فلتر وينر

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 82 صور
الموسوعة الحرة

في معالجة الإشارات ، يُستخدم مرشح وينر (نسبةً إلى نوربرت وينر ) لتقدير عملية عشوائية مرغوبة أو مستهدفة، وذلك من خلال ترشيح خطي ثابت زمنيًا ( LTI ) لعملية ضوضائية مُلاحظة، بافتراض ثبات طيف الإشارة والضوضاء، بالإضافة إلى الضوضاء المضافة. يعمل مرشح وينر على تقليل متوسط ​​مربع الخطأ بين العملية العشوائية المُقدَّرة والعملية المرغوبة. [ 1 ] [ 2 ]

وصف

يهدف مرشح وينر إلى حساب تقدير إحصائي لإشارة مجهولة باستخدام إشارة ذات صلة كمدخل، ثم ترشيحها للحصول على التقدير. على سبيل المثال، قد تتكون الإشارة المعروفة من إشارة مجهولة ذات أهمية، ولكنها مشوّهة بضوضاء مضافة . يمكن استخدام مرشح وينر لإزالة الضوضاء من الإشارة المشوّهة، وبالتالي توفير تقدير للإشارة الأصلية ذات الأهمية. يعتمد مرشح وينر على منهج إحصائي ، ويمكن الاطلاع على شرح إحصائي مفصل للنظرية في مقالة تقدير متوسط ​​مربع الخطأ الأدنى (MMSE) .

تُصمَّم المرشحات الحتمية التقليدية لتحقيق استجابة ترددية مطلوبة . مع ذلك، يتبع تصميم مرشح وينر نهجًا مختلفًا. إذ يُفترض معرفة الخصائص الطيفية للإشارة الأصلية والضوضاء، ويُبحث عن مرشح خطي ثابت زمنيًا يكون خرجه أقرب ما يمكن إلى الإشارة الأصلية. وتتميز مرشحات وينر بما يلي: [ 3 ]

  1. الافتراض: الإشارة والضوضاء (الإضافية) عبارة عن عمليات عشوائية ثابتة ذات خصائص طيفية معروفة أو ارتباط ذاتي وارتباط متبادل معروفين.
  2. الشرط: يجب أن يكون المرشح قابلاً للتحقيق فعلياً/ سببياً (يمكن إسقاط هذا الشرط، مما يؤدي إلى حل غير سببي)
  3. معيار الأداء: الحد الأدنى لمتوسط ​​مربع الخطأ (MMSE)

يُستخدم هذا المرشح بشكل متكرر في عملية فك التشفير ؛ للاطلاع على هذا التطبيق، انظر فك تشفير وينر .

حلول ترشيح وينر

يتركs(ت+α){\displaystyle s(t+\alpha )}لنفترض إشارة غير معروفة يجب تقديرها من إشارة قياسx(ت){\displaystyle x(t)}، أينα{\displaystyle \alpha }هو مُعامل قابل للتعديل.α>0{\displaystyle \alpha >0}يُعرف هذا بالتنبؤ،α=0{\displaystyle \alpha =0}يُعرف ذلك بالترشيح، وα<0{\displaystyle \alpha <0}يُعرف باسم التنعيم (انظر فصل ترشيح وينر من [ 3 ] لمزيد من التفاصيل).

تتضمن مسألة مرشح وينر حلولاً لثلاث حالات محتملة: حالة يكون فيها المرشح غير السببي مقبولاً (ويتطلب كمية غير محدودة من البيانات السابقة واللاحقة)، وحالة يكون فيها المرشح السببي مرغوباً (ويستخدم كمية غير محدودة من البيانات السابقة)، وحالة الاستجابة النبضية المحدودة (FIR) حيث تُستخدم بيانات الإدخال فقط (أي لا تُعاد النتيجة أو المخرجات إلى المرشح كما في حالة الاستجابة النبضية اللانهائية). تُعدّ الحالة الأولى سهلة الحل، لكنها غير مناسبة للتطبيقات الآنية. كان إنجاز وينر الرئيسي هو حل الحالة التي يكون فيها شرط السببية سارياً؛ وقدّم نورمان ليفينسون حل FIR في ملحق من كتاب وينر.

