سيدينيون

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 66 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر المجرد ، تشكل السدينيونات جبرًا غير تبادلي وغير تجميعي ذو 16 بُعدًا على الأعداد الحقيقية ، وعادةً ما يتم تمثيلها بالحرف الكبير S، أو S الغامق، أو الخط الغامق على السبورة .S{\displaystyle \mathbb {S} }⁠ .

يتم الحصول على السدينيونات بتطبيق بناء كايلي-ديكسون على الأوكتونيونات ، والتي يمكن التعبير عنها رياضياً على النحو التالي :S=جد(يا،1){\displaystyle \mathbb {S} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {O} ,1)}[ 1 ] وبذلك ،فإن الأوكتونيونات متماثلة مع جبر فرعي من السيدنيونات. وعلى عكس الأوكتونيونات، فإن السيدنيونات ليست جبرًا بديلًا . بتطبيق بناء كايلي-ديكسون على السيدنيونات، نحصل على جبر ذي 32 بُعدًا، يُسمى تريجينتادوونيونات أو أحيانًا 32-نيونات. [ 2 ]

يستخدم مصطلح sedenion أيضًا للهياكل الجبرية الأخرى ذات 16 بُعدًا، مثل حاصل ضرب الموتر لنسختين من biquaternions ، أو جبر المصفوفات 4 × 4 على الأعداد الحقيقية، أو ما درسه سميث (1995) .

تاريخ

ذكر مصطلح sedenion لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الأمريكي جيمس جوزيف سيلفستر في ورقة بحثية عام 1884 بعنوان " حول الكواترنيونات، والنونيونات، والسيدينيونات، إلخ." [ 3 ] [ 4 ] وفي عام 1919، قام ليونارد يوجين ديكسون بتوسيع مفهوم السيدينيونات . [ 5 ]

الحساب

تصور لامتداد رباعي الأبعاد للأوكتونيون المكعب ، [ 6 ] يوضح الثلاثيات الـ 35 كمستويات فائقة عبر الفضاء الحقيقي(هـ0){\displaystyle (e_{0})}رأس مثال السيدينيون المعطى

كل وحدة فرعية هي عبارة عن تركيبة خطية من الوحدات الفرعيةهـ0{\displaystyle e_{0}}،هـ1{\displaystyle e_{1}}،هـ2{\displaystyle e_{2}}،هـ3{\displaystyle e_{3}}...هـ15{\displaystyle e_{15}}والتي تشكل أساسًا للفضاء المتجهي للسيدنيونات. يمكن تمثيل كل سيدنيون بالشكل التالي:

x=x0هـ0+x1هـ1+x2هـ2+⋯+x14هـ14+x15هـ15.{\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}.}

يتم تعريف الجمع والطرح من خلال جمع وطرح المعاملات المتناظرة، والضرب هو عملية توزيع على الجمع.

مثل غيرها من الجبريات القائمة على بناء كايلي-ديكسون ، تحتوي السدينيونات على الجبر الذي بُنيت منه. لذا فهي تحتوي على الأوكتونيونات (المولدة بواسطةهـ0{\displaystyle e_{0}}لهـ7{\displaystyle e_{7}}(كما هو موضح في الجدول أدناه)، وبالتالي فإن الكواترنيونات (التي تم إنشاؤها بواسطةهـ0{\displaystyle e_{0}}لهـ3{\displaystyle e_{3}}الأعداد المركبة (التي يتم توليدها بواسطةهـ0{\displaystyle e_{0}}وهـ1{\displaystyle e_{1}}) والأعداد الحقيقية (التي تم إنشاؤها بواسطةهـ0{\displaystyle e_{0}}).

الضرب

على غرار الأوكتونيونات ، فإن ضرب السدينيونات ليس تبديليًا ولا تجميعيًا . ومع ذلك، وعلى عكس الأوكتونيونات، لا تمتلك السدينيونات حتى خاصية كونها بديلة . لكنها تمتلك خاصية التجميعية الأسية ، أي أنه لأي عنصرx{\displaystyle x}من​S{\displaystyle \mathbb {S} }،​xن{\displaystyle x^{n}}محددة جيداً. وهي أيضاً مرنة .

تحتوي السدينيونات على عنصر محايد ضربيهـ0{\displaystyle e_{0}}والمعكوسات الضربية، لكنها ليست جبر قسمة لأنها تحتوي على قواسم صفرية : يمكن ضرب عددين غير صفريين من نوع sedenion للحصول على صفر، على سبيل المثال .(هـ3+هـ10)(هـ6-هـ15){\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})}. جميع أنظمة الأعداد المعقدة الفائقة بعد السدينيونات التي تعتمد على بناء كايلي-ديكسون تحتوي أيضًا على قواسم الصفر.

