تريجينتادوونيون

في الجبر المجرد ، تُشكل الأيونات الثلاثية الأبعاد ، والمعروفة أيضًا بالأيونات 32 ، والأيونات 32 ، والأيونات 25 ^، جبرًا غير تبادلي وغير تجميعي ذو 32 بُعدًا على الأعداد الحقيقية . ^[¹^]^[²^]

الأسماء

كلمة trigintaduonion مشتقة من الكلمة اللاتينية triginta التي تعني "ثلاثون" + duo التي تعني "اثنان" + اللاحقة -nion ، والتي تُستخدم لأنظمة الأعداد المركبة الفائقة . ومن الأسماء الأخرى لها: 32-ion ، و32-nion ، و25- ^ion ، و25- ^nion . كما يُشار إلى هذه الأعداد باسم pathions . $\mathbb {P}$ [ ^{3 ]}^{[ 4 ]،}^{وهو المصطلح} الذي أطلقه روبرت بي سي دي ماريه في إشارة إلى مسارات الحكمة الـ 32 الواردة في نص سفر يتزيرا الكابالي ( الصوفي اليهودي ) . ومع ذلك، لا يُعتبر هذا المصطلح مصطلحًا قياسيًا مقبولًا على نطاق واسع.

تعريف

كل مثلث هو تركيبة خطية من المثلثات الوحدوية $e_{0}$ ، $e_{1}$ ، $e_{2}$ ، $e_{3}$ ... $e_{31}$ والتي تشكل أساسًا للفضاء المتجهي للأعداد الثلاثية. يمكن تمثيل كل عدد ثلاثي بالشكل التالي

x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{30}e_{30}+x_{31}e_{31}

بمعاملات حقيقية $x i$ .

يمكن الحصول على الأعداد الثلاثية الأبعاد بتطبيق بناء كايلي-ديكسون على الأعداد السدينية . ^{[ 5 ]} يؤدي تطبيق بناء كايلي-ديكسون على الأعداد الثلاثية الأبعاد إلى جبر ذي 64 بُعدًا يُسمى الأيونات 64 ، أو الأيونات 64 ، أو الأيونات السداسية الرباعية ، أو الأيونات السداسية الرباعية .

ونتيجة لذلك، يمكن تعريف التريجينتاديوونيونات أيضًا على النحو التالي. ^{[ 5 ]}

جبر البعد الرابع على المثمانيات $\mathbb {O}$ :

\sum _{i=0}^{3}a_{i}\cdot e_{i}

أين

a_{i}\in \mathbb {O}

و

e_{i}\notin \mathbb {O}

جبر ذو بُعد 8 على الكواترنيونات $\mathbb {H}$ :

\sum _{i=0}^{7}a_{i}\cdot e_{i}

أين

a_{i}\in \mathbb {H}

و

e_{i}\notin \mathbb {H}

جبر ذو بُعد 16 على الأعداد المركبة $\mathbb {C}$ :

\sum _{i=0}^{15}a_{i}\cdot e_{i}

أين

a_{i}\in \mathbb {C}

و

e_{i}\notin \mathbb {C}

جبر ذو بُعد 32 على الأعداد الحقيقية $\mathbb {R}$ :

\sum _{i=0}^{31}a_{i}\cdot e_{i}

أين

a_{i}\in \mathbb {R}

و

e_{i}\notin \mathbb {R}

$\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} ,\mathbb {S}$ جميعها مجموعات فرعية من $\mathbb {T}$ يمكن التعبير عن هذه العلاقة على النحو التالي:

