيل المثال، بناء مصنع جديد - تكلفة رأس المال المُستثمر في ذلك المشروع، يكون الاستثمار مُربحًا. أما إذا كان معدل العائد الداخلي المُقدَّر أقل من تكلفة رأس المال، فلا ينبغي تنفيذ المشروع المُقترح. [ 5 ]

قد يخضع اختيار الاستثمارات لقيود الميزانية. فقد توجد مشاريع متنافسة حصرية ، أو قيود على قدرة الشركة على إدارة مشاريع متعددة. لهذه الأسباب، تستخدم الشركات معدل العائد الداخلي (IRR) في ميزانية رأس المال لمقارنة ربحية مجموعة من مشاريع رأس المال البديلة . على سبيل المثال، تقارن الشركة بين الاستثمار في مصنع جديد وتوسيع مصنع قائم بناءً على معدل العائد الداخلي لكل مشروع. ولتحقيق أقصى عائد ، كلما ارتفع معدل العائد الداخلي للمشروع، زادت جاذبيته.

توجد طريقتان على الأقل لقياس معدل العائد الداخلي للاستثمار: معدل العائد الداخلي للمشروع ومعدل العائد الداخلي لحقوق الملكية. يفترض معدل العائد الداخلي للمشروع أن التدفقات النقدية تعود بالفائدة المباشرة على المشروع، بينما يأخذ معدل العائد الداخلي لحقوق الملكية في الاعتبار عوائد مساهمي الشركة بعد سداد الدين. [ 6 ]

على الرغم من أن معدل العائد الداخلي (IRR) يُعدّ من أكثر المقاييس شيوعًا لاختبار جدوى الاستثمار ومقارنة عوائد المشاريع البديلة، إلا أن الاعتماد عليه وحده قد لا يكون النهج الأمثل لاتخاذ قرار استثماري. فبعض الافتراضات التي تُبنى عليها حسابات معدل العائد الداخلي لا تنطبق دائمًا على الاستثمار. فعلى سبيل المثال، يفترض معدل العائد الداخلي أن المشروع إما لن يحقق أي تدفقات نقدية مؤقتة، أو أن هذه التدفقات ستُعاد استثمارها في المشروع، وهو ما لا يحدث دائمًا. ويؤدي هذا التباين إلى المبالغة في تقدير معدل العائد، مما قد يُعطي صورة غير دقيقة عن قيمة المشروع. [ 7 ]

الدخل الثابت

يُستخدم معدل العائد الداخلي لتقييم الاستثمارات في الأوراق المالية ذات الدخل الثابت، باستخدام مقاييس مثل العائد حتى تاريخ الاستحقاق والعائد حتى تاريخ الاستدعاء .

الإلتزامات

يمكن تطبيق كل من معدل العائد الداخلي والقيمة الحالية الصافية على الالتزامات والاستثمارات على حد سواء. بالنسبة للالتزامات، يُفضل معدل العائد الداخلي المنخفض على المعدل المرتفع.

إدارة رأس المال

تستخدم الشركات معدل العائد الداخلي (IRR) لتقييم إصدارات الأسهم وبرامج إعادة شراء الأسهم . وتُعتبر عملية إعادة شراء الأسهم ناجحة إذا كان معدل العائد الداخلي فيها أعلى من معدل العائد الداخلي لمشاريع الاستثمار الرأسمالي أو مشاريع الاستحواذ المرشحة بالأسعار السوقية الحالية. كما قد يشمل تمويل المشاريع الجديدة عن طريق الاقتراض قياس تكلفة الدين الجديد من حيث العائد حتى تاريخ الاستحقاق (معدل العائد الداخلي).

الاستثمار الخاص

يُستخدم معدل العائد الداخلي أيضًا في مجال الاستثمار الخاص ، من وجهة نظر الشركاء المحدودين، كمقياس لأداء الشريك العام كمدير استثمار. [ 8 ] وذلك لأن الشريك العام هو من يتحكم في التدفقات النقدية، بما في ذلك عمليات سحب رأس المال الملتزم به من قبل الشركاء المحدودين .

حساب

بالنظر إلى مجموعة من الأزواج ( الوقت ، التدفق النقدي ) التي تمثل مشروعًا، فإن صافي القيمة الحالية هو دالة لمعدل العائد . معدل العائد الداخلي هو المعدل الذي تكون عنده هذه الدالة صفرًا، أي أن معدل العائد الداخلي هو حل للمعادلة NPV = 0 (بافتراض عدم وجود شروط للمراجحة).

بالنظر إلى أزواج (الفترة، التدفق النقدي) (ن{\displaystyle n}،جن{\displaystyle C_{n}}) أينن{\displaystyle n}هو عدد صحيح غير سالب، إجمالي عدد الفتراتشمال{\displaystyle N}وصافي القيمة الحالية{\displaystyle \operatorname {NPV} }، ( صافي القيمة الحالية )؛ ويُعطى معدل العائد الداخلي بواسطةر{\displaystyle r}في:

صافي القيمة الحالية=∑ن=0شمالجن(1+ر)ن=0{\displaystyle \operatorname {NPV} =\sum _{n=0}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{n}}}=0}

[ 2 ] [ 3 ]

يمكن تحويل هذه المعادلة الكسرية إلى معادلة عادية لها نفس الجذور عن طريق استبدال g (الربح) بـ1+ر{\displaystyle 1+r}والضرب فيزشمال{\displaystyle g^{N}}للحصول على الشرط المكافئ ولكن الأبسط

∑ن=0شمالجنزشمال-ن=0{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}C_{n}g^{Nn}=0}

معدلات العائد الداخلي المحتملة هي القيم الحقيقية لـ r التي تحقق الشرط الأول، وأقل بواحد من الجذور الحقيقية للشرط الثاني (أي،ر=ز-1{\displaystyle r=g-1}لكل جذر g ). لاحظ أنه في كلتا الصيغتين،ج0{\displaystyle C_{0}}هو نفي للاستثمار الأولي في بداية المشروع بينماجشمال{\displaystyle C_{N}}تمثل القيمة النقدية للمشروع في النهاية، أو ما يعادلها من النقد المسحوب في حال تصفية المشروع وسداده بحيث تنخفض قيمته إلى الصفر. في الحالة الثانيةج0{\displaystyle C_{0}}يمثل المعامل الرئيسي لكثير الحدود العادي في g بينماجشمال{\displaystyle C_{N}}هو الحد الثابت .

