نقطة التلاشي

نقطة التلاشي هي نقطة على مستوى الصورة في الرسم المنظوري ، حيث تبدو إسقاطات المنظور ثنائية الأبعاد للخطوط المتوازية في الفضاء ثلاثي الأبعاد وكأنها تتقارب. عندما تكون مجموعة الخطوط المتوازية عمودية على مستوى الصورة ، يُعرف هذا الرسم بالمنظور ذي النقطة الواحدة، وتتوافق نقطة تلاشيها مع فتحة العين ، أو "نقطة النظر"، التي يجب النظر منها إلى الصورة للحصول على هندسة منظور صحيحة. ^{[ 1 ]} تستخدم الرسومات الخطية التقليدية أجسامًا ذات مجموعة واحدة إلى ثلاث مجموعات من الخطوط المتوازية، مما يُحدد نقطة تلاشي واحدة إلى ثلاث نقاط.

قدّم العالم الإنساني الإيطالي الموسوعي والمعماري ليون باتيستا ألبيرتي هذا المفهوم لأول مرة في أطروحته عن المنظور في الفن، " دي بيكتورا" ، التي كتبها عام 1435. ^{[ 2 ]} تُعدّ خطوط السكك الحديدية المستقيمة مثالاً حديثاً مألوفاً. ^{[ 3 ]}

يمكن الإشارة إلى نقطة التلاشي أيضًا باسم "نقطة الاتجاه"، حيث أن الخطوط التي لها نفس متجه الاتجاه، ولنقل D ، سيكون لها نفس نقطة التلاشي. رياضيًا، لنفترض أن q ≡ ( x , y , f ) هي نقطة تقع على مستوى الصورة، حيث f هي البعد البؤري (للكاميرا المرتبطة بالصورة)، ولنفترض أن v q ≡ (x/h, y/ h _, f / h ) هو متجه الوحدة المرتبط بـ q ، حيث h = √ ( x² + y² + f² ) . إذا اعتبرنا خطًا مستقيمًا في الفضاء S بمتجه الوحدة _ns ≡ ( nx _, ny ^, z ₎ ونقطة تلاشيه v ^s ، ^فإن متجه الوحدة المرتبط بـ v _s يساوي _{ns ،} ^{بافتراض} أن كلاهما _{يشير نحو} ^مستوى الصورة. [ ⁴ ]

عندما يكون مستوى الصورة موازيًا لمحورين من محاور الإحداثيات العالمية، فإن الخطوط الموازية للمحور الذي يقطعه مستوى الصورة ستلتقي صورها عند نقطة تلاشٍ واحدة. أما الخطوط الموازية للمحورين الآخرين فلن تُشكّل نقاط تلاشٍ لأنها موازية لمستوى الصورة. هذا ما يُسمى بالمنظور ذي النقطة الواحدة. وبالمثل، عندما يتقاطع مستوى الصورة مع محورين من محاور الإحداثيات العالمية، فإن الخطوط الموازية لهذين المحورين ستلتقي لتُشكّل نقطتي تلاشٍ في مستوى الصورة. هذا ما يُسمى بالمنظور ذي النقطتين. أما في المنظور ذي النقاط الثلاث، فيتقاطع مستوى الصورة مع المحاور س ، ص ، ع ، وبالتالي تتقاطع الخطوط الموازية لهذه المحاور، مما ينتج عنه ثلاث نقاط تلاشٍ مختلفة.

تُعدّ نظرية نقطة التلاشي النظرية الأساسية في علم المنظور. تنصّ هذه النظرية على أن صورة الخط L في الفضاء، غير الموازي للصورة، في مستوى الصورة π ، تُحدّد بنقطة تقاطعه مع π ونقطة تلاشيه. وقد استخدم بعض المؤلفين عبارة "صورة الخط تشمل نقطة تلاشيه". قدّم غيدوبالدو ديل مونتي العديد من البراهين، ووصف همفري ديتون النتيجة بأنها "الفرضية الرئيسية والعظيمة". ^{[ 5 ]} ألّف بروك تايلور أول كتاب باللغة الإنجليزية عن المنظور عام 1714، والذي قدّم فيه مصطلح "نقطة التلاشي"، وكان أول من شرح هندسة المنظور متعدد النقاط شرحًا وافيًا، وقد جمعت المؤرخة كيرستي أندرسن هذه الملاحظات. ^{[ 1 ] : 244-246.} وتشير إلى أنه من منظور الهندسة الإسقاطية ، فإن نقطة التلاشي هي صورة النقطة عند اللانهاية المرتبطة بالخط L ، حيث إن خط النظر من O المار بنقطة التلاشي موازٍ للخط L.

