التعامد (الرياضيات)

في الرياضيات ، التعامد هو تعميم للمفهوم الهندسي للتعامد إلى الجبر الخطي للأشكال الثنائية الخطية .

عنصران u و v من فضاء متجهي ذي شكل ثنائي الخطية${\displaystyle B}$تكون متعامدة عندما${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}$. اعتمادًا على الشكل الثنائي الخطي، قد يحتوي فضاء المتجهات على متجهات صفرية ، ومتجهات متعامدة ذاتيًا غير صفرية، وفي هذه الحالة يتم استبدال التعامد بالتعامد الزائدي .

في حالة فضاءات الدوال ، تُستخدم عائلات الدوال لتشكيل أساس متعامد، كما هو الحال في سياقات كثيرات الحدود المتعامدة والدوال المتعامدة والتوافقية .

• في الهندسة ، يكون متجهان إقليديان متعامدين إذا كانا متعامدين ، أي أنهما يشكلان زاوية قائمة .
• متجهان u و v في فضاء الضرب الداخلي${\displaystyle V}$تكون متعامدة إذا كان حاصل ضربها الداخلي${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$يساوي صفرًا. ^{[ 2 ]} يُشار إلى هذه العلاقة بـ${\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {v} }$.
• تُسمى مجموعة المتجهات في فضاء الضرب الداخلي متعامدة ثنائياً إذا كان كل زوج منها متعامداً. تُسمى هذه المجموعة مجموعة متعامدة (أو نظام متعامد ). إذا تم تطبيع المتجهات، فإنها تُشكل نظاماً متعامداً معيارياً .
• المصفوفة المتعامدة هي مصفوفة تكون متجهات أعمدتها متعامدة مع بعضها البعض.
• الأساس المتعامد هو أساس تكون متجهاته متعامدة وموحدة (إنها متجهات وحدة ).
• يحافظ التحويل الخطي المطابق على الزوايا ونسب المسافة، مما يعني أن تحويل المتجهات المتعامدة بنفس التحويل الخطي المطابق سيحافظ على تعامد تلك المتجهات .
• فضاءان متجهان جزئيان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$مساحة المنتج الداخلية${\displaystyle V}$تُسمى هذه الفضاءات الفرعية متعامدة إذا كان كل متجه فيها${\displaystyle A}$يكون متعامدًا مع كل متجه في${\displaystyle B}$أكبر فضاء فرعي من${\displaystyle V}$إن العنصر المتعامد مع فضاء فرعي معين هو مكمله المتعامد .
• بافتراض وجود وحدة نمطية${\displaystyle M}$وثنائيته${\displaystyle M^{*}}$عنصر${\displaystyle m'}$ل${\displaystyle M^{*}}$وعنصر${\displaystyle m}$ل${\displaystyle M}$تكون العناصر متعامدة إذا كان اقترانها الطبيعي يساوي صفرًا، أي${\displaystyle \langle m',m\rangle =0}$مجموعتان${\displaystyle S'\subseteq M^{*}}$و${\displaystyle S\subseteq M}$تكون متعامدة إذا كان كل عنصر من عناصر${\displaystyle S'}$متعامد مع كل عنصر من عناصر${\displaystyle S}$[ ^{3 ]​}
• يُقال إن نظام إعادة صياغة المصطلحات متعامد إذا كان خطيًا من اليسار وغير غامض. أنظمة إعادة صياغة المصطلحات المتعامدة متقاربة .

في بعض الحالات، تُستخدم كلمة "عمودي" بمعنى "متعامد" ، لا سيما بالمعنى الهندسي كما في العمودي على سطح ما . على سبيل المثال، المحور y عمودي على المنحنى.${\displaystyle y=x^{2}}$عند نقطة الأصل. مع ذلك، قد يشير مصطلح "طبيعي" أيضًا إلى مقدار المتجه. على وجه الخصوص، تُسمى المجموعة "متعامدة طبيعية " (متعامدة بالإضافة إلى طبيعية) إذا كانت مجموعة متعامدة من متجهات الوحدة . ونتيجة لذلك، غالبًا ما يُتجنب استخدام مصطلح " طبيعي " بمعنى "متعامد". كما أن لكلمة "طبيعي" معنى مختلفًا في الاحتمالات والإحصاء .

