تكامل ريمان-ستيلتيس

في الرياضيات ، يُعدّ تكامل ريمان-ستيلتيس تعميمًا لتكامل ريمان ، وقد سُمّي نسبةً إلى برنارد ريمان وتوماس يوهانس ستيلتيس . نُشر تعريف هذا التكامل لأول مرة عام 1894 على يد ستيلتيس. ^{[ 1 ]} وهو بمثابة مقدمة مفيدة وإرشادية لتكامل لوبيغ ، وأداة لا غنى عنها في توحيد الصيغ المتكافئة للنظريات الإحصائية التي تنطبق على الاحتمالات المتقطعة والمتصلة.

تكامل ريمان-ستيلتيس لدالة حقيقية القيمة${\displaystyle f}$لمتغير حقيقي على الفترة${\displaystyle [a,b]}$فيما يتعلق بدالة حقيقية أخرى${\displaystyle g}$يُرمز إليه بـ

${\displaystyle \int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).}$

يستخدم تعريفها سلسلة من التقسيمات${\displaystyle P}$من الفترة${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.}$

إذن، يُعرَّف التكامل بأنه النهاية عندما تقترب شبكة (طول أطول فترة فرعية) التقسيمات من${\displaystyle 0}$، من المجموع التقريبي

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})\left[g(x_{i})-g(x_{i-1})\right]}$

أين${\displaystyle c_{i}}$موجود في${\displaystyle i}$الفترة الفرعية رقم -th${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$الوظيفتان${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يُطلق عليهما على التوالي اسم الدالة المراد تكاملها والدالة المراد تكاملها . عادةً${\displaystyle g}$يُفترض أن تكون الدالة رتيبة (أو على الأقل ذات تباين محدود ) وشبه متصلة من اليمين (مع أن هذا الأخير هو في الأساس اصطلاح). نحن لا نشترط تحديدًا${\displaystyle g}$أن تكون متصلة، مما يسمح بإجراء التكاملات التي تحتوي على حدود كتلة نقطية.

يُفهم "الحد" هنا على أنه عدد A (قيمة تكامل ريمان-ستيلتيس) بحيث أنه لكل ε  >  0، يوجد δ  >  0 بحيث أنه لكل تجزئة P مع mesh( P )  < δ ، ولكل اختيار للنقاط c _i في [ x _{i −1} , x _i ]،  

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon .\,}$

يُتيح تكامل ريمان-ستيلتيس التكامل بالتجزئة على النحو التالي:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} f(x)}$$

ووجود أي من التكاملين يستلزم وجود الآخر. ^{[ 2 ]}

من ناحية أخرى، تُظهر نتيجة كلاسيكية ^{[ 3 ]} أن التكامل معرف جيدًا إذا كانت f متصلة من نوع α - Hölder و g متصلة من نوع β- Hölder مع α + β > 1  .

لو${\displaystyle f}$يحدها${\displaystyle [a,b]}$،${\displaystyle g}$قابلة للتفاضل، ومتزايدة بشكل رتيب، و${\displaystyle g'}$إذا كانت الدالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان، فإن تكامل ريمان-ستيلتيس يرتبط بتكامل ريمان بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x}$$

بالنسبة لدالة الخطوة $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$ أين${\displaystyle a<s<b}$، لو${\displaystyle f}$متصل عند${\displaystyle s}$، ثم $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(s)}$$

إذا كانت g هي دالة التوزيع الاحتمالي التراكمي لمتغير عشوائي X له دالة كثافة احتمالية بالنسبة لمقياس ليبيغ ، و f هي أي دالة يكون لها القيمة المتوقعة${\displaystyle \operatorname {E} \left[\,\left|f(X)\right|\,\right]}$إذا كانت المجموعة محدودة، فإن دالة كثافة الاحتمال لـ X هي مشتقة g ، ولدينا

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.}$

لكن هذه الصيغة لا تعمل إذا لم يكن للمتغير العشوائي X دالة كثافة احتمالية بالنسبة لمقياس ليبيغ. على وجه الخصوص، لا تعمل إذا كان توزيع X منفصلاً (أي أن جميع الاحتمالات تُفسَّر بواسطة كتل نقطية)، وحتى إذا كانت دالة التوزيع التراكمي g متصلة، فإنها لا تعمل إذا لم تكن g متصلة بشكل مطلق (مرة أخرى، يمكن اعتبار دالة كانتور مثالاً على هذا القصور). لكن المتطابقة