بما أن نقطة التلاشي تنشأ من خط، فإن خط التلاشي ينشأ من مستوى α غير موازٍ للصورة π . إذا كانت نقطة النظر O ، والمستوى β موازيًا لـ α ويقع على O ، فإن خط تلاشي α هو β ∩ π . على سبيل المثال، عندما يكون α هو مستوى الأرض و β هو مستوى الأفق، فإن خط تلاشي α هو خط الأفق β ∩ π .

ببساطة، يُحدد خط تلاشي مستوى ما، ولنقل α ، بتقاطع مستوى الصورة مع مستوى آخر، ولنقل β ، موازٍ لمستوى الاهتمام ( α ) ويمر بمركز الكاميرا. بالنسبة لمجموعات الخطوط المختلفة الموازية لهذا المستوى α ، تقع نقاط تلاشيها على خط التلاشي هذا. أما خط الأفق فهو خط افتراضي يمثل مستوى نظر الراصد. إذا كان الجسم أسفل خط الأفق، فإن خطوطه تتجه لأعلى نحوه. وإذا كان أعلى منه، فإنها تتجه لأسفل.

1. تبدو إسقاطات مجموعتين من الخطوط المتوازية الواقعة في مستوى ما πA وكأنها تتقارب، أي أن نقطة التلاشي المرتبطة بهذا الزوج تتقارب على خط الأفق، أو خط التلاشي _H الناتج عن تقاطع مستوى الصورة مع المستوى الموازي لـ πA والمار عبر الثقب. البرهان: لنعتبر المستوى الأرضي π ، حيث y = c، _وهو ، تبسيطًا للأمر، متعامد مع مستوى الصورة. ولنعتبر أيضًا خطًا L يقع في المستوى π ، والذي يُعرَّف بالمعادلة ax + bz = d . باستخدام إسقاطات المنظور عبر الثقب، فإن إحداثيات نقطة على L مُسقطة على مستوى الصورة ستكون كما يلي:

س′ = و · ⁠ س / ض ⁠ = و · ⁠ د − بز / أز ⁠

y ′ = f · y / z = f · c / z​​​

هذا هو التمثيل البارامتري للصورة L′ للخط L حيث z هو المعامل. عندما z → −∞، يتوقف عند النقطة ( x′ , y′ ) = ( −fb / a , 0) على المحور x′ لمستوى الصورة. هذه هي نقطة التلاشي المقابلة لجميع الخطوط المتوازية ذات الميل −b / a في المستوى π . تقع جميع نقاط التلاشي المرتبطة بخطوط مختلفة ذات ميول مختلفة تنتمي إلى المستوى π على المحور x′ ، وهو في هذه الحالة خط الأفق.

2. ليكن A و B و C _ثلاثة خطوط مستقيمة متعامدة في الفضاء، و _vA ≡ ( xA _, yA , f ) و vB ≡ ( xB, yB, f) وvC ≡ (xC, yC, f) هي نقاط التلاشي الثلاثة المناظرة لها _على التوالي . إذا _عرفنا إحداثيات _إحدى هذه النقاط ، ولتكن _{vA ،} واتجاه _خط مستقيم _على مستوى الصورة يمر بنقطة ثانية، ولتكن ^vB ، فيمكننا حساب إحداثيات كل ^من vB و _vC ^[ ₄ ] _.

3. لتكن A و B و C ثلاثة خطوط مستقيمة متعامدة في الفضاء، ولتكن _vA ≡ ( xA , _yA , f ) و vB ≡ ( xB , yB , f ) _و vC ≡ ( xC _, yC _, f ) نقاط _{التلاشي الثلاث المناظرة لها على التوالي} . مركز تعامد المثلث الذي رؤوسه تقع عند نقاط التلاشي الثلاث هو نقطة تقاطع المحور ^البصري مع مستوى الصورة. ^{[ 4} ]

المنظور المنحني هو رسم يحتوي على 4 أو 5 نقاط تلاشي. في المنظور الخماسي، تُسقط نقاط التلاشي على دائرة، حيث تقع 4 نقاط تلاشي عند الاتجاهات الأصلية: الشمال، والغرب، والجنوب، والشرق، ونقطة تلاشي واحدة عند مركز الدائرة.

المنظور العكسي هو رسم بنقاط تلاشي موضوعة خارج اللوحة مع إيهام بأنها "أمام" اللوحة.

