الدوال المثلثية

علم المثلثات
مخطط تفصيلي تاريخ الاستخدام الدوال ( sin , cos , tan, inverse ) علم المثلثات المعمم
مرجع
الهويات الثوابت الدقيقة الجداول دائرة الوحدة
القوانين والنظريات
الجيوب الأنفية جيب التمام الظلال ظل التمام نظرية فيثاغورس
حساب التفاضل والتكامل
التعويض المثلثي التكاملات  ( الدوال العكسية ) المشتقات سلسلة مثلثية
علماء الرياضيات
هيبارخوس بطليموس براهماجوبتا الحسيب البتاني ريجيومونتانوس فييت de Moivre Euler Fourier
v t e

في الرياضيات ، الدوال المثلثية (وتسمى أيضًا الدوال الدائرية أو الدوال الزاوية أو الدوال الزاويّة ) ^[1] هي دوال حقيقية تربط زاوية مثلث قائم الزاوية بنسب طولي ضلعين. تُستخدم على نطاق واسع في جميع العلوم المرتبطة بالهندسة ، مثل الملاحة ، وميكانيكا المواد الصلبة ، وميكانيكا السماء ، والمساحة ، وغيرها الكثير. وهي من بين أبسط الدوال الدورية ، وبالتالي تُستخدم على نطاق واسع أيضًا لدراسة الظواهر الدورية من خلال تحليل فورييه .

الدوال المثلثية الأكثر استخدامًا في الرياضيات الحديثة هي دوال الجيب وجيب التمام والظل . ومقلوباتها هي على التوالي دالة قاطع التمام وقاطع التمام وظل التمام ، وهي أقل استخدامًا. ولكل من هذه الدوال المثلثية الست دالة عكسية مقابلة ونظيرة بين الدوال الزائدية .

تُعرَّف الدوال المثلثية الأقدم، المتعلقة بالمثلثات قائمة الزاوية، للزوايا الحادة فقط . لتوسيع دوال الجيب وجيب التمام إلى دوال يكون مجالها هو الخط الحقيقي بالكامل ، غالبًا ما تُستخدم التعريفات الهندسية باستخدام دائرة الوحدة القياسية (أي دائرة بنصف قطر 1 وحدة)؛ ثم يكون مجال الدوال الأخرى هو الخط الحقيقي مع إزالة بعض النقاط المعزولة. تعبر التعريفات الحديثة عن الدوال المثلثية كمتسلسلة لا نهائية أو كحلول للمعادلات التفاضلية . يسمح هذا بتوسيع مجال دوال الجيب وجيب التمام إلى المستوى المركب بالكامل ، ومجال الدوال المثلثية الأخرى إلى المستوى المركب مع إزالة بعض النقاط المعزولة.

تقليديًا، يتم استخدام اختصار لاسم كل دالة مثلثية كرمز لها في الصيغ. اليوم، أكثر الإصدارات شيوعًا لهذه الاختصارات هي "sin" للجيب، و"cos" لجيب التمام، و"tan" أو "tg" للظل، و"sec" للقاطع، و"csc" أو "cosec" لقاطع التمام، و"cot" أو "ctg" لظل التمام. تاريخيًا، تم استخدام هذه الاختصارات لأول مرة في جمل النثر للإشارة إلى أجزاء خطية معينة أو أطوالها المتعلقة بقوس دائرة عشوائية، وفي وقت لاحق للإشارة إلى نسب الأطوال، ولكن مع تطور مفهوم الدالة في القرنين السابع عشر والثامن عشر، بدأ اعتبارها دوال لقياسات الزوايا ذات القيمة العددية الحقيقية، ومكتوبة بالتدوين الوظيفي ، على سبيل المثال sin( x ) . لا تزال الأقواس غالبًا ما يتم حذفها لتقليل الفوضى، ولكنها ضرورية في بعض الأحيان؛ على سبيل المثال ، عادةً ما يتم تفسير التعبير على أنه يعني أنه يلزم استخدام الأقواس للتعبير${\displaystyle \sin x+y}$${\displaystyle \sin(x)+y,}$${\displaystyle \sin(x+y).}$

يشير العدد الصحيح الموجب الذي يظهر كعلامة علوية بعد رمز الدالة إلى الأس وليس إلى تركيب الدالة . على سبيل المثال و يشير إلى لا وهذا يختلف عن التدوين الوظيفي العام (تاريخيًا لاحقًا) الذي${\displaystyle \sin ^{2}x}$${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x),}$${\displaystyle \sin(\sin x).}$${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}$

ومع ذلك، يستخدم الأس عادةً للإشارة إلى الدالة العكسية ، وليس المعكوس . على سبيل المثال، يشير الأس و إلى الدالة المثلثية العكسية بطريقة بديلة ، وتعني المعادلة عدم وجود دالة مركبة أو متكررة ، ولكن الأسس السالبة بخلاف ذلك ليست شائعة الاستخدام. ${\displaystyle {-1}}$${\displaystyle \sin ^{-1}x}$${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$${\displaystyle \arcsin x\colon }$${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x}$${\displaystyle \sin \theta =x,}$${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.}$${\displaystyle {-1}}$

إذا كانت الزاوية الحادة θ معطاة، فإن أي مثلث قائم الزاوية به زاوية θ يكون متشابهًا مع بعضه البعض. وهذا يعني أن نسبة طولي أي ضلعين تعتمد فقط على θ . وبالتالي فإن هذه النسب الست تحدد ست دوال لـ θ ، وهي الدوال المثلثية. في التعريفات التالية، الوتر هو طول الضلع المقابل للزاوية القائمة، ويمثل المقابل الضلع المقابل للزاوية المعطاة θ ، ويمثل المجاور الضلع بين الزاوية θ والزاوية القائمة. ^{[2] [3]}

جيب ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}}$	قاطع التمام ${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}}$
جيب التمام ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}}$	قاطع ${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}}$
مماس ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}}$	ظل التمام ${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}}$

يمكن استخدام طرق مختلفة لتذكر هذه التعريفات.