$\mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots$

الضرب

ملكيات

مثل الأوكتونيونات والسيدينيونات ، فإن ضرب التريجينتاديويونات ليس تبديليًا ولا تجميعيًا . ومع ذلك، كونها نواتج بناء كايلي-ديكسون، فإن التريجينتاديويونات تتمتع بخاصية التجميعية الأسية ، والتي يمكن التعبير عنها على النحو التالي: لأي عنصر $x$ ل $\mathbb {T}$ ، القوة $x^{n}$ مُعرَّفة جيدًا. كما أنها مرنة ، وعملية الضرب فيها توزيعية على عملية الجمع. ^{[ 6 ]} وكما هو الحال مع السدينيونات، تحتوي الثلاثيات المزدوجة على قواسم صفرية ، وبالتالي فهي ليست جبر قسمة . فبينما تحتوي السدينيونات على 84 قاسمًا صفريًا، ^{[ 7 ]} تحتوي الثلاثيات المزدوجة على 1260 قاسمًا صفريًا مُشتقة من 147 ثلاثية مختلفة. ^{[ 8 ]} علاوة على ذلك، وعلى عكس الأوكتونيونات، لا يمتلك أي من هذين الجبرين خاصية التبادل .

التمثيلات الهندسية

في حين أن أنماط ضرب الوحدات الثمانية يمكن تمثيلها هندسيًا بواسطة PG(2,2) (المعروف أيضًا باسم مستوى فانو ) وضرب الوحدات السدينية بواسطة PG(3,2) ، فإن ضرب الوحدات الثلاثية يمكن تمثيله هندسيًا بواسطة PG(4,2).

جداول الضرب

يوضح الجدولان أدناه عملية ضرب الأعداد المثلثية الأساسية. وعند دمجهما، يشكلان جدولًا واحدًا بحجم 32×32 يحتوي على 1024 خلية . ^{[ 9 ]}^{[ 5 ]}

فيما يلي جدول ضرب المثلثات لـ $e_{j},0\leq j\leq 15$ النصف العلوي من هذا الجدول، لـ $e_{i},0\leq i\leq 15$ ، يتوافق مع جدول الضرب للوحدات الفرعية . الربع العلوي الأيسر من الجدول، لـ $e_{i},0\leq i\leq 7$ و $e_{j},0\leq j\leq 7$ ، يتوافق مع جدول الضرب للأوكتونيونات .