الفترةن{\displaystyle n}عادةً ما يتم التعبير عن ذلك بالسنوات، ولكن يمكن تبسيط الحساب إذار{\displaystyle r}يتم حسابها باستخدام الفترة التي يتم فيها تحديد غالبية المشكلة (على سبيل المثال، باستخدام الأشهر إذا كانت معظم التدفقات النقدية تحدث على فترات شهرية) ويتم تحويلها إلى فترة سنوية بعد ذلك.

يمكن استخدام أي وقت ثابت بدلاً من الوقت الحاضر (على سبيل المثال، نهاية فترة واحدة من الدفعة السنوية )؛ وتكون القيمة التي تم الحصول عليها صفرًا إذا وفقط إذا كانت القيمة الحالية الصافية صفرًا.

في حالة كون التدفقات النقدية متغيرات عشوائية ، كما هو الحال في حالة المعاش التقاعدي مدى الحياة ، يتم وضع القيم المتوقعة في الصيغة المذكورة أعلاه.

غالباً ما تكون قيمةر{\displaystyle r}لا يمكن إيجاد الحل الذي يحقق المعادلة المذكورة أعلاه تحليلياً . في هذه الحالة، يجب استخدام الطرق العددية أو الطرق البيانية .

مثال

يمكن تحديد الاستثمار من خلال تسلسل التدفقات النقدية

سنة (ن{\displaystyle n})التدفق النقدي (جن{\displaystyle C_{n}})
0-123400
136200
254800
348100

ثم معدل العائد الداخلير{\displaystyle r}يُعطى بواسطة

صافي القيمة الحالية=-123400+36200(1+ر)1+54800(1+ر)2+48100(1+ر)3=0.{\displaystyle \operatorname {NPV} =-123400+{\frac {36200}{(1+r)^{1}}}+{\frac {54800}{(1+r)^{2}}}+{\frac {48100}{(1+r)^{3}}}=0.}

في هذه الحالة، تكون الإجابة 5.96٪ (في الحساب، أي أن r = 0.0596).

الحل العددي

بما أن ما سبق هو مظهر من مظاهر المشكلة العامة المتمثلة في إيجاد جذور المعادلةصافي القيمة الحالية⁡(ر)=0{\displaystyle \operatorname {NPV} (r)=0}هناك العديد من الطرق العددية التي يمكن استخدامها لتقديرر{\displaystyle r}على سبيل المثال، باستخدام طريقة القاطع ،ر{\displaystyle r}يُعطى بواسطة

رن+1=رن-صافي القيمة الحاليةن⋅(رن-رن-1صافي القيمة الحاليةن-صافي القيمة الحاليةن-1).{\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\cdot \left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right).}

أينرن{\displaystyle r_{n}}يُعتبرن{\displaystyle n}التقريب th لمعدل العائد الداخلي.

هذار{\displaystyle r}يمكن إيجادها بدرجة دقة تعسفية . قد توفر برامج المحاسبة المختلفة وظائف لمستويات دقة مختلفة. على سبيل المثال، يحتوي كل من مايكروسوفت إكسل وجوجل شيتس على وظائف مدمجة لحساب معدل العائد الداخلي لفترات زمنية ثابتة ومتغيرة؛ "=IRR(...)" و "=XIRR(...)".

يكون سلوك التقارب كما يلي:

  • إذا كانت الدالةصافي القيمة الحالية⁡(أنا){\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}له جذر حقيقي واحدر{\displaystyle r}ثم يتقارب التسلسل بشكل متكرر نحور{\displaystyle r}.
  • إذا كانت الدالةصافي القيمة الحالية⁡(أنا){\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}لديهن{\displaystyle n}جذور حقيقيةر1،ر2،...،رن{\displaystyle \scriptstyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}ثم يتقارب التسلسل إلى أحد الجذور، وقد يؤدي تغيير قيم الأزواج الأولية إلى تغيير الجذر الذي يتقارب إليه.
  • إذا كانت الدالةصافي القيمة الحالية⁡(أنا){\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}إذا لم يكن للمتتالية جذور حقيقية، فإنها تميل نحو +∞ .

امتلاكر1>ر0{\displaystyle \scriptstyle {r_{1}>r_{0}}}متىصافي القيمة الحالية0>0{\displaystyle \operatorname {NPV} _{0}>0}أور1<ر0{\displaystyle \scriptstyle {r_{1}<r_{0}}}متىصافي القيمة الحالية0<0{\displaystyle \operatorname {NPV} _{0}<0}قد يؤدي ذلك إلى تسريع تقاربرن{\displaystyle r_{n}}لر{\displaystyle r}.

الحل العددي لتدفق خارجي واحد وتدفقات داخلية متعددة

ومن الحالات ذات الأهمية الخاصة الحالة التي يتكون فيها تدفق المدفوعات من تدفق خارجي واحد، يليه تدفقات داخلية متعددة تحدث على فترات متساوية. في الترميز أعلاه، يتوافق هذا مع:

ج0<0،جن≥0 ل ن≥1.{\displaystyle C_{0}<0,\quad C_{n}\geq 0{\text{ for }}n\geq 1.\,}

في هذه الحالة ، تكون القيمة الحالية الصافية لتدفق المدفوعات دالة محدبة ومتناقصة تمامًا بالنسبة لسعر الفائدة. يوجد دائمًا حل وحيد لمعدل العائد الداخلي.