في المثلث القائم الزاوية ، مجموع الزاويتين الحادتين هو زاوية قائمة، أي 90 درجة أوπ/2⁠ راديان . وبالتالي،فإن ويمثلان نفس النسبة، وبالتالي فهما متساويان. يتم تلخيص هذه التطابقات والعلاقات التناظرية بين الدوال المثلثية الأخرى في الجدول التالي. ${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$

ملخص العلاقات بين الدوال المثلثية ^[4]

وظيفة	وصف	علاقة
		استخدام الراديان	استخدام الدرجات
جيب	⁠عكس/وتر الزاوية الداخلية⁠	${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \sin x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}}$
جيب التمام	⁠مجاور/وتر الزاوية الداخلية⁠	${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,}$	${\displaystyle \cos x=\sin \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,}$
مماس	⁠عكس/مجاور⁠	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}}$
ظل التمام	⁠مجاور/عكس⁠	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}}$
قاطع	⁠وتر الزاوية الداخلية/مجاور⁠	${\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}}$
قاطع التمام	⁠وتر الزاوية الداخلية/عكس⁠	${\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sin x}}}$

في التطبيقات الهندسية، تكون حجة الدالة المثلثية عمومًا هي قياس الزاوية . ولهذا الغرض، تكون أي وحدة زاوية ملائمة. إحدى الوحدات الشائعة هي الدرجات ، حيث تكون الزاوية القائمة 90 درجة والدوران الكامل 360 درجة (خاصة في الرياضيات الابتدائية ).

ومع ذلك، في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي ، يُنظر إلى الدوال المثلثية عمومًا بشكل أكثر تجريدًا على أنها دوال للأعداد الحقيقية أو المركبة ، بدلاً من الزوايا. في الواقع، يمكن تعريف الدوال sin و cos لجميع الأعداد المركبة من حيث الدالة الأسية ، عبر سلسلة القوى، ^[5] أو كحلول للمعادلات التفاضلية المعطاة لقيم أولية معينة ^[6] ( انظر أدناه )، دون الرجوع إلى أي مفاهيم هندسية. يمكن تعريف الدوال المثلثية الأربع الأخرى ( tan و cot و sec و csc ) على أنها حاصل قسمة ومقلوبات sin و cos ، باستثناء الحالات التي يحدث فيها الصفر في المقام. يمكن إثبات، بالنسبة للحجج الحقيقية، أن هذه التعريفات تتطابق مع التعريفات الهندسية الأولية إذا تم اعتبار الحجة زاوية بالراديان. ^[5] علاوة على ذلك، تؤدي هذه التعريفات إلى تعبيرات بسيطة للمشتقات والتكاملات غير المحددة للدوال المثلثية. ^[7] وبالتالي، في الإعدادات خارج الهندسة الأولية، يُنظر إلى الراديان على أنها الوحدة الطبيعية رياضيًا لوصف قياسات الزاوية.

عند استخدام الراديان (rad)، تُعطى الزاوية على أنها طول قوس الدائرة الوحدوية الذي يحدها: الزاوية التي تحيط بقوس بطول 1 على الدائرة الوحدوية هي 1 راد (≈ 57.3 درجة)، والدوران الكامل ( 360 درجة) هو زاوية مقدارها 2 π (≈ 6.28) راد. بالنسبة للعدد الحقيقي x ، يشير الترميز sin x و cos x وما إلى ذلك إلى قيمة الدوال المثلثية التي يتم تقييمها بزاوية x راد. إذا كانت وحدات الدرجات مقصودة، فيجب إظهار علامة الدرجة صراحةً ( sin x° و cos x° وما إلى ذلك). باستخدام هذا الترميز القياسي، تُرضي الوسيطة x للدوال المثلثية العلاقة x = (180 x / π )°، بحيث، على سبيل المثال، sin π = sin 180° عندما نأخذ x = π . بهذه الطريقة، يمكن اعتبار رمز الدرجة ثابتًا رياضيًا بحيث 1° = π /180 ≈ 0.0175.

يمكن تعريف الدوال المثلثية الست على أنها قيم إحداثيات النقاط على المستوى الإقليدي المرتبطة بدائرة الوحدة ، وهي الدائرة التي يبلغ نصف قطرها واحدًا ومركزها نقطة الأصل O لنظام الإحداثيات هذا. في حين تسمح تعريفات المثلث قائم الزاوية بتعريف الدوال المثلثية للزوايا بين 0 والراديان (90 درجة)، تسمح تعريفات دائرة الوحدة بتوسيع نطاق الدوال المثلثية ليشمل جميع الأعداد الحقيقية الموجبة والسلبية. ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

ليكن الشعاع الناتج عن الدوران بزاوية θ للنصف الموجب لمحور x ( الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة لـ والدوران في اتجاه عقارب الساعة لـ ). يقطع هذا الشعاع دائرة الوحدة عند النقطة. يقطع الشعاع الممتد إلى خط إذا لزم الأمر، خط المعادلة عند النقطة وخط المعادلة عند النقطة. يكون الخط المماس لدائرة الوحدة عند النقطة A عموديًا على المحورين y و x ويقطعهما عند النقاط و. تعطي إحداثيات هذه النقاط قيم جميع الدوال المثلثية لأي قيمة حقيقية تعسفية لـ θ بالطريقة التالية. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \theta >0,}$${\displaystyle \theta <0}$${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$${\displaystyle {\mathcal {L}},}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$${\displaystyle {\mathcal {L}},}$${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$