$e_{i}e_{j}$		$e_{j}$
$e_{i}e_{j}$		$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{8}$	$e_{9}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$
$e_{i}$	$e_{0}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{8}$	$e_{9}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$
	$e_{1}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{5}$	$-e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$e_{9}$	$-e_{8}$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$
	$e_{2}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{4}$	$-e_{5}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$-e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$e_{12}$	$e_{13}$
	$e_{3}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$-e_{4}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_{9}$	$-e_{8}$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$e_{12}$
	$e_{4}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$-e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{10}$	$-e_{11}$
	$e_{5}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_{9}$	$-e_{8}$	$e_{11}$	$-e_{10}$
	$e_{6}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$	$e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{12}$	$e_{13}$	$e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_{8}$	$e_{9}$
	$e_{7}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{9}$	$-e_{8}$
	$e_{8}$	$e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_{12}$	$-e_{13}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
	$e_{9}$	$e_{9}$	$e_{8}$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{5}$	$e_{4}$	$e_{7}$	$-e_{6}$
	$e_{10}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$e_{4}$	$e_{5}$
	$e_{11}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_{9}$	$e_{8}$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{5}$	$e_{4}$
	$e_{12}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$	$-e_{2}$	$-e_{3}$
	$e_{13}$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_{9}$	$e_{8}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$-e_{5}$	$-e_{4}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$
	$e_{14}$	$e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{12}$	$e_{13}$	$e_{10}$	$-e_{11}$	$e_{8}$	$e_{9}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{4}$	$e_{5}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$
	$e_{15}$	$e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{9}$	$e_{8}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{5}$	$-e_{4}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$
	$e_{16}$	$e_{16}$	$-e_{17}$	$-e_{18}$	$-e_{19}$	$-e_{20}$	$-e_{21}$	$-e_{22}$	$-e_{23}$	$-e_{24}$	$-e_{25}$	$-e_{26}$	$-e_{27}$	$-e_{28}$	$-e_{29}$	$-e_{30}$	$-e_{31}$
	$e_{17}$	$e_{17}$	$e_{16}$	$-e_{19}$	$e_{18}$	$-e_{21}$	$e_{20}$	$e_{23}$	$-e_{22}$	$-e_{25}$	$e_{24}$	$e_{27}$	$-e_{26}$	$e_{29}$	$-e_{28}$	$-e_{31}$	$e_{30}$
	$e_{18}$	$e_{18}$	$e_{19}$	$e_{16}$	$-e_{17}$	$-e_{22}$	$-e_{23}$	$e_{20}$	$e_{21}$	$-e_{26}$	$-e_{27}$	$e_{24}$	$e_{25}$	$e_{30}$	$e_{31}$	$-e_{28}$	$-e_{29}$
	$e_{19}$	$e_{19}$	$-e_{18}$	$e_{17}$	$e_{16}$	$-e_{23}$	$e_{22}$	$-e_{21}$	$e_{20}$	$-e_{27}$	$e_{26}$	$-e_{25}$	$e_{24}$	$e_{31}$	$-e_{30}$	$e_{29}$	$-e_{28}$
	$e_{20}$	$e_{20}$	$e_{21}$	$e_{22}$	$e_{23}$	$e_{16}$	$-e_{17}$	$-e_{18}$	$-e_{19}$	$-e_{28}$	$-e_{29}$	$-e_{30}$	$-e_{31}$	$e_{24}$	$e_{25}$	$e_{26}$	$e_{27}$
	$e_{21}$	$e_{21}$	$-e_{20}$	$e_{23}$	$-e_{22}$	$e_{17}$	$e_{16}$	$e_{19}$	$-e_{18}$	$-e_{29}$	$e_{28}$	$-e_{31}$	$e_{30}$	$-e_{25}$	$e_{24}$	$-e_{27}$	$e_{26}$
	$e_{22}$	$e_{22}$	$-e_{23}$	$-e_{20}$	$e_{21}$	$e_{18}$	$-e_{19}$	$e_{16}$	$e_{17}$	$-e_{30}$	$e_{31}$	$e_{28}$	$-e_{29}$	$-e_{26}$	$e_{27}$	$e_{24}$	$-e_{25}$
	$e_{23}$	$e_{23}$	$e_{22}$	$-e_{21}$	$-e_{20}$	$e_{19}$	$e_{18}$	$-e_{17}$	$e_{16}$	$-e_{31}$	$-e_{30}$	$e_{29}$	$e_{28}$	$-e_{27}$	$-e_{26}$	$e_{25}$	$e_{24}$
	$e_{24}$	$e_{24}$	$e_{25}$	$e_{26}$	$e_{27}$	$e_{28}$	$e_{29}$	$e_{30}$	$e_{31}$	$e_{16}$	$-e_{17}$	$-e_{18}$	$-e_{19}$	$-e_{20}$	$-e_{21}$	$-e_{22}$	$-e_{23}$
	$e_{25}$	$e_{25}$	$-e_{24}$	$e_{27}$	$-e_{26}$	$e_{29}$	$-e_{28}$	$-e_{31}$	$e_{30}$	$e_{17}$	$e_{16}$	$e_{19}$	$-e_{18}$	$e_{21}$	$-e_{20}$	$-e_{23}$	$e_{22}$
	$e_{26}$	$e_{26}$	$-e_{27}$	$-e_{24}$	$e_{25}$	$e_{30}$	$e_{31}$	$-e_{28}$	$-e_{29}$	$e_{18}$	$-e_{19}$	$e_{16}$	$e_{17}$	$e_{22}$	$e_{23}$	$-e_{20}$	$-e_{21}$
	$e_{27}$	$e_{27}$	$e_{26}$	$-e_{25}$	$-e_{24}$	$e_{31}$	$-e_{30}$	$e_{29}$	$-e_{28}$	$e_{19}$	$e_{18}$	$-e_{17}$	$e_{16}$	$e_{23}$	$-e_{22}$	$e_{21}$	$-e_{20}$
	$e_{28}$	$e_{28}$	$-e_{29}$	$-e_{30}$	$-e_{31}$	$-e_{24}$	$e_{25}$	$e_{26}$	$e_{27}$	$e_{20}$	$-e_{21}$	$-e_{22}$	$-e_{23}$	$e_{16}$	$e_{17}$	$e_{18}$	$e_{19}$
	$e_{29}$	$e_{29}$	$e_{28}$	$-e_{31}$	$e_{30}$	$-e_{25}$	$-e_{24}$	$-e_{27}$	$e_{26}$	$e_{21}$	$e_{20}$	$-e_{23}$	$e_{22}$	$-e_{17}$	$e_{16}$	$-e_{19}$	$e_{18}$
	$e_{30}$	$e_{30}$	$e_{31}$	$e_{28}$	$-e_{29}$	$-e_{26}$	$e_{27}$	$-e_{24}$	$-e_{25}$	$e_{22}$	$e_{23}$	$e_{20}$	$-e_{21}$	$-e_{18}$	$e_{19}$	$e_{16}$	$-e_{17}$
	$e_{31}$	$e_{31}$	$-e_{30}$	$e_{29}$	$e_{28}$	$-e_{27}$	$-e_{26}$	$e_{25}$	$-e_{24}$	$e_{23}$	$-e_{22}$	$e_{21}$	$e_{20}$	$-e_{19}$	$-e_{18}$	$e_{17}$	$e_{16}$