بافتراض وجود تقديرينر1{\displaystyle r_{1}}ور2{\displaystyle r_{2}}بالنسبة لمعدل العائد الداخلي، تُستخدم معادلة طريقة القاطع (انظر أعلاه) معن=2{\displaystyle n=2}ينتج دائماً تقديراً أفضلر3{\displaystyle r_{3}}يُشار إلى هذه الطريقة أحيانًا باسم طريقة التجربة والخطأ. ويمكن أيضًا الحصول على صيغ استيفاء أكثر دقة، مثل صيغة القاطع مع التصحيح.

رن+1=رن-صافي القيمة الحاليةن⁡(رن-رن-1صافي القيمة الحاليةن-صافي القيمة الحاليةن-1)(1-1.4صافي القيمة الحاليةن-1صافي القيمة الحاليةن-1-3صافي القيمة الحاليةن+2ج0)،{\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right)\left(1-1.4{\frac {\operatorname {NPV} _{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n-1}-3\operatorname {NPV} _{n}+2C_{0}}}\right),}

(وهو الأكثر دقة عندما0>صافي القيمة الحاليةن>صافي القيمة الحاليةن-1{\displaystyle 0>\operatorname {NPV} _{n}>\operatorname {NPV} _{n-1}}لقد ثبت أن هذه الطريقة أكثر دقة بعشر مرات تقريبًا من صيغة القاطع لمجموعة واسعة من أسعار الفائدة والتخمينات الأولية. على سبيل المثال، باستخدام سلسلة المدفوعات { -4000 ، 1200، 1410، 1875، 1050} والتخمينات الأوليةر1=0.25{\displaystyle r_{1}=0.25}ور2=0.2{\displaystyle r_{2}=0.2}تعطي صيغة القاطع مع التصحيح تقديرًا لمعدل العائد الداخلي بنسبة 14.2٪ (خطأ بنسبة 0.7٪) مقارنة بمعدل العائد الداخلي = 13.2٪ (خطأ بنسبة 7٪) من طريقة القاطع.

إذا تم تطبيقها بشكل تكراري، فإن طريقة القاطع أو الصيغة المحسنة تتقارب دائمًا إلى الحل الصحيح.

تعتمد كل من طريقة القاطع والصيغة المحسّنة على تقديرات أولية لمعدل العائد الداخلي. يمكن استخدام التقديرات الأولية التالية:

ر1=(أ/|ج0|)2/(شمال+1)-1{\displaystyle r_{1}=\left(A/|C_{0}|\right)^{2/(N+1)}-1\,}
ر2=(1+ر1)ص-1{\displaystyle r_{2}=(1+r_{1})^{p}-1\,}

أين

أ= مجموع التدفقات الداخلة =ج1+⋯+جشمال{\displaystyle A={\text{ sum of inflows }}=C_{1}+\cdots +C_{N}\,}
ص=سجل⁡(أ/|ج0|)سجل⁡(أ/صافي القيمة الحالية1،أنان).{\displaystyle p={\frac {\log(\mathrm {A} /|C_{0}|)}{\log(\mathrm {A} /\operatorname {NPV} _{1,in})}}.}

هنا،صافي القيمة الحالية1،أنان{\displaystyle \operatorname {NPV} _{1,in}}يشير إلى صافي القيمة الحالية للتدفقات الداخلة فقط (أي، مجموعةج0=0{\displaystyle \mathrm {C} _{0}=0}وحساب صافي القيمة الحالية).

التواريخ الدقيقة للتدفقات النقدية

التدفق النقديجن{\displaystyle C_{n}}قد يحدث ذلك في أي وقتتن{\displaystyle t_{n}}بعد سنوات من بدء المشروع.تن{\displaystyle t_{n}}قد لا يكون عددًا صحيحًا. يجب خصم التدفق النقدي بمعامل.1(1+ر)تن{\displaystyle {\frac {1}{(1+r)^{t_{n}}}}}والصيغة هي

صافي القيمة الحالية=ج0+∑ن=1شمالجن(1+ر)تن=0{\displaystyle \operatorname {NPV} =C_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{t_{n}}}}=0}

للحصول على حل عددي، يمكننا استخدام طريقة نيوتن

رك+1=رك-صافي القيمة الحاليةكصافي القيمة الحاليةك′{\displaystyle r_{k+1}=r_{k}-{\frac {\operatorname {NPV} _{k}}{\operatorname {NPV} '_{k}}}}

أينصافي القيمة الحالية′{\displaystyle \operatorname {NPV} '}هو مشتق منصافي القيمة الحالية{\displaystyle \operatorname {NPV} }ومقدمة من

صافي القيمة الحالية′=-∑ن=1شمالجن⋅تن(1+ر)تن+1{\displaystyle \operatorname {NPV} '=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}\cdot t_{n}}{(1+r)^{t_{n}+1}}}}

قيمة ابتدائيةر1{\displaystyle r_{1}}يمكن تقديمها بواسطة

ر1=-1ج0∑ن=1شمالجن-1{\displaystyle r_{1}={\frac {-1}{C_{0}}}\sum _{n=1}^{N}C_{n}-1}

مشاكل في الاستخدام

مقارنة بمعيار اختيار الاستثمار باستخدام صافي القيمة الحالية

عند استخدام معدل العائد الداخلي (IRR) كأداة لاتخاذ قرار استثماري بشأن ما إذا كان مشروع ما يُضيف قيمة أم لا، فإن مقارنة معدل العائد الداخلي لمشروع واحد مع معدل العائد المطلوب، بمعزل عن أي مشاريع أخرى، تُعادل طريقة صافي القيمة الحالية (NPV). إذا كان معدل العائد الداخلي المناسب (إن أمكن إيجاده بشكل صحيح) أكبر من معدل العائد المطلوب، وباستخدام معدل العائد المطلوب لخصم التدفقات النقدية إلى قيمتها الحالية، فإن صافي القيمة الحالية لذلك المشروع سيكون موجبًا، والعكس صحيح. مع ذلك، فإن استخدام معدل العائد الداخلي لترتيب المشاريع حسب الأفضلية لا يُعطي نفس الترتيب الذي يُعطيه استخدام صافي القيمة الحالية.