حل غير سببي

لتقديرs(ت+α){\displaystyle s(t+\alpha )}منx(ت){\displaystyle x(t)}يتمتع المرشح الخطي الأمثل الثابت مع الزمن (LTI) (غير السببي عمومًا) باستجابة تردديةجي(ω)=Sxs(ω)Sx(ω)هـجωα،{\displaystyle G(\omega )={\frac {S_{xs}(\omega )}{S_{x}(\omega )}}\,e^{j\omega \alpha },}

أينSxs(ω){\displaystyle S_{xs}(\omega )}هي كثافة القدرة الطيفية المتقاطعة بينx(ت){\displaystyle x(t)}وs(ت){\displaystyle s(t)}، وSx(ω){\displaystyle S_{x}(\omega )}هي كثافة القدرة الطيفية لـx(ت){\displaystyle x(t)}[ 4 ]​

لوز(ت){\displaystyle g(t)}إذا كانت الاستجابة النبضية المثلى، فيمكن كتابة الحد الأدنى لمتوسط ​​مربع الخطأ على النحو التالي:

هـ⁡{هـ2(ت)}=Rs(0)-∫-∞∞ز(τ)Rxs(τ+α)دτ،{\displaystyle \operatorname {E} \{e^{2}(t)\}=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )\,R_{xs}(\tau +\alpha )\,d\tau ,}

أينRs(τ){\displaystyle R_{s}(\tau )}هي دالة الارتباط الذاتي لـs(ت){\displaystyle s(t)}وRxs(τ){\displaystyle R_{xs}(\tau )}هو الارتباط المتبادل بينx(ت){\displaystyle x(t)}وs(ت){\displaystyle s(t)}مثال

Rs(τ)=هـ⁡{s(ت)s*(ت-τ)}،{\displaystyle R_{s}(\tau )=\operatorname {E} \{s(t)\,s^{*}(t-\tau )\},}

Rxs(τ)=هـ⁡{x(ت)s*(ت-τ)}،{\displaystyle R_{xs}(\tau )=\operatorname {E} \{x(t)\,s^{*}(t-\tau )\},}

مع*{\displaystyle ^{*}}[ 5 ] للدلالة على الاقتران المركب.

استجابة النبضةز(ت){\displaystyle g(t)}يتم الحصول عليها كتحويل فورييه العكسي لـجي(ω){\displaystyle G(\omega )}[ 6 ] .

تفسير الانكماش الطيفي

في الحالة الخاصة الشائعة حيث تكون القياسات عبارة عن إشارة مشوهة بضوضاء مضافة،x(ت)=s(ت)+ن(ت){\displaystyle x(t)=s(t)+n(t)}، معن{\displaystyle n}غير مرتبط بـs{\displaystyle s}وα=0{\displaystyle \alpha =0}، يتبسط الطيف المتقاطع وطيف الإدخال إلى

Sxs(ω)=Ss(ω)،Sx(ω)=Ss(ω)+Sن(ω)،{\displaystyle S_{xs}(\omega )=S_{s}(\omega ),\qquad S_{x}(\omega )=S_{s}(\omega )+S_{n}(\omega ),}

وبالتالي، يختزل المرشح غير السببي إلى

جي(ω)=Ss(ω)Ss(ω)+Sن(ω).{\displaystyle G(\omega )={\frac {S_{s}(\omega )}{S_{s}(\omega )+S_{n}(\omega )}}.}

إذا كانت الضوضاء بيضاء ذات تباينσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}، لهذا السببSن(ω)=σ2{\displaystyle S_{n}(\omega )=\sigma ^{2}}، يصبح هذا

جي(ω)=Ss(ω)Ss(ω)+σ2.{\displaystyle G(\omega )={\frac {S_{s}(\omega )}{S_{s}(\omega )+\sigma ^{2}}}.}

