اللزوجة المرنة

الموسوعة الحرة

الشكل 1. العناصر المستخدمة في النماذج أحادية البعد للمواد اللزجة المرنة.

اللدونة اللزجة هي نظرية في ميكانيكا الأوساط المتصلة تصف السلوك غير المرن للمواد الصلبة الذي يعتمد على معدل تطبيق الأحمال . ويعني الاعتماد على المعدل في هذا السياق أن تشوه المادة يعتمد على معدل تطبيق الأحمال . [ 1 ] السلوك غير المرن الذي تتناوله اللدونة اللزجة هو التشوه اللدن، أي أن المادة تتعرض لتشوهات غير قابلة للاسترداد عند بلوغ مستوى معين من الحمل. وتُعد اللدونة المعتمدة على المعدل مهمة لحسابات اللدونة العابرة. ويكمن الفرق الرئيسي بين نماذج المواد اللدنة غير المعتمدة على المعدل ونماذج المواد اللزجة اللدنة في أن الأخيرة لا تُظهر تشوهات دائمة بعد تطبيق الأحمال فحسب، بل تستمر أيضًا في الخضوع لتدفق زحفي كدالة للزمن تحت تأثير الحمل المطبق.

يمكن تمثيل الاستجابة المرنة للمواد اللزجة اللدنة في بُعد واحد باستخدام عناصر زنبركية هوكية . ويمكن تمثيل اعتماد معدل التشوه باستخدام عناصر مخمد غير خطية بطريقة مشابهة للزوجة المرنة . ويمكن مراعاة اللدونة بإضافة عناصر احتكاك انزلاقية كما هو موضح في الشكل 1. [ 2 ] في الشكلهـ{\displaystyle E}هو معامل المرونة ،λ{\displaystyle \lambda }هو معامل اللزوجة وشمال{\displaystyle N}هو معامل من نوع قانون القوة يمثل مخمدًا غير خطي[σ(دε/دت)=σ=λ(دε/دت)1/شمال]{\displaystyle [\sigma (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)=\sigma =\lambda (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)^{1/N}]}يمكن أن يكون للعنصر المنزلق إجهاد خضوع (σy{\displaystyle \sigma _{y}}) التي تعتمد على معدل الإجهاد ، أو حتى ثابتة، كما هو موضح في الشكل 1ج.

عادةً ما تُنمذج اللدونة اللزجة ثلاثية الأبعاد باستخدام نماذج الإجهاد الزائد من نوعي بيرزينا أو دوفو-ليونز. [ 3 ] في هذه النماذج، يُسمح للإجهاد بالزيادة إلى ما بعد سطح الخضوع غير المعتمد على معدل الإجهاد عند تطبيق الحمل، ثم يُسمح له بالعودة تدريجيًا إلى سطح الخضوع مع مرور الوقت. يُفترض عادةً أن سطح الخضوع غير معتمد على معدل الإجهاد في هذه النماذج. يتمثل نهج بديل في إضافة اعتماد معدل الإجهاد إلى إجهاد الخضوع واستخدام تقنيات اللدونة غير المعتمدة على معدل الإجهاد لحساب استجابة المادة. [ 4 ]

بالنسبة للمعادن والسبائك ، تُعرف اللزوجة المرنة بأنها السلوك العياني الناتج عن آلية مرتبطة بحركة الانخلاعات داخل الحبيبات ، مع تأثيرات إضافية للانزلاق بين البلورات. عادةً ما تصبح هذه الآلية سائدة عند درجات حرارة أعلى من ثلث درجة حرارة الانصهار المطلقة تقريبًا. مع ذلك، تُظهر بعض السبائك اللزوجة المرنة عند درجة حرارة الغرفة (300 كلفن  ). أما بالنسبة للبوليمرات والخشب والبيتومين ، فإن نظرية اللزوجة المرنة ضرورية لوصف السلوك الذي يتجاوز حدود المرونة أو اللزوجة المرنة .

بشكل عام، تعتبر نظريات اللزوجة المرنة مفيدة في مجالات مثل:

  • حساب التشوهات الدائمة،
  • التنبؤ بالانهيار اللدن للهياكل،
  • دراسة الاستقرار،
  • محاكاة حوادث التصادم،
  • الأنظمة المعرضة لدرجات حرارة عالية مثل التوربينات في المحركات، على سبيل المثال محطة توليد الطاقة،
  • المشاكل والأنظمة الديناميكية المعرضة لمعدلات إجهاد عالية.

تاريخ

بدأ البحث في نظريات اللدونة عام 1864 مع أعمال هنري تريسكا [ 5 ] ، وسانت فينان (1870)، وليفي (1871) [ 6 ] حول معيار القص الأقصى . [ 7 ] وقُدِّم نموذج لدونة مُحسَّن عام 1913 بواسطة فون ميزس [ 8 ] ، والذي يُشار إليه الآن بمعيار فون ميزس للخضوع . في اللدونة اللزجة، يعود تطوير نموذج رياضي إلى عام 1910 مع تمثيل الزحف الأولي بقانون أندرادي. [ 9 ] وفي عام 1929، طوّر نورتون [ 10 ] نموذجًا أحادي البُعد للمخمد، ربط فيه معدل الزحف الثانوي بالإجهاد. وفي عام 1934، عمّم أودكفيست [ 11 ] قانون نورتون ليشمل الحالة متعددة المحاور.

طُرحت مفاهيم مثل تعامد التدفق اللدن على سطح الخضوع وقواعد التدفق لللدونة من قِبل براندتل (1924) [ 12 ] ورويس (1930) [ 13 ] . وفي عام 1932، اقترح هوهينمسر وبراغر [ 14 ] أول نموذج للتدفق اللزج اللدن البطيء. وقد وفر هذا النموذج علاقة بين الإجهاد الانحرافي ومعدل الانفعال لجسم بينغهام غير قابل للانضغاط [ 15 ]. ومع ذلك، لم يبدأ تطبيق هذه النظريات قبل عام 1950، حيث تم اكتشاف نظريات الحد.

في عام 1960، شكّلت ندوة الاتحاد الدولي للميكانيكا النظرية والتطبيقية الأولى بعنوان "الزحف في الهياكل"، التي نظّمها هوف [ 16 ] ، نقلةً نوعيةً في مجال اللدونة اللزجة، وذلك بفضل أعمال هوف، ورابوتنوف، وبيرزينا، وهولت، وليمايتر فيما يخص قوانين التصلب المتناحي ، وأعمال كراتوشفيل، ومالينيني، وخادجينسكي، وبونتر، وليكي، وشابوش فيما يخص قوانين التصلب الحركي . وفي عام 1963، قدّم بيرزينا معامل لزوجة يعتمد على درجة الحرارة والزمن [ 17 ] . وقد استندت النماذج المُصاغة إلى الديناميكا الحرارية للعمليات غير العكوسية، وإلى المنظور الظاهري . وشكّلت الأفكار المطروحة في هذه الأعمال أساسًا لمعظم الأبحاث اللاحقة في مجال اللدونة المعتمدة على المعدل.