تعظيم صافي القيمة الحالية

يتمثل أحد أهداف الاستثمار الممكنة في تعظيم صافي القيمة الحالية الإجمالية للمشاريع.

عندما يكون الهدف هو تعظيم القيمة الإجمالية، لا ينبغي استخدام معدل العائد الداخلي المحسوب للاختيار بين المشاريع الحصرية المتبادلة.

مقارنة بين صافي القيمة الحالية ومعدل الخصم لمشروعين متنافيين. يتمتع المشروع "أ" بصافي قيمة حالية أعلى (عند معدلات خصم معينة)، على الرغم من أن معدل العائد الداخلي (الذي يمثل نقطة تقاطع المحور السيني ) أقل من معدل العائد الداخلي للمشروع "ب" (انقر للتكبير). 

في الحالات التي يكون فيها أحد المشاريع باستثمار أولي أعلى من مشروع ثانٍ حصري متبادل، قد يكون للمشروع الأول معدل عائد داخلي أقل (عائد متوقع)، ولكن صافي قيمة حالية أعلى (زيادة في ثروة المساهمين) وبالتالي ينبغي قبوله على المشروع الثاني (بافتراض عدم وجود قيود على رأس المال).

عندما يكون الهدف هو تعظيم القيمة الإجمالية، لا ينبغي استخدام معدل العائد الداخلي (IRR) لمقارنة المشاريع ذات المدد المختلفة. على سبيل المثال، قد تكون القيمة الحالية الصافية المضافة لمشروع ذي مدة أطول ولكن بمعدل عائد داخلي أقل أكبر من تلك الخاصة بمشروع مماثل في الحجم، من حيث إجمالي التدفقات النقدية الصافية، ولكن بمدة أقصر ومعدل عائد داخلي أعلى.

تفضيل الممارسين لمعدل العائد الداخلي على صافي القيمة الحالية

على الرغم من تفضيل الأوساط الأكاديمية القوي لقيمة صافي القيمة الحالية (NPV)، تشير الدراسات الاستقصائية إلى أن المديرين التنفيذيين يفضلون معدل العائد الداخلي (IRR) على قيمة صافي القيمة الحالية. [ 9 ] ويبدو أن المديرين يفضلون مقارنة الاستثمارات ذات الأحجام المختلفة من حيث أداء الاستثمار المتوقع، باستخدام معدل العائد الداخلي، بدلاً من تعظيم قيمة الشركة من حيث قيمة صافي القيمة الحالية. ويؤثر هذا التفضيل عند مقارنة المشاريع المتنافية.

تحقيق أقصى عائد على المدى الطويل

إن تعظيم القيمة الإجمالية ليس الهدف الاستثماري الوحيد الممكن. فمن الأهداف البديلة، على سبيل المثال، تعظيم العائد على المدى الطويل. ويؤدي هذا الهدف منطقياً إلى قبول المشاريع الجديدة ذات أعلى معدل عائد داخلي (IRR) ضمن الميزانية الرأسمالية أولاً، لأن إضافة هذه المشاريع من شأنها أن تزيد من إجمالي العائد على المدى الطويل.

مثال

لتوضيح ذلك، لنفترض وجود مستثمرين اثنين، أحدهما ذو قيمة قصوى والآخر ذو عائد أقصى. ترغب القيمة القصوى في زيادة ثروتها الصافية إلى أقصى حد ممكن، وستستثمر كل ما لديها من مال لتحقيق ذلك، بينما يسعى العائد الأقصى إلى تعظيم معدل العائد على المدى الطويل، ويفضل اختيار مشاريع ذات رأس مال أقل ولكن بعوائد أعلى. يستطيع كل من القيمة القصوى والعائد الأقصى الحصول على قرض يصل إلى 100,000 دولار أمريكي من البنك بفائدة سنوية قدرها 10% تُدفع في نهاية العام.

يُعرض على المستثمرين الراغبين في تحقيق أقصى قيمة وأقصى عائد مشروعان استثماريان محتملان، هما "الأكبر هو الأفضل" و"الصغير هو الجميل". يتطلب مشروع "الأكبر هو الأفضل" استثمارًا رأسماليًا قدره 100,000 دولار أمريكي اليوم، وسيحصل المستثمر المحظوظ على 132,000 دولار أمريكي بعد عام. أما مشروع "الصغير هو الجميل" فيتطلب استثمارًا رأسماليًا قدره 10,000 دولار أمريكي فقط اليوم، وسيُدرّ على المستثمر 13,750 دولارًا أمريكيًا بعد عام.

حل

تبلغ تكلفة رأس المال لكلا المستثمرين 10 بالمائة.

يتمتع كل من مبدأ "الأكبر هو الأفضل" ومبدأ "الصغير هو الجميل" بقيم صافية إيجابية:

صافي القيمة الحالية⁡(الأفضل هو الأكبر)=132،٠٠٠1.1-100،٠٠٠=20،٠٠٠{\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.1}}-100,000=20,000}
صافي القيمة الحالية⁡(الصغير جميل)=13،7501.1-10،٠٠٠=2،500{\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.1}}-10,000=2,500}

ويكون معدل العائد الداخلي لكل منهما (بالطبع) أكبر من تكلفة رأس المال:

شمالPV(الأفضل هو الأكبر)=132،٠٠٠1.32-100،٠٠٠=0{\displaystyle {\mathit {NPV}}({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.32}}-100,000=0}

إذن، معدل العائد الداخلي لاستراتيجية "الأكبر هو الأفضل" هو 32 بالمائة، و

صافي القيمة الحالية⁡(الصغير جميل)=13،7501.375-10،٠٠٠=0{\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.375}}-10,000=0}

وبالتالي فإن معدل العائد الداخلي لـ "الصغير جميل" هو 37.5 بالمائة.