يتم تعريف الدوال المثلثية cos و sin ، على التوالي، كقيم إحداثيات x و y للنقطة A. أي،

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$و ^[9]${\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$

في النطاق ، يتوافق هذا التعريف مع تعريف المثلث قائم الزاوية، وذلك بأخذ المثلث قائم الزاوية بحيث يكون نصف قطر الوحدة OA بمثابة وتر . ونظرًا لأن المعادلة تنطبق على جميع النقاط على دائرة الوحدة، فإن هذا التعريف لجيب التمام والجيب يلبي أيضًا متطابقة فيثاغورس . ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$

يمكن إيجاد الدوال المثلثية الأخرى على طول دائرة الوحدة كما يلي:

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$و${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },}$

${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$و${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}$

من خلال تطبيق هوية فيثاغورس وطرق الإثبات الهندسي، يمكن بسهولة إظهار أن هذه التعريفات تتطابق مع تعريفات الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام من حيث الجيب وجيب التمام، أي

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

نظرًا لأن دوران زاوية لا يغير موضع أو حجم الشكل، فإن النقاط A و B و C و D و E هي نفسها لزاويتين يكون الفرق بينهما مضاعفًا صحيحًا لـ . وبالتالي فإن الدوال المثلثية هي دوال دورية ذات فترة . أي أن المتساويات ${\displaystyle \pm 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$و${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$

ينطبق هذا على أي زاوية θ وأي عدد صحيح k . وينطبق الشيء نفسه على الدوال المثلثية الأربع الأخرى. من خلال ملاحظة إشارة ورتابة الدوال الجيب وجيب التمام وقاطع التمام والقاطع في الأرباع الأربعة، يمكن للمرء أن يُظهر أن هي أصغر قيمة تكون دورية لها (أي هي الفترة الأساسية لهذه الدوال). ومع ذلك، بعد الدوران بزاوية ، تعود النقطتان B و C بالفعل إلى موضعهما الأصلي، بحيث يكون للدالة الظلية ودالة ظل التمام فترة أساسية . أي أن المساواة ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$و${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

ينطبق على أي زاوية θ وأي عدد صحيح k .

التعبيرات الجبرية للزوايا الأكثر أهمية هي كما يلي:

${\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$( زاوية صفرية )

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$( زاوية قائمة )

إن كتابة البسوط كجذور مربعة لأعداد صحيحة متتالية غير سالبة، بمقام 2، يوفر طريقة سهلة لتذكر القيم. ^[10]

لا توجد عادة مثل هذه التعبيرات البسيطة للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات نسبية للزاوية القائمة.

• بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي مضاعف للثلاثة، يمكن التعبير عن القيم المثلثية الدقيقة للجيب وجيب التمام من حيث الجذور التربيعية. وبالتالي يمكن إنشاء قيم الجيب وجيب التمام هذه باستخدام المسطرة والبوصلة .
• بالنسبة لزاوية عدد صحيح من الدرجات، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام من حيث الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب غير حقيقي . تسمح نظرية جالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعفًا لـ 3 درجات، فلا يمكن تجنب الجذور التكعيبية غير الحقيقية.
• بالنسبة للزاوية التي تكون عددًا نسبيًا ، معبرًا عنها بالدرجات، فإن الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان ، يمكن التعبير عنهما من حيث الجذور n . وينتج هذا عن حقيقة أن مجموعات جالوا في كثيرات الحدود الدائرية دائرية .
• بالنسبة للزاوية التي لا تكون عددًا نسبيًا، معبرًا عنها بالدرجات، فإن الزاوية أو كلاً من الجيب وجيب التمام عددان متساميان . وهذا نتيجة لنظرية بيكر ، التي تم إثباتها في عام 1966.

يوضح الجدول التالي الجيب وجيب التمام والظل لمضاعفات 15 درجة من 0 إلى 90 درجة.

الزاوية θ في		${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$
راديان	درجات
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$[أ]	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	غير محدد

لاحظ جي إتش هاردي في عمله عام 1908 بعنوان دورة في الرياضيات البحتة أن تعريف الدوال المثلثية من حيث الدائرة الوحدوية ليس مرضيًا، لأنه يعتمد ضمناً على مفهوم الزاوية التي يمكن قياسها بعدد حقيقي. ^[11] وبالتالي، في التحليل الحديث، يتم عادةً إنشاء الدوال المثلثية دون الرجوع إلى الهندسة.

توجد طرق مختلفة في الأدبيات لتحديد الدوال المثلثية بطريقة مناسبة للتحليل؛ وهي تشمل:

• استخدام "هندسة" الدائرة الوحدوية، والتي تتطلب صياغة طول قوس الدائرة (أو مساحة القطاع) تحليليًا. ^[11]
• من خلال سلسلة قوى، وهي مناسبة بشكل خاص للمتغيرات المعقدة. ^{[11] [12]}
• باستخدام توسع المنتج اللانهائي. ^[11]
• عن طريق عكس الدوال المثلثية العكسية، والتي يمكن تعريفها على أنها تكاملات للدوال الجبرية أو الكسرية. ^[11]
• كحلول لمعادلة تفاضلية. ^[13]

يمكن تعريف الجيب وجيب التمام على أنهما الحل الوحيد لمشكلة القيمة الأولية : ^[14]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$

التفاضل مرة أخرى، و ، وبالتالي فإن كل من الجيب وجيب التمام هما حلول لنفس المعادلة التفاضلية العادية${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$

${\displaystyle y''+y=0\,.}$

الجيب هو الحل الوحيد مع y (0) = 0 و y ′(0) = 1 ؛ جيب التمام هو الحل الوحيد مع y (0) = 1 و y ′(0) = 0 .

