عدم المساواة في الآثار

في الرياضيات ، توجد أنواع عديدة من المتباينات التي تتضمن المصفوفات والمؤثرات الخطية على فضاءات هيلبرت . تتناول هذه المقالة بعض متباينات المؤثرات المهمة المرتبطة بآثار المصفوفات. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

يترك${\displaystyle \mathbf {H} _{n}}$يشير إلى فضاء هيرميتي${\displaystyle n\times n}$المصفوفات،${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{+}}$يرمز إلى المجموعة المكونة من عناصر شبه موجبة محددة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات الهرميتية و${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$لنرمز إلى مجموعة المصفوفات الهرميتية الموجبة المحددة . بالنسبة للمؤثرات على فضاء هيلبرت لانهائي الأبعاد، نشترط أن تكون من فئة الأثر وذاتية الترافق ، وفي هذه الحالة تنطبق تعريفات مماثلة، لكننا سنناقش المصفوفات فقط، تبسيطًا للأمر.

لأي دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f}$على فاصل زمني${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$يمكن تعريف دالة المصفوفة${\displaystyle f(A)}$لأي مشغل${\displaystyle A\in \mathbf {H} _{n}}$مع القيم الذاتية${\displaystyle \lambda }$في${\displaystyle I}$بتعريفها على القيم الذاتية والمساقط المقابلة لها${\displaystyle P}$مثل $${\displaystyle f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$$ بالنظر إلى التحلل الطيفي${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}$

يترك${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$لتكن دالة متصلة، وليكن n أي عدد صحيح . عندئذٍ، إذا${\displaystyle t\mapsto f(t)}$هل هي دالة متزايدة رتيبة، وكذلك${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$على H _n .

وبالمثل، إذا${\displaystyle t\mapsto f(t)}$محدب ، وكذلك${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$على H _n ، ويكون محدبًا تمامًا إذا كانت f محدبة تمامًا.

انظر الدليل والمناقشة في ^{[ 1 ]} على سبيل المثال.

ل${\displaystyle -1\leq p\leq 0}$، الوظيفة${\displaystyle f(t)=-t^{p}}$يكون المشغل رتيبًا والمشغل مقعرًا.

ل${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$، الوظيفة${\displaystyle f(t)=t^{p}}$يكون المشغل رتيبًا والمشغل مقعرًا.

ل${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$، الوظيفة${\displaystyle f(t)=t^{p}}$المؤثر محدب. علاوة على ذلك،

${\displaystyle f(t)=\log(t)}$المؤثر هو المقعر والمؤثر هو الرتيب، بينما

${\displaystyle f(t)=t\log(t)}$هو عامل محدب.

يعود الفضل في البرهان الأصلي لهذه النظرية إلى ك. لوفنر، الذي وضع شرطًا ضروريًا وكافيًا لكي تكون الدالة f رتيبةً بالنسبة للمؤثر. ^{[ 5 ]} وقد نُوقش برهانٌ أوليٌّ للنظرية في ^{[ 1 ]} ، وصيغةٌ أكثر عموميةً لها في ^{[ 6 ] .}

لجميع المصفوفات الهرميتية A و B من الرتبة n × n وجميع الدوال المحدبة القابلة للتفاضل${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ مع المشتقة f' ، أو لجميع المصفوفات الهرميتية الموجبة المحددة A و B من الرتبة n × n ، وجميع الدوال المحدبة القابلة للتفاضل f :(0,∞) →${\displaystyle \mathbb {R} }$، يتحقق التباين التالي،

في كلتا الحالتين، إذا كانت الدالة f محدبة تمامًا، فإن المساواة تتحقق إذا وفقط إذا كان A = B. ومن الخيارات الشائعة في التطبيقات f ( t ) = t log t ، انظر أدناه.

