نظام التفاعل والانتشار

أنظمة التفاعل والانتشار هي نماذج رياضية تُحاكي العديد من الظواهر الفيزيائية. وأكثرها شيوعاً هو تغير تركيز مادة كيميائية واحدة أو أكثر في المكان والزمان: تفاعلات كيميائية موضعية تتحول فيها المواد إلى بعضها البعض، وانتشار يؤدي إلى تمدد المواد على سطح في الفضاء.

تُستخدم أنظمة التفاعل والانتشار بشكل طبيعي في الكيمياء . ومع ذلك، يمكن لهذا النظام أيضًا وصف العمليات الديناميكية ذات الطبيعة غير الكيميائية. ومن الأمثلة على ذلك علم الأحياء ، والجيولوجيا، والفيزياء (نظرية انتشار النيوترونات)، وعلم البيئة . رياضيًا، تأخذ أنظمة التفاعل والانتشار شكل معادلات تفاضلية جزئية شبه خطية مكافئة . ويمكن تمثيلها بالصيغة العامة التالية :

${\displaystyle \partial _{t}\mathbf {q} ={\underline {\underline {\mathbf {D} }}}\,\nabla ^{2}\mathbf {q} +\mathbf {R} (\mathbf {q} ),}$

حيث تمثل q ( x , t ) دالة متجهة مجهولة، وD مصفوفة قطرية لمعاملات الانتشار ، و R تمثل جميع التفاعلات الموضعية. تُظهر حلول معادلات التفاعل والانتشار نطاقًا واسعًا من السلوكيات، بما في ذلك تكوّن الموجات المتحركة والظواهر الشبيهة بالموجات، بالإضافة إلى أنماط أخرى ذاتية التنظيم مثل الخطوط والسداسيات، أو هياكل أكثر تعقيدًا مثل السوليتونات المبددة . وقد أُطلق على هذه الأنماط اسم " أنماط تورينج ". ^{[ 1 ]} كل دالة، التي تنطبق عليها معادلة تفاضلية للتفاعل والانتشار، تمثل في الواقع متغير تركيز .

أبسط معادلة للتفاعل والانتشار تكون في بُعد مكاني واحد في هندسة مستوية،

${\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}$

تُعرف أيضًا باسم معادلة كولموغوروف-بيتروفسكي-بيسكونوف . ^{[ 2 ]} إذا اختفى حد التفاعل، فإن المعادلة تمثل عملية انتشار بحتة . والمعادلة المقابلة هي قانون فيك الثاني . يؤدي اختيار R ( u ) = u (1 − u ) إلى معادلة فيشر التي استُخدمت في الأصل لوصف انتشار التجمعات البيولوجية ، ^{[ 3 ]} ومعادلة نيويل-وايت هيد-سيجل مع R ( u ) = u (1 − ^u² ) لوصف حمل رايلي-بينارد ، ^{[ 4 ] [ 5 ]} ومعادلة زيلدوفيتش-فرانك-كامينتسكي الأكثر عمومية مع R ( u ) = u (1 − u )e⁻β ^{( 1 - u )} و 0 < β < ∞ ( عدد زيلدوفيتش ) التي تظهر في نظرية الاحتراق ، ^{[ 6 ]} وحالتها الخاصة المنحلة مع R ( u ) = u² − ^{u³ والتي يُشار إليها أحيانًا باسم} معادلة زيلدوفيتش أيضًا. ^{[ 7 ]}

تخضع ديناميكيات الأنظمة أحادية المكون لبعض القيود، حيث يمكن كتابة معادلة التطور أيضًا في شكل تبايني.

${\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}$

وبالتالي يصف انخفاضاً دائماً في "الطاقة الحرة".${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$معطى بواسطة الدالة

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}$

مع جهد V ( u ) بحيث R ( u ) = ⁠ d V ( u ) / d u ⁠ .