الظواهرية

لإجراء تحليل نوعي، تُجرى عدة اختبارات مميزة لوصف خصائص المواد اللزجة المرنة. ومن أمثلة هذه الاختبارات [ 9 ]

  1. اختبارات التصلب عند إجهاد ثابت أو معدل انفعال ثابت،
  2. اختبارات الزحف عند قوة ثابتة، و
  3. استرخاء الإجهاد عند استطالة ثابتة.

اختبار تصلب الإجهاد

الشكل 2. استجابة الإجهاد والانفعال لمادة لزجة مرنة عند معدلات انفعال مختلفة. تُظهر الخطوط المنقطة الاستجابة عند ثبات معدل الانفعال. بينما يُظهر الخط الأزرق الاستجابة عند تغيير معدل الانفعال فجأة.

إحدى نتائج الخضوع هي أنه مع استمرار التشوه اللدن، يلزم زيادة في الإجهاد لإنتاج انفعال إضافي . تُعرف هذه الظاهرة باسم تصلب الانفعال/العمل . [ 18 ] بالنسبة للمواد اللزجة اللدنة، لا تختلف منحنيات التصلب اختلافًا كبيرًا عن تلك الخاصة بالمواد اللدنة غير المعتمدة على المعدل. ومع ذلك، يمكن ملاحظة ثلاثة اختلافات جوهرية.

  1. عند نفس الإجهاد، كلما زاد معدل الإجهاد زاد الإجهاد
  2. يؤدي التغيير في معدل الإجهاد أثناء الاختبار إلى تغيير فوري في منحنى الإجهاد والانفعال .
  3. لم يعد مفهوم حد خضوع البلاستيك قابلاً للتطبيق بشكل صارم.

لا تزال فرضية تقسيم الإجهادات عن طريق فصل الأجزاء المرنة واللدنة قابلة للتطبيق عندما تكون الإجهادات صغيرة، [ 3 ] أي،

ε=εهـ+εvص{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}

أينεهـ{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}هو الإجهاد المرن وεvص{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}يمثل الانفعال اللزج المرن. وللحصول على سلوك الإجهاد والانفعال الموضح باللون الأزرق في الشكل، يتم تحميل المادة مبدئيًا بمعدل انفعال قدره 0.1/ثانية. ثم يُرفع معدل الانفعال فجأة إلى 100/ثانية ويُثبت عند هذه القيمة لفترة زمنية محددة. في نهاية تلك الفترة، يُخفض معدل الانفعال فجأة إلى 0.1/ثانية، وتستمر الدورة لقيم انفعال متزايدة. من الواضح وجود تأخير بين تغير معدل الانفعال واستجابة الإجهاد. يتم نمذجة هذا التأخير بدقة عالية بواسطة نماذج الإجهاد الزائد (مثل نموذج بيرزينا )، ولكن ليس بواسطة نماذج اللدونة غير المعتمدة على المعدل والتي لها إجهاد خضوع يعتمد على المعدل.

اختبار الزحف

الشكل 3أ. اختبار الزحف
الشكل 3ب. الإجهاد كدالة للزمن في اختبار الزحف

الزحف هو ميل المادة الصلبة إلى التحرك ببطء أو التشوه الدائم تحت تأثير إجهادات ثابتة. تقيس اختبارات الزحف استجابة الانفعال للإجهاد الثابت كما هو موضح في الشكل 3. يمثل منحنى الزحف الكلاسيكي تطور الانفعال كدالة للزمن في مادة تتعرض لإجهاد أحادي المحور عند درجة حرارة ثابتة. على سبيل المثال، يُجرى اختبار الزحف بتطبيق قوة/إجهاد ثابت وتحليل استجابة الانفعال للنظام. بشكل عام، كما هو موضح في الشكل 3ب، يُظهر هذا المنحنى عادةً ثلاث مراحل أو فترات سلوكية: [ 9 ]

  1. المرحلة الأولية للزحف ، والمعروفة أيضًا باسم الزحف العابر، هي المرحلة الأولية التي يؤدي خلالها تصلب المادة إلى انخفاض في معدل التدفق الذي يكون مرتفعًا جدًا في البداية.(0≤ε≤ε1){\displaystyle (0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})}.
  2. مرحلة الزحف الثانوية ، والمعروفة أيضًا باسم الحالة المستقرة، هي المرحلة التي يكون فيها معدل الإجهاد ثابتًا.(ε1≤ε≤ε2){\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})}.
  3. مرحلة زحف ثالثية يحدث فيها زيادة في معدل الإجهاد حتى يصل إلى إجهاد الكسر.(ε2≤ε≤εR){\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})}.

اختبار الاسترخاء

الشكل 4. أ) الإجهاد المطبق في اختبار الاسترخاء و ب) الإجهاد المستحث كدوال للوقت على مدى فترة قصيرة لمادة لزجة مرنة.

كما هو موضح في الشكل 4، يُعرَّف اختبار الاسترخاء [ 19 ] بأنه استجابة الإجهاد الناتجة عن انفعال ثابت لفترة زمنية محددة. في المواد اللزجة المرنة، تُظهر اختبارات الاسترخاء استرخاء الإجهاد في التحميل أحادي المحور عند انفعال ثابت. في الواقع، تُحدد هذه الاختبارات اللزوجة، ويمكن استخدامها لتحديد العلاقة بين الإجهاد ومعدل الانفعال اللزج المرن. ويُمكن تحليل معدل الانفعال إلى:

دεدت=دεهـدت+دεvصدت .{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.}

يُعطى الجزء المرن من معدل الإجهاد بالعلاقة التالية

دεهـدت=هـ-1 دσدت{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}

في المنطقة المستوية من منحنى الإجهاد-الزمن، يكون معدل الإجهاد الكلي صفراً. ومن ثم، لدينا:

دεvصدت=-هـ-1 دσدت{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}

لذا، يمكن استخدام منحنى الاسترخاء لتحديد معدل الانفعال اللزج المرن، وبالتالي لزوجة المخمد في نموذج مادة لزجة مرنة أحادية البعد. القيمة المتبقية التي يتم الوصول إليها عند استقرار الإجهاد في نهاية اختبار الاسترخاء تُمثل الحد الأعلى للمرونة. بالنسبة لبعض المواد، مثل ملح الطعام، يحدث هذا الحد الأعلى للمرونة عند قيمة إجهاد منخفضة جدًا، ويمكن إجراء اختبارات الاسترخاء لأكثر من عام دون ملاحظة أي استقرار في الإجهاد.