لهذا التعبير تفسير طبيعي على أنه انكماش حسب القيم الذاتية. بالنسبة لعملية مستقرة ، يتم قطريّة عامل التغاير بواسطة أساس فورييه، وتكون كثافة القدرة الطيفية المحسوبة عند تردد معين هي القيمة الذاتية المقابلة (في حالة الطول المحدود المنفصل، تكون مصفوفة التغاير من نوع توبليتز ويتم قطريتها تقاربياً بواسطة تحويل فورييه المنفصل ، وفقًا لنظرية سيجو ).λ{\displaystyle \lambda }بالنسبة للقيمة الذاتية لتغاير الإشارة المرتبط بمكون تردد معين، يقوم مرشح وينر بضرب ذلك المكون من الملاحظة بـ

λλ+σ2.{\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda +\sigma ^{2}}}.}

وبالتالي، يتم تخفيف كل مكون وفقًا لنسبة الإشارة إلى الضوضاء الخاصة به: المكونات التي تهيمن فيها قوة الإشارة (λ≫σ2{\displaystyle \lambda \gg \sigma ^{2}}) تمر دون تغيير تقريبًا، بينما المكونات التي يهيمن عليها التشويش (λ≪σ2{\displaystyle \lambda \ll \sigma ^{2}}يتم كبحها نحو الصفر. وينشأ عامل الانكماش نفسه في انحدار ريدج ، حيث يتم قياس الاتجاهات المفردة لمصفوفة التصميم بواسطةدأنا2/(دأنا2+σ2){\displaystyle d_{i}^{2}/(d_{i}^{2}+\sigma ^{2})}، وفي مُقدِّر MMSE الخطي ذي الأبعاد المحدودةs^=جs(جs+σ2أنا)-1x{\displaystyle {\hat {\mathbf {s} }}=C_{s}(C_{s}+\sigma ^{2}I)^{-1}\mathbf {x} }، والذي يعمل كـλأنا/(λأنا+σ2){\displaystyle \lambda _{i}/(\lambda _{i}+\sigma ^{2})}في الأساس الذاتي لتغاير الإشارةجs{\displaystyle C_{s}}.

الحل السببي

جي(s)=ح(s)Sx+(s)،{\displaystyle G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}},}

أين

  • ح(s){\displaystyle H(s)}يتكون من الجزء السببي منSx،s(s)Sx-(s)هـαs{\displaystyle {\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}^{-}(s)}}e^{\alpha s}}(أي أن هذا الجزء من الكسر له حل زمني موجب تحت تحويل لابلاس العكسي )
  • Sx+(s){\displaystyle S_{x}^{+}(s)}هو المكون السببي لـSx(s){\displaystyle S_{x}(s)}(أي، التحويل العكسي لـ لابلاس لـSx+(s){\displaystyle S_{x}^{+}(s)}لا يكون صفراً إلا لـت≥0{\displaystyle t\geq 0})
  • Sx-(s){\displaystyle S_{x}^{-}(s)}هو المكون المضاد للسببية لـSx(s){\displaystyle S_{x}(s)}(أي، التحويل العكسي لـ لابلاس لـSx-(s){\displaystyle S_{x}^{-}(s)}لا يكون صفراً إلا لـت<0{\displaystyle t<0})

هذه الصيغة العامة معقدة وتستحق شرحًا أكثر تفصيلًا. لكتابة الحلجي(s){\displaystyle G(s)}في حالة معينة، ينبغي اتباع هذه الخطوات: [ 7 ]

  1. ابدأ بالطيفSx(s){\displaystyle S_{x}(s)}في شكل منطقي، ثم تحليلها إلى مكونات سببية وغير سببية:Sx(s)=Sx+(s)Sx-(s){\displaystyle S_{x}(s)=S_{x}^{+}(s)S_{x}^{-}(s)}أينSx+{\displaystyle S_{x}^{+}}يحتوي على جميع الأصفار والأقطاب في النصف الأيسر من المستوى المركب (LHP) وSx-{\displaystyle S_{x}^{-}}يحتوي على الأصفار والأقطاب في النصف الأيمن من المستوى المركب (RHP). وهذا ما يسمى بتحليل وينر-هوبف .
  2. قسّمSx،s(s)هـαs{\displaystyle S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}بواسطةSx-(s){\displaystyle S_{x}^{-}(s)}واكتب النتيجة على شكل كسر جزئي .
  3. اختر فقط الحدود التي لها أقطاب في النصف الأيسر من المجال المغناطيسي في هذا التوسع. سمِّ هذه الحدودح(s){\displaystyle H(s)}.
  4. قسّمح(s){\displaystyle H(s)}بواسطةSx+(s){\displaystyle S_{x}^{+}(s)}والنتيجة هي دالة نقل المرشح المطلوبةجي(s){\displaystyle G(s)}.