فيما يلي جدول ضرب المثلثات لـ $e_{j},16\leq j\leq 31$ .

$e_{i}e_{j}$		$e_{j}$
$e_{i}e_{j}$		$e_{16}$	$e_{17}$	$e_{18}$	$e_{19}$	$e_{20}$	$e_{21}$	$e_{22}$	$e_{23}$	$e_{24}$	$e_{25}$	$e_{26}$	$e_{27}$	$e_{28}$	$e_{29}$	$e_{30}$	$e_{31}$
$e_{i}$	$e_{0}$	$e_{16}$	$e_{17}$	$e_{18}$	$e_{19}$	$e_{20}$	$e_{21}$	$e_{22}$	$e_{23}$	$e_{24}$	$e_{25}$	$e_{26}$	$e_{27}$	$e_{28}$	$e_{29}$	$e_{30}$	$e_{31}$
	$e_{1}$	$e_{17}$	$-e_{16}$	$-e_{19}$	$e_{18}$	$-e_{21}$	$e_{20}$	$e_{23}$	$-e_{22}$	$-e_{25}$	$e_{24}$	$e_{27}$	$-e_{26}$	$e_{29}$	$-e_{28}$	$-e_{31}$	$e_{30}$
	$e_{2}$	$e_{18}$	$e_{19}$	$-e_{16}$	$-e_{17}$	$-e_{22}$	$-e_{23}$	$e_{20}$	$e_{21}$	$-e_{26}$	$-e_{27}$	$e_{24}$	$e_{25}$	$e_{30}$	$e_{31}$	$-e_{28}$	$-e_{29}$
	$e_{3}$	$e_{19}$	$-e_{18}$	$e_{17}$	$-e_{16}$	$-e_{23}$	$e_{22}$	$-e_{21}$	$e_{20}$	$-e_{27}$	$e_{26}$	$-e_{25}$	$e_{24}$	$e_{31}$	$-e_{30}$	$e_{29}$	$-e_{28}$
	$e_{4}$	$e_{20}$	$e_{21}$	$e_{22}$	$e_{23}$	$-e_{16}$	$-e_{17}$	$-e_{18}$	$-e_{19}$	$-e_{28}$	$-e_{29}$	$-e_{30}$	$-e_{31}$	$e_{24}$	$e_{25}$	$e_{26}$	$e_{27}$
	$e_{5}$	$e_{21}$	$-e_{20}$	$e_{23}$	$-e_{22}$	$e_{17}$	$-e_{16}$	$e_{19}$	$-e_{18}$	$-e_{29}$	$e_{28}$	$-e_{31}$	$e_{30}$	$-e_{25}$	$e_{24}$	$-e_{27}$	$e_{26}$
	$e_{6}$	$e_{22}$	$-e_{23}$	$-e_{20}$	$e_{21}$	$e_{18}$	$-e_{19}$	$-e_{16}$	$e_{17}$	$-e_{30}$	$e_{31}$	$e_{28}$	$-e_{29}$	$-e_{26}$	$e_{27}$	$e_{24}$	$-e_{25}$
	$e_{7}$	$e_{23}$	$e_{22}$	$-e_{21}$	$-e_{20}$	$e_{19}$	$e_{18}$	$-e_{17}$	$-e_{16}$	$-e_{31}$	$-e_{30}$	$e_{29}$	$e_{28}$	$-e_{27}$	$-e_{26}$	$e_{25}$	$e_{24}$
	$e_{8}$	$e_{24}$	$e_{25}$	$e_{26}$	$e_{27}$	$e_{28}$	$e_{29}$	$e_{30}$	$e_{31}$	$-e_{16}$	$-e_{17}$	$-e_{18}$	$-e_{19}$	$-e_{20}$	$-e_{21}$	$-e_{22}$	$-e_{23}$
	$e_{9}$	$e_{25}$	$-e_{24}$	$e_{27}$	$-e_{26}$	$e_{29}$	$-e_{28}$	$-e_{31}$	$e_{30}$	$e_{17}$	$-e_{16}$	$e_{19}$	$-e_{18}$	$e_{21}$	$-e_{20}$	$-e_{23}$	$e_{22}$
	$e_{10}$	$e_{26}$	$-e_{27}$	$-e_{24}$	$e_{25}$	$e_{30}$	$e_{31}$	$-e_{28}$	$-e_{29}$	$e_{18}$	$-e_{19}$	$-e_{16}$	$e_{17}$	$e_{22}$	$e_{23}$	$-e_{20}$	$-e_{21}$
	$e_{11}$	$e_{27}$	$e_{26}$	$-e_{25}$	$-e_{24}$	$e_{31}$	$-e_{30}$	$e_{29}$	$-e_{28}$	$e_{19}$	$e_{18}$	$-e_{17}$	$-e_{16}$	$e_{23}$	$-e_{22}$	$e_{21}$	$-e_{20}$
	$e_{12}$	$e_{28}$	$-e_{29}$	$-e_{30}$	$-e_{31}$	$-e_{24}$	$e_{25}$	$e_{26}$	$e_{27}$	$e_{20}$	$-e_{21}$	$-e_{22}$	$-e_{23}$	$-e_{16}$	$e_{17}$	$e_{18}$	$e_{19}$
	$e_{13}$	$e_{29}$	$e_{28}$	$-e_{31}$	$e_{30}$	$-e_{25}$	$-e_{24}$	$-e_{27}$	$e_{26}$	$e_{21}$	$e_{20}$	$-e_{23}$	$e_{22}$	$-e_{17}$	$-e_{16}$	$-e_{19}$	$e_{18}$
	$e_{14}$	$e_{30}$	$e_{31}$	$e_{28}$	$-e_{29}$	$-e_{26}$	$e_{27}$	$-e_{24}$	$-e_{25}$	$e_{22}$	$e_{23}$	$e_{20}$	$-e_{21}$	$-e_{18}$	$e_{19}$	$-e_{16}$	$-e_{17}$