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

يتحقق هذا الشرط إذا كانت g أي دالة توزيع احتمالي تراكمي على خط الأعداد الحقيقية، بغض النظر عن مدى سوء سلوكها. على وجه الخصوص، بغض النظر عن مدى سوء سلوك دالة التوزيع التراكمي g لمتغير عشوائي X ، إذا كانت العزوم E( Xn ⁾ موجودة، فإنها تساوي

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} g(x).}$

يظهر تكامل ريمان-ستيلتيس في الصيغة الأصلية لنظرية فريدريك ريز ، التي تمثل الفضاء الثنائي لفضاء باناخ C [ a , b ] للدوال المتصلة في الفترة [ a , b ] كتكاملات ريمان-ستيلتيس مقابل دوال ذات تباين محدود . لاحقًا، أُعيدت صياغة تلك النظرية بدلالة المقاييس.

يظهر تكامل ريمان-ستيلتيس أيضًا في صياغة نظرية الطيف للمؤثرات الذاتية المرافقة (أو بشكل أعم، المؤثرات العادية) (غير المتراصة) في فضاء هيلبرت. في هذه النظرية، يُنظر إلى التكامل بالنسبة إلى عائلة طيفية من الإسقاطات. ^{[ 4 ]}

تنص أفضل نظرية بسيطة لوجود التكامل على أنه إذا كانت الدالة f متصلة والدالة g ذات تغير محدود على الفترة [ a , b ]، فإن التكامل موجود. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} وبسبب صيغة التكامل بالتجزئة، فإن التكامل موجود أيضًا إذا عُكس الشرط على f و g ، أي إذا كانت f ذات تغير محدود و g متصلة.

تكون الدالة g ذات تباين محدود إذا وفقط إذا كانت الفرق بين دالتين رتيبتين (محدودتين). إذا لم تكن g ذات تباين محدود، فستكون هناك دوال متصلة لا يمكن تكاملها بالنسبة إلى g . بشكل عام، يكون التكامل غير مُعرَّف جيدًا إذا اشتركت f و g في أي نقاط انقطاع ، ولكن توجد حالات أخرى أيضًا.

يؤدي رسم ثلاثي الأبعاد، حيث تكون x و f(x) و g(x) جميعها على طول محاور متعامدة، إلى تفسير هندسي لتكامل ريمان-ستيلتيس. ^{[ 8 ]}

إذا كان المستوى g(x)-x أفقيًا وكان اتجاه f(x) متجهًا للأعلى، فإن السطح المراد دراسته يُشبه سياجًا منحنيًا. يتبع هذا السياج المنحنى الذي ترسمه الدالة g(x) ، ويُعطى ارتفاعه بالدالة f(x) . يُمثل السياج جزءًا من ورقة g(x) (أي منحنى g(x) الممتد على طول محور f(x) ) المحصور بين المستوى g(x)-x وورقة f(x) . يُمثل تكامل ريمان-ستيلتيس مساحة إسقاط هذا السياج على المستوى f(x)-g(x) ، أي "ظله". يُؤثر ميل الدالة g(x) على مساحة الإسقاط. تتوافق قيم x التي يكون عندها ميل الدالة g( x ) هو الأكثر انحدارًا g'(x) مع مناطق السياج ذات الإسقاط الأكبر، وبالتالي تُؤثر بشكل أكبر في التكامل.

عندما تكون g دالة خطوة $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$

يحتوي السياج على "بوابة" مستطيلة الشكل عرضها 1 وارتفاعها يساوي f(s) . وبالتالي، فإن مساحة البوابة، ومسقطها، تساوي f(s) ، وهي قيمة تكامل ريمان-ستيلتيس.