مرشح وينر ذو استجابة نبضية محدودة للسلاسل المنفصلة

عرض تخطيطي لمرشح وينر FIR للمتسلسلات المنفصلة. يتم إجراء عملية التفاف لإشارة الإدخال w [ n ] مع مرشح وينر g [ n ]، ويتم مقارنة النتيجة بإشارة مرجعية s [ n ] للحصول على خطأ الترشيح e [ n ].

بدلاً من استخدام مصفوفة بيانات معينة X ومتجه خرج Y، يجد مرشح وينر السببي ذو الاستجابة النبضية المحدودة (FIR) أوزان النقر المثلى باستخدام إحصائيات إشارات الإدخال والإخراج. ويقوم بتعبئة مصفوفة الإدخال X بتقديرات الارتباط الذاتي لإشارة الإدخال (T)، وتعبئة متجه الخرج Y بتقديرات الارتباط المتبادل بين إشارتي الخرج والإدخال (V).

لاستنتاج معاملات مرشح وينر، ضع في اعتبارك الإشارة w [ n ] التي يتم تغذيتها إلى مرشح وينر من الرتبة (عدد النقرات السابقة) N وبمعاملات{أ0،⋯،أشمال}{\displaystyle \{a_{0},\cdots ,a_{N}\}}يُرمز إلى خرج المرشح بـ x [ n ] والذي يُعطى بالصيغة التالية :

x[ن]=∑أنا=0شمالأأناw[ن-أنا].{\displaystyle x[n]=\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i].}

يُرمز إلى الخطأ المتبقي بـ e [ n ] ويُعرَّف على النحو التالي: e [ n ] = x [ n ] − s [ n ] (انظر المخطط الكتلي المقابل ). صُمِّم مرشح وينر لتقليل متوسط ​​مربع الخطأ ( معيار MMSE )، والذي يمكن تلخيصه كما يلي:  

أأنا=arg⁡مينهـ[هـ2[ن]]،{\displaystyle a_{i}=\arg \min E\left[e^{2}[n]\right],}

أينهـ[⋅]{\displaystyle E[\cdot ]}يرمز إلى عامل التوقع. في الحالة العامة، تكون المعاملاتأأنا{\displaystyle a_{i}}قد تكون هذه القيم معقدة، ويمكن اشتقاقها في حالة كون w [ n ] و s [ n ] معقدتين أيضًا. مع الإشارة المعقدة، تكون المصفوفة المطلوب حلها مصفوفة هيرميتية من نوع توبليتز ، وليست مصفوفة متناظرة من نوع توبليتز . ولتبسيط الأمر، سنقتصر فيما يلي على الحالة التي تكون فيها جميع هذه الكميات حقيقية. يمكن إعادة كتابة متوسط ​​مربع الخطأ (MSE) على النحو التالي:

هـ[هـ2[ن]]=هـ[(x[ن]-s[ن])2]=هـ[x2[ن]]+هـ[s2[ن]]-2هـ[x[ن]s[ن]]=هـ[(∑أنا=0شمالأأناw[ن-أنا])2]+هـ[s2[ن]]-2هـ[∑أنا=0شمالأأناw[ن-أنا]s[ن]]{\displaystyle {\begin{aligned}E\left[e^{2}[n]\right]&=E\left[(x[n]-s[n])^{2}\right]\\&=E\left[x^{2}[n]\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E[x[n]s[n]]\\&=E\left[\left(\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]s[n]\right]\end{aligned}}}

لإيجاد المتجه[أ0،...،أشمال]{\displaystyle [a_{0},\,\ldots ,\,a_{N}]}الذي يقلل من التعبير أعلاه، احسب مشتقته بالنسبة لكلأأنا{\displaystyle a_{i}}