	$e_{15}$	$e_{31}$	$-e_{30}$	$e_{29}$	$e_{28}$	$-e_{27}$	$-e_{26}$	$e_{25}$	$-e_{24}$	$e_{23}$	$-e_{22}$	$e_{21}$	$e_{20}$	$-e_{19}$	$-e_{18}$	$e_{17}$	$-e_{16}$
	$e_{16}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{8}$	$e_{9}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$
	$e_{17}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{5}$	$e_{4}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$-e_{9}$	$e_{8}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$-e_{15}$	$e_{14}$
	$e_{18}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$e_{8}$	$e_{9}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$-e_{12}$	$-e_{13}$
	$e_{19}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{9}$	$e_{8}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_{13}$	$-e_{12}$
	$e_{20}$	$-e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$	$-e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{12}$	$-e_{13}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$e_{8}$	$e_{9}$	$e_{10}$	$e_{11}$
	$e_{21}$	$-e_{5}$	$-e_{4}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{9}$	$e_{8}$	$-e_{11}$	$e_{10}$
	$e_{22}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{4}$	$e_{5}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$-e_{14}$	$e_{15}$	$e_{12}$	$-e_{13}$	$-e_{10}$	$e_{11}$	$e_{8}$	$-e_{9}$
	$e_{23}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{5}$	$-e_{4}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{15}$	$-e_{14}$	$e_{13}$	$e_{12}$	$-e_{11}$	$-e_{10}$	$e_{9}$	$e_{8}$
	$e_{24}$	$-e_{8}$	$e_{9}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$	$-e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$
	$e_{25}$	$-e_{9}$	$-e_{8}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{5}$	$-e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$
	$e_{26}$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_{8}$	$e_{9}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$-e_{12}$	$-e_{13}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{4}$	$-e_{5}$
	$e_{27}$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{9}$	$-e_{8}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$-e_{4}$
	$e_{28}$	$-e_{12}$	$-e_{13}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{8}$	$e_{9}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
	$e_{29}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{9}$	$-e_{8}$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$
	$e_{30}$	$-e_{14}$	$e_{15}$	$e_{12}$	$-e_{13}$	$-e_{10}$	$e_{11}$	$-e_{8}$	$-e_{9}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$
	$e_{31}$	$-e_{15}$	$-e_{14}$	$e_{13}$	$e_{12}$	$-e_{11}$	$-e_{10}$	$e_{9}$	$-e_{8}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$