يُعدّ تكامل ليبيغ-ستيلتيس تعميمًا مهمًا ، فهو يُعمّم تكامل ريمان-ستيلتيس بطريقة مماثلة لكيفية تعميم تكامل ليبيغ لتكامل ريمان. وإذا سُمح باستخدام تكاملات ريمان-ستيلتيس غير الصحيحة ، فإن تكامل ليبيغ لا يكون أكثر عمومية من تكامل ريمان-ستيلتيس.

يُعمم تكامل ريمان-ستيلتيس أيضًا إلى الحالة التي تأخذ فيها الدالة المراد تكاملها ƒ أو الدالة المراد تكاملها g قيمًا في فضاء باناخ . إذا كانت g : [ a , b ] → X تأخذ قيمًا في فضاء باناخ X ، فمن الطبيعي افتراض أن تباينها محدود بقوة ، مما يعني أن 

${\displaystyle \sup \sum _{i}{\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|}_{X}<\infty }$

يتم أخذ القيمة العليا على جميع التقسيمات المحدودة

${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b}$

للفترة [ أ ، ب ]. يلعب هذا التعميم دورًا في دراسة أنصاف المجموعات ، عبر تحويل لابلاس-ستيلتيس .

يوسع التكامل إيتو التكامل ريمان -ستيتجيس ليشمل الدوال المتكاملة والمتكاملة التي هي عمليات عشوائية بدلاً من الدوال البسيطة؛ انظر أيضًا حساب التفاضل والتكامل العشوائي .

• بولوك، غريغوري ل. (مايو 1988). "تفسير هندسي لتكامل ريمان-ستيلتيس". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 95 (5). الجمعية الرياضية الأمريكية: 448-455 . doi : 10.1080/00029890.1988.11972030 . JSTOR 2322483 . 
• غريفز، لورانس (1946). نظرية الدوال للمتغيرات الحقيقية . سلسلة دولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. ماكجرو هيل.عبر هاثي تراست
• هيلدبراندت، تي إتش (1938) . "تعريفات تكاملات ستيلتجس من نوع ريمان". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 45 (5): 265-278 . doi : 10.1080/00029890.1938.11990804 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2302540. MR 1524276 .   
• هيل، إينار ؛ فيليبس، رالف س. (1974). التحليل الوظيفي وشبه المجموعات . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . MR 0423094 . 
• جونسونباو، ريتشارد ف .؛ بفافنبرغر، ويليام إلمر (2010). أسس التحليل الرياضي . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-47766-4.
• كولموغوروف، أندريه ؛ فومين، سيرجي ف. (1975) [1970]. مدخل إلى التحليل الحقيقي . ترجمة ريتشارد أ. سيلفرمان (  طبعة إنجليزية منقحة). دار دوفر للنشر. ISBN 0-486-61226-0.
• مكشين، إي جيه (1952). "الترتيبات الجزئية وحدود مور-سميث" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 59 (1): 1-11 . doi : 10.2307/2307181 . JSTOR 2307181. تاريخ الاسترجاع: 2 نوفمبر 2010 . 
• بولارد، هنري (1920). "تكامل ستيلتجس وتعميماته". المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 49 .
• ريز، ف.؛ سز. ناجي، ب. (1990). التحليل الوظيفي . منشورات دوفر. ISBN 0-486-66289-6.
• رودين، والتر (1964). مبادئ التحليل الرياضي (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل.
• شيلوف، جي إي؛ غوريفيتش، بي إل (1978). التكامل، والقياس، والمشتقة: منهج موحد . ترجمة ريتشارد أ. سيلفرمان. منشورات دوفر. رمز Bibcode : 1966imdu.book.....S . ISBN 0-486-63519-8.
• ستيلتجيس، توماس جان (1894). "Recherches sur les Fractions continue" . آن. القوات المسلحة الكونغولية. الخيال العلمي. تولوز . ثامناً : 1 – 122. ن.ر 1344720 . 
• ستروك، دانيال و. (1998). مقدمة موجزة لنظرية التكامل (  الطبعة الثالثة). بيركهاوزر. ISBN 0-8176-4073-8.
• يونغ، إل سي (1936). "متباينة من نوع هولدر، مرتبطة بتكامل ستيلتجس" . مجلة أكتا ماتيماتيكا . 67 (1): 251-282 . doi : 10.1007/bf02401743 .