∂∂أأناهـ[هـ2[ن]]=∂∂أأنا{هـ[(∑ج=0شمالأجw[ن-ج])2]+هـ[s2[ن]]-2هـ[∑ج=0شمالأجw[ن-ج]s[ن]]}=2هـ[(∑ج=0شمالأجw[ن-ج])w[ن-أنا]]-2هـ[w[ن-أنا]s[ن]]=2(∑ج=0شمالهـ[w[ن-ج]w[ن-أنا]]أج)-2هـ[w[ن-أنا]s[ن]]{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]&={\frac {\partial }{\partial a_{i}}}\left\{E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]s[n]\right]\right\}\\&=2E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)w[n-i]\right]-2E[w[n-i]s[n]]\\&=2\left(\sum _{j=0}^{N}E[w[n-j]w[n-i]]a_{j}\right)-2E[w[n-i]s[n]]\end{aligned}}}

بافتراض أن w [ n ] و s [ n ] ثابتتان كل منهما وثابتتان معًا، فإن المتتالياتRw[م]{\displaystyle R_{w}[m]}وRws[م]{\displaystyle R_{ws}[m]}يمكن تعريف الارتباط الذاتي لـ w [ n ] والارتباط المتبادل بين w [ n ] و s [ n ] على التوالي على النحو التالي:

Rw[م]=هـ{w[ن]w[ن+م]}Rws[م]=هـ{w[ن]s[ن+م]}{\displaystyle {\begin{aligned}R_{w}[m]&=E\{w[n]w[n+m]\}\\R_{ws}[m]&=E\{w[n]s[n+m]\}\end{aligned}}}

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة مشتق متوسط ​​مربع الخطأ على النحو التالي:

∂∂أأناهـ[هـ2[ن]]=2(∑ج=0شمالRw[ج-أنا]أج)-2Rws[أنا]أنا=0،⋯،شمال.{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]=2\left(\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}\right)-2R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}

لاحظ أن هذا حقيقيw[ن]{\displaystyle w[n]}، الارتباط الذاتي متناظر:Rw[ج-أنا]=Rw[أنا-ج]{\displaystyle R_{w}[j-i]=R_{w}[i-j]}بجعل المشتقة تساوي صفرًا ينتج عنه:

∑ج=0شمالRw[ج-أنا]أج=Rws[أنا]أنا=0،⋯،شمال.{\displaystyle \sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}

والتي يمكن إعادة كتابتها (باستخدام خاصية التناظر المذكورة أعلاه) في شكل مصفوفة

[Rw[0]Rw[1]⋯Rw[شمال]Rw[1]Rw[0]⋯Rw[شمال-1]⋮⋮⋱⋮Rw[شمال]Rw[شمال-1]⋯Rw[0]]⏟تي[أ0أ1⋮أشمال]⏟أ=[Rws[0]Rws[1]⋮Rws[شمال]]⏟v{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}[1]&\cdots &R_{w}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }}

تُعرف هذه المعادلات بمعادلات وينر-هوبف . المصفوفة T الظاهرة في المعادلة هي مصفوفة توبليتز متناظرة . في ظل شروط مناسبة علىR{\displaystyle R}ومن المعروف أن هذه المصفوفات موجبة التحديد، وبالتالي فهي غير منفردة، مما يؤدي إلى حل فريد لتحديد متجه معاملات مرشح وينر.أ=تي-1v{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} }علاوة على ذلك، توجد خوارزمية فعالة لحل معادلات وينر-هوبف هذه تُعرف باسم خوارزمية ليفينسون-دوربين، لذا فإن عملية عكس T الصريحة ليست مطلوبة.

في بعض المقالات، يتم تعريف دالة الارتباط المتبادل بطريقة معاكسة:Rsw[م]=هـ{w[ن]s[ن+م]}{\displaystyle R_{sw}[m]=E\{w[n]s[n+m]\}}ثم،v{\displaystyle \mathbf {v} }ستحتوي المصفوفة علىRsw[0]...Rsw[شمال]{\displaystyle R_{sw}[0]\ldots R_{sw}[N]}هذا مجرد اختلاف في الترميز.