في الأنظمة التي تحتوي على أكثر من حل متجانس ثابت، يُعطى الحل النموذجي بواسطة جبهات متحركة تربط الحالات المتجانسة. تتحرك هذه الحلول بسرعة ثابتة دون تغيير شكلها، وتكون على الصورة u ( x , t ) = û ( ξ ) حيث ξ = x − ct ، و c هي سرعة الموجة المتحركة. تجدر الإشارة إلى أنه بينما تُعد الموجات المتحركة هياكل مستقرة بشكل عام، فإن جميع الحلول الثابتة غير الرتيبة (مثل المجالات الموضعية المكونة من زوج جبهة-مضاد جبهة) تكون غير مستقرة. بالنسبة لـ c = 0 ، يوجد برهان بسيط لهذه العبارة: ^{[ 8 ]} إذا _كان u₀ ( x ) حلاً ثابتاً، وكان _u = u₀ ( x ) + ũ ( x , t ) حلاً مضطرباً بشكل متناهي الصغر، فإن تحليل الاستقرار الخطي يُعطي المعادلة

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}$

باستخدام الفرضية ũ = ψ ( x )exp(− λt ) نصل إلى مسألة القيم الذاتية

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}$

من نوع شرودنغر حيث تؤدي القيم الذاتية السالبة إلى عدم استقرار الحل. نظرًا لثبات الإزاحة، _فإن ψ = ∂x _u₀ ( x ) هي دالة ذاتية محايدة ذات قيمة ذاتية λ = 0 ، ويمكن ترتيب جميع الدوال الذاتية الأخرى وفقًا لعدد متزايد من العقد _، حيث يزداد مقدار القيمة الذاتية الحقيقية المقابلة بشكل رتيب مع عدد الأصفار. يجب أن تحتوي الدالة الذاتية ψ = ∂x _u₀ ( x ) على صفر واحد على الأقل، وبالنسبة للحل الثابت غير الرتيب، لا يمكن أن تكون القيمة الذاتية المقابلة λ = 0 هي الأدنى، مما يعني عدم الاستقرار.

لتحديد سرعة الجبهة المتحركة (c) ، يمكن للمرء الانتقال إلى نظام إحداثيات متحرك والنظر إلى الحلول الثابتة:

${\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}$

هذه المعادلة لها نظير ميكانيكي جيد كحركة كتلة D ذات موضع û خلال "الزمن" ξ تحت تأثير القوة R مع معامل التخميد c مما يسمح بالوصول التوضيحي إلى حد ما إلى بناء أنواع مختلفة من الحلول وتحديد c .

عند الانتقال من بُعد مكاني واحد إلى أبعاد مكانية متعددة، يمكن تطبيق عدد من العبارات الخاصة بالأنظمة أحادية البُعد. تُعدّ الجبهات الموجية المستوية أو المنحنية هياكل نموذجية، ويظهر تأثير جديد عندما تصبح السرعة المحلية للجبهة المنحنية معتمدة على نصف قطر الانحناء المحلي (يمكن ملاحظة ذلك بالانتقال إلى الإحداثيات القطبية ). تؤدي هذه الظاهرة إلى ما يُسمى بعدم الاستقرار الناتج عن الانحناء. ^{[ 9 ]}

تتيح الأنظمة ثنائية المكونات نطاقًا أوسع بكثير من الظواهر المحتملة مقارنةً بنظيراتها أحادية المكون. ومن الأفكار المهمة التي طرحها آلان تورينج لأول مرة أن الحالة المستقرة في النظام المحلي يمكن أن تصبح غير مستقرة في وجود الانتشار . ^{[ 10 ]}

ومع ذلك، يُظهر تحليل الاستقرار الخطي أنه عند تبسيط النظام العام المكون من عنصرين،

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}$

اضطراب الموجة المستوية

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ,t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$

سيحقق الحل المتجانس الثابت

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}+\mathbf {R} ^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}.}$

لا يمكن تحقيق فكرة تورينج إلا في أربع فئات تكافؤ للأنظمة تتميز بإشارات مصفوفة جاكوبي R ′ لدالة التفاعل. على وجه الخصوص، إذا افترضنا أن متجه الموجة k المحدود هو الأكثر عدم استقرار، فيجب أن تكون إشارات مصفوفة جاكوبي كالتالي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}$

يُطلق على هذا النوع من الأنظمة اسم نظام المُنشِّط-المُثبِّط نسبةً إلى أول مُمثل له: فبالقرب من الحالة الأرضية، يُحفِّز أحد المُكوِّنات إنتاج كلا المُكوِّنين بينما يُثبِّط الآخر نموهما. وأبرز مُمثل له هو معادلة فيتز هيو-ناغومو.

