سلسلة الطاقة المقيدة

في الجبر ، تُعرف حلقة متسلسلات القوى المقيدة بأنها حلقة فرعية من حلقة متسلسلات القوى الرسمية ، وتتكون من متسلسلات قوى تقترب معاملاتها من الصفر كلما اتجهت الدرجة إلى اللانهاية. ^{[ 1 ]} وعلى حقل كامل غير أرخميدسي ، تُسمى هذه الحلقة أيضًا جبر تيت . تُستخدم حلقات القسمة لهذه الحلقة في دراسة الفضاء الجبري الرسمي ، وكذلك في التحليل الجامد ، لا سيما على الحقول الكاملة غير الأرخميدية.

على حلقة طوبولوجية منفصلة ، ​​تتطابق حلقة متسلسلات القوى المقيدة مع حلقة متعددة الحدود ؛ وبالتالي، بهذا المعنى، فإن مفهوم "متسلسلات القوى المقيدة" هو تعميم لمتعدد الحدود .

ليكن A حلقة ذات طوبولوجيا خطية ، منفصلة وكاملة و${\displaystyle \{I_{\lambda }\}}$النظام الأساسي للمثاليّات المفتوحة. ثم تُعرَّف حلقة متسلسلات القوى المقيدة بأنها النهاية الإسقاطية لحلقات كثيرات الحدود على${\displaystyle A/I_{\lambda }}$:

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle =\varprojlim _{\lambda }A/I_{\lambda [x_{1},\dots ,x_{n}]}$[ ^{2 ] [ 3 ]​}

بمعنى آخر، إنها اكتمال حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}]}$فيما يتعلق بالترشيح${\displaystyle \{I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]\}}$يُشار أحيانًا إلى هذه الحلقة من متسلسلات القوى المقيدة أيضًا بـ${\displaystyle A\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$.

من الواضح أن الخاتم${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle }$يمكن تحديدها كحلقة فرعية من حلقة متسلسلة القوى الرسمية${\displaystyle A[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$التي تتكون من سلسلة${\displaystyle \sum c_{\alpha }x^{\alpha }}$بمعاملات${\displaystyle c_{\alpha }\to 0}$أي، كل${\displaystyle I_{\lambda }}$يحتوي على جميع المعاملات باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle c_{\alpha }}$كذلك، تحقق الحلقة (وتتميز في الواقع) بالخاصية العامة التالية : ^{[ 4 ]} لكل (1) تماثل حلقي مستمر${\displaystyle A\to B}$إلى حلقة ذات طوبولوجيا خطية${\displaystyle B}$، منفصلة وكاملة و (2) كل عنصر${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$في${\displaystyle B}$يوجد تماثل حلقي متصل فريد

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \to B,\,x_{i}\mapsto b_{i}}$

التمديد${\displaystyle A\to B}$.

في التحليل الجامد ، عندما تكون الحلقة الأساسية A هي حلقة التقييم لحقل كامل غير أرخميدسي${\displaystyle (K,|\cdot |)}$، حلقة متسلسلات القوى المقيدة مضروبة في${\displaystyle K}$،

${\displaystyle T_{n}=K\langle \xi _{1}،\dots \xi _{n}\rangle =A\langle \xi _{1}،\dots،\xi _{n}\rangle \otimes _{A}K}$

يُطلق عليه اسم جبر تيت، نسبةً إلى جون تيت . ^{[ 5 ]} وهو مكافئ للحلقة الفرعية لمتسلسلات القوى الرسمية${\displaystyle k[[\xi _{1},\dots ,\xi _{n}]]}$والتي تتكون من متسلسلات متقاربة على${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}^{n}}$، أين${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}:=\{x\in {\overline {k}}:|x|\leq 1\}}$هي حلقة التقييم في الإغلاق الجبري${\displaystyle {\overline {k}}}$.

الطيف الأقصى لـ${\displaystyle T_{n}}$إذن، هو فضاء تحليلي صلب يمثل فضاءً أفينيًا في الهندسة الصلبة .

عرّف معيار غاوس لـ${\displaystyle f=\sum a_{\alpha }\xi ^{\alpha }}$في${\displaystyle T_{n}}$بواسطة

${\displaystyle \|f\|=\max _{\alpha }|a_{\alpha }|.}$

هذا يجعل${\displaystyle T_{n}}$جبر باناخ على k ؛ أي جبر معياري كامل كفضاء متري . باستخدام هذا المعيار ، أي مثالي${\displaystyle I}$ل${\displaystyle T_{n}}$مغلق ^{[ 6 ]} وبالتالي، إذا كان I جذريًا، فإن خارج القسمة${\displaystyle T_{n}/I}$وهو أيضًا جبر باناخ (مختزل) يسمى جبر أفينويد .

