تحليل غير قياسي

تاريخ حساب التفاضل والتكامل حافلٌ بالنقاشات الفلسفية حول معنى وصحة التدفقات أو الأعداد المتناهية الصغر . والطريقة المعتادة لحل هذه النقاشات هي تعريف عمليات حساب التفاضل والتكامل باستخدام النهايات بدلاً من الأعداد المتناهية الصغر. أما التحليل غير التقليدي ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} فيعيد صياغة حساب التفاضل والتكامل باستخدام مفهوم منطقي دقيق للأعداد المتناهية الصغر .

نشأ التحليل غير القياسي في أوائل الستينيات من القرن العشرين على يد عالم الرياضيات أبراهام روبنسون . ^{[ 4 ] [ 5 ]} وقد كتب:

...يبدو أن فكرة الكميات المتناهية الصغر أو المتناهية في الصغر تروق بشكل طبيعي لبديهتنا. على أي حال، كان استخدام المتناهيات في الصغر شائعًا خلال المراحل التكوينية لحساب التفاضل والتكامل. أما بالنسبة للاعتراض القائل بأن المسافة بين عددين حقيقيين مختلفين لا يمكن أن تكون متناهية الصغر، فقد جادل غوتفريد فيلهلم لايبنتز بأن نظرية المتناهيات في الصغر تستلزم إدخال أعداد مثالية قد تكون متناهية الصغر أو متناهية الكبر مقارنة بالأعداد الحقيقية، ولكنها تمتلك نفس خصائصها.

جادل روبنسون بأن قانون الاستمرارية هذا الذي وضعه لايبنتز هو مقدمة لمبدأ النقل . وتابع روبنسون قائلاً:

ومع ذلك، لم يتمكن هو ولا تلاميذه وخلفاؤه من تقديم تطور منطقي يؤدي إلى نظام من هذا القبيل. ونتيجة لذلك، فقدت نظرية المتناهيات في الصغر مصداقيتها تدريجياً، وحلت محلها في النهاية نظرية النهايات الكلاسيكية. ^{[ 6 ]}

ويتابع روبنسون:

... يمكن إثبات صحة أفكار لايبنتز بشكل كامل، وهي تقود إلى منهج جديد ومثمر في التحليل الكلاسيكي وفي العديد من فروع الرياضيات الأخرى. ويكمن مفتاح منهجنا في التحليل الدقيق للعلاقة بين اللغات الرياضية والبنى الرياضية، والتي تُشكّل أساس نظرية النماذج المعاصرة .

في عام 1973، أشاد عالم الحدس أرند هيتينغ بالتحليل غير القياسي ووصفه بأنه "نموذج قياسي للبحث الرياضي المهم". ^{[ 7 ]}

عنصر غير صفري في حقل مرتب${\displaystyle \mathbb {F} }$تكون متناهية الصغر إذا وفقط إذا كانت قيمتها المطلقة أصغر من أي عنصر من عناصر${\displaystyle \mathbb {F} }$أي على شكل${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$، ل${\displaystyle n}$عدد طبيعي قياسي . تُسمى الحقول المرتبة التي تحتوي على عناصر متناهية الصغر أيضًا بالحقول غير الأرخميدية . وبشكل أعم، يُقصد بالتحليل غير القياسي أي شكل من أشكال الرياضيات التي تعتمد على النماذج غير القياسية ومبدأ النقل . يُسمى الحقل الذي يُحقق مبدأ النقل للأعداد الحقيقية حقلًا حقيقيًا مغلقًا ، ويستخدم التحليل الحقيقي غير القياسي هذه الحقول كنماذج غير قياسية للأعداد الحقيقية.

استند منهج روبنسون الأصلي إلى هذه النماذج غير القياسية لحقل الأعداد الحقيقية. وقد نُشر كتابه التأسيسي الكلاسيكي في هذا الموضوع، بعنوان " التحليل غير القياسي" ، عام 1966، ولا يزال يُطبع حتى اليوم. ^{[ 8 ]} في الصفحة 88، يكتب روبنسون:

اكتشف ثورالف سكوليم (1934) وجود نماذج حسابية غير قياسية. وقد مهدت طريقة سكوليم الطريق لبناء القوة الفائقة [...]