أياً كانت الصيغة المستخدمة، لاحظ أنه بالنسبة للحقيقةw[ن]،s[ن]{\displaystyle w[n],s[n]}:Rsw[ك]=Rws[-ك]{\displaystyle R_{sw}[k]=R_{ws}[-k]}

العلاقة بمرشح المربعات الصغرى

يشبه تطبيق مرشح وينر السببي إلى حد كبير حل تقدير المربعات الصغرى ، باستثناء أنه يتم في مجال معالجة الإشارات. حل المربعات الصغرى، لمصفوفة الإدخالX{\displaystyle \mathbf {X} }ومتجه الإخراجy{\displaystyle \mathbf {y} }يكون

β^=(XتيX)-1Xتيy.{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}=(\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }{\boldsymbol {y}}.}

يرتبط مرشح وينر ذو الاستجابة النبضية المحدودة بمرشح المربعات الصغرى ، لكن معيار تقليل الخطأ في الأخير لا يعتمد على الارتباطات المتبادلة أو الارتباطات الذاتية. ويتقارب حله مع حل مرشح وينر.

إشارات معقدة

بالنسبة للإشارات المعقدة، يتم اشتقاق مرشح وينر المعقد عن طريق تقليلهـ[|هـ[ن]|2]{\displaystyle E\left[|e[n]|^{2}\right]}=هـ[هـ[ن]هـ*[ن]]{\displaystyle E\left[e[n]e^{*}[n]\right]}يتضمن ذلك حساب المشتقات الجزئية بالنسبة لكل من الأجزاء الحقيقية والخيالية لـأأنا{\displaystyle a_{i}}ويشترط أن يكون كلاهما صفراً.

معادلات وينر-هوف الناتجة هي:

∑ج=0شمالRw[ج-أنا]أج*=Rws[أنا]أنا=0،⋯،شمال.{\displaystyle \sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}^{*}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}

والتي يمكن إعادة كتابتها في شكل مصفوفة:

[Rw[0]Rw*[1]⋯Rw*[شمال-1]Rw*[شمال]Rw[1]Rw[0]⋯Rw*[شمال-2]Rw*[شمال-1]⋮⋮⋱⋮⋮Rw[شمال-1]Rw[شمال-2]⋯Rw[0]Rw*[1]Rw[شمال]Rw[شمال-1]⋯Rw[1]Rw[0]]⏟تي[أ0*أ1*⋮أشمال-1*أشمال*]⏟أ*=[Rws[0]Rws[1]⋮Rws[شمال-1]Rws[شمال]]⏟v{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]&\cdots &R_{w}^{*}[N-1]&R_{w}^{*}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}^{*}[N-2]&R_{w}^{*}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\R_{w}[N-1]&R_{w}[N-2]&\cdots &R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]\\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[1]&R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}^{*}\\a_{1}^{*}\\\vdots \\a_{N-1}^{*}\\a_{N}^{*}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a^{*}} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N-1]\\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }}

لاحظ هنا ما يلي:Rw[-ك]=Rw*[ك]Rsw[ك]=Rws*[-ك]{\displaystyle {\begin{aligned}R_{w}[-k]&=R_{w}^{*}[k]\\R_{sw}[k]&=R_{ws}^{*}[-k]\end{aligned}}}

ثم يتم حساب متجه معامل وينر على النحو التالي:أ=(تي-1v)*{\displaystyle \mathbf {a} ={(\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} )}^{*}}

التطبيقات

يُستخدم مرشح وينر في تطبيقات متنوعة في معالجة الإشارات، ومعالجة الصور ، وأنظمة التحكم، والاتصالات الرقمية. [ 8 ] وتندرج هذه التطبيقات عمومًا ضمن أربع فئات رئيسية:

صورة مشوشة لرائد فضاء
الصورة بعد تطبيق مرشح وينر (يوصى بعرضها بملء الشاشة)

على سبيل المثال، يمكن استخدام مرشح وينر في معالجة الصور لإزالة التشويش. فعلى سبيل المثال، باستخدام دالة Mathematica التالية WienerFilter[image,2]على الصورة الأولى على اليمين، ينتج عنها الصورة المُرشّحة أسفلها.