يُعرض أدناه جدول الضرب السديني:

هـأناهـج{\displaystyle e_{i}e_{j}}هـج{\displaystyle e_{j}}
هـ0{\displaystyle e_{0}}هـ1{\displaystyle e_{1}}هـ2{\displaystyle e_{2}}هـ3{\displaystyle e_{3}}هـ4{\displaystyle e_{4}}هـ5{\displaystyle e_{5}}هـ6{\displaystyle e_{6}}هـ7{\displaystyle e_{7}}هـ8{\displaystyle e_{8}}هـ9{\displaystyle e_{9}}هـ10{\displaystyle e_{10}}هـ11{\displaystyle e_{11}}هـ12{\displaystyle e_{12}}هـ13{\displaystyle e_{13}}هـ14{\displaystyle e_{14}}هـ15{\displaystyle e_{15}}
هـأنا{\displaystyle e_{i}}هـ0{\displaystyle e_{0}}هـ0{\displaystyle e_{0}}هـ1{\displaystyle e_{1}}هـ2{\displaystyle e_{2}}هـ3{\displaystyle e_{3}}هـ4{\displaystyle e_{4}}هـ5{\displaystyle e_{5}}هـ6{\displaystyle e_{6}}هـ7{\displaystyle e_{7}}هـ8{\displaystyle e_{8}}هـ9{\displaystyle e_{9}}هـ10{\displaystyle e_{10}}هـ11{\displaystyle e_{11}}هـ12{\displaystyle e_{12}}هـ13{\displaystyle e_{13}}هـ14{\displaystyle e_{14}}هـ15{\displaystyle e_{15}}
هـ1{\displaystyle e_{1}}هـ1{\displaystyle e_{1}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}هـ3{\displaystyle e_{3}}-هـ2{\displaystyle -e_{2}}هـ5{\displaystyle e_{5}}-هـ4{\displaystyle -e_{4}}-هـ7{\displaystyle -e_{7}}هـ6{\displaystyle e_{6}}هـ9{\displaystyle e_{9}}-هـ8{\displaystyle -e_{8}}-هـ11{\displaystyle -e_{11}}هـ10{\displaystyle e_{10}}-هـ13{\displaystyle -e_{13}}هـ12{\displaystyle e_{12}}هـ15{\displaystyle e_{15}}-هـ14{\displaystyle -e_{14}}
هـ2{\displaystyle e_{2}}هـ2{\displaystyle e_{2}}-هـ3{\displaystyle -e_{3}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}هـ1{\displaystyle e_{1}}هـ6{\displaystyle e_{6}}هـ7{\displaystyle e_{7}}-هـ4{\displaystyle -e_{4}}-هـ5{\displaystyle -e_{5}}هـ10{\displaystyle e_{10}}هـ11{\displaystyle e_{11}}-هـ8{\displaystyle -e_{8}}-هـ9{\displaystyle -e_{9}}-هـ14{\displaystyle -e_{14}}-هـ15{\displaystyle -e_{15}}هـ12{\displaystyle e_{12}}هـ13{\displaystyle e_{13}}
هـ3{\displaystyle e_{3}}هـ3{\displaystyle e_{3}}هـ2{\displaystyle e_{2}}-هـ1{\displaystyle -e_{1}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}هـ7{\displaystyle e_{7}}-هـ6{\displaystyle -e_{6}}هـ5{\displaystyle e_{5}}-هـ4{\displaystyle -e_{4}}هـ11{\displaystyle e_{11}}-هـ10{\displaystyle -e_{10}}هـ9{\displaystyle e_{9}}-هـ8{\displaystyle -e_{8}}-هـ15{\displaystyle -e_{15}}هـ14{\displaystyle e_{14}}-هـ13{\displaystyle -e_{13}}هـ12{\displaystyle e_{12}}
هـ4{\displaystyle e_{4}}هـ4{\displaystyle e_{4}}-هـ5{\displaystyle -e_{5}}-هـ6{\displaystyle -e_{6}}-هـ7{\displaystyle -e_{7}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}هـ1{\displaystyle e_{1}}هـ2{\displaystyle e_{2}}هـ3{\displaystyle e_{3}}هـ12{\displaystyle e_{12}}هـ13{\displaystyle e_{13}}هـ14{\displaystyle e_{14}}هـ15{\displaystyle e_{15}}-هـ8{\displaystyle -e_{8}}-هـ9{\displaystyle -e_{9}}-هـ10{\displaystyle -e_{10}}-هـ11{\displaystyle -e_{11}}