كلا الاستثمارين مقبولان لدى كلا المستثمرين، لكن المفارقة تكمن في أنهما مشروعان متعارضان بالنسبة لهما، لأن ميزانيتهما الرأسمالية محدودة بمئة ألف دولار أمريكي. كيف سيختار المستثمرون بعقلانية بينهما؟

على سبيل المثال، يختار مستثمرو القيمة القصوى مشروع "الأكبر هو الأفضل" الذي يتمتع بأعلى قيمة حالية صافية تبلغ 20,000 دولار أمريكي، بينما يختار مستثمرو العائد الأقصى مشروع "الصغير هو الأفضل" لعائده الأعلى الذي يبلغ 37.5%، مقارنةً بعائد 32% الذي يقدمه مشروع "الأكبر هو الأفضل". والنتيجة هي أن كل صانع قرار يختار مشروعًا مختلفًا دون أي تعارض.

كيف يُمكن أن يكون هذا منطقيًا لكلا المستثمرين؟ يكمن الجواب في أن المستثمرين ليس عليهم استثمار كامل مبلغ 100,000 دولار أمريكي. يكتفي "ماكس ريتيرن" باستثمار 10,000 دولار أمريكي فقط في الوقت الحالي. ففي نهاية المطاف، قد يُبرر "ماكس ريتيرن" النتيجة بالتفكير في أنه ربما ستتاح غدًا فرص جديدة لاستثمار المبلغ المتبقي وقدره 90,000 دولار أمريكي الذي يرغب البنك في إقراضه له، بمعدلات عائد داخلي أعلى. حتى لو ظهرت سبعة مشاريع أخرى فقط تُطابق مشروع "سمول إز بيوتيفول"، فسيكون بإمكان "ماكس ريتيرن" مُضاهاة صافي القيمة الحالية لمشروع "بيغ إز ذا بيست"، باستثمار إجمالي قدره 80,000 دولار أمريكي فقط، مع بقاء 20,000 دولار أمريكي في الميزانية لاستثمارها في فرص لا تُفوّت. كما أن "ماكس فاليو" سعيدة أيضًا، لأنها استوفت ميزانيتها الرأسمالية مُباشرةً، وقررت التوقف عن الاستثمار لبقية العام.

معدلات عائد داخلي متعددة

عندما تتغير إشارة التدفقات النقدية أكثر من مرة، مثلاً عندما تتبع التدفقات النقدية الموجبة تدفقات سالبة ثم تدفقات موجبة أخرى (+ + − − − +)، قد يكون لمعدل العائد الداخلي (IRR) قيم حقيقية متعددة. في سلسلة من التدفقات النقدية مثل ( −10 ، 21، −11 )، يستثمر الشخص في البداية مبلغاً من المال، لذا فإن معدل العائد المرتفع هو الأفضل، لكنه يحصل بعد ذلك على أكثر مما يملك، وبالتالي يصبح مديناً، لذا فإن معدل العائد المنخفض هو الأفضل. في هذه الحالة، لا يتضح حتى ما إذا كان معدل العائد الداخلي المرتفع أم المنخفض هو الأفضل.

قد يكون هناك عدة معدلات عائد داخلي حقيقية لمشروع واحد، كما في المثال 0% و10%. ومن أمثلة هذا النوع من المشاريع مناجم التعدين السطحي ومحطات الطاقة النووية ، حيث يكون هناك عادةً تدفق نقدي كبير خارج في نهاية المشروع.

يُحقق معدل العائد الداخلي معادلة متعددة الحدود. ويمكن استخدام نظرية ستورم لتحديد ما إذا كانت هذه المعادلة تمتلك حلاً حقيقياً وحيداً. وبشكل عام، لا يمكن حل معادلة معدل العائد الداخلي تحليلياً، وإنما فقط بالتكرار.

مع وجود معدلات عائد داخلي متعددة، لا يزال من الممكن تفسير نهج معدل العائد الداخلي بطريقة تتوافق مع نهج القيمة الحالية إذا تم تحديد تدفق الاستثمار الأساسي بشكل صحيح على أنه استثمار صافٍ أو اقتراض صافٍ. [ 10 ]

انظر [ 11 ] لمعرفة طريقة تحديد معدل العائد الداخلي ذي الصلة من مجموعة من حلول معدل العائد الداخلي المتعددة.

القيود في سياق الملكية الخاصة

في سياق تحيز البقاء الذي يجعل معدل العائد الداخلي المرتفع لشركات الأسهم الخاصة الكبيرة تمثيلاً ضعيفاً للمتوسط، وفقاً للودوفيك فاليبو ،

«...إن الرقم الرئيسي الذي يُعرض غالبًا بشكل بارز كمعدل عائد في العروض التقديمية والوثائق هو في الواقع معدل العائد الداخلي (IRR). معدلات العائد الداخلي ليست معدلات عائد. ومن الأمور المشتركة بين شركات الاستثمار المباشر الكبيرة أن استثماراتها المبكرة حققت أداءً جيدًا. وقد رسّخت هذه الشركات الناجحة مبكرًا معدل العائد الداخلي منذ تأسيسها عند مستوى مرتفع وثابت بشكل مصطنع. وبحسب حسابات معدل العائد الداخلي، فإن معدلات العائد الداخلي ستبقى عند هذا المستوى إلى الأبد، طالما تجنبت الشركات الكوارث الكبرى. وهذا، في سياق متصل، يُولّد ظلمًا فادحًا، إذ يسهل التلاعب بمعدلات العائد الداخلي في عمليات الاستحواذ بالرافعة المالية في الدول الغربية أكثر من أي استثمارات أخرى في الاستثمار المباشر. وهذا يعني أن بقية قطاع الاستثمار المباشر (مثل رأس مال النمو في الأسواق الناشئة ) محكوم عليه بالظهور بمظهر سيئ نسبيًا إلى الأبد، لمجرد استخدام مقياس أداء قابل للتلاعب به.» [ 12 ]