يُعمم الفضاء المتجهي ذو الصيغة الثنائية الخطية حالة الضرب الداخلي. عندما ينتج عن الصيغة الثنائية الخطية المطبقة على متجهين قيمة صفرية، فإنهما يكونان متعامدين . في حالة المستوى شبه الإقليدي، يُستخدم مصطلح التعامد الزائدي . في الرسم التوضيحي، يكون المحوران x′ و t′ متعامدين زائديًا لأي قيمة معطاة.${\displaystyle \phi }$.

في الفضاء الإقليدي ، يكون متجهان متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا، أي أنهما يصنعان زاوية 90 درجة.${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$الراديان )، أو يكون أحد المتجهات صفراً. ^{[ 4 ]} وبالتالي فإن تعامد المتجهات هو امتداد لمفهوم المتجهات العمودية إلى فضاءات ذات أي بُعد.

المتمم المتعامد لفضاء جزئي هو فضاء جميع المتجهات المتعامدة مع كل متجه في ذلك الفضاء الجزئي. في فضاء متجهي إقليدي ثلاثي الأبعاد، يكون المتمم المتعامد لخط يمر بنقطة الأصل هو المستوى المار بنقطة الأصل والعمودي عليه، والعكس صحيح. ^{[ 5 ]}

لاحظ أن المفهوم الهندسي لمستويين متعامدين لا يتوافق مع المتمم المتعامد، لأنه في ثلاثة أبعاد قد يلتقي زوج من المتجهات، واحد من كل زوج من المستويات المتعامدة، عند أي زاوية.

في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، يكون المتمم المتعامد لخط ما مستوىً فائقاً والعكس صحيح، ويكون المتمم المتعامد لمستوى ما مستوىً. ^{[ 5 ]}

باستخدام حساب التكامل ، من الشائع استخدام ما يلي لتعريف الضرب الداخلي لدالتين${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$فيما يتعلق بدالة وزن غير سالبة${\displaystyle w}$على مدى فترة زمنية${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$

في الحالات البسيطة،${\displaystyle w(x)=1}$.

نقول إن الدوال${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$تكون متعامدة إذا كان حاصل ضربها الداخلي (أو قيمة هذا التكامل) يساوي صفرًا:

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=0.}$

لا يعني تعامد دالتين بالنسبة إلى جداء داخلي واحد تعامدهما بالنسبة إلى جداء داخلي آخر.

نكتب المعيار فيما يتعلق بهذا المنتج الداخلي على النحو التالي:

${\displaystyle \|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$

أعضاء مجموعة من الدوال${\displaystyle {f_{i}\mid i\in \mathbb {N} }}$متعامدة بالنسبة إلى${\displaystyle w}$على الفترة${\displaystyle [a,b]}$لو

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=0\mid i\neq j.}$

تكون عناصر هذه المجموعة من الدوال متعامدة بالنسبة إلى${\displaystyle w}$على الفترة${\displaystyle [a,b]}$لو

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=\delta _{ij},}$

أين

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&&i=j\\0,&&i\neq j\end{matrix}}\right.}$

هي دلتا كرونكر .

بمعنى آخر، كل زوج منها (باستثناء اقتران دالة مع نفسها) متعامد، ومعيار كل منها هو 1. انظر على وجه الخصوص إلى كثيرات الحدود المتعامدة .

• في أي فضاء حاصل ضرب داخلي ، يكون المتجه الصفري متعامدًا مع جميع المتجهات الأخرى.
• المتجهات${\displaystyle (1,3,2)^{\text{T}},(3,-1,0)^{\text{T}},(1,3,-5)^{\text{T}}}$متعامدتان مع بعضهما البعض، لأن${\displaystyle (1)(3)+(3)(-1)+(2)(0)=0\ ,}$${\displaystyle \ (3)(1)+(-1)(3)+(0)(-5)=0\ ,}$و${\displaystyle (1)(1)+(3)(3)+(2)(-5)=0}$.
• المتجهات${\displaystyle (1,0,1,0,\ldots )^{\text{T}}}$و${\displaystyle (0,1,0,1,\ldots )^{\text{T}}}$تكون هذه المتجهات متعامدة مع بعضها البعض. حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك تعميم هذه المعادلة للنظر في المتجهات في${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{n}}$:$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}=\sum _{i=0 \atop ai+k<n}^{n/a}\mathbf {e} _{i}}$$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle a}$و لـ${\displaystyle 1\leq k\leq a-1}$هذه المتجهات متعامدة، على سبيل المثال${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&0&1&0\end{bmatrix}}}$،${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0&0&1\end{bmatrix}}}$،${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0&0&1&0&0\end{bmatrix}}}$متعامدة.
• الوظائف${\displaystyle 2t+3}$و${\displaystyle 45t^{2}+9t-17}$متعامدة بالنسبة لدالة وزن الوحدة على الفترة من -1 إلى 1:$${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\,dt=0}$$
• الوظائف${\displaystyle 1,\sin {(nx)},\cos {(nx)}\mid n\in \mathbb {N} }$متعامدة بالنسبة لتكامل ريمان على الفترات${\displaystyle [0,2\pi ],[-\pi ,\pi ]}$أو أي فترة مغلقة أخرى ذات طول${\displaystyle 2\pi }$تُعد هذه الحقيقة أساسية في متسلسلات فورييه .