هـ5{\displaystyle e_{5}}هـ5{\displaystyle e_{5}}هـ4{\displaystyle e_{4}}-هـ7{\displaystyle -e_{7}}هـ6{\displaystyle e_{6}}-هـ1{\displaystyle -e_{1}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}-هـ3{\displaystyle -e_{3}}هـ2{\displaystyle e_{2}}هـ13{\displaystyle e_{13}}-هـ12{\displaystyle -e_{12}}هـ15{\displaystyle e_{15}}-هـ14{\displaystyle -e_{14}}هـ9{\displaystyle e_{9}}-هـ8{\displaystyle -e_{8}}هـ11{\displaystyle e_{11}}-هـ10{\displaystyle -e_{10}}
هـ6{\displaystyle e_{6}}هـ6{\displaystyle e_{6}}هـ7{\displaystyle e_{7}}هـ4{\displaystyle e_{4}}-هـ5{\displaystyle -e_{5}}-هـ2{\displaystyle -e_{2}}هـ3{\displaystyle e_{3}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}-هـ1{\displaystyle -e_{1}}هـ14{\displaystyle e_{14}}-هـ15{\displaystyle -e_{15}}-هـ12{\displaystyle -e_{12}}هـ13{\displaystyle e_{13}}هـ10{\displaystyle e_{10}}-هـ11{\displaystyle -e_{11}}-هـ8{\displaystyle -e_{8}}هـ9{\displaystyle e_{9}}
هـ7{\displaystyle e_{7}}هـ7{\displaystyle e_{7}}-هـ6{\displaystyle -e_{6}}هـ5{\displaystyle e_{5}}هـ4{\displaystyle e_{4}}-هـ3{\displaystyle -e_{3}}-هـ2{\displaystyle -e_{2}}هـ1{\displaystyle e_{1}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}هـ15{\displaystyle e_{15}}هـ14{\displaystyle e_{14}}-هـ13{\displaystyle -e_{13}}-هـ12{\displaystyle -e_{12}}هـ11{\displaystyle e_{11}}هـ10{\displaystyle e_{10}}-هـ9{\displaystyle -e_{9}}-هـ8{\displaystyle -e_{8}}
هـ8{\displaystyle e_{8}}هـ8{\displaystyle e_{8}}-هـ9{\displaystyle -e_{9}}-هـ10{\displaystyle -e_{10}}-هـ11{\displaystyle -e_{11}}-هـ12{\displaystyle -e_{12}}-هـ13{\displaystyle -e_{13}}-هـ14{\displaystyle -e_{14}}-هـ15{\displaystyle -e_{15}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}هـ1{\displaystyle e_{1}}هـ2{\displaystyle e_{2}}هـ3{\displaystyle e_{3}}هـ4{\displaystyle e_{4}}هـ5{\displaystyle e_{5}}هـ6{\displaystyle e_{6}}هـ7{\displaystyle e_{7}}
هـ9{\displaystyle e_{9}}هـ9{\displaystyle e_{9}}هـ8{\displaystyle e_{8}}-هـ11{\displaystyle -e_{11}}هـ10{\displaystyle e_{10}}-هـ13{\displaystyle -e_{13}}هـ12{\displaystyle e_{12}}هـ15{\displaystyle e_{15}}-هـ14{\displaystyle -e_{14}}-هـ1{\displaystyle -e_{1}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}-هـ3{\displaystyle -e_{3}}هـ2{\displaystyle e_{2}}-هـ5{\displaystyle -e_{5}}هـ4{\displaystyle e_{4}}هـ7{\displaystyle e_{7}}-هـ6{\displaystyle -e_{6}}