• 
  إسقاط منظور نقطة واحدة
• 
  منظور النقطة الواحدة في التصوير الفوتوغرافي
• 
  إسقاط منظور النقطتين
• 
  ساهم استخدام بيترو بيروجينو للمنظور في لوحة تسليم المفاتيح الجدارية في كنيسة سيستين (1481-1482) في جلب عصر النهضة إلى روما.

تعتمد عدة طرق للكشف عن نقطة التلاشي على القطع المستقيمة المكتشفة في الصور. وتتضمن تقنيات أخرى النظر مباشرة في تدرجات شدة إضاءة بكسلات الصورة.

تحتوي الصورة على عدد كبير من نقاط التلاشي. لذا، يهدف البحث إلى تحديد نقاط التلاشي التي تُطابق الاتجاهات الرئيسية للمشهد. ويتم ذلك عادةً على مرحلتين. المرحلة الأولى، وتُسمى مرحلة التجميع، حيث يتم تجميع القطع المستقيمة في مجموعات بافتراض أن كل مجموعة تشترك في نقطة تلاشي واحدة. أما المرحلة الثانية، فتُسمى مرحلة البحث، حيث يتم تحديد المجموعات الرئيسية الموجودة في المشهد.

في خطوة التجميع ، تُسقط الصورة على فضاء محدود يُسمى فضاء التجميع. يُقسّم فضاء التجميع إلى وحدات تُسمى خلايا. افترض بارنارد ^{[ 6 ]} أن هذا الفضاء عبارة عن كرة غاوسية مركزها المركز البصري للكاميرا. يُقابل كل خط مستقيم في الصورة دائرة عظمى على هذه الكرة، وتُسقط نقطة التلاشي في الصورة على نقطة. تحتوي الكرة الغاوسية على خلايا تجميع تتزايد عند مرور دائرة عظمى بها، أي عندما يتقاطع خط مستقيم في الصورة مع نقطة التلاشي. أُجريت تعديلات عديدة منذ ذلك الحين، ولكن إحدى أكثر التقنيات فعالية كانت استخدام تحويل هوف ، الذي يُسقط معلمات الخط المستقيم على الفضاء المحدود. طُبقت تحويلات هوف المتتالية لنقاط تلاشي متعددة.

تتسبب عملية التحويل من الصورة إلى المساحات المحدودة في فقدان المسافات الفعلية بين القطع المستقيمة والنقاط.

في خطوة البحث ، يتم تحديد خلية التجميع التي تمر بها أكبر عدد من القطع المستقيمة. بعد ذلك، تُزال هذه القطع، وتُكرر خطوة البحث حتى ينخفض ​​هذا العدد عن حد معين. ومع توفر قدرة حاسوبية أكبر، يُمكن الآن إيجاد نقاط تُقابل اتجاهين أو ثلاثة اتجاهات متعامدة.

1. معايرة الكاميرا: تحتوي نقاط التلاشي في الصورة على معلومات مهمة لمعايرة الكاميرا. وقد طُرحت تقنيات معايرة متنوعة باستخدام خصائص نقاط التلاشي لإيجاد معلمات المعايرة الداخلية والخارجية. ^{[ 7 ]}
2. إعادة البناء ثلاثي الأبعاد : تتميز البيئة الاصطناعية بسمتين رئيسيتين: وجود عدة خطوط متوازية في المشهد، وعدد من الحواف المتعامدة. تساعد نقاط التلاشي في فهم البيئة. وباستخدام مجموعات من الخطوط المتوازية في المستوى، يمكن حساب اتجاه المستوى باستخدام نقاط التلاشي. أجرى كل من توري ^{[ 8 ]} وكويلو ^{[ 9 ]} بحثًا مستفيضًا حول استخدام نقاط التلاشي لتطبيق نظام متكامل. وبافتراض أن البيئة تتكون من أجسام ذات جوانب متوازية أو متعامدة فقط، تُعرف أيضًا باسم "أرض الليغو"، فقد استعادا الهندسة ثلاثية الأبعاد للمشهد باستخدام نقاط التلاشي المُنشأة في صورة واحدة للمشهد. تُستخدم أفكار مماثلة أيضًا في مجال الروبوتات، لا سيما في الملاحة والمركبات ذاتية القيادة، وفي مجالات اكتشاف الأجسام .

• الإسقاط الرسومي

• الكشف عن نقطة التلاشي باستخدام ثلاث خوارزميات مقترحة مختلفة
• اكتشاف نقطة التلاشي للصور والفيديوهات باستخدام OpenCV
• درس تعليمي يغطي العديد من الأمثلة على المنظور الخطي
• حساب نقاط التلاشي باستخدام الدوال المثلثية: شرح موجز للأساس المنطقي مع مثال بسيط