يتطلب تطوير حساب التفاضل والتكامل للمتناهيات في الصغر معالجة عدة مسائل تقنية. فعلى سبيل المثال، لا يكفي إنشاء حقل مرتب باستخدام المتناهيات في الصغر. راجع مقال " العدد الفائق الحقيقي" لمناقشة بعض الأفكار ذات الصلة.

في هذا القسم، نوضح أحد أبسط الطرق لتعريف حقل الواقعية الفائقة${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$. يترك${\displaystyle \mathbb {R} }$ليكن حقل الأعداد الحقيقية، وليكن${\displaystyle \mathbb {N} }$ليكن نصف حلقة الأعداد الطبيعية. نرمز بـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$مجموعة متتابعات الأعداد الحقيقية. حقل${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$يُعرَّف بأنه حاصل قسمة مناسب لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$على النحو التالي. خذ مرشحًا فائقًا غير رئيسي${\displaystyle F\subseteq P(\mathbb {N} )}$. بخاصة،${\displaystyle F}$يحتوي على مرشح فريشيه . لنفترض زوجًا من المتتاليات

${\displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

نقول ذلك${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$تكون متكافئة إذا تطابقت على مجموعة من المؤشرات التي تُعد عضوًا في المرشح الفائق، أو في الصيغ:

${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F}$

ناتج قسمة${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$وبالتالي فإن علاقة التكافؤ الناتجة هي حقل فائق الواقعية${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$، وهو وضع يمكن تلخيصه بالصيغة${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}}$.

هناك ثلاثة أسباب على الأقل تدعو إلى النظر في التحليل غير القياسي: تاريخية، وتربوية، وتقنية.

هناك منهجان رئيسيان مختلفان للتحليل غير القياسي: المنهج الدلالي أو النظري النموذجي، والمنهج التركيبي. وينطبق كلا المنهجين على مجالات أخرى من الرياضيات تتجاوز التحليل، بما في ذلك نظرية الأعداد والجبر والطوبولوجيا.

يُصنَّفُ صياغُ روبنسون الأصلي للتحليل غير القياسي ضمن فئة المنهج الدلالي . وكما طوّره في أبحاثه، فهو قائم على دراسة نماذج نظرية ما (وخاصةً النماذج المشبعة ) . ومنذ ظهور أعمال روبنسون، طُوِّرَ منهج دلالي أبسط (بفضل إلياس زاكون) باستخدام كائنات نظرية مجموعات بحتة تُسمى البنى الفوقية . في هذا المنهج، يُستبدَل نموذج النظرية بكائن يُسمى البنية الفوقية V ( S ) على مجموعة S. انطلاقًا من البنية الفوقية V ( S ) ، يُنشأ كائن آخر * V ( S ) باستخدام بناء القوة الفائقة مع دالة V ( S ) → * V ( S ) تُحقق مبدأ النقل . تربط الدالة * الخصائص الشكلية لـ V ( S ) و * V ( S ) . علاوة على ذلك، من الممكن النظر في شكل أبسط من التشبع يُسمى التشبع المعدود . هذا المنهج المبسط أكثر ملاءمةً أيضًا للاستخدام من قِبَل علماء الرياضيات غير المتخصصين في نظرية النماذج أو المنطق.

يتطلب المنهج التركيبي قدرًا أقل بكثير من المنطق ونظرية النماذج لفهمه واستخدامه. وقد طُوّر هذا المنهج في منتصف سبعينيات القرن العشرين على يد عالم الرياضيات إدوارد نيلسون . قدّم نيلسون صياغة بديهية بالكامل للتحليل غير القياسي أطلق عليها اسم نظرية المجموعات الداخلية (IST). ^{[ 13 ]} تُعدّ IST امتدادًا لنظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل (ZF)، إذ تُقدّم، إلى جانب علاقة الانتماء الثنائية الأساسية ∈، معيارًا جديدًا للمسند الأحادي ، والذي يُمكن تطبيقه على عناصر الكون الرياضي، بالإضافة إلى بعض البديهيات للاستدلال باستخدام هذا المسند الجديد.