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}$

حيث f ( u ) = λu − u³ − κ ^، والتي تصف كيفية انتقال جهد الفعل عبر العصب. ^{[ 11 ] [ 12 ]} هنا، du و dv _و τ _و σ و λ ثوابت موجبة .

عندما يخضع نظام مُنشِّط-مُثبِّط لتغيير في المعاملات، قد ينتقل من ظروف يكون فيها النظام مستقرًا في حالة أرضية متجانسة إلى ظروف يكون فيها غير مستقر خطيًا. قد يكون التشعب المقابل إما تشعب هوبف إلى حالة متجانسة متذبذبة عالميًا ذات عدد موجي مهيمن k = 0، أو تشعب تورينج إلى حالة ذات نمط عالمي ذي عدد موجي مهيمن محدود. يؤدي الأخير في بُعدين مكانيين عادةً إلى أنماط شريطية أو سداسية.

• التشعب دون الحرج لتورينغ: تشكيل نمط سداسي من ظروف أولية صاخبة في نظام التفاعل والانتشار المكونين المذكور أعلاه من نوع فيتزهيو-ناغومو.
• 
  ظروف أولية مشوشة عند t  =  0.
• 
  حالة النظام عند الزمن t  =  10.
• 
  حالة شبه متقاربة عند الزمن t  =  100.

في مثال فيتزهيو-ناغومو، تُعطى منحنيات الاستقرار المحايد التي تحدد حدود المنطقة المستقرة خطيًا لتشعب تورينغ وهوبف بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}$

إذا كان التشعب دون المستوى الحرج، فغالبًا ما تُلاحظ بنى موضعية ( سوليتونات تبديدية ) في المنطقة الهستيرية حيث يتعايش النمط مع الحالة الأرضية. تشمل البنى الأخرى الشائعة سلاسل النبضات (المعروفة أيضًا باسم الموجات المتنقلة الدورية )، والموجات الحلزونية، وأنماط الهدف. تُعد هذه الأنواع الثلاثة من الحلول أيضًا سمات عامة لمعادلات التفاعل والانتشار ثنائية (أو متعددة) المكونات التي تتميز فيها الديناميكيات المحلية بدورة حدية مستقرة ^{[ 13 ].}

• أنماط أخرى موجودة في نظام التفاعل والانتشار المكون من عنصرين المذكور أعلاه من نوع فيتزهيو-ناغومو.
• 
  حلزون دوار.
• 
  نمط الهدف.
• 
  نبضة موضعية ثابتة (سوليتون تبديدي).

بالنسبة لمجموعة متنوعة من الأنظمة، تم اقتراح معادلات التفاعل والانتشار التي تحتوي على أكثر من مكونين، على سبيل المثال تفاعل بيلوسوف-جابوتينسكي ، ^{[ 14 ]} لتخثر الدم ، ^{[ 15 ]} وموجات الانشطار ^{[ 16 ]} أو أنظمة تفريغ الغاز المستوية. ^{[ 17 ]}

من المعروف أن الأنظمة ذات المكونات المتعددة تسمح بظهور ظواهر متنوعة غير ممكنة في الأنظمة ذات المكون الواحد أو المكونين (مثل النبضات المستمرة المستقرة في أكثر من بُعد مكاني واحد دون تغذية راجعة شاملة). ^{[ 18 ]} يُقدَّم عرضٌ تمهيدي ونظرة عامة منهجية للظواهر الممكنة تبعًا لخصائص النظام الأساسي في ^{[ 19 ] .}

في الآونة الأخيرة، حظيت أنظمة التفاعل والانتشار باهتمام كبير باعتبارها نموذجًا أوليًا لتكوين الأنماط . ^{[ 20 ]} يمكن إيجاد الأنماط المذكورة أعلاه (الجبهات، واللوالب، والأهداف، والسداسيات، والخطوط، والموجات المنفردة المبددة) في أنواع مختلفة من أنظمة التفاعل والانتشار على الرغم من وجود اختلافات كبيرة، على سبيل المثال في حدود التفاعل المحلية. كما يُجادل بأن عمليات التفاعل والانتشار تُشكل أساسًا جوهريًا للعمليات المرتبطة بتكوين الشكل في علم الأحياء ^{[ 21 ] [ 22 ]} ، وقد تكون مرتبطة أيضًا بفراء الحيوانات وتصبغ الجلد. ^{[ 23 ] [ 24 ]} تشمل التطبيقات الأخرى لمعادلات التفاعل والانتشار الغزوات البيئية، ^{[ 25 ]} وانتشار الأوبئة، ^{[ 26 ]} ونمو الأورام، ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} وديناميكيات موجات الانشطار، ^{[ 30 ]} والتئام الجروح ، ^{[ 31 ]} والهلوسات البصرية. ^{[ 32 ]} سبب آخر للاهتمام بأنظمة التفاعل والانتشار هو أنه على الرغم من كونها معادلات تفاضلية جزئية غير خطية، إلا أنه غالبًا ما توجد إمكانيات للمعالجة التحليلية. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 20 ]}