من المهم ملاحظة أن اختبارات الاسترخاء صعبة للغاية لأن الحفاظ على هذه الحالةدεدت=0{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0}يتطلب الاختبار قدراً كبيراً من الدقة. [ 20 ]

نماذج ريولوجية للزوجة المرنة

تشمل النماذج التكوينية أحادية البعد لللدونة اللزجة، القائمة على عناصر الزنبرك والمخمد والمنزلق، [ 3 ] الجسم الصلب اللزج اللدن المثالي، والجسم الصلب اللزج اللدن المرن المثالي، والجسم الصلب المرن اللزج اللدن المتصلب. يمكن توصيل العناصر على التوالي أو على التوازي . في النماذج التي تُوصل فيها العناصر على التوالي، يكون الانفعال تراكميًا بينما يكون الإجهاد متساويًا في كل عنصر. في التوصيلات المتوازية، يكون الإجهاد تراكميًا بينما يكون الانفعال متساويًا في كل عنصر. يمكن تعميم العديد من هذه النماذج أحادية البعد إلى ثلاثة أبعاد لنظام الانفعال الصغير. في المناقشة اللاحقة، يُكتب معدل الانفعال والإجهاد مع الزمن على النحو التالي:ε˙{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}}وσ˙{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}، على التوالى.

مادة صلبة لزجة مرنة تمامًا (نموذج نورتون-هوف)

الشكل 5. نموذج نورتون-هوف لجسم صلب لزج مرن تمامًا

في الجسم الصلب اللزج المرن المثالي، والذي يُسمى أيضًا نموذج نورتون-هوف لللدونة اللزجة، يكون الإجهاد (كما هو الحال في السوائل اللزجة) دالةً لمعدل الانفعال الدائم. ويتم إهمال تأثير المرونة في النموذج، أيεهـ=0{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}وبالتالي لا يوجد إجهاد خضوع أولي، أيσy=0{\displaystyle \sigma _{y}=0}. يتميز المخمد اللزج باستجابة معطاة بواسطة

σ=η ε˙vص⟹ε˙vص=ση{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {vp} }={\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}}

أينη{\displaystyle \eta }هي لزوجة المخمد. في نموذج نورتون-هوف، اللزوجةη{\displaystyle \eta }هي دالة غير خطية للإجهاد المطبق، وتعطى بالعلاقة التالية:

η=λ(λ‖σ‖)شمال-1{\displaystyle \eta =\lambda \left({\frac {\lambda }{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right)^{N-1}}

أينشمال{\displaystyle N}هو معامل مُلائم، وλ هي اللزوجة الحركية للمادة و‖σ‖=σ:σ=σأناجσأناج{\displaystyle \|{\boldsymbol {\sigma }}\|={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}}ثم يُعطى معدل الانفعال اللزج المرن بالعلاقة التالية

ε˙vص=σλ(‖σ‖λ)شمال-1{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left({\frac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right)^{N-1}}

في شكل أحادي البعد، يمكن التعبير عن نموذج نورتون-هوف على النحو التالي:

σ=λ (ε˙vص)1/شمال{\displaystyle \sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\!\mathrm {vp} }\right)^{1/N}}

متىشمال=1.0{\displaystyle N=1.0}المادة الصلبة لزجة مرنة .

إذا افترضنا أن التدفق البلاستيكي متساوي الحجم (يحافظ على الحجم)، فيمكن التعبير عن العلاقة المذكورة أعلاه بالشكل الأكثر شيوعًا [ 21 ].

s=2ك (3ε˙هـq)م-1 ε˙vص{\displaystyle {\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }}

أينs{\displaystyle {\boldsymbol {s}}}هو موتر الإجهاد الانحرافي ،ε˙هـq{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }}هو معدل الإجهاد المكافئ لفون ميزس ، وك،م{\displaystyle K,m}هي معلمات مادية. ويُعرَّف معدل الإجهاد المكافئ على النحو التالي:

ϵ¯˙=23ϵ¯¯˙:ϵ¯¯˙{\displaystyle {\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}}

يمكن تطبيق هذه النماذج على المعادن والسبائك عند درجات حرارة أعلى من ثلثي درجة انصهارها المطلقة (بالكلفن) [ 21 ] ، وعلى البوليمرات/الأسفلت عند درجات حرارة مرتفعة. يوضح الشكل 6 استجابات اختبارات التصلب الإجهادي والزحف والاسترخاء لهذه المواد.

الشكل 6: استجابة مادة صلبة لزجة مرنة تمامًا لاختبارات التصلب والزحف والاسترخاء

مادة صلبة مرنة تمامًا ذات لزوجة مثالية (نموذج بينغهام-نورتون)

الشكل 7. المادة المرنة ذات اللزوجة البلاستيكية المثالية.

يمكن استخدام نوعين من الطرق الأساسية لبناء نموذج مرن-لزج-بلاستيكي مثالي. في الحالة الأولى، يُرتب عنصر الاحتكاك الانزلاقي والمخمد بشكل متوازٍ، ثم يُوصلان على التوالي بالنابض المرن كما هو موضح في الشكل 7. يُسمى هذا النموذج نموذج بينغهام-ماكسويل (قياسًا على نموذجي ماكسويل وبينغهام ) أو نموذج بينغهام-نورتون . [ 22 ] في الحالة الثانية، تُرتب العناصر الثلاثة جميعها بشكل متوازٍ. يُسمى هذا النموذج نموذج بينغهام-كلفن قياسًا على نموذج كلفن .

بالنسبة للمواد المرنة اللزجة اللدنة المثالية، لا يُعتبر الانفعال المرن مهملاً، بل إن معدل الانفعال اللدن يعتمد فقط على إجهاد الخضوع الأولي، ولا يوجد تأثير للتصلب. يمثل العنصر المنزلق إجهاد خضوع ثابتًا عند تجاوز حد المرونة بغض النظر عن الانفعال. يمكن التعبير عن النموذج كما يلي:

σ=هـ εوoر ‖σ‖<σyε˙=ε˙هـ+ε˙vص=هـ-1 σ˙+ση[1-σy‖σ‖]وoر ‖σ‖≥σy{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}

أينη{\displaystyle \eta }تمثل لزوجة عنصر المخمد. إذا كان لعنصر المخمد استجابة من نوع نورتون

ση=σλ[‖σ‖λ]شمال-1{\displaystyle {\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}}

نحصل على نموذج بينغهام-نورتون

ε˙=هـ-1 σ˙+σλ[‖σ‖λ]شمال-1[1-σy‖σ‖]وoر ‖σ‖≥σy{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}

يمكن أيضًا ملاحظة تعابير أخرى لمعدل الإجهاد في المراجع [ 22 ] بالصيغة العامة

ε˙=هـ-1 σ˙+و(σ،σy) σوoر ‖σ‖≥σy{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}

تظهر الاستجابات لاختبارات التصلب الإجهادي والزحف والاسترخاء لهذه المادة في الشكل 8.

الشكل 8. استجابة المادة الصلبة المرنة اللزجة تمامًا لاختبارات التصلب والزحف والاسترخاء.