يُستخدم عادةً لإزالة الضوضاء من الإشارات الصوتية، وخاصة الكلام، كمعالج مسبق قبل التعرف على الكلام .

يستخدمه جهاز SVT-AV1 لتخليق حبيبات الفيلم . [ 9 ]

تاريخ

اقترح نوربرت وينر هذا المرشح خلال أربعينيات القرن العشرين، ونُشر عام ١٩٤٩. [ ١٠ ] [ ١١ ] وقد اشتق أندريه كولموغوروف ، بشكل مستقل، المكافئ الزمني المتقطع لعمل وينر، ونُشر عام ١٩٤١. [ ١٢ ] ولذلك، تُعرف هذه النظرية غالبًا بنظرية ترشيح وينر-كولموغوروف ( انظر: كريغينغ ). كان مرشح وينر أول مرشح مصمم إحصائيًا يُقترح، وقد أدى لاحقًا إلى ظهور العديد من المرشحات الأخرى، بما في ذلك مرشح كالمان .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بليت، جي؛ فيترلي، إم. "EE264: المحاضرة 12 - ترشيح وينر" (ملف PDF) . جامعة ستانفورد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 مارس 2025 .
  2. ↑ أوبنهايم، أ.ف.؛ فيرغيز، ج.س. "الإشارات والأنظمة والاستدلال، الفصل 11: ترشيح وينر" (ملف PDF) . MIT OpenCourseWare . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 مارس 2025 .
  3. 1 2 براون، روبرت جروفر؛ هوانغ، باتريك واي سي (1996). مقدمة في الإشارات العشوائية وتطبيق ترشيح كالمان ( الطبعة الثالثة). نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN  978-0-471-12839-7.
  4. ↑ كاي، ستيفن م. (1993). أساسيات معالجة الإشارات الإحصائية، المجلد الأول: نظرية التقدير . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN 978-0133457117.
  5. ↑ كايلات، توماس؛ سيد، علي ح.؛ حسيب، بابك (2000). التقدير الخطي . أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN 978-0130224644.
  6. ↑ أوبنهايم، آلان ف.؛ ويلسكي، آلان س.؛ نواب، سيد حامد (1997). الإشارات والأنظمة . سلسلة برنتيس هول لمعالجة الإشارات ( الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN  978-0-13-814757-0.
  7. ↑ ويلش، لويد ر. "نظرية فينر-هوبف" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 20 سبتمبر 2006. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 نوفمبر 2006 .
  8. ↑ بولفيلفيل، د.؛ رانغايان، ر.م.؛ هان، ل.ج.؛ كلويبر، ر. (1994). "استعادة ثلاثية الأبعاد لصور التصوير المقطعي المحوسب بانبعاث الفوتون المفرد". معاملات IEEE في العلوم النووية . 41 (5): 1746-1754 . Bibcode : 1994ITNS...41.1746B . doi : 10.1109/23.317385 . S2CID 33708058 . 
  9. ↑ "Docs/Appendix-Film-Grain-Synthesis.md · master · Alliance for Open Media / SVT-AV1 · GitLab" . GitLab . 2025-03-21 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2025-06-24 .
  10. ↑ وينر ن: «الاستيفاء والاستقراء والتنعيم للسلاسل الزمنية الثابتة»، تقرير الخدمات 19، مشروع بحثي DIC-6037 معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، فبراير 1942
  11. ↑ وينر، نوربرت (1949). استقراء، واستكمال، وتنعيم السلاسل الزمنية الثابتة: مع تطبيقات هندسية . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ISBN 9780262257190.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  12. ↑ كولموغوروف، أ. ن.: «المتتاليات الثابتة في فضاء هيلبرت»، (باللغة الروسية) نشرة جامعة موسكو، 1941، المجلد 2، العدد 6، 1-40. الترجمة الإنجليزية في: كايلات، ت. (محرر)، تقدير المربعات الصغرى الخطية ، داودن، هاتشينسون، وروس، 1977 ، رقم ISBN 0-87933-098-8

للمزيد من القراءة