يتطلب التحليل النحوي غير القياسي عناية فائقة في تطبيق مبدأ تكوين المجموعات (المعروف رسميًا باسم بديهية الفهم )، وهو مبدأ يعتبره علماء الرياضيات عادةً أمرًا مفروغًا منه. وكما يشير نيلسون، فإن إحدى المغالطات في الاستدلال في نظرية المجموعات غير القياسية (IST) هي مغالطة تكوين المجموعات غير القانوني . فعلى سبيل المثال، لا توجد مجموعة في IST عناصرها هي الأعداد الصحيحة القياسية تحديدًا (ويُفهم هنا مصطلح "قياسي" بمعنى المسند الجديد). ولتجنب تكوين المجموعات غير القانوني، يجب استخدام مسندات نظرية ZFC فقط لتعريف المجموعات الجزئية. ^{[ 13 ]}

مثال آخر على النهج التركيبي هو نظرية المجموعة البديلة لفوبينكا ، ^{[ 14 ]} والتي تحاول إيجاد بديهيات نظرية المجموعة أكثر توافقًا مع التحليل غير القياسي من بديهيات ZF.

نُشر كتاب أبراهام روبنسون " التحليل غير القياسي" عام ١٩٦٦. وقد سبق أن تناول بعض المواضيع الواردة فيه مقالته التي تحمل نفس العنوان عام ١٩٦١ (روبنسون ١٩٦١). ^{[ ١٥ ]} إلى جانب احتوائه على أول معالجة شاملة للتحليل غير القياسي، يتضمن الكتاب قسمًا تاريخيًا مفصلًا يُشكك فيه روبنسون في بعض الآراء السائدة حول تاريخ الرياضيات، والتي كانت تستند إلى التصور السائد قبل ظهور التحليل غير القياسي للكميات المتناهية في الصغر باعتبارها كيانات غير متسقة. وبالتالي، يُشكك روبنسون في فكرة أن " نظرية المجموع " لأوغستين لويس كوشي في كتابه "دروس في التحليل" (Cours d'Analyse) بشأن تقارب سلسلة من الدوال المتصلة كانت خاطئة، ويقترح تفسيرًا قائمًا على الكميات المتناهية في الصغر لفرضيته، مما يُفضي إلى نظرية صحيحة.

استخدم أبراهام روبنسون وألين بيرنشتاين التحليل غير القياسي لإثبات أن كل مؤثر خطي مضغوط متعدد الحدود على فضاء هيلبرت له فضاء جزئي ثابت . ^{[ 16 ]}

بفرض وجود مؤثر T على فضاء هيلبرت H ، نعتبر مدار النقطة v في H تحت تأثير تكرارات T. بتطبيق طريقة غرام-شميدت، نحصل على أساس متعامد ( e _{_i} ) لـ H. ولتكن ( H_{_i} ) متتالية متداخلة من الفضاءات الجزئية "الإحداثية" لـ H. المصفوفة a _{_i,j} التي تعبر عن T بالنسبة إلى ( e_{_i} ) هي مصفوفة مثلثية علوية شبه كاملة، بمعنى أن المعاملات a _{_{i +1, i}} هي المعاملات غير الصفرية الوحيدة في القطر الفرعي. يُبين بيرنشتاين وروبنسون أنه إذا كان T متراصًا متعدد الحدود، فإنه يوجد دليل فائق التناهي w بحيث يكون معامل المصفوفة a _{_{w +1, w}} متناهيًا في الصغر. بعد ذلك، نعتبر الفضاء الجزئي H _{_w} من * H . إذا كان للنقطة y في H _{_w} معيار محدود، فإن T ( y ) يكون قريبًا جدًا من H _{_w} .