مادة صلبة مرنة لزجة صلبة

تُوصَف المادة المرنة اللزجة اللدنة ذات التصلب الإجهادي بمعادلات مشابهة لتلك الخاصة بالمادة المرنة اللزجة اللدنة ذات اللدونة الكاملة. مع ذلك، في هذه الحالة، يعتمد الإجهاد على كلٍّ من معدل الانفعال اللدن والانفعال اللدن نفسه. بالنسبة للمادة المرنة اللزجة اللدنة، يستمر الإجهاد، بعد تجاوز إجهاد الخضوع، في الازدياد بعد نقطة الخضوع الأولية. هذا يعني أن إجهاد الخضوع في العنصر المنزلق يزداد مع الانفعال، ويمكن التعبير عن النموذج بعبارات عامة كما يلي:

ε=εهـ=هـ-1 σ= εوoر ‖σ‖<σyε˙=ε˙هـ+ε˙vص=هـ-1 σ˙+و(σ،σy،εvص) σوoر ‖σ‖≥σy{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}

يُستخدم هذا النموذج عندما تكون المعادن والسبائك في درجات حرارة متوسطة وعالية، والخشب تحت أحمال عالية. يوضح الشكل 9 استجابات اختبارات التصلب الإجهادي والزحف والاسترخاء لمثل هذه المادة.

الشكل 9. استجابة المادة الصلبة المرنة اللزجة البلاستيكية لاختبارات التصلب والزحف والاسترخاء.

نماذج اللدونة المعتمدة على معدل الإجهاد

عادة ما يتم تصنيف نماذج اللزوجة البلاستيكية الظاهرية الكلاسيكية للإجهادات الصغيرة إلى نوعين: [ 3 ]

  • تركيبة بيرزينا
  • تركيبة دوفو-ليونز

تركيبة بيرزينا

في صيغة بيرزينا، يُفترض أن معدل الانفعال البلاستيكي يُعطى بعلاقة تكوينية على النحو التالي:

ε˙vص=⟨و(σ،q)⟩τ∂و∂σ={و(σ،q)τ∂و∂σلو و(σ،q)>00خلاف ذلك{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\text{if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}

أينو(.،.){\displaystyle f(.,.)}هي دالة إنتاجية ،σ{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}هو إجهاد كوشي ،q{\displaystyle {\boldsymbol {q}}}هي مجموعة من المتغيرات الداخلية (مثل الإجهاد البلاستيكي)εvص{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }})τ{\displaystyle \tau }هو وقت للاسترخاء.⟨...⟩{\displaystyle \langle \dots \rangle }تشير إلى أقواس ماكولاي . قاعدة التدفق المستخدمة في مختلف إصدارات نموذج شابوش هي حالة خاصة من قاعدة تدفق بيرزينا [ 23 ] ولها الشكل التالي:

ε˙vص=⟨وو0⟩نعلامة⁡(σ-χ){\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}\operatorname {sgn}({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})}

أينو0{\displaystyle f_{0}}هي القيمة شبه الساكنة لـو{\displaystyle f} وχ{\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}}هو تمرين لتقوية عضلات الظهر . وتُعرف العديد من نماذج تمارين تقوية عضلات الظهر أيضاً باسم نموذج شابوش .

تركيبة دوفو-ليونز

تُعادل تركيبة دوفو-ليونز تركيبة بيرزينا، ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:

ε˙vص={ج-1:σ-Pστلو و(σ،q)>00خلاف ذلك{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\text{if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

أينج{\displaystyle {\mathsf {C}}}هو موتر الصلابة المرنة،Pσ{\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}هي أقرب إسقاط نقطي لحالة الإجهاد على حدود المنطقة التي تحد جميع حالات الإجهاد المرن الممكنة. الكميةPσ{\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}يتم إيجادها عادة من الحل غير المعتمد على المعدل لمسألة اللدونة.

نماذج إجهاد التدفق

الكميةو(σ،q){\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}يمثل تطور سطح الخضوع . دالة الخضوعو{\displaystyle f}غالبًا ما يُعبَّر عنها بمعادلة تتكون من ثابت للإجهاد ونموذج لإجهاد الخضوع (أو إجهاد التدفق اللدن ). ومن الأمثلة على ذلك معادلة فون ميزس أوج2{\displaystyle J_{2}}اللدونة. في هذه الحالات، يُحسب معدل الانفعال اللدن بنفس طريقة حسابه في اللدونة غير المعتمدة على المعدل. أما في الحالات الأخرى، فيوفر نموذج إجهاد الخضوع وسيلة مباشرة لحساب معدل الانفعال اللدن.

تُستخدم العديد من نماذج إجهاد التدفق التجريبية وشبه التجريبية في حسابات اللدونة. فيما يلي نماذج تعتمد على درجة الحرارة ومعدل الإجهاد، تُقدم عينة من النماذج المستخدمة حاليًا:

  1. نموذج جونسون-كوك
  2. نموذج شتاينبرغ-كوكران-غينان-لوند.
  3. نموذج زيريللي-أرمسترونغ.
  4. نموذج إجهاد العتبة الميكانيكية.
  5. نموذج بريستون-تونكس-والاس.

يُعدّ نموذج جونسون-كوك (JC) [ 24 ] نموذجًا تجريبيًا بحتًا، وهو الأكثر استخدامًا من بين النماذج الخمسة. مع ذلك، يُظهر هذا النموذج اعتمادًا ضئيلًا غير واقعي على معدل الإجهاد عند درجات الحرارة العالية. أما نموذج شتاينبرغ-كوكران-غينان-لوند (SCGL) [ 25 ] [ 26 ] فهو نموذج شبه تجريبي، تجريبي بحت، ولا يتأثر بمعدل الإجهاد عند معدلات الإجهاد العالية. ويُستخدم امتداد قائم على الانخلاعات، استنادًا إلى [ 27 ] ، عند معدلات الإجهاد المنخفضة. ويُستخدم نموذج SCGL على نطاق واسع في أوساط فيزياء الصدمات. أما نموذج زيريللي-أرمسترونغ (ZA) [ 28 ] فهو نموذج بسيط قائم على أسس فيزيائية، وقد استُخدم على نطاق واسع. بينما يُعدّ نموذج إجهاد العتبة الميكانيكية (MTS) نموذجًا أكثر تعقيدًا، قائمًا على أفكار من ديناميكيات الانخلاعات. [ 29 ] استُخدم هذا النموذج لمحاكاة التشوه اللدن للنحاس والتنتالوم ، [ 30 ] وسبائك الصلب، [ 31 ] [ 32 ] وسبائك الألومنيوم. [ 33 ] مع ذلك، يقتصر نموذج MTS على معدلات إجهاد أقل من 10⁷ / ثانية تقريبًا. يعتمد نموذج بريستون-تونكس-والاس (PTW) [ 34 ] أيضًا على أسس فيزيائية، وله شكل مشابه لنموذج MTS. إلا أن نموذج PTW يحتوي على مكونات قادرة على محاكاة التشوه اللدن في نظام الصدمة المفرطة (معدلات إجهاد أكبر من 10⁷ / ثانية). لذا، يُعد هذا النموذج صالحًا لأوسع نطاق من معدلات الإجهاد بين نماذج إجهاد التدفق الخمسة.