هـ10{\displaystyle e_{10}}هـ10{\displaystyle e_{10}}هـ11{\displaystyle e_{11}}هـ8{\displaystyle e_{8}}-هـ9{\displaystyle -e_{9}}-هـ14{\displaystyle -e_{14}}-هـ15{\displaystyle -e_{15}}هـ12{\displaystyle e_{12}}هـ13{\displaystyle e_{13}}-هـ2{\displaystyle -e_{2}}هـ3{\displaystyle e_{3}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}-هـ1{\displaystyle -e_{1}}-هـ6{\displaystyle -e_{6}}-هـ7{\displaystyle -e_{7}}هـ4{\displaystyle e_{4}}هـ5{\displaystyle e_{5}}
هـ11{\displaystyle e_{11}}هـ11{\displaystyle e_{11}}-هـ10{\displaystyle -e_{10}}هـ9{\displaystyle e_{9}}هـ8{\displaystyle e_{8}}-هـ15{\displaystyle -e_{15}}هـ14{\displaystyle e_{14}}-هـ13{\displaystyle -e_{13}}هـ12{\displaystyle e_{12}}-هـ3{\displaystyle -e_{3}}-هـ2{\displaystyle -e_{2}}هـ1{\displaystyle e_{1}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}-هـ7{\displaystyle -e_{7}}هـ6{\displaystyle e_{6}}-هـ5{\displaystyle -e_{5}}هـ4{\displaystyle e_{4}}
هـ12{\displaystyle e_{12}}هـ12{\displaystyle e_{12}}هـ13{\displaystyle e_{13}}هـ14{\displaystyle e_{14}}هـ15{\displaystyle e_{15}}هـ8{\displaystyle e_{8}}-هـ9{\displaystyle -e_{9}}-هـ10{\displaystyle -e_{10}}-هـ11{\displaystyle -e_{11}}-هـ4{\displaystyle -e_{4}}هـ5{\displaystyle e_{5}}هـ6{\displaystyle e_{6}}هـ7{\displaystyle e_{7}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}-هـ1{\displaystyle -e_{1}}-هـ2{\displaystyle -e_{2}}-هـ3{\displaystyle -e_{3}}
هـ13{\displaystyle e_{13}}هـ13{\displaystyle e_{13}}-هـ12{\displaystyle -e_{12}}هـ15{\displaystyle e_{15}}-هـ14{\displaystyle -e_{14}}هـ9{\displaystyle e_{9}}هـ8{\displaystyle e_{8}}هـ11{\displaystyle e_{11}}-هـ10{\displaystyle -e_{10}}-هـ5{\displaystyle -e_{5}}-هـ4{\displaystyle -e_{4}}هـ7{\displaystyle e_{7}}-هـ6{\displaystyle -e_{6}}هـ1{\displaystyle e_{1}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}هـ3{\displaystyle e_{3}}-هـ2{\displaystyle -e_{2}}
هـ14{\displaystyle e_{14}}هـ14{\displaystyle e_{14}}-هـ15{\displaystyle -e_{15}}-هـ12{\displaystyle -e_{12}}هـ13{\displaystyle e_{13}}هـ10{\displaystyle e_{10}}-هـ11{\displaystyle -e_{11}}هـ8{\displaystyle e_{8}}هـ9{\displaystyle e_{9}}-هـ6{\displaystyle -e_{6}}-هـ7{\displaystyle -e_{7}}-هـ4{\displaystyle -e_{4}}هـ5{\displaystyle e_{5}}هـ2{\displaystyle e_{2}}-هـ3{\displaystyle -e_{3}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}هـ1{\displaystyle e_{1}}
هـ15{\displaystyle e_{15}}هـ15{\displaystyle e_{15}}هـ14{\displaystyle e_{14}}-هـ13{\displaystyle -e_{13}}-هـ12{\displaystyle -e_{12}}هـ11{\displaystyle e_{11}}هـ10{\displaystyle e_{10}}-هـ9{\displaystyle -e_{9}}هـ8{\displaystyle e_{8}}-هـ7{\displaystyle -e_{7}}هـ6{\displaystyle e_{6}}-هـ5{\displaystyle -e_{5}}-هـ4{\displaystyle -e_{4}}هـ3{\displaystyle e_{3}}هـ2{\displaystyle e_{2}}-هـ1{\displaystyle -e_{1}}-هـ0{\displaystyle -e_{0}}