في عام 1965، اكتشف كل من إس. غولدن ^{[ 7 ]} وسي جيه تومسون ^{[ 8 ] بشكل مستقل أن}

لأي مصفوفات${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$،

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.}$

يمكن تعميم هذه المتباينة لثلاثة مؤثرات: ^{[ 9 ]} للمؤثرات غير السالبة${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {H} _{n}^{+}}$،

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }\operatorname {Tr} A(B+t)^{-1}C(B+t)^{-1}\,\operatorname {d} t.}$

يترك${\displaystyle R,F\in \mathbf {H} _{n}}$ليكن بحيث يكون Tr e ^R = 1. بتعريف g = Tr Fe ^R ، لدينا

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.}$

يُستنتج برهان هذه المتباينة من ما سبق بالإضافة إلى متباينة كلاين . لنأخذ f ( x ) = exp( x )، و A = R + F ، و B = R + gI . ^{[ 10 ]}

يترك${\displaystyle H}$ليكن مؤثرًا ذاتيًا مترافقًا بحيث${\displaystyle e^{-H}}$هي فئة التتبع . ثم لأي${\displaystyle \gamma \geq 0}$مع${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma =1,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H},}$

مع المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle \gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H).}$

أثبت إي إتش ليب النظرية التالية في ^{[ 9 ]} . وهي تثبت وتعمم تخمينًا لـ إي بي ويغنر ، وإم إم ياناس ، وفريمان دايسون . ^{[ 11 ]} وبعد ست سنوات، قدم تي أندو ^{[ 12 ]} وبي سيمون ^{[ 3 ]} براهين أخرى ، وقُدمت براهين أخرى منذ ذلك الحين.

للجميع${\displaystyle m\times n}$المصفوفات${\displaystyle K}$وكل شيء${\displaystyle q}$و${\displaystyle r}$بحيث${\displaystyle 0\leq q\leq 1}$و${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$، مع${\displaystyle q+r\leq 1}$الخريطة ذات القيمة الحقيقية على${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}}$مقدم من

${\displaystyle F(A,B,K)=\operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{r})}$

• مقعر بشكل مشترك في${\displaystyle (A,B)}$
• محدبة في${\displaystyle K}$.

هنا${\displaystyle K^{*}}$يرمز إلى العامل المساعد لـ${\displaystyle K.}$

لمصفوفة هيرميتية ثابتة${\displaystyle L\in \mathbf {H} _{n}}$، الوظيفة

${\displaystyle f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}}$

مقعر على${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$.

يعود الفضل في هذه النظرية وبرهانها إلى إي. إتش. ليب، ^{[ 9 ]} النظرية 6، حيث استنتجها كنتيجة منطقية لنظرية ليب في التقعر. أما البرهان الأكثر مباشرة فيعود إلى إتش. إبشتاين؛ ^{[ 13 ]} انظر أوراق إم. بي. روسكاي ، ^{[ 14 ] [ 15 ]} للاطلاع على مراجعة لهذا البرهان.

أدى برهان تي. أندو ^{[ 12 ]} لنظرية ليب للتقعر إلى المكمل المهم التالي لها:

للجميع${\displaystyle m\times n}$المصفوفات${\displaystyle K}$وكل شيء${\displaystyle 1\leq q\leq 2}$و${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$مع${\displaystyle q-r\geq 1}$، الخريطة ذات القيمة الحقيقية على${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}}$مقدم من

${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r})}$

محدب.

لمشغلين اثنين${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}^{++}}$حدد الخريطة التالية

${\displaystyle R(A\parallel B):=\operatorname {Tr} (A\log A)-\operatorname {Tr} (A\log B).}$

بالنسبة لمصفوفات الكثافة${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \sigma }$الخريطة${\displaystyle R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )}$هي إنتروبيا أوميغاكي النسبية الكمومية .

لاحظ أن عدم سلبية${\displaystyle R(A\parallel B)}$وينتج ذلك عن متباينة كلاين مع${\displaystyle f(t)=t\log t}$.

يعود الفضل في صيغة المؤثر لمتباينة جنسن إلى سي. ديفيس. ^{[ 17 ]}

دالة حقيقية متصلة${\displaystyle f}$على فاصل زمني${\displaystyle I}$يتحقق شرط عدم المساواة لجينسن إذا تحقق ما يلي

${\displaystyle f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

للمشغلين${\displaystyle \{A_{k}\}_{k}}$مع${\displaystyle \sum _{k}A_{k}^{*}A_{k}=1}$وبالنسبة للمؤثرات ذاتية الترافق${\displaystyle \{X_{k}\}_{k}}$مع تشغيل الطيف${\displaystyle I}$.

انظر ^{[ 17 ] [ 18 ]} لإثبات النظريتين التاليتين.