أيضًا،

"تكمن مشكلة أخرى في عرض أداء صناديق التقاعد في أن العوائد المرجحة زمنيًا في الاستثمار الخاص ليست المقياس الأمثل للأداء. فالسؤال عن مقدار ما قدمته صناديق التقاعد وما حصلت عليه بالدولار من الاستثمار الخاص، أي العائد الشهري، سيكون أكثر ملاءمة. لقد تصفحت مواقع أكبر 15 صندوقًا لجمع معلومات حول أدائها، ووجدت أن قليلًا منها ينشر عوائد صناديق الاستثمار الخاص على الإنترنت. وفي معظم الحالات، تنشر هذه الصناديق معلومات عن أدائها السابق في الاستثمار الخاص، ولكن دون أي شيء يُمكّن من إجراء مقارنة معيارية ذات مغزى. فعلى سبيل المثال ، لا يُقدم صندوق تقاعد كاليفورنيا العام (CalSTRS) سوى صافي معدل العائد الداخلي لكل صندوق يستثمر فيه. وبما أن معدل العائد الداخلي غالبًا ما يكون مُضللًا ولا يمكن تجميعه أو مقارنته بعوائد سوق الأسهم، فإن هذه المعلومات عديمة الفائدة عمليًا لتقييم الأداء." [ 13 ]

معدل العائد الداخلي المعدل

يأخذ معدل العائد الداخلي المعدل (MIRR) في الاعتبار تكلفة رأس المال ، ويهدف إلى تقديم مؤشر أفضل للعائد المحتمل للمشروع. ويُطبق معدل خصم على اقتراض الأموال، ويُحسب معدل العائد الداخلي بناءً على التدفقات النقدية للاستثمار. وينطبق هذا في الواقع العملي، على سبيل المثال، عندما يدفع العميل دفعة مقدمة قبل تصنيع آلة معينة.

عندما يكون للمشروع عدة معدلات عائد داخلي، قد يكون من الأنسب حساب معدل العائد الداخلي للمشروع مع إعادة استثمار العوائد. [ 14 ] وبناءً على ذلك، يُستخدم معدل العائد الداخلي المعدل، والذي يفترض معدل إعادة استثمار يساوي عادةً تكلفة رأس مال المشروع.

متوسط ​​معدل العائد الداخلي (AIRR)

قدّم ماغني (2010) منهجًا جديدًا، يُسمى منهج AIRR، قائمًا على المفهوم البديهي للمتوسط، والذي يُعالج مشاكل منهج IRR. [ 15 ] مع ذلك، فإن الصعوبات المذكورة أعلاه ليست سوى بعض العيوب العديدة التي يعاني منها منهج IRR. وقدّم ماغني (2013) قائمة مفصلة تضم 18 عيبًا من عيوب منهج IRR، وبيّن كيف أن منهج AIRR لا يعاني من مشاكل منهج IRR. [ 16 ]

الرياضيات

رياضياً، يُفترض أن قيمة الاستثمار تخضع لنمو أو اضمحلال أسي وفقًا لمعدل عائد معين (أي قيمة أكبر من -100 ٪)، مع وجود انقطاعات في التدفقات النقدية، ويتم تعريف معدل العائد الداخلي لسلسلة من التدفقات النقدية على أنه أي معدل عائد ينتج عنه صافي قيمة حالية تساوي صفرًا (أو ما يعادله، معدل عائد ينتج عنه القيمة الصحيحة التي تساوي صفرًا بعد آخر تدفق نقدي).

وبالتالي، فإن معدل (أو معدلات) العائد الداخلي ناتج عن صافي القيمة الحالية كدالة لمعدل العائد. هذه الدالة متصلة . عند معدل عائد يساوي -100%، يقترب صافي القيمة الحالية من اللانهاية بإشارة التدفق النقدي الأخير، وعند معدل عائد يساوي اللانهاية الموجبة، يقترب صافي القيمة الحالية من أول تدفق نقدي (التدفق الحالي). لذلك، إذا كان للتدفق النقدي الأول والأخير إشارتان مختلفتان، فإنه يوجد معدل عائد داخلي. أمثلة على سلاسل زمنية بدون معدل عائد داخلي:

  • التدفقات النقدية السلبية فقط - صافي القيمة الحالية يكون سالباً لكل معدل عائد.
  • (−1, 1, −1)، تدفق نقدي إيجابي صغير نسبيًا بين تدفقين نقديين سلبيين؛ صافي القيمة الحالية هو دالة تربيعية لـ 1/(1  + r )، حيث r هو معدل العائد، أو بعبارة أخرى، دالة تربيعية لمعدل الخصم r / (1 + r )؛ أعلى صافي قيمة حالية هو − 0.75، عندما r = 100%.   

في حالة سلسلة من التدفقات النقدية السلبية فقط، تليها سلسلة من التدفقات النقدية الإيجابية فقط، تكون دالة معدل العائد الناتجة متصلة ومتناقصة بشكل رتيب من موجب ما لا نهاية (عندما يقترب معدل العائد من -100%) إلى قيمة التدفق النقدي الأول (عندما يقترب معدل العائد من ما لا نهاية)، وبالتالي يوجد معدل عائد فريد يساوي عنده معدل العائد صفرًا. ومن ثم، يكون معدل العائد الداخلي فريدًا أيضًا (ومتساويًا). على الرغم من أن دالة صافي القيمة الحالية نفسها ليست بالضرورة متناقصة بشكل رتيب على كامل نطاقها، إلا أنها كذلك عند معدل العائد الداخلي.