ثلاثيات

يحتوي جدول ضرب الأعداد الثلاثية على 155 ثلاثية مميزة (أو مجموعات ثلاثية) من وحدات الأعداد الثلاثية التخيلية، وهي مُدرجة أدناه. بالمقارنة، تحتوي الأعداد الثمانية على 7 ثلاثيات من هذا النوع، والأعداد السداسية عشرية على 35 ثلاثية، بينما تحتوي الأعداد السداسية الرباعية على 651 ثلاثية. ^{[ 10 ]}

45 ثلاثية من النوع {α, α, β} : {3, 13, 14}, {3, 21, 22}, {3, 25, 26}, {5, 11, 14}, {5, 19, 22}, {5, 25, 28}, {6, 11, 13}, {6, 19, 21}, {6, 26، 28}، {7، 9، 14}، {7، 10، 13}، {7، 11، 12}، {7، 17، 22}، {7، 18، 21}، {7، 19، 20}، {7، 25، 30}، {7، 26، 29}، {7، 27، 28}، {9، 19، {26}, {9, 21, 28}, {10, 19, 25}, {10, 22, 28}, {11, 17, 26}, {11, 18, 25}, {11, 19, 24}, {11, 21, 30}, {11, 22, 29}, {11, 23, 28}, {12, 21, 25}, {12, 22, 26}, {13, 17, 28}, {13, 19, 30}, {13, 20, 25}, {13, 21, 24}, {13, 22, 27}, {13, 23, 26}, {14, 18, 28}, {14, 19, {29}, {14, 20, 26}, {14, 21, 27}, {14, 22, 24}, {14, 23, 25}, {15, 19, 28}, {15, 21, 26}, {15, 22, 25}
20 ثلاثية من النوع {β, β, β} : {3, 5, 6}, {3, 9, 10}, {3, 17, 18}, {3, 29, 30}, {5, 9, 12}, {5, 17, 20}, {5, 27, 30}, {6, 10, 12}, {6, 18, 20}، {6، 27، 29}، {9، 17، 24}، {9، 23، 30}، {10، 18، 24}، {10، 23، 29}، {12، 20، 24}، {12، 23، 27}، {15، 17، 30}، {15، 18، 29}، {15، 20، 27}, {15, 23, 24}
15 ثلاثية من النوع {β, β, β} : {3, 12, 15}, {3, 20, 23}, {3, 24, 27}, {5, 10, 15}, {5, 18, 23}, {5, 24, 29}, {6, 9, 15}, {6, 17, 23}, {6, 24، 30}، {9، 18، 27}، {9، 20، 29}، {10، 17، 27}، {10، 20، 30}، {12، 17، 29}، {12، 18، 30}
60 ثلاثية من النوع {α, β, γ} : {1, 6, 7}, {1, 10, 11}, {1, 12, 13}, {1, 14, 15}, {1, 18, 19}, {1, 20, 21}, {1, 22, 23}, {1, 24, 25}, {1, 26، 27}، {1، 28، 29}، {2، 5، 7}، {2، 9، 11}، {2، 12، 14}، {2، 13، 15}، {2، 17، 19}، {2، 20، 22}، {2، 21، 23}، {2، 24، 26}، {2، 25، 27}، {2، {28، 30}، {3، 4، 7}، {3، 8، 11}، {3، 16، 19}، {3، 28، 31}، {4، 9، 13}، {4، 10، 14}، {4، 11، 15}، {4، 17، 21}، {4، 18، 22}، {4، 19، 23}، {4، 24، 28}، {4، 25، 29}، {4، 26، 30}، {5، 8، 13}، {5، 16، 21}، {5، 26، 31}، {6، 8، 14}، {6، 16، 22}، {6، 25، 31}، {7، 8، 15}، {7، {16، 23}، {7، 24، 31}، {8، 17، 25}، {8، 18، 26}، {8، 19، 27}، {8، 20، 28}، {8، 21، 29}، {8، 22، 30}، {9، 16، 25}، {9، 22، 31}، {10، 16، 26}، {10، 21، 31}، {11، 16، 27}، {11، 20، 31}، {12، 16، 28}، {12، 19، 31}، {13، 16، 29}، {13، 18، 31}، {14، 16، 30}، {14، 17، 31}