ومن ثم يمكننا إثبات أن الحلول دورية، ولها نفس الفترة، وذلك من خلال نظرية . وكتابة هذه الفترة على هذا النحو هو تعريف للعدد الحقيقي الذي لا يعتمد على الهندسة. ${\displaystyle \cos ,\sin }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$

تطبيق قاعدة القسمة على المماس ، ${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$

لذا فإن دالة الظل تلبي معادلة التفاضل العادية

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$

هو الحل الوحيد مع y (0) = 0 .

يمكن تعريف الدوال المثلثية الأساسية من خلال التوسعات التالية لسلسلة القوى ^[15] . تُعرف هذه السلاسل أيضًا باسم سلسلة تايلور أو سلسلة ماكلورين لهذه الدوال المثلثية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

نصف قطر تقارب هذه السلاسل غير محدود. وبالتالي، يمكن تمديد الجيب وجيب التمام إلى دوال كاملة (تسمى أيضًا "جيب" و"جيب التمام")، وهي (بحكم التعريف) دوال ذات قيمة معقدة محددة ومتكاملة على المستوى المركب بأكمله .

يظهر التمايز مصطلحًا تلو الآخر أن الجيب وجيب التمام المحددين بواسطة السلسلة يتبعان المعادلة التفاضلية التي ناقشناها سابقًا، وعلى العكس من ذلك، يمكن الحصول على هذه السلسلة من علاقات التكرار الأولية المستمدة من المعادلة التفاضلية.

نظرًا لأنها تُعرَّف على أنها كسور من الدوال الكاملة، فقد تمتد الدوال المثلثية الأخرى إلى الدوال الميرومورفية ، أي الدوال التي تكون متماثلة في المستوى المركب بأكمله، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب . هنا، الأقطاب هي أرقام الشكل للظل والقاطع، أو لظل التمام وقاطع التمام، حيث k هو عدد صحيح عشوائي. ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle k\pi }$

يمكن أيضًا حساب علاقات التكرار لمعاملات سلسلة تايلور للدوال المثلثية الأخرى. تتمتع هذه السلاسل بنصف قطر تقارب محدود . معاملاتها لها تفسير تركيبي : فهي تحصي التباديل المتناوبة للمجموعات المحدودة. ^[16]

بتعبير أدق، تحديد

U _n ، الرقم n للأعلى /للأسفل ،

B _n ، وهو رقم برنولي رقم n ، و

E _n هو رقم أويلر رقم n

يحتوي أحد الإصدارات التوسعية التالية: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

الكسور المستمرة التالية صالحة في المستوى المركب بأكمله:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$

تم استخدام الأخير في أول دليل تاريخي على أن π غير نسبي . ^[18]

يوجد تمثيل للسلسلة على هيئة توسع جزئي للكسر حيث يتم جمع الدوال المعكوسة المترجمة للتو ، بحيث تتطابق أقطاب دالة ظل التمام والدوال المعكوسة: ^[19]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

يمكن إثبات هذه الهوية باستخدام خدعة هيرجلوتز . ^[20] يؤدي الجمع بين الحد (- n ) والحد n إلى سلسلة متقاربة مطلقًا :

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$

وبالمثل، يمكننا إيجاد توسع جزئي للكسر للدوال القاطعة وقاطعة الجيب والظل:

${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$

${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$

المنتج اللانهائي التالي للجيب يرجع إلى ليونهارد أويلر ، وله أهمية كبيرة في التحليل المركب: ^[21]

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

يمكن الحصول على ذلك من تحلل الكسر الجزئي لما ورد أعلاه، وهو المشتق اللوغاريتمي لـ . ^[22] ومن هذا، يمكن استنتاج أيضًا أن ${\displaystyle \cot z}$${\displaystyle \sin z}$

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

تربط صيغة أويلر الجيب وجيب التمام بالدالة الأسية :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

تُستخدم هذه الصيغة عادةً للقيم الحقيقية لـ x ، لكنها تظل صحيحة لجميع القيم المركبة.

الإثبات : ليكن وواحدًا بالنسبة إلى j = 1، 2. تنص قاعدة القسمة على أن . وبالتالي، فإن دالة ثابتة تساوي${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$1 ، كما يثبت هذا الصيغة. ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$

واحد لديه

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$

عند حل هذا النظام الخطي في الجيب وجيب التمام، يمكننا التعبير عنهما من حيث الدالة الأسية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$

عندما يكون x حقيقيًا، يمكن إعادة كتابة هذا على النحو التالي

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$

يمكن إثبات معظم الهويات المثلثية عن طريق التعبير عن الدوال المثلثية من حيث الدالة الأسية المعقدة باستخدام الصيغ أعلاه، ثم استخدام المتطابقة لتبسيط النتيجة. ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$

يمكن أيضًا استخدام صيغة أويلر لتحديد الدالة المثلثية الأساسية مباشرةً، على النحو التالي، باستخدام لغة المجموعات الطوبولوجية . ^[23] مجموعة الأعداد المركبة لوحدة المعامل هي مجموعة طوبولوجية مدمجة ومتصلة، لها جوار من الهوية متماثل الشكل مع الخط الحقيقي. لذلك، فهي متماثلة كمجموعة طوبولوجية لمجموعة الطور أحادية البعد ، عبر تماثل من حيث المصطلحات البسيطة ، وهذا التماثل فريد من نوعه حتى في أخذ المترافقات المعقدة. ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$$${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$

بالنسبة لعدد حقيقي غير صفري ( الأساس )، تحدد الدالة تماثل المجموعة . الأجزاء الحقيقية والتخيلية لـ هي جيب التمام وجيب الزاوية، حيث يتم استخدامها كأساس لقياس الزوايا. على سبيل المثال، عندما نحصل على القياس بالراديان، والدوال المثلثية المعتادة. عندما نحصل على جيب وجيب التمام للزوايا المقاسة بالدرجات. ${\displaystyle a}$${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$${\displaystyle e(t/a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=2\pi }$${\displaystyle a=360}$