وبالمثل، في حالة سلسلة من التدفقات النقدية الإيجابية حصراً متبوعة بسلسلة من التدفقات النقدية السلبية حصراً، يكون معدل العائد الداخلي فريداً أيضاً.

وأخيراً، وفقاً لقاعدة ديكارت للإشارات ، لا يمكن أن يكون عدد معدلات العائد الداخلي أكبر من عدد التغيرات في إشارة التدفق النقدي.

نقاش إعادة الاستثمار

كثيراً ما يُذكر أن معدل العائد الداخلي يفترض إعادة استثمار جميع التدفقات النقدية حتى نهاية المشروع. وقد كان هذا الادعاء موضع نقاش في الدراسات والأبحاث.

تم الاستشهاد أدناه بالمصادر التي تشير إلى وجود مثل هذا الافتراض الضمني. [ 14 ] [ 17 ] بينما جادلت مصادر أخرى بعدم وجود افتراض لإعادة استثمار معدل العائد الداخلي. [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]

لفهم مصدر هذا الالتباس، دعونا نأخذ مثالاً على سند لمدة 3 سنوات بقيمة اسمية 1000 دولار ومعدل قسيمة 5٪ (أو 50 دولارًا).

القيمة المستقبلية،

تم استرداد القسائم

القيمة المستقبلية،

إعادة استثمار القسائم

الرصيد الابتدائيالفائدة، 5%إيداع/سحب نقديالرصيد النهائيالرصيد الابتدائيالفائدة، 5%إيداع/سحب نقديالرصيد النهائي
استثمار-1000-1000
قسيمة السنة الأولى10005050100010005001050
قسيمة السنة الثانية100050501000105052.501102.5
قسيمة السنة الثالثة + سند100050105001102.555.1251157.6250
إجمالي العائد150157.625
معدل العائد الداخلي5%5%

كما هو واضح، على الرغم من اختلاف العائد الإجمالي، إلا أن معدل العائد الداخلي (IRR) يبقى ثابتًا. بعبارة أخرى، لا يتأثر معدل العائد الداخلي بإعادة الاستثمار بنفس المعدل. سواء تم سحب الأموال مبكرًا أو إعادة استثمارها بنفس المعدل ثم سحبها لاحقًا، يبقى المعدل ثابتًا.

لفهم السبب، نحتاج إلى حساب القيمة الحالية (PV) لتدفقاتنا النقدية المستقبلية، مما يؤدي فعلياً إلى إعادة إنتاج حسابات معدل العائد الداخلي (IRR) يدوياً:

تم استرداد القسائمإعادة استثمار القسائم
إيداع/سحب نقديصيغة القيمة الكهرومغناطيسيةالطاقة الشمسية الكهروضوئيةإيداع/سحب نقديصيغة القيمة الكهرومغناطيسيةالطاقة الشمسية الكهروضوئية
استثمار-1000-1000 / (1+5%) 0-1000-1000-1000 / (1+5%) 0-1000
قسيمة السنة الأولى5050 / (1+5%) 147.6200 / (1+5%) 10
قسيمة السنة الثانية5050 / (1+5%) 245.3500 / (1+5%) 20
قسيمة السنة الثالثة + سند10501050 / (1+5%) 3907.031157.6251157.625 / (1+5%) 31000
إجمالي العائد1500157.6250

في مجال التمويل الشخصي

يمكن استخدام معدل العائد الداخلي (IRR) لقياس الأداء المرجح بالقيمة النقدية للاستثمارات المالية، مثل حساب الوساطة الخاص بالمستثمر الفردي. في هذا السياق، يُمكن تعريف معدل العائد الداخلي (IRR) تعريفًا مكافئًا وأكثر وضوحًا [ 24 ] على النحو التالي : "معدل العائد الداخلي هو معدل الفائدة السنوي لحساب ذي سعر فائدة ثابت (يشبه إلى حد ما حساب توفير مثالي ) والذي، عند خضوعه لنفس عمليات الإيداع والسحب التي يخضع لها الاستثمار الفعلي، يكون له نفس الرصيد النهائي للاستثمار الفعلي." يُطلق على هذا الحساب ذي سعر الفائدة الثابت أيضًا اسم حساب العائد الثابت المُحاكِز للاستثمار. توجد أمثلة حيث يُواجه حساب العائد الثابت المُحاكِز أرصدة سالبة على الرغم من أن الاستثمار الفعلي لم يُواجه مثل هذه الأرصدة. [ 24 ] في هذه الحالات، يفترض حساب معدل العائد الداخلي (IRR) أن نفس معدل الفائدة المدفوع على الأرصدة الموجبة يُطبق على الأرصدة السالبة. وقد ثبت أن هذه الطريقة في احتساب الفائدة هي السبب الرئيسي لمشكلة الحلول المتعددة لمعدل العائد الداخلي (IRR). [ 25 ] [ 26 ] إذا عُدِّل النموذج بحيث تُفرض تكلفة اقتراض خارجية (قد تتغير بمرور الوقت) على الأرصدة السالبة، كما هو الحال في الواقع، فإن مشكلة الحلول المتعددة تختفي. [ 25 ] [ 26 ] يُطلق على المعدل الناتج اسم المعدل الثابت المكافئ ( FREQ ). [ 24 ]