15 ثلاثية من النوع {β، γ، γ} : {1، 2، 3}، {1، 4، 5}، {1، 8، 9}، {1، 16، 17}، {1، 30، 31}، {2، 4، 6}، {2، 8، 10}، {2، 16، 18}، {2، 29، 31}، {4، 8، 12}، {4، 16، 20}، {4، 27، 31}، {8، 16، 24}، {8، 23، 31}، {15، 16، 31}

التطبيقات

تُستخدم الأعداد الثلاثية المركبة في الفيزياء الكمومية وفروع أخرى من الفيزياء الحديثة. ^{[ 9 ]} ومؤخرًا، استُخدمت الأعداد الثلاثية المركبة وغيرها من الأعداد فائقة التعقيد في أبحاث الشبكات العصبية ^{[ 11 ]} ومعالجة الإشارات الرقمية . ^{[ 3 ]}

مراجع

^ سايني، كافيتا. راج ، كولديب (2021). “حول التعميم لـ Tribonacci Trigintaduonions”. المجلة الهندية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 52 (2). Springer Science and Business Media LLC: 420– 428. دوى : 10.1007/s13226-021-00067-y . ISSN 0019-5588 .
↑ "Trigintaduonion" . جامعة واترلو . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-10-08 .
1 2 فالكوفا-جارفيز، زلاتكا؛ نينوفا، ماريا؛ ميخايلوفا، ديميتريا (2025-02-03). "الأعداد فائقة التعقيد - أداة لتعزيز الكفاءة والذكاء في معالجة الإشارات الرقمية" . الرياضيات . 13 (3): 504. doi : 10.3390/math13030504 . ISSN 2227-7390 .
↑ هوب، ترافيس. "مواضيع غير ذات صلة في الفيزياء" . thoppe.github.io . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-06-06 .
1 2 3 "Ensembles de nombres" (ملف PDF) (بالفرنسية). منتدى العلوم المستقبلية. 6 سبتمبر 2011. تاريخ الاطلاع: 11 أكتوبر 2024 .
^ كاواجاس ، راؤول إي. كاراسكال، الكسندر S.؛ باوتيستا، لينكولن أ؛ ماريا، جون P. ستا. أوروتيا، جاكي د.؛ النبلاء ، برناديث (2009). “بنية الجبر الفرعي لجبر كايلي ديكسون للبعد 32 (Trigintaduonion)”. أرخايف : 0907.2047 [ math.RA ].
^ ريجياني ، سيلفيو (2024). “هندسة مقسومات Sedenion الصفرية”. arXiv : 2411.18881 [ math.DG ].
↑ ويلموت، جي بي (2025). "بنية جبر كايلي-ديكسون". ص 2. arXiv : 2505.11747 [ math.RA ].
1 2 وينغ، زي-هوا (23-07-2024). "حقول القياس والتفاعلات الأربعة في فضاءات المثلثات" . الأساليب الرياضية في العلوم التطبيقية . 48. وايلي: 590-604 . arXiv : 2407.18265 . doi : 10.1002/mma.10345 . ISSN 0170-4214 .
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A171477" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ بالوني، سابنا؛ ياداف، فيجاي ك.؛ داس، سوبير (2024). "معايير استقرار لاغرانج للشبكات العصبية فائقة التعقيد ذات التأخيرات المتغيرة مع الزمن". الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية . 131 107765. إلسيفير بي في. رمز Bibcode : 2024CNSNS.13107765B . doi : 10.1016/j.cnsns.2023.107765 . ISSN 1007-5704 .