خصائص السيدينيون

يوضح الشكل بنية PG(3,2) التي توفر قانون الضرب للوحدات التخيلية، كما بين سانيغا وهولويك وبراكنا (2015) . أي ثلاث نقاط (تمثل ثلاث وحدات تخيلية للوحدات التخيلية) تقع على نفس الخط يكون حاصل ضرب اثنتين منها هو الثالثة، بغض النظر عن الإشارة.

من الجدول أعلاه، يمكننا أن نرى ما يلي:

هـ0هـأنا=هـأناهـ0=هـأناللجميعأنا،{\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}\,{\text{لكل}}\,i,}
هـأناهـأنا=-هـ0لأنا≠0،{\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0,}و
هـأناهـج=-هـجهـأنالأنا≠جمعأنا،ج≠0.{\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{لـ}}\,\,i\neq j\,\,{\text{مع}}\,\,i,j\neq 0.}

مضاد للترابط

لا تُعتبر السدينيونات مضادة للترابط بشكل كامل. اختر أي أربعة مولدات،أنا،ج،ك{\displaystyle i,j,k}و​ل{\displaystyle l}⁠ . تُظهر الدورة الخماسية التالية أن هذه العلاقات الخمس لا يمكن أن تكون جميعها علاقات مضادة للترابط.

(أناج)(كل)=-((أناج)ك)ل=(أنا(جك))ل=-أنا((جك)ل)=أنا(ج(كل))=-(أناج)(كل){\displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl)}

على وجه الخصوص، في الجدول أعلاه، باستخدامهـ1،هـ2،هـ4{\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}}وهـ8{\displaystyle e_{8}}يرتبط التعبير الأخير. (هـ1هـ2)هـ12=هـ1(هـ2هـ12)=-هـ15{\displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}}

الجبر الفرعي الرباعي

يُمثَّل جدول ضرب السيدينيون الموضح أعلاه بـ 35 ثلاثية. وقد بُني الجدول وثلاثياته ​​من ثماني الأعداد المُمثَّل بمجموعة الثلاثيات السبع المظللة بخط غامق، باستخدام طريقة كايلي-ديكسون . وهي واحدة من 480 مجموعة ممكنة من 7 ثلاثيات (واحدة من مجموعتين معروضتين في مقالة الأوكتونيون)، وهي المجموعة المبنية على طريقة كايلي-ديكسون للأعداد الرباعية من بنيتين محتملتين للأعداد الرباعية من الأعداد المركبة . التمثيلات الثنائية لمؤشرات هذه الثلاثيات تُجرى عليها عملية XOR ثنائية مع 0. وهذه الثلاثيات الـ 35 هي:

{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15}, {2, 4, 6} , {2, 5, 7} , {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7} , {3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13}, {4, 10, {14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14}, {6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} }