والآن، لنفترض أن T _w هو المؤثر${\displaystyle P_{w}\circ T}$لنفترض أن P(T) مؤثر على H( _w) ، حيث P( _w) هو الإسقاط المتعامد على H( _w) . لنرمز بـ q إلى متعددة الحدود التي يكون عندها q ( T ) متراصًا. الفضاء الجزئي H( _w) داخلي ذو بُعد فائق الانتهاء. بنقل التثليث العلوي لمؤثرات فضاء المتجهات العقدية ذي البُعد المنتهي، توجد قاعدة فضاء هيلبرت متعامدة داخلية ( e _k ) لـ H( _{w )،} حيث k تتراوح من 1 إلى w ، بحيث يكون كل فضاء جزئي E _{_k} ذي البُعد k المقابل ثابتًا تحت تأثير T. لنرمز بـ Π_{_k} إلى الإسقاط على الفضاء الجزئي E _{_k} . بالنسبة لمتجه غير صفري x ذي معيار منتهٍ في H ، يمكن افتراض أن q ( T )( x ) غير صفري، أو | q ( T )( x )| > 1 لتوضيح الفكرة. بما أن q ( T ) مؤثر متراص، فإن ( q ( T ( _w ))( x ) قريب جدًا من q ( T )( x ) ، وبالتالي يكون | q ( T ( _w )( x )| أيضًا ≠ 1. > 1. الآن، ليكن j أكبر دليل بحيث${\textstyle \left|q(T_{w})\left(\prod _{j}(x)\right)\right|<{\tfrac {1}{2}}}$ثم إن فضاء جميع العناصر القياسية القريبة بشكل لانهائي من E _j هو الفضاء الفرعي الثابت المطلوب.

بعد قراءة نسخة أولية من بحث بيرنشتاين وروبنسون، أعاد بول هالموس تفسير برهانهما باستخدام التقنيات القياسية. ^{[ 17 ]} نُشر البحثان متتاليين في العدد نفسه من مجلة باسيفيك جورنال أوف ماثيماتيكس . وقد ظهرت بعض الأفكار المستخدمة في برهان هالموس لاحقًا في أعماله الخاصة حول المؤثرات شبه المثلثية.

تم التوصل إلى نتائج أخرى في سياق إعادة تفسير أو إعادة إثبات نتائج معروفة سابقًا. ومن بين النتائج ذات الأهمية الخاصة برهان تيتورو كاما ^{[ 18 ]} لنظرية الإرجودية الفردية ، ومعالجة ل. فان دن دريس وأليكس ويلكي ^{[ 19 ]} لنظرية غروموف حول مجموعات النمو متعدد الحدود . كما استخدم لاري مانيفيتز وشموئيل واينبرغر التحليل غير القياسي لإثبات نتيجة في الطوبولوجيا الجبرية. ^{[ 20 ]}

تكمن المساهمات الحقيقية للتحليل غير القياسي في المفاهيم والنظريات التي تستخدم اللغة الموسعة الجديدة لنظرية المجموعات غير القياسية. ومن بين التطبيقات الجديدة في الرياضيات، نجد مناهج جديدة في الاحتمالات ^{[ 11 ]} ، والديناميكا المائية ^{[ 21 ]} ، ونظرية القياس ^{[ 22 ]} ، والتحليل غير الأملس والتوافقي ^{[ 23 ]،} وغيرها.

توجد أيضًا تطبيقات للتحليل غير القياسي في نظرية العمليات العشوائية، ولا سيما بناء الحركة البراونية كمسارات عشوائية . وقد قدم ألبيفيريو وآخرون ^{[ 12 ]} مقدمة لهذا المجال البحثي.

فيما يتعلق بالبديهيات، وجدت بديهية بوفا الشاملة الفائقة تطبيقًا كأساس للتحليل البديهي غير القياسي. ^{[ 24 ]}

على الرغم من أناقة وجاذبية بعض جوانب التحليل غير القياسي، فقد تم التعبير عن الانتقادات أيضًا، مثل تلك التي وجهها إيريت بيشوب وآلان كونيس وبول هالموس .