نموذج جونسون-كوك لإجهاد التدفق

يُعد نموذج جونسون-كوك (JC) [ 24 ] نموذجًا تجريبيًا بحتًا، ويعطي العلاقة التالية لإجهاد التدفق (σy{\displaystyle \sigma _{y}})

(1)σy(εص،ε˙ص،تي)=[أ+ب(εص)ن][1+جln⁡ε˙ص*][1-(تي*)م]{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}},T)=\left[A+B\left(\varepsilon _{\text{p}}\right)^{n}\right]\left[1+C\ln {\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}^{*}\right]\left[1-(T^{*})^{m}\right]}

أينεص{\displaystyle \varepsilon _{\text{p}}}هو الإجهاد البلاستيكي المكافئ ،ε˙ص{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}هو معدل الانفعال البلاستيكي ، وأ،ب،ج،ن،م{\displaystyle A,B,C,n,m}هي ثوابت مادية.

يُعرَّف معدل الإجهاد ودرجة الحرارة المعياريان في المعادلة (1) على النحو التالي:

ε˙ص*:=ε˙صε˙p0وتي*:=تي-تي0تيم-تي0{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}^{*}:={\frac {{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}}{{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p0}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad T^{*}:={\frac {T-T_{0}}{T_{m}-T_{0}}}}

أينε˙p0{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p0}}}معدل الانفعال البلاستيكي الفعال لاختبار شبه السكون المستخدم لتحديد معلمات الخضوع والتصلب A وB وn. وهذا ليس مجرد معلمة كما يُعتقد غالبًا.ε˙ص*{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}^{*}}غير بُعدي. [ 35 ]تي0{\displaystyle T_{0}}هي درجة حرارة مرجعية، وتيم{\displaystyle T_{m}}هي درجة حرارة انصهار مرجعية . في الظروف التيتي*<0{\displaystyle T^{*}<0}، نفترض أنم=1{\displaystyle m=1}.

نموذج إجهاد التدفق ستاينبرغ-كوكران-غينان-لوند

يُعدّ نموذج شتاينبرغ-كوكران-غينان-لوند (SCGL) نموذجًا شبه تجريبي طوّره شتاينبرغ وآخرون [ 25 ] لحالات معدلات الإجهاد العالية، ثمّ وسّعاه شتاينبرغ ولوند [26] ليشمل معدلات الإجهاد المنخفضة والمواد ذات البنية المكعبة المتمركزة في الجسم (bcc). ويُعطى إجهاد التدفق في هذا النموذج بالعلاقة التالية:

(2)σy(εص،ε˙ص،تي)=[σأو(εص)+σت(ε˙ص،تي)]μ(ص،تي)μ0؛σأو≤σالأعلى  و  σت≤σص{\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}},T)=\left[\sigma _{a}f(\varepsilon _{\text{p}})+\sigma _{t}({\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}},T)\right]{\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}};\quad \sigma _{a}f\leq \sigma _{\text{max}}~~{\text{and}}~~\sigma _{t}\leq \sigma _{p}}

أينσأ{\displaystyle \sigma _{a}}هو المكون غير الحراري لإجهاد التدفق،و(εص){\displaystyle f(\varepsilon _{\text{p}})}هي دالة تمثل تصلب الإجهاد،σت{\displaystyle \sigma _{t}}هو المكون المنشط حرارياً لإجهاد التدفق،μ(ص،تي){\displaystyle \mu (p,T)}هو معامل القص الذي يعتمد على الضغط ودرجة الحرارة، وμ0{\displaystyle \mu _{0}}يمثل معامل القص عند درجة الحرارة والضغط القياسيين . قيمة التشبع للإجهاد غير الحراري هيσالأعلى{\displaystyle \sigma _{\text{max}}}إجهاد بايرلز هو تشبع الإجهاد المنشط حرارياً (σص{\displaystyle \sigma _{p}}). يتم حساب معامل القص لهذا النموذج عادةً باستخدام نموذج معامل القص Steinberg–Cochran–Guinan .

دالة تصلب الإجهاد (و{\displaystyle f}) له الشكل

و(εص)=[1+β(εص+εصأنا)]ن{\displaystyle f(\varepsilon _{\text{p}})=[1+\beta (\varepsilon _{\text{p}}+\varepsilon _{\text{p}}i)]^{n}}

أينβ،ن{\displaystyle \beta ,n}هي معلمات التصلب بالتشكيل، وεصأنا{\displaystyle \varepsilon _{\text{p}}i}هو الإجهاد البلاستيكي المكافئ الأولي.

المكون الحراري (σت{\displaystyle \sigma _{t}}يتم حساب ) باستخدام خوارزمية التنصيف من المعادلة التالية. [ 26 ] [ 27 ]

ε˙ص=[1ج1خبرة⁡[2يوككبتي(1-σتσص)2]+ج2σت]-1؛σت≤σص{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}=\left[{\frac {1}{C_{1}}}\exp \left[{\frac {2U_{k}}{k_{\text{B}}T}}\left(1-{\frac {\sigma _{t}}{\sigma _{p}}}\right)^{2}\right]+{\frac {C_{2}}{\sigma _{t}}}\right]^{-1};\quad \sigma _{t}\leq \sigma _{p}}

أين2يوك{\displaystyle 2U_{k}}الطاقة اللازمة لتكوين زوج من الانحناءات في جزء من الخلع بطوللد{\displaystyle L_{d}}،كب{\displaystyle k_{b}}هو ثابت بولتزمان ،σص{\displaystyle \sigma _{p}}هو إجهاد بايرلز . الثوابتج1،ج2{\displaystyle C_{1},C_{2}}يتم تحديدها من خلال العلاقات

ج1:=ρدلدأب2ν2w2؛ج2:=دρدب2{\displaystyle C_{1}:={\frac {\rho _{d}L_{d}ab^{2}\nu }{2w^{2}}};\quad C_{2}:={\frac {D}{\rho _{d}b^{2}}}}

أينρد{\displaystyle \rho _{d}}هي كثافة الانخلاعات ،لد{\displaystyle L_{d}}هو طول جزء الخلع،أ{\displaystyle a}هي المسافة بين وديان بيرلز ،ب{\displaystyle b}يمثل مقدار متجه برجر ،ν{\displaystyle \nu }هو تردد ديباي ،w{\displaystyle w}هو عرض حلقة الانحناء ، ود{\displaystyle D}هو معامل السحب .

نموذج إجهاد التدفق لزيريلي-أرمسترونغ

يعتمد نموذج زيريللي-أرمسترونغ (ZA) [ 28 ] [ 36 ] [ 37 ] على ميكانيكا الخلع المبسطة. والصيغة العامة لمعادلة إجهاد التدفق هي

(3)σy(εص،ε˙ص،تي)=σأ+بخبرة⁡(-βتي)+ب0εصخبرة⁡(-αتي) .{\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}},T)=\sigma _{a}+B\exp(-\beta T)+B_{0}{\sqrt {\varepsilon _{\text{p}}}}\exp(-\alpha T)~.} في هذا النموذج،σأ{\displaystyle \sigma _{a}}يمثل المكون غير الحراري لإجهاد التدفق المعطى بواسطة

σأ:=σز+كحℓ+كεصن،{\displaystyle \sigma _{a}:=\sigma _{g}+{\frac {k_{h}}{\sqrt {\ell }}}+K\varepsilon _{\text{p}}^{n},}

أينσز{\displaystyle \sigma _{g}}وهي المساهمة الناتجة عن المواد المذابة وكثافة الخلع الأولية،كح{\displaystyle k_{h}}هي شدة الإجهاد الميكروي،ℓ{\displaystyle \ell }هو متوسط ​​قطر الحبيبات،ك{\displaystyle K}يساوي صفرًا بالنسبة للمواد ذات التركيب البلوري المتمركز على الوجوه (fcc).ب،ب0{\displaystyle B,B_{0}}هي ثوابت مادية.