روابط خارجية

حزمة Hypercomplex Python 3

[1] سايني، كافيتا. راج ، كولديب (2021). “حول التعميم لـ Tribonacci Trigintaduonions”. المجلة الهندية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 52 (2). Springer Science and Business Media LLC: 420– 428. دوى : 10.1007/s13226-021-00067-y . ISSN 0019-5588 .

[2] "Trigintaduonion" . جامعة واترلو . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-10-08 .

[DSP-3] 1 2 فالكوفا-جارفيز، زلاتكا؛ نينوفا، ماريا؛ ميخايلوفا، ديميتريا (2025-02-03). "الأعداد فائقة التعقيد - أداة لتعزيز الكفاءة والذكاء في معالجة الإشارات الرقمية" . الرياضيات . 13 (3): 504. doi : 10.3390/math13030504 . ISSN 2227-7390 .

[4] هوب، ترافيس. "مواضيع غير ذات صلة في الفيزياء" . thoppe.github.io . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-06-06 .

[Ensembles-5] 1 2 3 "Ensembles de nombres" (ملف PDF) (بالفرنسية). منتدى العلوم المستقبلية. 6 سبتمبر 2011. تاريخ الاطلاع: 11 أكتوبر 2024 .

[6] كاواجاس ، راؤول إي. كاراسكال، الكسندر S.؛ باوتيستا، لينكولن أ؛ ماريا، جون P. ستا. أوروتيا، جاكي د.؛ النبلاء ، برناديث (2009). “بنية الجبر الفرعي لجبر كايلي ديكسون للبعد 32 (Trigintaduonion)”. أرخايف : 0907.2047 [ math.RA ].

[7] ريجياني ، سيلفيو (2024). “هندسة مقسومات Sedenion الصفرية”. arXiv : 2411.18881 [ math.DG ].

[8] ويلموت، جي بي (2025). "بنية جبر كايلي-ديكسون". ص 2. arXiv : 2505.11747 [ math.RA ].

[Weng_Gauge-9] 1 2 وينغ، زي-هوا (23-07-2024). "حقول القياس والتفاعلات الأربعة في فضاءات المثلثات" . الأساليب الرياضية في العلوم التطبيقية . 48. وايلي: 590-604 . arXiv : 2407.18265 . doi : 10.1002/mma.10345 . ISSN 0170-4214 .

[10] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A171477" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[11] بالوني، سابنا؛ ياداف، فيجاي ك.؛ داس، سوبير (2024). "معايير استقرار لاغرانج للشبكات العصبية فائقة التعقيد ذات التأخيرات المتغيرة مع الزمن". الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية . 131 107765. إلسيفير بي في. رمز Bibcode : 2024CNSNS.13107765B . doi : 10.1016/j.cnsns.2023.107765 . ISSN 1007-5704 .

[

[

3 ]

[ 4 ]،

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