بالنظر إلى أي مجموعة S ، فإن البنية الفوقية فوق مجموعة S هي المجموعة V ( S ) المعرفة بالشروط

${\displaystyle V_{0}(S)=S,}$

${\displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp (V_{n}(S))،}$

${\displaystyle V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).}$

وبالتالي، تُستنتج البنية الفوقية على S بالبدء من S وتكرار عملية ضم مجموعة القوى لـ S ثم جمع المتتالية الناتجة. تتضمن البنية الفوقية على الأعداد الحقيقية ثروة من البنى الرياضية: على سبيل المثال، تحتوي على نسخ متماثلة لجميع الفضاءات المترية القابلة للفصل والفضاءات المتجهة الطوبولوجية القابلة للقياس . وكل ما يهم المحلل الرياضي تقريبًا يقع ضمن V ( R ) .

تتمثل الرؤية العملية للتحليل غير القياسي في مجموعة * R ودالة *  : V ( R ) → V (* R ) تحقق بعض الخصائص الإضافية. ولصياغة هذه المبادئ، نذكر أولاً بعض التعريفات.

تكون الصيغة محدودة التحديد الكمي إذا وفقط إذا كانت المحددات الكمية الوحيدة التي تظهر في الصيغة لها نطاق مقيد على مجموعات، أي أنها جميعها على الشكل التالي:

${\displaystyle \forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

على سبيل المثال، الصيغة

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y}$

في حالة التحديد الكمي المحدود، يتراوح المتغير x المُحدد كميًا بشكل شامل على المجموعة A ، بينما يتراوح المتغير y المُحدد كميًا بشكل وجودي على مجموعة القوى للمجموعة B. من ناحية أخرى،

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y}$

لا يوجد لها تحديد كمي محدود لأن تحديد كمية y غير مقيد.

تكون المجموعة x داخلية إذا وفقط إذا كانت x عنصرًا من * A لبعض العناصر A من V ( R ) . وتكون * A نفسها داخلية إذا كانت A تنتمي إلى V ( R ) .

نقوم الآن بصياغة الإطار المنطقي الأساسي للتحليل غير القياسي:

• مبدأ التمديد : التعيين * هو الهوية على R.
• مبدأ النقل : بالنسبة لأي صيغة P ( x ₁ , ..., x _n ) ذات التحديد الكمي المحدود والمتغيرات الحرة x ₁ , ..., x _n ، ولأي عناصر A ₁ , ..., A _n من V ( R ) ، فإن التكافؤ التالي صحيح:

${\displaystyle P(A_{1},\ldots ,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots ,*A_{n})}$

• التشبع القابل للعد : إذا كانت { A _k } _{k ∈ N} متتالية متناقصة من المجموعات الداخلية غير الفارغة، حيث k تتراوح على الأعداد الطبيعية، فإن

${\displaystyle \bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset }$

يمكن إثبات وجود مثل هذه الخريطة * باستخدام الضرب الفائق. تُسمى عناصر V ( R ) بالأعداد القياسية . وتُسمى عناصر * R بالأعداد الفائقة الحقيقية .

يرمز الرمز * N إلى الأعداد الطبيعية غير القياسية. وبحسب مبدأ التمديد، فإن هذه المجموعة هي مجموعة شاملة للمجموعة N. المجموعة * N - N غير فارغة. ولإثبات ذلك، نطبق مبدأ التشبع المعدود على متتالية المجموعات الداخلية.

${\displaystyle A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbf {N} }:k\geq n\}}$

المتتالية { A _n } _{n ∈ N} لها تقاطع غير فارغ، مما يثبت النتيجة.

نبدأ ببعض التعريفات: تكون الأعداد الفائقة الحقيقية r و s متقاربة إلى ما لا نهاية إذا وفقط إذا

${\displaystyle r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\ |r-s|\leq \theta }$

يكون العدد الفائق الحقيقي r متناهي الصغر إذا وفقط إذا كان قريبًا جدًا من الصفر. على سبيل المثال، إذا كان n عددًا فائقًا صحيحًا ، أي عنصرًا من * N − N ، فإن 1/ n يكون متناهي الصغر. يكون العدد الفائق الحقيقي r محدودًا (أو منتهيًا ) إذا وفقط إذا كانت قيمته المطلقة أقل من عدد صحيح قياسي. تشكل الأعداد الفائقة الحقيقية المحدودة حلقة فرعية من * R تحتوي على الأعداد الحقيقية. في هذه الحلقة، تُعدّ الأعداد الفائقة الحقيقية المتناهية الصغر مثالية .