القواسم الصفرية

قائمة تضم 84 مجموعة من قواسم الصفر ⁠{هـأ،هـب،هـج،هـد}{\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}}، حيث​(هـأ+هـب)(هـج+هـد)=0{\displaystyle (e_{a}+e_{b})(e_{c}+e_{d})=0}⁠ : قواسم سيدينيون الصفرية{هـأ،هـب،هـج،هـد}أين (هـأ+هـب)(هـج+هـد)=01≤أ≤6،ج>أ،9≤ب≤15{9≤د≤15}{-9≥د≥-15}{9≤د≤15}{-9≥د≥-15}{هـ1،هـ10،هـ5،هـ14}{هـ1،هـ10،هـ4،-هـ15}{هـ1،هـ10،هـ7،هـ12}{هـ1،هـ10،هـ6،-هـ13}{هـ1،هـ11،هـ4،هـ14}{هـ1،هـ11،هـ6،-هـ12}{هـ1،هـ11،هـ5،هـ15}{هـ1،هـ11،هـ7،-هـ13}{هـ1،هـ12،هـ2،هـ15}{هـ1،هـ12،هـ3،-هـ14}{هـ1،هـ12،هـ6،هـ11}{هـ1،هـ12،هـ7،-هـ10}{هـ1،هـ13،هـ6،هـ10}{هـ1،هـ13،هـ2،-هـ14}{هـ1،هـ13،هـ7،هـ11}{هـ1،هـ13،هـ3،-هـ15}{هـ1،هـ14،هـ2،هـ13}{هـ1،هـ14،هـ4،-هـ11}{هـ1،هـ14،هـ3،هـ12}{هـ1،هـ14،هـ5،-هـ10}{هـ1،هـ15،هـ3،هـ13}{هـ1،هـ15،هـ2،-هـ12}{هـ1،هـ15،هـ4،هـ10}{هـ1،هـ15،هـ5،-هـ11}{هـ2،هـ9،هـ4،هـ15}{هـ2،هـ9،هـ5،-هـ14}{هـ2،هـ9،هـ6،هـ13}{هـ2،هـ9،هـ7،-هـ12}{هـ2،هـ11،هـ5،هـ12}{هـ2،هـ11،هـ4،-هـ13}{هـ2،هـ11،هـ6،هـ15}{هـ2،هـ11،هـ7،-هـ14}{هـ2،هـ12،هـ3،هـ13}{هـ2،هـ12،هـ5،-هـ11}{هـ2،هـ12،هـ7،هـ9}{هـ2،هـ13،هـ3،-هـ12}{هـ2،هـ13،هـ4،هـ11}{هـ2،هـ13،هـ6،-هـ9}{هـ2،هـ14،هـ5،هـ9}{هـ2،هـ14،هـ3،-هـ15}{هـ2،هـ14،هـ7،هـ11}{هـ2،هـ15،هـ4،-هـ9}{هـ2،هـ15،هـ3،هـ14}{هـ2،هـ15،هـ6،-هـ11}{هـ3،هـ9،هـ6،هـ12}{هـ3،هـ9،هـ4،-هـ14}{هـ3،هـ9،هـ7،هـ13}{هـ3،هـ9،هـ5،-هـ15}{هـ3،هـ10،هـ4،هـ13}{هـ3،هـ10،هـ5،-هـ12}{هـ3،هـ10،هـ7،هـ14}{هـ3،هـ10،هـ6،-هـ15}{هـ3،هـ12،هـ5،هـ10}{هـ3،هـ12،هـ6،-هـ9}{هـ3،هـ14،هـ4،هـ9}{هـ3،هـ13،هـ4،-هـ10}{هـ3،هـ15،هـ5،هـ9}{هـ3،هـ13،هـ7،-هـ9}{هـ3،هـ15،هـ6،هـ10}{هـ3،هـ14،هـ7،-هـ10}{هـ4،هـ9،هـ7،هـ10}{هـ4،هـ9،هـ6،-هـ11}{هـ4،هـ10،هـ5،هـ11}{هـ4،هـ10،هـ7،-هـ9}{هـ4،هـ11،هـ6،هـ9}{هـ4،هـ11،هـ5،-هـ10}{هـ4،هـ13،هـ6،هـ15}{هـ4،هـ13،هـ7،-هـ14}{هـ4،هـ14،هـ7،هـ13}{هـ4،هـ14،هـ5،-هـ15}{هـ4،هـ15،هـ5،هـ14}{هـ4،هـ15،هـ6،-هـ13}{هـ5،هـ10،هـ6،هـ9}{هـ5،هـ9،هـ6،-هـ10}{هـ5،هـ11،هـ7،هـ9}{هـ5،هـ9،هـ7،-هـ11}{هـ5،هـ12،هـ7،هـ14}{هـ5،هـ12،هـ6،-هـ15}{هـ5،هـ15،هـ6،هـ12}{هـ5،هـ14،هـ7،-هـ12}{هـ6،هـ11،هـ7،هـ10}{هـ6،هـ10،هـ7،-هـ11}{هـ6،هـ13،هـ7،هـ12}{هـ6،هـ12،هـ7،-هـ13}{\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{Sedenion zero divisors}}\quad \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}\\{\text{where}}~(e_{a}+e_{b})(e_{c}+e_{d})=0\\{\begin{array}{ccc}1\leq a\leq 6,&c>a,&9\leq b\leq 15\\\end{array}}\\\\{\begin{array}{lccr}\{9\leq d\leq 15\}&\{-9\geq d\geq -15\}&\{9\leq d\leq 15\}&\{-9\geq d\geq -15\}\\\end{array}}\\\\{\begin{array}{lccr}\{e_{1},e_{10},e_{5},e_{14}\}&\{e_{1},e_{10},e_{4},-e_{15}\}&\{e_{1},e_{10},e_{7},e_{12}\}&\{e_{1},e_{10},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{4},e_{14}\}&\{e_{1},e_{11},e_{6},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{11},e_{5},e_{15}\}&\{e_{1},e_{11},e_{7},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{2},e_{15}\}&\{e_{1},e_{12},e_{3},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{12},e_{6},e_{11}\}&\{e_{1},e_{12},