معدل العائد الداخلي غير السنوي

في سياق قياس أداء الاستثمار ، قد يوجد أحيانًا غموض في المصطلحات بين معدل العائد الدوري ، مثل معدل العائد الداخلي (IRR) كما هو مُعرّف أعلاه، وعائد فترة الاحتفاظ. يُستخدم مصطلح معدل العائد الداخلي ( IRR) أو معدل العائد الداخلي منذ التأسيس ( SI-IRR) في بعض السياقات للإشارة إلى العائد غير السنوي خلال الفترة، لا سيما للفترات التي تقل عن سنة. [ 27 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ اقتصاديات المشاريع وتحليل القرارات، المجلد الأول: النماذج الحتمية، MAMain، الصفحة 269
  2. 1 2 3 4 كيليسون، ستيفن ج. (2009). نظرية الفائدة (  الطبعة الثالثة). بوسطن: ماكجرو هيل إروين. ص 251-252 . ISBN  978-0-07-338244-9. OCLC 182552985 . 
  3. 1 2 3 بروفرمان، صموئيل أ. (2010). رياضيات الاستثمار والائتمان (الطبعة الخامسة ). وينستيد، كونيتيكت: منشورات أكتكس، ص. 264-265 . ISBN   978-1-56698-767-7. OCLC 651487023 . 
  4. ↑ "حاسبة معدل العائد الداخلي: احسب معدل العائد الداخلي عبر الإنترنت - حاسبة صافي القيمة الحالية" . 21-05-2023 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 02-06-2023 .
  5. ^ إحسان، نيكباخت، إحسان وغروبيلي، أأ (2012). المالية (الطبعة السادسة ). هاوباج، نيويورك: سلسلة بارون التعليمية. ص. 201. ردمك   978-0-7641-4759-3.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  6. ↑ "مجموعة أدوات الشراكة بين القطاعين العام والخاص" . مؤرشف من الأصل في 29 سبتمبر 2022.
  7. ↑ "معدل العائد الداخلي: قصة تحذيرية | ماكينزي" .
  8. ↑ "معايير الأداء الاستثماري العالمية" . معهد المحللين الماليين المعتمدين . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 ديسمبر 2015 .
  9. ↑ بوغ، م. (2004). تقييم الاستثمار: منهج جديد. مجلة التدقيق الإداري. المجلد 19، العدد 4، 2004. الصفحات 565-570
  10. ↑ هازن، جي بي، "منظور جديد حول معدلات العائد الداخلي المتعددة"، مجلة الاقتصاد الهندسي 48 (1)، 2003، 31-51.
  11. ↑ هارتمان، جي سي، وشافريك، آي سي، "معدل العائد الداخلي ذي الصلة"، مجلة الاقتصاد الهندسي 49 (2)، 2004، 139-158.
  12. ↑ فاليبو، لودوفيك (10 يونيو 2020). "أستاذ الاقتصاد المالي، كلية سعيد للأعمال، جامعة أكسفورد". ورقة بحثية منشورة على SSRN : 4. SSRN 3623820 . 
  13. ↑ فاليبو، لودوفيك (10 يونيو 2020). "أستاذ الاقتصاد المالي، كلية سعيد للأعمال، جامعة أكسفورد". ورقة بحثية منشورة على SSRN : 15، 16. SSRN 3623820 . 
  14. 1 2 "المدير المالي | أخبار للمديرين الماليين" . www.cfo.com .
  15. ↑ ماجني، سي إيه (2010) "متوسط ​​معدل العائد الداخلي وقرارات الاستثمار: منظور جديد" . مجلة الاقتصاد الهندسي، 55(2)، 150-181.
  16. ↑ Magni, CA (2013) "نهج معدل العائد الداخلي ونموذج AIRR: دحض وتأكيد" The Engineering Economist, 58(2), 73‒111.
  17. ↑قياس عوائد الاستثمار
  18. ↑ دودلي، سي إل، "ملاحظة حول افتراضات إعادة الاستثمار في الاختيار بين صافي القيمة الحالية ومعدل العائد الداخلي." مجلة التمويل 27(4)، 1972، 907-15.
  19. ↑ كين، إس إم، "معدل العائد الداخلي ومغالطة إعادة الاستثمار". أباكوس 15(1)، 1979، 48-55.
  20. ↑ لومان، جيه آر، "معدل العائد الداخلي، والقيمة الحالية الصافية، ومغالطة افتراضات معدل إعادة الاستثمار". مجلة الاقتصاد الهندسي 33(4)، 1988، 303-330.
  21. ↑ Keef, SP, and ML Roush, “Discounted cash flow methods and the faultacy revest assumes: a review of recent texts.” Accounting Education 10(1), 2001, 105-116.
  22. ↑ ريتش، إس بي، وجي تي روز، "إعادة فحص سؤال قديم: هل تفترض طريقة معدل العائد الداخلي ضمنيًا معدل إعادة الاستثمار؟" مجلة التعليم المالي 10(1)، 2014، 105-116.
  23. ↑ دادلي، ماجني، كارلو ألبرتو ومارتن، جون د.، "مغالطة افتراض معدل إعادة الاستثمار لمعدل العائد الداخلي وصافي القيمة الحالية: ملاحظة تعليمية"، 2017
  24. 1 2 3 رياضيات المكافئ ذي المعدل الثابت [ تمت إزالة الرابط ] ، ورقة بيضاء من GreaterThanZero.
  25. 1 2 Teichroew, D., Robicheck, A., and Montalbano, M., التحليل الرياضي لمعدلات العائد في ظل اليقين، مجلة علوم الإدارة المجلد 11 العدد 3، يناير 1965، 395 – 403.
  26. 1 2 Teichroew, D., Robicheck, A., and Montalbano, M., An analysis of criteria for investment and finance decisions under surety, Management Science Vol. 12 Nr. 3, November 1965, 151 – 179.
  27. ↑معايير الأداء الاستثماري العالمية

للمزيد من القراءة

  • محاضرة تفاعلية في الاقتصاد من جامعة ساوث كارولينا