من أهم النتائج ما يلي:

• (تقسيم فايرشتراسه) ليكن${\displaystyle g\in T_{n}}$كن${\displaystyle \xi _{n}}$- سلسلة مميزة من الرتبة s ؛ أي،${\displaystyle g=\sum _{\nu =0}^{\infty }g_{\nu }\xi _{n}^{\nu }}$أين${\displaystyle g_{\nu }\in T_{n-1}}$،${\displaystyle g_{s}}$هو عنصر وحدة و${\displaystyle |g_{s}|=\|g\|>|g_{v}|}$ل${\displaystyle \nu >s}$[ ^{7 ] ثم} لكل${\displaystyle f\in T_{n}}$يوجد شيء فريد${\displaystyle q\in T_{n}}$ومتعددة حدود فريدة${\displaystyle r\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$درجة علمية${\displaystyle <s}$بحيث

  ${\displaystyle f=qg+r.}$^{[ 8 ]}

• ( تحضير فايرشتراس ) كما سبق، دع${\displaystyle g}$كن${\displaystyle \xi _{n}}$سلسلة مميزة من الرتبة s . عندئذٍ يوجد متعدد حدود أحادي وحيد${\displaystyle f\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$درجة علمية${\displaystyle s}$وعنصر وحدة${\displaystyle u\in T_{n}}$بحيث${\displaystyle g=fu}$[ ^{9 ]​}
• (تطبيع نوثر) إذا${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset T_{n}}$إذا كان مثاليًا، فإنه يوجد تشاكل منتهٍ${\displaystyle T_{d}\hookrightarrow T_{n}/{\mathfrak {a}}}$[ ^{10 ]​}

نتيجةً للقسمة، ونظريات التحضير، وتطبيع نوثر،${\displaystyle T_{n}}$هي مجال تحليل فريد نوثري ذو بُعد كرول n . ^{[ 11 ]} ويُعدّ نظير نظرية هيلبرت الصفرية صحيحًا: جذر المثالي هو تقاطع جميع المثاليات القصوى التي تحتوي على المثالي (نقول إن الحلقة هي حلقة جاكوبسون). ^{[ 12 ]}

تنطبق نتائج حلقات كثيرات الحدود، مثل مبرهنة هينسل وخوارزميات القسمة (أو نظرية قواعد غروبنر )، على حلقة متسلسلات القوى المقيدة أيضًا. في هذا القسم، نرمز بـ A إلى حلقة طوبولوجية خطية، منفصلة وكاملة.

• (هينسل) دع${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$أن يكون مثالاً أعلى و${\displaystyle \varphi :A\to k:=A/{\mathfrak {m}}}$خريطة القسمة. بالنظر إلى${\displaystyle F}$في${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$، لو${\displaystyle \varphi (F)=gh}$بالنسبة لبعض كثيرات الحدود أحادية المعامل${\displaystyle g\in k[\xi ]}$وسلسلة طاقة محدودة${\displaystyle h\in k\langle \xi \rangle }$بحيث${\displaystyle g,h}$توليد المثالي الوحدوي لـ${\displaystyle k\langle \xi \rangle }$إذن يوجد${\displaystyle G}$في${\displaystyle A[\xi ]}$و${\displaystyle H}$في${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$بحيث

  ${\displaystyle F=GH,\,\varphi (G)=g,\varphi (H)=h}$[ ^{13 ]​}

• بورباكي، ن. (2006). الجبر التبادلي: الفصول من 1 إلى 4 . سبرينغر برلين هايدلبرغ. رقم ISBN 9783540339373.
• الأماكن القريبة : ديودوني ، جان (1960). "عناصر الهندسة الجبرية: I. لغة المخططات" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 4 . دوى : 10.1007/bf02684778 . السيد 0217083 . 
• الأماكن القريبة : جونتسر، أولريش. ريمرت ، رينهولد (1984)، “الفصل 5”، تحليل غير أرشميدي ، سبرينغر
• بوش، سيغفريد (2014)، محاضرات في الهندسة الرسمية والصلبة ، ISBN 9783319044170
• فوجيوارا، كازوهيرو؛ كاتو، فوميهارو (2018)، أسس الهندسة الصلبة I

• نظرية تحضير فايرستراس

• https://ncatlab.org/nlab/show/restricted+formal+power+series
• http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf
• https://web.archive.org/web/20060916051553/http://www-math.mit.edu/~kedlaya//18.727/tate-algebras.pdf