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{6},e_{10}\}&\{e_{1},e_{13},e_{2},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{13},e_{7},e_{11}\}&\{e_{1},e_{13},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{2},e_{13}\}&\{e_{1},e_{14},e_{4},-e_{11}\}&\{e_{1},e_{14},e_{3},e_{12}\}&\{e_{1},e_{14},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{3},e_{13}\}&\{e_{1},e_{15},e_{2},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{15},e_{4},e_{10}\}&\{e_{1},e_{15},e_{5},-e_{11}\}\\\\\{e_{2},e_{9},e_{4},e_{15}\}&\{e_{2},e_{9},e_{5},-e_{14}\}&\{e_{2},e_{9},e_{6},e_{13}\}&\{e_{2},e_{9},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{5},e_{12}\}&\{e_{2},e_{11},e_{4},-e_{13}\}&\{e_{2},e_{11},e_{6},e_{15}\}&\{e_{2},e_{11},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{3},e_{13}\}&\{e_{2},e_{12},e_{5},-e_{11}\}&\{e_{2},e_{12},e_{7},e_{9}\}&\{e_{2},e_{13},e_{3},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{13},e_{4},e_{11}\}&\{e_{2},e_{13},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{5},e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{7},e_{11}\}&\{e_{2},e_{15},e_{4},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{15},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{6},-e_{11}\}\\\\\{e_{3},e_{9},e_{6},e_{12}\}&\{e_{3},e_{9},e_{4},-e_{14}\}&\{e_{3},e_{9},e_{7},e_{13}\}&\{e_{3},e_{9},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{4},e_{13}\}&\{e_{3},e_{10},e_{5},-e_{12}\}&\{e_{3},e_{10},e_{7},e_{14}\}&\{e_{3},e_{10},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{12},e_{5},e_{10}\}&\{e_{3},e_{12},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{14},e_{4},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{4},-e_{10}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{5},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{7},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{15},e_{6},e_{10}\}&\{e_{3},e_{14},e_{7},-e_{10}\}\\\\\{e_{4},e_{9},e_{7},e_{10}\}&\{e_{4},e_{9},e_{6},-e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{5},e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{4},e_{11},e_{6},e_{9}\}&\{e_{4},e_{11},e_{5},-e_{10}\}&\{e_{4},e_{13},e_{6},e_{15}\}&\{e_{4},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{4},e_{14},e_{7},e_{13}\}&\{e_{4},e_{14},e_{5},-e_{15}\}&\{e_{4},e_{15},e_{5},e_{14}\}&\{e_{4},e_{15},e_{6},-e_{13}\}\\\\\{e_{5},e_{10},e_{6},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{6},-e_{10}\}&\{e_{5},e_{11},e_{7},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{5},e_{12},e_{7},e_{14}\}&\{e_{5},e_{12},e_{6},-e_{15}\}&\{e_{5},e_{15},e_{6},e_{12}\}&\{e_{5},e_{14},e_{7},-e_{12}\}\\\\\{e_{6},e_{11},e_{7},e_{10}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{11}\}&\{e_{6},e_{13},e_{7},e_{12}\}&\{e_{6},e_{12},e_{7},-e_{13}\}\end{array}}\end{array}}}