في المصطلحات المنشطة حرارياً، تكون الصيغ الوظيفية للأسسα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }نكون

α=α0-α1ln⁡(ε˙ص)؛β=β0-β1ln⁡(ε˙ص)؛{\displaystyle \alpha =\alpha _{0}-\alpha _{1}\ln({\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}});\quad \beta =\beta _{0}-\beta _{1}\ln({\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}});}

أينα0،α1،β0،β1{\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}}هي معلمات مادية تعتمد على نوع المادة (مكعب مركزي الوجوه، مكعب مركزي الجسم، سداسي متراص، سبائك). وقد تم تعديل نموذج زيريللي-أرمسترونغ بواسطة [ 38 ] لتحسين الأداء عند درجات الحرارة العالية.

نموذج إجهاد التدفق الميكانيكي العتبة

يأخذ نموذج إجهاد العتبة الميكانيكية (MTS) [ 29 ] [ 39 ] [ 40 ] الشكل التالي

(4)σy(εص،ε˙،تي)=σأ+(Sأناσأنا+Sهـσهـ)μ(ص،تي)μ0{\displaystyle {\text{(4)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }},T)=\sigma _{a}+(S_{i}\sigma _{i}+S_{e}\sigma _{e}){\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}}}

أينσأ{\displaystyle \sigma _{a}}هو المكون غير الحراري للإجهاد الميكانيكي العتبة،σأنا{\displaystyle \sigma _{i}}يمثل هذا المكون من إجهاد التدفق الناتج عن الحواجز الجوهرية لحركة الخلع المنشطة حرارياً وتفاعلات الخلع مع الخلع،σهـ{\displaystyle \sigma _{e}}يمثل هذا المكون من إجهاد التدفق الناتج عن تطور البنية المجهرية مع زيادة التشوه (تصلب الإجهاد)، (Sأنا،Sهـ{\displaystyle S_{i},S_{e}}) هي عوامل قياس تعتمد على درجة الحرارة ومعدل الإجهاد، و μ0{\displaystyle \mu _{0}}يمثل معامل القص عند درجة حرارة 0 كلفن والضغط المحيط .

تأخذ عوامل القياس شكل أرهينيوس

Sأنا=[1-(كبتيز0أناب3μ(ص،تي)ln⁡ε˙0ε˙)1/qأنا]1/صأناSهـ=[1-(كبتيز0هـب3μ(ص،تي)ln⁡ε˙0ε˙)1/qهـ]1/صهـ{\displaystyle {\begin{aligned}S_{i}&=\left[1-\left({\frac {k_{\text{B}}T}{g_{0i}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {{\dot {\varepsilon }}_{\!0}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{i}}\right]^{1/p_{i}}\\S_{e}&=\left[1-\left({\frac {k_{\text{B}}T}{g_{0e}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {{\dot {\varepsilon }}_{\!0}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{e}}\right]^{1/p_{e}}\end{aligned}}}

أينكب{\displaystyle k_{b}}هو ثابت بولتزمان،ب{\displaystyle b}يمثل مقدار متجه برجر، (ز0أنا،ز0هـ{\displaystyle g_{0i},g_{0e}}) هي طاقات التنشيط المعيارية، (ε˙،ε˙0{\displaystyle {\dot {\varepsilon }},{\dot {\varepsilon }}_{0}}) هما معدل الإجهاد ومعدل الإجهاد المرجعي، و (qأنا،صأنا،qهـ،صهـ{\displaystyle q_{i},p_{i},q_{e},p_{e}}) هي ثوابت.

مكون تصلب الإجهاد في إجهاد العتبة الميكانيكية (σهـ{\displaystyle \sigma _{e}}يُعطى ) بواسطة قانون فوس التجريبي المعدل

(5)دσهـدεص=θ(σهـ){\displaystyle {\text{(5)}}\qquad {\frac {d\sigma _{e}}{d\varepsilon _{\text{p}}}}=\theta (\sigma _{e})}

أين

θ(σهـ)=θ0[1-F(σهـ)]+θأناVF(σهـ)θ0=أ0+أ1ln⁡ε˙ص+أ2ε˙ص-أ3تيF(σهـ)=tanh⁡(ασهـσهـs)tanh⁡(α)ln⁡σهـsσ0هـs=كبتيز0هـsب3μ(ص،تي)ln⁡ε˙صε˙ص{\displaystyle {\begin{aligned}\theta (\sigma _{e})&=\theta _{0}[1-F(\sigma _{e})]+\theta _{IV}F(\sigma _{e})\\\theta _{0}&=a_{0}+a_{1}\ln {\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}+a_{2}{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}}}-a_{3}T\\F(\sigma _{e})&={\cfrac {\tanh \left(\alpha {\frac {\sigma _{e}}{\sigma _{es}}}\right)}{\tanh(\alpha )}}\\\ln {\cfrac {\sigma _{es}}{\sigma _{0es}}}&={\frac {k_{\text{B}}T}{g_{0es}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\cfrac {{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}}{{\dot {\varepsilon }}_{\!{\text{p}}}}}\end{aligned}}}

وθ0{\displaystyle \theta _{0}}التصلب ناتج عن تراكم الانخلاعات،θأناV{\displaystyle \theta _{IV}}وتعود المساهمة إلى مرحلة التصلب الرابعة، (أ0،أ1،أ2،أ3،α{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\alpha }) هي ثوابت،σهـs{\displaystyle \sigma _{es}}يمثل الإجهاد عند معدل تصلب إجهادي صفري،σ0هـs{\displaystyle \sigma _{0es}}يمثل إجهاد عتبة التشبع للتشوه عند  درجة حرارة 0 كلفن،ز0هـs{\displaystyle g_{0es}}ثابت، وε˙ص{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}يمثل معدل الإجهاد الأقصى. لاحظ أن معدل الإجهاد الأقصى عادةً ما يكون محدودًا بحوالي107{\displaystyle 10^{7}}/s.