لاحظ أن هي القيمة الفريدة التي يصبح عندها المشتق متجه وحدة بجزء تخيلي موجب عند . ويمكن استخدام هذه الحقيقة بدورها لتحديد الثابت . ${\displaystyle a=2\pi }$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle 2\pi }$

هناك طريقة أخرى لتحديد الدوال المثلثية في التحليل وهي استخدام التكامل. ^{[11] [24]} بالنسبة لعدد حقيقي ، ضع حيث يحدد هذا دالة الظل العكسية. كما يتم تعريفه من خلال تعريف يعود إلى كارل ويرستراس . ^[25]${\displaystyle t}$$${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$

على الفترة ، يتم تعريف الدوال المثلثية عن طريق عكس العلاقة . وبالتالي، فإننا نحدد الدوال المثلثية من خلال المكان الذي تقع فيه النقطة على الرسم البياني ويتم أخذ الجذر التربيعي الموجب. ${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$${\displaystyle \theta =\arctan t}$$${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$${\displaystyle (t,\theta )}$${\displaystyle \theta =\arctan t}$

يحدد هذا الدوال المثلثية على . ويمكن توسيع التعريف ليشمل جميع الأعداد الحقيقية من خلال ملاحظة أن، أولاً، حيث ، و ، وهكذا و . وبالتالي ، يتم تمديد و بشكل مستمر بحيث . الآن، تحدد الشروط و الجيب وجيب التمام كدوال دورية ذات فترة ، لجميع الأعداد الحقيقية. ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$${\displaystyle \theta \to \pi /2}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$${\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1}$${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )}$${\displaystyle 2\pi }$

لإثبات الخصائص الأساسية للجيب وجيب التمام، بما في ذلك حقيقة أن الجيب وجيب التمام تحليليان، يمكن للمرء أولاً إنشاء صيغ الجمع. أولاً، ينطبق، بشرط ، حيث بعد الاستبدال . على وجه الخصوص، الحالة الحدية كما يعطي وبالتالي لدينا و وبالتالي فإن دالتي الجيب وجيب التمام مرتبطتان بالترجمة على مدى ربع فترة . $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}}$$${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$$${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$${\displaystyle s\to \infty }$$${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).}$$$${\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$$${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).}$$${\displaystyle \pi /2}$

يمكننا أيضًا تعريف الدوال المثلثية باستخدام معادلات وظيفية مختلفة .

على سبيل المثال، ^[26] يشكل الجيب وجيب التمام الزوج الفريد من الدوال المستمرة التي تلبي صيغة الفرق

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

والشرط المضاف

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$

يمكن التعبير عن جيب وجيب التمام لعدد مركب من حيث الجيب الحقيقي وجيب التمام والدوال الزائدية على النحو التالي: ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

من خلال الاستفادة من تلوين المجال ، من الممكن رسم الدوال المثلثية كدوال ذات قيمة معقدة. يمكن رؤية العديد من الميزات الفريدة للدوال المعقدة من الرسم البياني؛ على سبيل المثال، يمكن رؤية دوال الجيب وجيب التمام على أنها غير محدودة حيث يصبح الجزء التخيلي من أكبر (نظرًا لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو أقطاب بسيطة واضحة من حقيقة أن اللون يدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه الرسوم البيانية بتلك الخاصة بالدوال الزائدية المقابلة تسلط الضوء على العلاقات بين الاثنين. ${\displaystyle z}$

الدوال المثلثية في المستوى المركب

${\displaystyle \sin z\,}$ ${\displaystyle \cos z\,}$

${\displaystyle \tan z\,}$ ${\displaystyle \cot z\,}$

${\displaystyle \sec z\,}$ ${\displaystyle \csc z\,}$

دوال جيب التمام والجيب دورية ، مع فترة ، وهي أصغر فترة موجبة: وبالتالي، فإن القاطع وقاطع التمام لهما أيضًا فترة. تحتوي دالتا الجيب وجيب التمام أيضًا على أنصاف فترات ، وبالتالي يتبع ذلك أنه بالإضافة إلى المتطابقات الأخرى مثل لدينا أيضًا تحتوي الدالة على صفر فريد (عند ) في الشريط . تحتوي الدالة على زوج من الأصفار في نفس المجال. نظرًا للدورية، فإن أصفار الجيب هي توجد أصفار جيب التمام هي جميع الأصفار هي أصفار بسيطة، ولكل دالة مشتق عند كل صفر. ${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle \cos(z+2\pi )=\cos(z),\quad \sin(z+2\pi )=\sin(z).}$$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle \cos(z+\pi )=-\cos(z),\quad \sin(z+\pi )=-\sin(z).}$$$${\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z)}$$$${\displaystyle \cos ^{2}(z+\pi )=\cos ^{2}(z),\quad \sin ^{2}(z+\pi )=\sin(z),\quad \cos(z+\pi )\sin(z+\pi )=\cos(z)\sin(z).}$$$${\displaystyle \cos(x+\pi /2)=-\sin(x),\quad \sin(x+\pi /2)=\cos(x).}$$${\displaystyle \sin(z)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi }$${\displaystyle \cos(z)}$${\displaystyle z=\pm \pi /2}$$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$${\displaystyle \pm 1}$

تحتوي الدالة الظلية على صفر بسيط عند ومقاربات رأسية عند ، حيث لها قطب بسيط هو البقايا . مرة أخرى، نظرًا للدورية، فإن الأصفار هي جميع المضاعفات الصحيحة لـ والأقطاب هي مضاعفات فردية لـ ، وكلها لها نفس البقايا. تتوافق الأقطاب مع المقاربات الرأسية ${\displaystyle \tan(z)=\sin(z)/\cos(z)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\pm \pi /2}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi /2}$$${\displaystyle \lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty .}$$