أثبت إي إتش ليب و دبليو إي ثيرينغ المتباينة التالية في ^{[ 19 ]} 1976: لأي${\displaystyle A\geq 0,}$${\displaystyle B\geq 0}$و${\displaystyle r\geq 1,}$$${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).}$$

في عام 1990 ^{[ 20 ]} عمّم هـ. أراكي المتباينة المذكورة أعلاه إلى المتباينة التالية: لأي${\displaystyle A\geq 0,}$${\displaystyle B\geq 0}$و${\displaystyle q\geq 0,}$$${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),}$$ ل${\displaystyle r\geq 1,}$و $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})~\leq ~\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}),}$$ ل${\displaystyle 0\leq r\leq 1.}$

توجد عدة متباينات أخرى قريبة من متباينة ليب-ثيرينغ، مثل ما يلي: ^{[ 21 ]} لأي${\displaystyle A\geq 0,}$${\displaystyle B\geq 0}$و${\displaystyle \alpha \in [0,1],}$$${\displaystyle \operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{2}AB^{2}),}$$ وبشكل أعم: ^{[ 22 ]} لأي${\displaystyle A\geq 0,}$${\displaystyle B\geq 0,}$${\displaystyle r\geq 1/2}$و${\displaystyle c\geq 0,}$$${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB^{2c}AB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{c+1}A^{2}B^{c+1})^{r}).}$$ تُعمم المتباينة المذكورة أعلاه المتباينة السابقة، كما يتضح من خلال استبدال${\displaystyle A}$بواسطة${\displaystyle B^{2}}$و${\displaystyle B}$بواسطة${\displaystyle A^{(1-\alpha )/2}}$مع${\displaystyle \alpha =2c/(2c+2)}$وباستخدام دورية الأثر، مما يؤدي إلى $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{2}AB^{2})^{r}).}$$

بالإضافة إلى ذلك، وبناءً على متباينة ليب-ثيرينغ، تم اشتقاق المتباينة التالية: ^{[ 23 ]} لأي${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n},T\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$وكل شيء${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$مع${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ويرى ذلك أن $${\displaystyle |\operatorname {Tr} (TAT^{*}B)|~\leq ~\operatorname {Tr} (T^{*}T|A|^{p})^{\frac {1}{p}}\operatorname {Tr} (TT^{*}|B|^{q})^{\frac {1}{q}}.}$$

أثبت إي. إفروس في ^{[ 24 ]} النظرية التالية.

لو${\displaystyle f(x)}$هي دالة محدبة للمؤثر، و${\displaystyle L}$و${\displaystyle R}$هي مؤثرات خطية محدودة تبادلية، أي المبدل${\displaystyle [L,R]=LR-RL=0}$المنظور​

${\displaystyle g(L,R):=f(LR^{-1})R}$

محدبة بشكل مشترك، أي إذا${\displaystyle L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}}$و${\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}$مع${\displaystyle [L_{i},R_{i}]=0}$(i=1,2)،${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$،

${\displaystyle g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).}$

قام إيباديان وآخرون لاحقًا بتوسيع نطاق المتباينة لتشمل الحالة التي${\displaystyle L}$و${\displaystyle R}$لا تتنقل. ^{[ 25 ]}

تنص متباينة فون نيومان الأثرية ، التي سميت على اسم مبتكرها جون فون نيومان ، على أنه لأي${\displaystyle n\times n}$المصفوفات المعقدة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$بقيم مفردة${\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}}$و${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}}$على التوالي، ^{[ 26 ]}$${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AB)|~\leq ~\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\,,}$$ مع المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B^{\dagger }}$تتشارك المتجهات المفردة. ^{[ 27 ]}

ومن النتائج البسيطة المترتبة على ذلك ما يلي: ^{[ 28 ]} بالنسبة للهرميتي${\displaystyle n\times n}$المصفوفات المعقدة شبه المحددة الموجبة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$حيث يتم الآن ترتيب القيم الذاتية تنازليًا (${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$و${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$على التوالى)، $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}~\leq ~\operatorname {Tr} (AB)~\leq ~\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,.}$$

• متباينة ليب-ثيرينغ – المتباينة في الفيزياء الرياضية 
• نظرية شور-هورن – تُحدد خصائص قطر المصفوفة الهرميتية ذات القيم الذاتية المعطاة 
• متطابقة الأثر - المعادلات التي تتضمن أثر المصفوفة 
• إنتروبيا فون نيومان – نوع من أنواع الإنتروبيا في نظرية الكم 

• المصدر الأساسي لـ Scholarpedia .