نظرية إعداد فايرستراس

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تعتبر نظرية إعداد فايرشتراس أداة للتعامل مع الدوال التحليلية لعدة متغيرات مركبة ، عند نقطة معينة P. وتنص على أن هذه الدالة، حتى الضرب بدالة لا تساوي الصفر عند P ، هي متعددة حدود في متغير ثابت واحد z ، وهي أحادية ، ومعاملات الحدود ذات الدرجة الأدنى هي دوال تحليلية في المتغيرات المتبقية وتساوي الصفر عند P.

توجد أيضًا عدة صيغ مختلفة للنظرية، تُوسّع فكرة التحليل إلى عوامل في حلقة R على النحو التالي: u · w ، حيث u عنصر محايد و w نوع من متعددات حدود فايرشتراس المميزة . وقد شكك كارل سيجل في نسبة النظرية إلى فايرشتراس ، قائلاً إنها وردت تحت هذا الاسم في بعض كتب التحليل الرياضي (Traités d'analyse) التي نُشرت في أواخر القرن التاسع عشر دون أي تبرير.

الدوال التحليلية المعقدة

بالنسبة لمتغير واحد، يكون الشكل المحلي للدالة التحليلية f ( z ) بالقرب من الصفر هو zkh ( z )، حيث h ( 0) لا يساوي صفرًا، و k هو رتبة صفر f عند الصفر. هذه هي النتيجة التي تعممها نظرية التحضير. نختار متغيرًا واحدًا z ، والذي يمكننا افتراض أنه الأول، ونكتب متغيراتنا المركبة على الصورة ( z₁ , z₂ , ... , zₙ ) . متعددة حدود فايرشتراس W ( z ) هي

z k + g k − 1 z k − 1 + ... + g 0

حيث أن g i ( z 2 , ..., z n ) تحليلية و g i (0, ..., 0) = 0.

ثم تنص النظرية على أنه بالنسبة للدوال التحليلية f ، إذا

f (0, ...,0) = 0,

و

f ( z , z 2 , ..., z n )

بما أن متسلسلة القوى تحتوي على حد يتضمن z فقط ، يمكننا كتابة (محليًا بالقرب من (0، ...، 0))

f(z, z2, ..., zn) = W(z)h(z, z2, ..., zn)

with h analytic and h(0, ..., 0) not 0, and W a Weierstrass polynomial.

This has the immediate consequence that the set of zeros of f, near (0, ..., 0), can be found by fixing any small values of z2, ..., zn and then solving the equation W(z)=0. The corresponding values of z form a number of continuously-varying branches, in number equal to the degree of W in z. In particular f cannot have an isolated zero.

Division theorem

A related result is the Weierstrass division theorem, which states that if f and g are analytic functions, and g is a Weierstrass polynomial of degree N, then there exists a unique pair h and j such that f = gh + j, where j is a polynomial of degree less than N. In fact, many authors prove the Weierstrass preparation as a corollary of the division theorem. It is also possible to prove the division theorem from the preparation theorem so that the two theorems are actually equivalent.[1]

Applications

The Weierstrass preparation theorem can be used to show that the ring of germs of analytic functions in n variables is a Noetherian ring, which is also referred to as the Rückert basis theorem.[2]

Smooth functions

There is a deeper preparation theorem for smooth functions, due to Bernard Malgrange, called the Malgrange preparation theorem. It also has an associated division theorem, named after John Mather.

Formal power series in complete local rings

There is an analogous result, also referred to as the Weierstrass preparation theorem, for the ring of formal power series over complete local ringsA:[3] for any power series f=∑n=0∞antn∈A[[t]]{\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\in A[[t]]} such that not all an{\displaystyle a_{n}} are in the maximal idealm{\displaystyle {\mathfrak {m}}} of A, there is a unique unitu in A[[t]]{\displaystyle A[[t]]}ومتعددة حدود F على الصورةF=تs+بs-1تs-1+⋯+ب0{\displaystyle F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}}معبأنا∈م{\displaystyle b_{i}\in {\mathfrak {m}}}(ما يسمى بكثير الحدود المميز) بحيث

و=uF.{\displaystyle f=uF.}

منذأ[[ت]]{\displaystyle A[[t]]}وهي مرة أخرى حلقة محلية كاملة، ويمكن تكرار النتيجة وبالتالي تعطي نتائج تحليل مماثلة لسلاسل القوى الرسمية في عدة متغيرات.