تحتوي دالة ظل التمام على قطب بسيط من البقايا 1 عند مضاعفات الأعداد الصحيحة لـ وأصفار بسيطة عند مضاعفات الأعداد الفردية لـ . تتوافق الأقطاب مع المقاربات الرأسية ${\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\sin(z)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi /2}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty .}$$

تترابط العديد من المتطابقات مع الدوال المثلثية. يحتوي هذا القسم على أبسطها؛ لمزيد من المتطابقات، انظر قائمة المتطابقات المثلثية . يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيًا من تعريفات الدائرة الوحدوية أو تعريفات المثلث قائم الزاوية (على الرغم من أنه بالنسبة للتعريفات الأخيرة، يجب توخي الحذر بشأن الزوايا التي لا تقع في الفترة [0، π /2] ، انظر إثباتات المتطابقات المثلثية ). بالنسبة للإثباتات غير الهندسية باستخدام أدوات حساب التفاضل والتكامل فقط ، يمكن للمرء استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة، بطريقة مماثلة لإثبات متطابقة أويلر أعلاه. يمكن للمرء أيضًا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية من حيث الأسس المركبة واستخدام خصائص الدالة الأسية.

جيب التمام والقاطع هما دوال زوجية ؛ أما الدوال المثلثية الأخرى فهي دوال فردية . أي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$

جميع الدوال المثلثية هي دوال دورية ذات فترة 2 π . هذه هي أصغر فترة، باستثناء الظل وظل التمام، اللذان لهما π كأصغر فترة. وهذا يعني أنه لكل عدد صحيح k ، يكون لدينا

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$

المتطابقة الفيثاغورسية هي تعبير عن نظرية فيثاغورس من حيث الدوال المثلثية. وهي

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$.

القسمة على إما أو يعطي ${\displaystyle \cos ^{2}x}$${\displaystyle \sin ^{2}x}$

${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$

و

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$.

تسمح صيغ المجموع والفرق بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين من حيث الجيب وجيب التمام وظل الزوايا نفسها. يمكن استنتاجها هندسيًا، باستخدام الحجج التي ترجع إلى بطليموس . يمكن للمرء أيضًا إنتاجها جبريًا باستخدام صيغة أويلر .

مجموع

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

اختلاف

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

عندما تتساوى الزاويتان، يتم تقليص صيغ المجموع إلى معادلات أبسط تُعرف باسم صيغ الزاوية المزدوجة .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$

يمكن استخدام هذه الهويات لاستنتاج هويات حاصل الضرب إلى المجموع .

من خلال تحديد جميع الدوال المثلثية لـ يمكن التعبير عنها على هيئة كسور نسبية لـ : ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$

مع

${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

هذا هو استبدال نصف الزاوية المماسية ، والذي يقلل من حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى حساب الكسور النسبية.

تنتج مشتقات الدوال المثلثية من مشتقات الجيب وجيب التمام بتطبيق قاعدة القسمة . ويمكن التحقق من القيم المعطاة للمشتقات العكسية في الجدول التالي عن طريق مشتقاتها. العدد  C هو ثابت التكامل .

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f'(x)}$	${\textstyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\cos x+C}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$	${\displaystyle \sin x+C}$
${\displaystyle \tan x}$	${\displaystyle \sec ^{2}x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x\right|+C}$
${\displaystyle \csc x}$	${\displaystyle -\csc x\cot x}$	${\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C}$
${\displaystyle \sec x}$	${\displaystyle \sec x\tan x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}$
${\displaystyle \cot x}$	${\displaystyle -\csc ^{2}x}$	${\displaystyle -\ln \left|\csc x\right|+C}$

ملاحظة: بالنسبة لتكامل يمكن أيضًا كتابته على النحو التالي وبالنسبة لتكامل بالنسبة إلى حيث هو الجيب الزائدي العكسي . ${\displaystyle 0<x<\pi }$${\displaystyle \csc x}$${\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),}$${\displaystyle \sec x}$${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),}$${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

وبدلاً من ذلك، يمكن الحصول على مشتقات "الدوال المساعدة" باستخدام الهويات المثلثية وقاعدة السلسلة:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$

الدوال المثلثية دورية، وبالتالي ليست حقنية ، لذا بالمعنى الدقيق للكلمة، ليس لها دالة عكسية . ومع ذلك، في كل فترة تكون فيها الدالة المثلثية رتيبة ، يمكن للمرء تعريف دالة عكسية، وهذا يعرف الدوال المثلثية العكسية بأنها دوال متعددة القيم . لتحديد دالة عكسية حقيقية، يجب على المرء تقييد المجال بفترة تكون فيها الدالة رتيبة، وبالتالي تكون ثنائية من هذه الفترة إلى صورتها بواسطة الدالة. الخيار الشائع لهذه الفترة، والذي يسمى مجموعة القيم الأساسية ، معطى في الجدول التالي. وكالعادة، يتم الإشارة إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "قوس" قبل اسم الدالة أو اختصارها.