نموذج إجهاد التدفق لبرستون-تونكس-والاس

يحاول نموذج بريستون-تونكس-والاس (PTW) [ 34 ] توفير نموذج لإجهاد التدفق عند معدلات إجهاد قصوى (تصل إلى 10¹¹ ثانية⁻¹ ) ودرجات حرارة تصل إلى درجة الانصهار. ويستخدم النموذج قانون تصلب فوس الخطي. ويُعطى إجهاد التدفق في نموذج PTW بالعلاقة التالية:

(6)σy(εص،ε˙ص،تي)={2[τs+αln⁡[1-φخبرة⁡(-β-θεصαφ)]]μ(ص،تي)النظام الحراري2τsμ(ص،تي)نظام الصدمة{\displaystyle {\text{(6)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\text{p}},{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}},T)={\begin{cases}2\left[\tau _{s}+\alpha \ln \left[1-\varphi \exp \left(-\beta -{\cfrac {\theta \varepsilon _{\text{p}}}{\alpha \varphi }}\right)\right]\right]\mu (p,T)&{\text{thermal regime}}\\2\tau _{s}\mu (p,T)&{\text{shock regime}}\end{cases}}}

مع

α:=s0-τyد؛β:=τs-τyα؛φ:=خبرة⁡(β)-1{\displaystyle \alpha :={\frac {s_{0}-\tau _{y}}{d}};\quad \beta  :={\frac {\tau _{s}-\tau _{y}}{\alpha }};\quad \varphi  :=\exp(\beta )-1}

أينτs{\displaystyle \tau _{s}}هو إجهاد تشبع التصلب الناتج عن العمل المعياري،s0{\displaystyle s_{0}}قيمةτs{\displaystyle \tau _{s}}عند 0 كلفن،τy{\displaystyle \tau _{y}}يمثل إجهاد الخضوع المعياري،θ{\displaystyle \theta }يمثل ثابت التصلب في قانون فوس للتصلب، ود{\displaystyle d}هو معامل مادي لا بعدي يقوم بتعديل قانون تصلب فوس.

يُعطى إجهاد التشبع وإجهاد الخضوع بالعلاقة التالية

τs=الأعلى{s0-(s0-s∞)قطعة أرض[κتي^ln⁡γξ˙ε˙ص]،s0(ε˙صγξ˙)s1}τy=الأعلى{y0-(y0-y∞)قطعة أرض[κتي^ln⁡γξ˙ε˙ص]،مين{y1(ε˙صγξ˙)y2،s0(ε˙صγξ˙)s1}}{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{s}&=\max \left\{s_{0}-(s_{0}-s_{\infty }){\text{erf}}\left[\kappa {\hat {T}}\ln {\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}}\right],\,s_{0}\left({\cfrac {{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}\\\tau _{y}&=\max \left\{y_{0}-(y_{0}-y_{\infty }){\text{erf}}\left[\kappa {\hat {T}}\ln {\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}}\right],\,\min \left\{y_{1}\left({\cfrac {{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{y_{2}},\,s_{0}\left({\cfrac {{\dot {\varepsilon }}_{\text{p}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}\right\}\end{aligned}}}

أينs∞{\displaystyle s_{\infty }}قيمةτs{\displaystyle \tau _{s}}قريبة من درجة حرارة الانصهار، (y0،y∞{\displaystyle y_{0},y_{\infty }}) هي قيمτy{\displaystyle \tau _{y}}عند درجة حرارة صفر كلفن وقريبة من درجة الانصهار، على التوالي،(κ،γ){\displaystyle (\kappa ,\gamma )}هي ثوابت مادية،تي^=تي/تيم{\displaystyle {\hat {T}}=T/T_{m}}، (s1،y1،y2{\displaystyle s_{1},y_{1},y_{2}}) هي معلمات مادية لنظام معدل الإجهاد العالي، و

ξ˙=12(4πρ3م)1/3(μ(ص،تي)ρ)1/2{\displaystyle {\dot {\xi }}={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {4\pi \rho }{3M}}\right)^{1/3}\left({\cfrac {\mu (p,T)}{\rho }}\right)^{1/2}}