على سبيل المثال، ينطبق هذا على حلقة الأعداد الصحيحة في حقل p-adic . في هذه الحالة، تنص النظرية على أنه يمكن دائمًا تحليل متسلسلة القوى f ( z ) بشكل فريد إلى πn · u ( z ) · p ( z )، حيث u ( z ) عنصر محايد في حلقة متسلسلات القوى، و p ( z ) متعددة حدود مميزة (أحادية، بمعاملات الحدود غير الرئيسية في المثالي الأقصى)، وπ مُوَحِّد ثابت .

تطبيق نظرية التحضير والتقسيم لـ Weierstrass على الحلقةZص[[ت]]{\displaystyle \mathbf {Z} _{p}[[t]]}(يُطلق عليه أيضًا جبر إيواساوا ) يظهر في نظرية إيواساوا في وصف الوحدات المولدة نهائيًا على هذه الحلقة. [ 4 ]

توجد نسخة غير تبادلية من قسمة فايرشتراس وإعدادها، حيث تكون A حلقة غير تبادلية بالضرورة، مع استخدام متسلسلات القوى المنحرفة الرسمية بدلاً من متسلسلات القوى الرسمية. [ 5 ]

جبر تيت

توجد أيضًا نظرية تحضير فايرشتراس لجبر تيت.

تين(ك)={∑ν1،...،νن≥0أν1،...،νنX1ν1⋯Xنνن،|أν1،...،νن|→0 ل ν1+⋯+νن→∞}{\displaystyle T_{n}(k)=\left\{\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}\geq 0}a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},|a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}|\to 0{\text{ for }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\to \infty \right\}}

على حقل كامل غير أرخميدسي k . [ 6 ] تُعدّ هذه الجبريات اللبنات الأساسية للهندسة الصلبة . أحد تطبيقات هذا الشكل من نظرية تحضير فايرشتراس هو حقيقة أن الحلقاتتين(ك){\displaystyle T_{n}(k)}هم من النوثيريين .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ جراويرت، هانز . ريمرت، رينهولد (1971)، Analytische Stellenalgebren (في المانيا)، سبرينغر، ص.  43، دوى : 10.1007/978-3-642-65033-8 ، ISBN 978-3-642-65034-5
  2. ↑ إيبيلينغ، وولفغانغ (2007)، دوال لعدة متغيرات مركبة ونقاطها الشاذة ، الاقتراح 2.19: الجمعية الرياضية الأمريكية{{citation}}: CS1 maint: location ( link )
  3. ↑ نيكولاس بورباكي (1972)، الجبر التبادلي ، الفصل السابع، §3، رقم 9، القضية 6: هيرمان{{citation}}: CS1 maint: location ( link )
  4. ↑ لورانس واشنطن (1982)، مقدمة في الحقول الدائرية ، النظرية 13.12: سبرينغر{{citation}}: CS1 maint: location ( link )
  5. ↑ أوتمر فينجاكوب (2003). "نظرية تحضير فايرشتراس غير التبادلية وتطبيقاتها على نظرية إيواساوا" . مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية . 2003 (559): 153-191 . arXiv : math/0204358 . doi : 10.1515/crll.2003.047 . S2CID 14265629. تاريخ الاسترجاع: 27 يناير 2022 . النظرية 3.1، النتيجة 3.2
  6. ^ بوش، سيغفريد . جونتسر، أولريش. ريمرت ، رينهولد (1984)، تحليل غير أرشميدي ، الفصول 5.2.1 ، 5.2.2: سبرينغر{{citation}}: CS1 maint: location ( link )