وظيفة	تعريف	اِختِصاص	مجموعة من القيم الأساسية
${\displaystyle y=\arcsin x}$	${\displaystyle \sin y=x}$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle y=\arccos x}$	${\displaystyle \cos y=x}$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi }$
${\displaystyle y=\arctan x}$	${\displaystyle \tan y=x}$	${\displaystyle -\infty <x<\infty }$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}$	${\displaystyle \cot y=x}$	${\displaystyle -\infty <x<\infty }$	${\textstyle 0<y<\pi }$
${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x}$	${\displaystyle \sec y=x}$	${\displaystyle x<-1{\text{ or }}x>1}$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x}$	${\displaystyle \csc y=x}$	${\displaystyle x<-1{\text{ or }}x>1}$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0}$

غالبًا ما تُستخدم الرموز sin ⁻¹ و cos ⁻¹ وما إلى ذلك لـ arcsin و arccos وما إلى ذلك. عند استخدام هذه الرموز، يمكن الخلط بين الدوال العكسية والعكسيات الضربية. تتجنب الرموز التي تحتوي على البادئة "arc" مثل هذا الخلط، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين "arcsec" لـ arcsecant و" arcsecond ".

تمامًا مثل الجيب وجيب التمام، يمكن أيضًا التعبير عن الدوال المثلثية العكسية من حيث السلاسل اللانهائية. ويمكن أيضًا التعبير عنها من حيث اللوغاريتمات المركبة .

في هذا القسم، تشير A و B و C إلى الزوايا الثلاث (الداخلية) للمثلث، وتشير a و b و c إلى أطوال الأضلاع المقابلة. وهي مرتبطة بصيغ مختلفة، والتي يتم تسميتها بالدوال المثلثية التي تنطوي عليها.

ينص قانون الجيب على أنه بالنسبة للمثلث التعسفي الذي له الأضلاع a و b و c وزوايا مقابلة للأضلاع A و B و C : حيث Δ هي مساحة المثلث، أو على نحو مكافئ، حيث R هو نصف قطر محيط المثلث . $${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},}$$$${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$$

يمكن إثبات ذلك عن طريق تقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين واستخدام التعريف أعلاه للجيب. يعد قانون الجيب مفيدًا لحساب أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث إذا كانت زاويتان وضلع واحد معروفين. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في التثليث ، وهي تقنية لتحديد المسافات غير المعروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة محصورة يمكن الوصول إليها.

قانون جيب التمام (المعروف أيضًا باسم صيغة جيب التمام أو قاعدة جيب التمام) هو امتداد لنظرية فيثاغورس : أو ما يعادلها، $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$$$${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$$

في هذه الصيغة تكون الزاوية عند C مقابلة للضلع  c . ويمكن إثبات هذه النظرية بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين واستخدام نظرية فيثاغورس .

يمكن استخدام قانون جيب التمام لتحديد ضلع المثلث إذا كان طول ضلعين والزاوية المحصورة بينهما معروفين. ويمكن استخدامه أيضًا لإيجاد جيب تمام الزاوية (وبالتالي الزوايا نفسها) إذا كانت أطوال جميع الأضلاع معروفة.

ينص قانون الظلال على أن:

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}}$.

إذا كان s هو نصف محيط المثلث، ( a + b + c )/2، وكان r هو نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث ، فإن rs هي مساحة المثلث. وبالتالي، فإن صيغة هيرون تعني أن:

${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$.

ينص قانون ظل التمام على أن: ^[27]

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}.}$

الدوال المثلثية مهمة أيضًا في الفيزياء. على سبيل المثال، تُستخدم دالات الجيب وجيب التمام لوصف الحركة التوافقية البسيطة ، والتي تحاكي العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة بزنبرك، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، الحركة البندولية لكتلة معلقة بخيط. دالات الجيب وجيب التمام هي إسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية منتظمة .

أثبتت الدوال المثلثية أيضًا أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة . تعد أنماط الموجة المميزة للدوال الدورية مفيدة في نمذجة الظواهر المتكررة مثل موجات الصوت أو الضوء . ^[28]

في ظل ظروف عامة إلى حد ما، يمكن التعبير عن دالة دورية f  ( x ) كمجموع موجات جيبية أو موجات جيب التمام في سلسلة فورييه . ^{[29] من خلال الإشارة إلى} دوال الأساس الجيبية أو جيب التمام بواسطة φ _k ، يأخذ توسع الدالة الدورية f  ( t ) الشكل: $${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$$

على سبيل المثال، يمكن كتابة الموجة المربعة على هيئة سلسلة فورييه $${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$$

في الرسوم المتحركة للموجة المربعة في أعلى اليمين، يمكننا أن نرى أن بضعة مصطلحات فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما. يظهر أدناه تراكب عدة مصطلحات في توسع موجة المنشار .

في حين يمكن إرجاع الدراسة المبكرة لعلم المثلثات إلى العصور القديمة، فإن الدوال المثلثية كما هي قيد الاستخدام اليوم تم تطويرها في العصور الوسطى. تم اكتشاف دالة الوتر بواسطة هيبارخوس النيقاوي (180-125 قبل الميلاد) وبطليموس الروماني المصري ( 90-165 م). يمكن إرجاع دوال الجيب والجيب التمام (1 - جيب التمام) إلى دوال jyā و koti-jyā المستخدمة في علم الفلك الهندي في فترة جوبتا ( Aryabhatiya ، Surya Siddhanta )، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ثم من العربية إلى اللاتينية. ^[30] (انظر جدول جيب أريابهاتا .)