فضاء قواسم الصفر

لقد ثبت أن أزواج القواسم الصفرية في السيدونيونات الوحدوية تشكل متعدد الشعب متماثلًا مع زمرة لي G 2 في الفضاء ⁠S2{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}. [ 7 ]​

التطبيقات

أظهر مورينو (1998) أن فضاء أزواج السدينيونات ذات المعيار الواحد التي يكون حاصل ضربها صفرًا متماثلًا مع الشكل المضغوط لمجموعة لي الاستثنائية G 2. (لاحظ أنه في ورقته البحثية، فإن "قاسم الصفر" يعني زوجًا من العناصر التي يكون حاصل ضربها صفرًا.)

أظهر غيلارد وغريسنيغت ( 2019) أن الأجيال الثلاثة من اللبتونات والكواركات المرتبطة بتناظر القياس غير المكسورSيو(3)ج×يو(1)هـم{\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }يمكن تمثيلها باستخدام جبر السدينيونات المعقدةج⊗S{\displaystyle \mathbb {C\otimes S} }ويستنتجون من ذلك أن جهاز الإسقاط الأولي المتطابقρ+=1/2(1+أناهـ15){\displaystyle \rho _{+}=1/2(1+ie_{15})}- أينهـ15{\displaystyle e_{15}}يتم اختيارها كوحدة تخيلية شبيهة بـهـ7{\displaystyle e_{7}}ليا{\displaystyle \mathbb {O} }في مستوى فانو – الذي يعمل على الأساس القياسي للسيدنيونات يقسم الجبر بشكل فريد إلى ثلاث مجموعات من عناصر الأساس المنفصلة لـج⊗يا{\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }، والتي تولد أفعالها اليسرى المرافقة على نفسها ثلاث نسخ من جبر كليفوردجل(6){\displaystyle \mathrm {Cl} (6)}والتي بدورها تحتوي على مُثُل يسارية دنيا تصف جيلاً واحداً من الفرميونات ذات الروابط غير المنقطعةSيو(3)ج×يو(1)هـم{\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }تناظر القياس. وعلى وجه الخصوص، يلاحظون أن جداءات الموتر بين جبر القسمة المعياري تولد قواسم صفرية مشابهة لتلك الموجودة داخل ⁠S{\displaystyle \mathbb {S} }، حيث لـج⊗يا{\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }لا يؤثر غياب خاصيتي التناوب والترابط على بناء المُثُل اليسارية الدنيا، إذ لا يتطلب أساسها المُجزأ سوى ضرب عنصرين أساسيين معًا، دون الحاجة إلى خاصيتي الترابط أو التناوب. ومع ذلك، تظل هذه المُثُل، المُنشأة من جبر مُرافق لتأثيرات الجبر اليسارية على نفسه، ترابطية وتناوبية ومتماثلة مع جبر كليفورد. وبذلك، يسمح هذا بثلاث نسخ من(ج⊗يا)ل≅جل(6){\displaystyle (\mathbb {C\otimes O} )_{L}\cong \mathrm {Cl(6)} }أن يوجد في الداخل(ج⊗S)ل{\displaystyle \mathbb {(C\otimes S)} _{L}}علاوة على ذلك ، فإن هذه الجبريات الفرعية الثمانية المعقدة الثلاثة ليست مستقلة؛ بل تشترك في عنصر مشترك.جل(2){\displaystyle \mathrm {Cl} (2)}الجبر الفرعي، الذي يشير إليه المؤلفون يمكن أن يشكل أساسًا نظريًا لمصفوفات CKM و PMNS التي تصف، على التوالي، خلط الكواركات وتذبذبات النيوترينو .

توفر الشبكات العصبية Sedenion وسيلة للتعبير الفعال والمختصر في تطبيقات التعلم الآلي، وقد تم استخدامها في حل العديد من مشاكل السلاسل الزمنية والتنبؤ بحركة المرور [ 8 ] [ 9 ] بالإضافة إلى لعبة الشطرنج الحاسوبية . [ 10 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ "Ensembles de nombre" (ملف PDF) (بالفرنسية). منتدى العلوم المستقبلية. 6 سبتمبر 2011. تاريخ الاطلاع: 11 أكتوبر 2024 .
  2. ^ راؤول إي. كواجاس، وآخرون. (2009). "بنية الجبر الفرعي الأساسية لجبر كايلي ديكسون للبعد 32 (التثليثات)" .
  3. ↑ سيلفستر، جيمس جوزيف . "حول الرباعيات، واللاأعداد، والسيدنيونات، إلخ" . منشورات جامعة جونز هوبكنز . 3. جامعة جونز هوبكنز: 7-9.
  4. ↑ سيلفستر، جيمس جوزيف (1904). الأوراق الرياضية المجمعة لجيمس جوزيف سيلفستر . مطبعة جامعة كامبريدج – عبر أرشيف الإنترنت .
  5. ↑ ديكسون، ل. إي. (1919)، "حول الأعداد الرباعية وتعميمها وتاريخ نظرية المربعات الثمانية"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 20 (3)، حوليات الرياضيات: 155-171 ، doi : 10.2307/1967865 ، JSTOR 1967865 
  6. ↑ بايز 2002 ، ص 6
  7. ^ ريجياني، سيلفيو. "هندسة مقسومات Sedenion الصفرية" . تم الاسترجاع بتاريخ 2026-06-06 .
  8. ↑ سعود، لياس سعد؛ المرزوقي، حسن (2020). "الشبكة العصبية ذات القيم السدينية المعرفية وخوارزمية التعلم الخاصة بها" . IEEE Access . 8 : 144823-144838 . doi : 10.1109/ACCESS.2020.3014690 . ISSN 2169-3536 . 
  9. ↑ كوب، مايكل؛ كريل، ديفيد؛ نيون، موريتز؛ جونيتز، ديفيد؛ مارتن، هنري؛ هيروزو، بيدرو؛ غروكا، ألكسندرا؛ سليماني، علي؛ وو، فانيو؛ ليو، يانغ؛ شو، جينغوي (2021-08-07). "Traffic4cast في مؤتمر NeurIPS 2020 - المزيد حول الفعالية غير المعقولة للعمليات الجغرافية المكانية الشبكية" . مسار المسابقة والعرض التوضيحي في مؤتمر NeurIPS 2020. PMLR: 325-343 .
  10. ↑ "pchavez2029/zdtp-chess" . 8 ديسمبر 2025 – عبر GitHub.

مراجع