أُجريت التجارب التي يمكن التحكم بها بدقة في أنظمة التفاعل والانتشار الكيميائي حتى الآن بثلاث طرق. أولًا، يمكن استخدام مفاعلات الهلام ^{[ 36 ]} أو الأنابيب الشعرية المملوءة ^{[ 37 ]} . ثانيًا، دُرست نبضات درجة الحرارة على الأسطح الحفزية ^{[ 38 ] [ 39 ]} . ثالثًا، نُوذجت عملية انتشار نبضات الأعصاب الجارية باستخدام أنظمة التفاعل والانتشار ^{[ 11 ] [ 40 ] .}

وبغض النظر عن هذه الأمثلة العامة، فقد تبين أنه في ظل ظروف معينة، يمكن وصف أنظمة النقل الكهربائي مثل البلازما ^{[ 41 ]} أو أشباه الموصلات ^{[ 42 ]} باستخدام منهجية التفاعل والانتشار. وقد أُجريت تجارب متنوعة على تشكيل الأنماط لهذه الأنظمة.

يمكن حل نظام التفاعل والانتشار باستخدام أساليب الرياضيات العددية . وتوجد العديد من المعالجات العددية في الأدبيات البحثية. ^{[ 43 ] [ 20 ] [ 44 ]} كما تم اقتراح طرق حل عددية للأشكال الهندسية المعقدة. ^{[ 45 ] [ 46 ]} ويتم وصف أنظمة التفاعل والانتشار بأعلى درجة من التفصيل باستخدام أدوات المحاكاة القائمة على الجسيمات مثل SRSim أو ReaDDy ^{[ 47 ]} والتي تستخدم، من بين أمور أخرى، ديناميكيات تفاعل الجسيمات المتفاعلة القابلة للانعكاس. ^{[ 48 ]}

• الموجات التلقائية – موجات غير خطية ذاتية الدعم في الأوساط النشطة 
• التفاعل المتحكم فيه بالانتشار – معدل التفاعل يساوي معدل النقل 
• الحركية الكيميائية – دراسة معدلات التفاعلات الكيميائية 
• طريقة فضاء الطور
• التفاعلات التحفيزية الذاتية وتكوين النظام – تفاعل كيميائي يكون ناتجه هو نفسه عامله التحفيزي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• تكوين الأنماط – دراسة كيفية تشكل الأنماط من خلال التنظيم الذاتي في الطبيعة 
• الأنماط في الطبيعة – الانتظام المرئي للأشكال الموجود في العالم الطبيعي 
• موجة متحركة دورية – قطار موجات بسرعة ثابتة 
• الحلول المتشابهة ذاتيًا - مفهوم في المعادلات التفاضلية الجزئية 
• معادلة الانتشار – معادلة تصف تغيرات كثافة مادة تنتشر في وسط ما 
• الهندسة العشوائية – دراسة الأنماط المكانية العشوائية 
• إم كلون
• الأساس الكيميائي لتكوين الشكل – مقال علمي من تأليف آلان تورينج عام 1952 
• نمط تورينج – مفهوم من علم الأحياء التطوري 
• نمذجة متعددة الحالات للجزيئات الحيوية

• معادلة فيشر
• معادلة زيلدوفيتش-فرانك-كامينتسكي
• نموذج فيتز هيو-ناغومو
• طلاء مجعد

• التفاعل والانتشار بواسطة نموذج غراي-سكوت: تحديد معلمات بيرسون خريطة مرئية لمساحة المعلمات الخاصة بتفاعل وانتشار غراي-سكوت.
• أطروحة حول أنماط التفاعل والانتشار مع نظرة عامة على المجال
• أداة RD: تطبيق ويب تفاعلي لمحاكاة التفاعل والانتشار