كانت جميع الدوال المثلثية الست المستخدمة حاليًا معروفة في الرياضيات الإسلامية بحلول القرن التاسع، وكذلك قانون الجيب ، المستخدم في حل المثلثات . ^[31] باستثناء الجيب (الذي تم تبنيه من الرياضيات الهندية)، تم اكتشاف الدوال المثلثية الخمس الحديثة الأخرى من قبل علماء الرياضيات الفرس والعرب، بما في ذلك جيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام. ^{[31] أنتج} الخوارزمي (حوالي 780-850) جداول للجيب وجيب التمام والظل. حوالي عام 830، اكتشف حبش الحسيب المروزي ظل التمام، وأنتج جداول للظلال وظلال التمام. ^{[32] [33] اكتشف} محمد بن جابر الحراني البتاني (853–929) الوظائف المتبادلة للقاطع وقاطع التمام، وأنتج أول جدول لقاطع التمام لكل درجة من 1° إلى 90°. ^[33] تمت دراسة الدوال المثلثية لاحقًا من قبل علماء الرياضيات بما في ذلك عمر الخيام ، بهاسكارا الثاني ، ناصر الدين الطوسي ، جمشيد الكاشي (القرن الرابع عشر)، أولوغ بيك (القرن الرابع عشر)، ريجيومونتانوس (1464)، ريتيكوس ، وتلميذ ريتيكوس فالنتينوس أوتو .

حقق مادهافا من سانجاماجراما (حوالي عام 1400) خطوات مبكرة في تحليل الدوال المثلثية من حيث السلاسل اللانهائية . ^[34] (انظر سلسلة مادهافا وجدول جيب مادهافا ).

تم جلب دالة الظل إلى أوروبا بواسطة جيوفاني بيانشيني في عام 1467 في جداول علم المثلثات التي أنشأها لدعم حساب إحداثيات النجوم. ^[35]

تم تقديم مصطلحي المماس والقاطع لأول مرة بواسطة عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينكي في كتابه Geometria rotundi (1583). ^[36]

قام عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد في القرن السابع عشر بأول استخدام منشور للاختصارات sin و cos و tan في كتابه Trigonométrie . ^[37]

في ورقة بحثية نُشرت عام 1682، أثبت جوتفريد لايبنتز أن sin x ليست دالة جبرية لـ x . ^[38] وعلى الرغم من تقديمها كنسب أضلاع مثلث قائم الزاوية ، وبالتالي تبدو وكأنها دوال نسبية ، إلا أن نتيجة لايبنتز أثبتت أنها في الواقع دوال متعالية لحجتها. تم إنجاز مهمة استيعاب الدوال الدائرية في التعبيرات الجبرية بواسطة أويلر في كتابه مقدمة لتحليل اللانهائي (1748). كانت طريقته هي إظهار أن دوال الجيب وجيب التمام عبارة عن متسلسلة متناوبة مكونة من الحدود الزوجية والفردية على التوالي من المتسلسلة الأسية . قدم " صيغة أويلر "، بالإضافة إلى الاختصارات الحديثة تقريبًا ( sin. و cos. و tang. و cot. و sec. و cosec. ). ^[30]

كانت بعض الدوال شائعة تاريخيًا، لكنها نادرًا ما تُستخدم الآن، مثل الوتر ، والفيرسين ( الذي ظهر في أقدم الجداول ^[30] )، وجيب الزاويتين ، وهافرسين ، ^[39] والقاطع والمقطع . تُظهر قائمة المتطابقات المثلثية المزيد من العلاقات بين هذه الدوال.

• crd( θ ) = 2 sin (θ/2)​
• versin( θ ) = 1 − cos( θ ) = 2 خطيئة ² ( ⁠θ/2)​
• كوفرسين( θ ) = 1 − خطيئة( θ ) = فيرسين( ⁠π/2− θ )​
• هافيرسين( θ ) = ⁠1/2⁠ فيرسين( θ ) = خطيئة ² ( ⁠θ/2)​
• exsec( θ ) = sec( θ ) − 1
• excsc( θ ) = exsec( ⁠π/2⁠ − θ ) = csc( θ ) − 1

تاريخيًا، غالبًا ما كانت الدوال المثلثية تُدمج مع اللوغاريتمات في الدوال المركبة مثل الجيب اللوغاريتمي، وجيب التمام اللوغاريتمي، والقاطع اللوغاريتمي، وقاطع التمام اللوغاريتمي، والظل اللوغاريتمي، وظل التمام اللوغاريتمي. ^{[40] [41] [42] [43]}

اشتُقت كلمة sine ^[44] من الكلمة اللاتينية sinus ، والتي تعني "ثني؛ ثني"، وبشكل أكثر تحديدًا "الثنية المعلقة للجزء العلوي من التوجا "، "صدر الثوب"، والتي تم اختيارها كترجمة لما تم تفسيره على أنه الكلمة العربية jaib ، والتي تعني "جيب" أو "طية" في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللاتينية في العصور الوسطى . ^[45] استند الاختيار إلى سوء قراءة للشكل المكتوب العربي jyb ( جيب )، والذي نشأ في حد ذاته كترجمة حرفية من السنسكريتية jīvā ، والتي تُترجم مع مرادفها jyā (المصطلح السنسكريتي القياسي للجيب) إلى "وتر القوس"، والتي تم تبنيها بدورها من اليونانية القديمة χορδή "وتر". ^[46]

تأتي كلمة tangent من الكلمة اللاتينية tangens والتي تعني "لمس"، حيث يلامس الخط دائرة نصف قطرها وحدة، في حين أن كلمة secant تأتي من الكلمة اللاتينية secans والتي تعني "قطع" حيث أن الخط يقطع الدائرة. ^[47]

تم العثور على البادئة " co- " (في "جيب التمام"، "ظل التمام"، "قاطع التمام") في كتاب إدموند غونتر "قانون المثلثات" (1620)، والذي يعرف جيب التمام بأنه اختصار لجيب الزاوية التكميلية (جيب الزاوية التكميلية ) ويستمر في تعريف ظل التمام على نحو مماثل. ^{[48] [49]}

• "الدوال المثلثية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وحدة Visionlearning حول الرياضيات الموجية
• GonioLab تصور الدائرة الوحدوية والدوال المثلثية والزائدية
• q-Sine مقالة عن q-analog لـ sin في MathWorld
• q-Cosine مقالة عن q-analog لـ cos في MathWorld