أحادي القدرة

ضع في اعتبارك المجموعة${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$من المصفوفات المثلثية العلوية ذات${\displaystyle 1}$'s على طول القطر، لذا فهي مجموعة المصفوفات ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.}$

بعد ذلك، يمكن تعريف المجموعة أحادية القوة على أنها مجموعة جزئية من مجموعة ما${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$باستخدام نظرية المخططات ، المجموعة${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$يمكن تعريفها بأنها مخطط المجموعة

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}$

ويكون مخطط المجموعة الأفينية أحادي القوة إذا كان مخطط مجموعة مغلقة لهذا المخطط.

يكون العنصر x في زمرة جبرية أفينية أحادي القوة عندما يكون عامل الإزاحة اليمنى المرتبط به، r _x ، على حلقة الإحداثيات الأفينية A [ G ] لـ G أحادي القوة محليًا كعنصر في حلقة التشاكلات الخطية لـ A [ G ]. (يعني أحادي القوة محليًا أن تقييده على أي فضاء جزئي مستقر محدود الأبعاد من A [ G ] يكون أحادي القوة بالمعنى المعتاد في نظرية الحلقات).

تُسمى المجموعة الجبرية الأفينية أحادية القوة إذا كانت جميع عناصرها أحادية القوة. أي مجموعة جبرية أحادية القوة متماثلة مع مجموعة جزئية مغلقة من مجموعة المصفوفات المثلثية العليا ذات العناصر القطرية تساوي 1، والعكس صحيح . على وجه الخصوص، أي مجموعة أحادية القوة هي مجموعة معدومة القوة ، مع أن العكس غير صحيح (مثال مضاد: المصفوفات القطرية للمجموعة الجبرية الأفينية GL _n ( k )).

على سبيل المثال، التمثيل القياسي لـ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$على${\displaystyle k^{n}}$على أساس معياري${\displaystyle e_{i}}$له متجه ثابت${\displaystyle e_{1}}$.

إذا أثرت زمرة أحادية القوة على تنوع أفيني ، فإن جميع مداراتها تكون مغلقة، وإذا أثرت خطيًا على فضاء متجهي محدود الأبعاد ، فإن لها متجهًا ثابتًا غير صفري. في الواقع، تُميز هذه الخاصية الأخيرة الزمر أحادية القوة. ^{[ 2 ]} وعلى وجه الخصوص، هذا يعني عدم وجود تمثيلات شبه بسيطة غير تافهة .

بالطبع، مجموعة المصفوفات${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$هو أحادي القدرة. باستخدام السلسلة المركزية السفلية

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

أين

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}$و${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

توجد مجموعات أحادية القدرة مرتبطة بها. على سبيل المثال، على${\displaystyle n=4}$، السلاسل المركزية هي مجموعات المصفوفات

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$،${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$،${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$، و${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

مع إعطاء بعض الأمثلة المستحثة للمجموعات أحادية القدرة.

المجموعة المضافة${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$هي مجموعة أحادية القدرة من خلال التضمين

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

لاحظ أن عملية ضرب المصفوفات تعطي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}$

لذا فهذا تضمين جماعي. وبشكل أعم، يوجد تضمين${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$من الخريطة

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

باستخدام نظرية المخططات،${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$يتم تحديده بواسطة الدالة

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}}$

أين

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}$

لنأخذ الدالة كمثال${\displaystyle {\mathcal {O}}}$في الفئة الفرعية${\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$، هناك الدالة الفرعية${\displaystyle \alpha _{p}}$أين

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$

لذا يتم تحديدها بواسطة نواة التشكل الداخلي لفروبينيوس .

يمكن من حيث المبدأ تصنيف المجموعات أحادية القوة على حقل مغلق جبريًا من أي بُعد معين، ولكن من الناحية العملية، يزداد تعقيد التصنيف بسرعة مع البُعد، لذلك يميل البعض إلى التخلي عن ذلك في مكان ما حول البُعد 6.

توجد نظرية تفكيك جيدة لمجموعة جبرية تبديلية على الخاصية 0${\displaystyle G}$يربط هذا بنية المجموعة ببنية مجموعة جبرية خطية ومجموعة متنوعة أبيلية . يوجد تسلسل تام قصير من المجموعات ^{[ 3 ] صفحة 8}

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

أين${\displaystyle A}$هو نوع أبيلي،${\displaystyle M}$هو من النوع الضربي (بمعنى،${\displaystyle M}$هي، هندسياً، ناتج ضرب حلقات ومجموعات جبرية من الشكل${\displaystyle \mu _{n}}$) و${\displaystyle U}$هي مجموعة أحادية القدرة.

عندما تكون خاصية الحقل الأساسي هي p، توجد عبارة مماثلة ^{[ 3 ]} لمجموعة جبرية${\displaystyle G}$توجد أصغر مجموعة فرعية${\displaystyle H}$بحيث

1. ${\displaystyle G/H}$هي مجموعة أحادية القدرة
2. ${\displaystyle H}$هو امتداد لنوع أبيلي${\displaystyle A}$بواسطة مجموعة${\displaystyle M}$من النوع المضاعف.
3. ${\displaystyle M}$فريد من نوعه حتى إمكانية المقارنة في${\displaystyle G}$و${\displaystyle A}$فريد من نوعه حتى التماثل الجيني .