أينρ{\displaystyle \rho }الكثافة، وم{\displaystyle M}الكتلة الذرية .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيرزينا، ب . (1966)، "المشاكل الأساسية في اللزوجة المرنة"، التقدم في الميكانيكا التطبيقية ، 9 (2): 244-368
  2. ↑ لومتر، ج. وشابوش، ج. ل. (2002)، ميكانيكا المواد الصلبة ، مطبعة جامعة كامبريدج
  3. 1 2 3 4 سيمو، جيه سي وهيوز، تي جيه آر (1998)، عدم المرونة الحسابية
  4. ↑ باترا، آر سي وكيم، سي إتش (1990)، "تأثير قواعد التدفق اللزج المرن على بدء ونمو نطاقات القص عند معدلات إجهاد عالية"، مجلة ميكانيكا وفيزياء المواد الصلبة ، 38 (6): 859-874 ، رمز Bibcode : 1990JMPSo..38..859B ، doi : 10.1016/0022-5096(90)90043-4
  5. ^ Tresca، H. (1864)، “Sur l'écoulement des Corps Solides soumis à des fortes pressions”، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris (بالفرنسية)، 59 : 754– 756
  6. ^ Levy، M. (1871)، “Extrait du mémoire sur lesequalities des générales des mouvements intérieures des corps Solides ductiles au dela des Limites ou l’élasticité pourrait les ramener à leur Premier état”، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (بالفرنسية)، 16 : 369 – 372
  7. ↑ كوجيك، م. وبات، ك. ج. (2006)، التحليل غير المرن للمواد الصلبة والهياكل ، إلسيفير
  8. ^ von Mises، R. ( 1913)، “Mechanik der festen Körper im plastisch defomablen Zustand”، Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، Mathematisch-Physikalische Klasse (بالألمانية): 582–592
  9. 1 2 3 بيتن، ج. (2005)، ميكانيكا الزحف ( الطبعة الثانية)، سبرينغر 
  10. ↑ نورتون، إف إتش (1929)، زحف الفولاذ عند درجات الحرارة العالية ، نيويورك: ماكجرو هيل
  11. ↑ أودكفيست، إف كيه جي (1934)، "إجهادات الزحف في قرص دوار"، وقائع المؤتمر الدولي الرابع للميكانيكا التطبيقية ، كامبريدج: 228
  12. ↑ براندتل، ل. (1924)، وقائع المؤتمر الدولي الأول للميكانيكا التطبيقية، دلفت
  13. ^ Reuss، A. (1930)، “Berücksichtigung der elastischen Formänderung in der Plastizitätstheorie”، Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (في المانيا)، 10 (3): 266–274 ، بيب كود : 1930ZaMM...10..266R ، دوى : 10.1002/زام.19300100308
  14. ↑ هوهينمسر، ك. وبراغر، و. (1932)، "المعادلات والتعريفات الأساسية المتعلقة بميكانيكا الأوساط المتجانسة"، مجلة علم الريولوجيا ، 3 (1): 16، Bibcode : 1932JRheo...3...16H ، doi : 10.1122/1.2116434
  15. ↑ بينغهام، إي سي (1922)، السيولة واللدونة ، نيويورك: ماكجرو هيل
  16. ↑ هوف، محرر (1962)، ندوة الاتحاد الدولي للميكانيكا النظرية والتطبيقية حول الزحف في الهياكل؛ الطبعة الأولى ، ستانفورد: سبرينغر
  17. ↑ لوبلينر، ج. (1990)، نظرية اللدونة ، نيويورك: ماكميلان
  18. ↑ يونغ؛ مايندنس؛ غراي؛ وبنتور (1998)، علم وتكنولوجيا مواد الهندسة المدنية ، نيو جيرسي: برنتيس هول
  19. ↑ فرانسوا، د.؛ بينو، أ.؛ وزاوي، أ. (1993)، السلوك الميكانيكي للمواد ، المجلد الثاني: اللزوجة المرنة، والتلف، والكسر، وميكانيكا التلامس، كلوير أكاديميك 
  20. ↑ كريستيسكو، ن. وجيودا، ج. (1994)، السلوك اللزج المرن للمواد الجيولوجية ، المركز الدولي للعلوم الميكانيكية
  21. 1 2 راباز، م.؛ بيليه، م.؛ وديفيل، م. (1998)، النمذجة العددية في علوم وهندسة المواد ، سبرينغر
  22. 1 2 إيرغنز، ف. (2008)، ميكانيكا الأوساط المتصلة ، سبرينغر
  23. ↑ لوبلينر، جاكوب (1990)، نظرية اللدونة ، ماكميلان، ISBN 978-0-02-372161-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 ديسمبر 2012
  24. 1 2 جونسون، جي آر وكوك، دبليو إتش (1983)، "نموذج تكويني وبيانات للمعادن المعرضة لإجهادات كبيرة ومعدلات إجهاد عالية" (ملف PDF) ، وقائع الندوة الدولية السابعة حول المقذوفات : 541-547 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 2016-08-04 ، تم استرجاعه في 2009-05-13
  25. 1 2 شتاينبرغ، دي جيه؛ كوكران، إس جي؛ وغينان، إم دبليو (1980)، "نموذج بنيوي للمعادن قابل للتطبيق عند معدل إجهاد عالٍ"، مجلة الفيزياء التطبيقية ، 51 (3): 1498، Bibcode : 1980JAP....51.1498S ، doi : 10.1063/1.327799
  26. 1 2 3 شتاينبرغ، دي جيه ولوند، سي إم (1988)، "نموذج تكويني لمعدلات الإجهاد من 10⁻⁴ إلى 10⁶ ثانية⁻¹ " ، مجلة الفيزياء. الندوات ، 49 ( 3): 3 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-05-2009
  27. 1 2 هوج، ك.ج. وموخرجي، أ.ك. (1977)، "تأثير درجة الحرارة ومعدل الإجهاد على إجهاد التدفق للتنتالوم"، مجلة علوم المواد ، 12 (8): 1666-1672 ، Bibcode : 1977JMatS..12.1666H ، doi : 10.1007/BF00542818 ، S2CID 136966107 
  28. 1 2 زيريلي، إف جيه وأرمسترونج، آر دبليو (1987)، "العلاقات التكوينية القائمة على ميكانيكا الخلع لحسابات ديناميكيات المواد" ، مجلة الفيزياء التطبيقية ، 61 (5): 1816، Bibcode : 1987JAP....61.1816Z ، doi : 10.1063/1.338024
  29. 1 2 فولانسبي، بي إس وكوكس، يو إف (1988)، "وصف بنيوي لتشوه النحاس بناءً على استخدام العتبة الميكانيكية" ، أكتا ميتالورجيكا ، 36 (1): 81-93 ، doi : 10.1016/0001-6160(88)90030-2
  30. ↑ تشين، إس آر وغراي، جي تي (1996)، "السلوك البنيوي للتنتالوم وسبائك التنتالوم-التنغستن" ، مجلة المعادن والمواد، الجزء أ ، 27 (10): 2994-3006 ، رمز Bibcode : 1996MMTA...27.2994C ، doi : 10.1007/BF02663849 ، S2CID 136695336 
  31. ↑ غوتو، د.م.؛ غاريت، ر.ك.؛ بينغرت، ج.ف.؛ تشين، س.ر.؛ وغراي، ج.ت. (2000)، "وصف نموذج قوة التكوين لإجهاد العتبة الميكانيكية لصلب HY-100"، مجلة المعاملات المعدنية والمواد أ ، 31 (8): 1985-1996 ، رمز Bibcode : 2000MMTA...31.1985G ، doi : 10.1007/s11661-000-0226-8 ، S2CID 136118687 
  32. ↑ بانيرجي، ب. (2007)، "نموذج إجهاد العتبة الميكانيكية لدرجات حرارة مختلفة من فولاذ AISI 4340"، المجلة الدولية للمواد الصلبة والهياكل ، 44 ( 3-4 ): 834-859 ، arXiv : cond-mat/0510330 ، doi : 10.1016/j.ijsolstr.2006.05.022 ، S2CID 2166303 
  33. ↑ بوتشي-كابريرا، إي إس؛ فيلالوبوس-غوتيريز، سي؛ وكاسترو-فاريناس، جي (2001)، "حول إجهاد العتبة الميكانيكية للألمنيوم: تأثير محتوى السبائك"، مجلة هندسة المواد والتكنولوجيا ، 123 (2): 155، doi : 10.1115/1.1354990
  34. 1 2 بريستون، دي إل؛ تونكس، دي إل؛ ووالاس، دي سي (2003)، "نموذج التشوه اللدن لظروف التحميل القصوى" ، مجلة الفيزياء التطبيقية ، 93 (1): 211-220 ، Bibcode : 2003JAP....93..211P ، doi : 10.1063/1.1524706
  35. ^ شوير http://www.dynalook.com/european-conf-2007/اختياري-strain -rate-forms-for-the-johnson-cook.pdf
  36. ↑ زيريللي، إف جيه وأرمسترونج، آر دبليو (1994)، "العلاقات التكوينية للتشوه اللدن للمعادن"، وقائع مؤتمر AIP ، 309 (1): 989-992 ، Bibcode : 1994AIPC..309..989Z ، doi : 10.1063/1.46201
  37. ↑ زيريللي، إف جيه (2004)، "معادلات تأسيسية قائمة على ميكانيكا الخلع" ، مجلة المعادن والمواد، الجزء أ ، 35 (9): 2547-2555 ، doi : 10.1007/s11661-004-0201-x ، S2CID 137397027 
  38. ↑ عابد، ف.ح. وفويادجيس، ج.ز. (2005)، "نموذج زيريلي-أرمسترونغ المعدل والمتسق لإجهاد التدفق للمعادن ذات البنية المكعبة المتمركزة في الجسم (BCC) والمكعبة المتمركزة في الوجه (FCC) عند درجات حرارة مرتفعة"، أكتا ميكانيكا ، 175 (1): 1-18 ، doi : 10.1007/s00707-004-0203-1 ، S2CID 121579147 
  39. ↑ غوتو، د.م.؛ بينجرت، ج.ف.؛ ريد، و.ر.؛ وغاريت الابن، ر.ك. (2000)، "نمذجة قوة MTS التكوينية المصححة للتباين في فولاذ HY-100" ، سكريبت ماتيرياليا ، 42 (12): 1125-1131 ، doi : 10.1016/S1359-6462(00)00347-X
  40. ↑ كوكس، يو إف (2001)، "علاقات تكوينية واقعية لمرونة المعادن" ، علم وهندسة المواد: أ ، 317 ( 1-2 ): 181-187 ، doi : 10.1016/S0921-5093(01)01174-1