إن مجموعة الأعداد الفائقة المحدودة أو مجموعة الأعداد الفائقة المتناهية الصغر هي مجموعات فرعية خارجية من V (* R ) ؛ ما يعنيه هذا عمليًا هو أن التحديد الكمي المحدود، حيث يكون الحد مجموعة داخلية، لا يمتد أبدًا على هذه المجموعات.

مثال : المستوى ( س ، ص ) حيث تتراوح قيم س و ص على ℝ هو مستوى داخلي، وهو نموذج للهندسة الإقليدية المستوية. أما المستوى الذي تكون فيه قيم س و ص محدودة (مشابهًا لمستوى دين ) فهو مستوى خارجي، وفي هذا المستوى المحدود لا تتحقق مسلمة التوازي. على سبيل المثال، أي خط يمر بالنقطة (0، 1) على المحور ص وله ميل متناهي الصغر يكون موازيًا للمحور س .

نظرية. لكل عدد حقيقي فائق محدود r ، يوجد عدد حقيقي قياسي وحيد يُرمز له بـ st( r ) قريب جدًا من r . التطبيق st هو تشاكل حلقي من حلقة الأعداد الحقيقية الفائقة المحدودة إلى R.

عملية الربط خارجية أيضًا.

إحدى طرق فهم الجزء القياسي من عدد فائق الواقعية هي من خلال قطوع ديديكيند ؛ أي عدد فائق الواقعية محدود s يُعرّف قطوعًا بالنظر إلى زوج المجموعات ( L , U ) ، حيث L هي مجموعة الأعداد النسبية القياسية a الأقل من s، و U هي مجموعة الأعداد النسبية القياسية b الأكبر من s . ويمكن ملاحظة أن العدد الحقيقي المقابل لـ ( L , U ) يحقق شرط كونه الجزء القياسي من s .

يمكن وصف الاستمرارية بشكل بديهي على النحو التالي:

نظرية. تكون الدالة الحقيقية f على الفترة [ a , b ] متصلة إذا وفقط إذا كان لكل عدد حقيقي فائق x في الفترة *[ a , b ] ، لدينا: * f ( x ) ≅ * f (st( x )) .

بصورة مماثلة،

نظرية. تكون الدالة الحقيقية f قابلة للتفاضل عند القيمة الحقيقية x إذا وفقط إذا كانت القيمة لكل عدد حقيقي فائق متناهي الصغر h

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)}$

موجودة ومستقلة عن h . في هذه الحالة ، f ′( x ) عدد حقيقي وهي مشتقة f عند x .

من الممكن "تحسين" التشبع بالسماح بتقاطع مجموعات ذات عدد عناصر أكبر. يكون النموذج مشبعًا من النوع κ إذا كان كلما${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$هي مجموعة من المجموعات الداخلية ذات خاصية التقاطع المحدود و${\displaystyle |I|\leq \kappa }$،

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset }$

يُعد هذا مفيدًا، على سبيل المثال، في فضاء طوبولوجي X ، حيث قد نرغب في تشبع |2 ^X | لضمان أن يكون تقاطع قاعدة الجوار القياسية غير فارغ. ^{[ 25 ]}

لأي عدد أصلي κ ، يمكن إنشاء امتداد مشبع بـ κ . ^{[ 26 ]}

• إي إي روزينجر، [math/0407178]. مقدمة موجزة في التحليل غير القياسي . arxiv.org.

• اقتباسات متعلقة بالتحليل غير القياسي على موقع ويكي الاقتباسات
• أشباح الكميات الراحلة، بقلم ليندسي كيغان. مؤرشف في 25 أبريل 2018 على موقع Wayback Machine.