في علم التوافيق ، اثنان${\displaystyle n\times n}$يُقال إن المربعات اللاتينية متعامدة إذا كان تراكبها ينتج عنه جميع الأشكال الممكنة${\displaystyle n^{2}}$مجموعات من المدخلات. ^{[ 6 ]}

مستويان مسطحان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$تُسمى الخطوط في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد متعامدة تمامًا إذا وفقط إذا كان كل خط في${\displaystyle A}$متعامد مع كل خط في${\displaystyle B}$[ ^{7 ] في هذه الحالة ،} الطائرات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يتقاطعان عند نقطة واحدة${\displaystyle O}$بحيث إذا كان هناك خط في${\displaystyle A}$يتقاطع مع خط في${\displaystyle B}$يتقاطعان عند${\displaystyle O}$.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$متعامد وموازٍ لخطوط كليفورد .

في الفضاء رباعي الأبعاد، يمكننا إنشاء أربعة محاور متعامدة وستة مستويات متعامدة تمر بنقطة ما. وبدون فقدان للعمومية، يمكننا اعتبار هذه المحاور والمستويات المركزية المتعامدة لـ${\displaystyle (w,x,y,z)}$نظام الإحداثيات الديكارتية. في أربعة أبعاد، لدينا نفس المستويات المتعامدة الثلاثة.${\displaystyle (xy,xz,yz)}$لدينا ذلك في ثلاثة أبعاد، بالإضافة إلى ثلاثة أبعاد أخرى.${\displaystyle (wx,wy,wz)}$يشترك كل مستوى من المستويات الستة المتعامدة في محور مع أربعة من المستويات الأخرى، وهو متعامد تمامًا مع مستوى واحد فقط من المستويات الأخرى: المستوى الوحيد الذي لا يشترك معه في محور. وبالتالي، يوجد ثلاثة أزواج من المستويات المتعامدة تمامًا.${\displaystyle xy}$و${\displaystyle wz}$يتقاطعان فقط عند نقطة الأصل؛${\displaystyle xz}$و${\displaystyle wy}$يتقاطعان فقط عند نقطة الأصل؛${\displaystyle yz}$و${\displaystyle wx}$يتقاطعون فقط عند نقطة الأصل.

وبشكل أعم، فضاءان فرعيان مسطحان${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$الأبعاد${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$في فضاء إقليدي${\displaystyle S}$على الأقل${\displaystyle M+N}$تُسمى الأبعاد متعامدة تمامًا إذا كان كل خط في${\displaystyle S_{1}}$متعامد مع كل خط في${\displaystyle S_{2}}$. لو${\displaystyle \dim(S)=M+N}$ثم${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$يتقاطعان عند نقطة واحدة${\displaystyle O}$. لو${\displaystyle \dim(S)>M+N}$ثم${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$قد تتقاطع أو لا تتقاطع. إذا${\displaystyle \dim(S)=M+N}$ثم سطر في${\displaystyle S_{1}}$وسطر في${\displaystyle S_{2}}$قد تتقاطع أو لا تتقاطع؛ إذا تقاطعت، فإنها تتقاطع عند${\displaystyle O}$[ ^{8 ]​}

• العدد التخيلي
• المكمل المتعامد
• المجموعة المتعامدة
• المصفوفة المتعامدة
• كثيرات الحدود المتعامدة
• متعدد السطوح المتعامد
• المسار المتعامد
• التعامد
  • عملية غرام-شميدت
• أساس متعامد
• التعامد الطبيعي
• يحدث التعامد الشامل في الكواتيرنيونات
• صعود