ليمنيسكات

يمكن تتبع دراسة المنحنيات ذات الشكل الثماني إلى بروكلس ، الفيلسوف والرياضي اليوناني الأفلاطوني المحدث الذي عاش في القرن الخامس الميلادي. درس بروكلس المقاطع العرضية للسطح الحلقي بواسطة مستوى موازٍ لمحوره. وكما لاحظ، فإن معظم هذه المقاطع تتكون من شكل بيضاوي واحد أو اثنين؛ إلا أنه عندما يكون المستوى مماسًا للسطح الداخلي للسطح الحلقي، يتخذ المقطع العرضي شكلًا ثمانيًا، أطلق عليه بروكلس اسم " قيد الحصان " (وهو أداة لتثبيت قدمي الحصان معًا)، أو "هيبوبيدي" باليونانية. ^{[ 8 ]} ويعود اسم "ليمنيسكات بوث" لهذا المنحنى إلى دراسته من قبل عالم الرياضيات جيمس بوث في القرن التاسع عشر . ^{[ 2 ]}

يمكن تعريف منحنى اللمنيسكات بأنه منحنى جبري ، وهو مجموعة أصفار متعددة الحدود من الدرجة الرابعة${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$عندما تكون قيمة المعامل d سالبة (أو صفرًا في الحالة الخاصة التي يصبح فيها شكل اللمنيسكات عبارة عن زوج من الدوائر المتماسّة خارجيًا). أما بالنسبة للقيم الموجبة لـ d ، فنحصل بدلًا من ذلك على شكل بيضاوي من نوع بوث .

في عام 1680، درس كاسيني مجموعة من المنحنيات، تُعرف الآن باسم بيضاوي كاسيني ، والتي تُعرَّف على النحو التالي: المحل الهندسي لجميع النقاط التي يكون حاصل ضرب بُعديها عن نقطتين ثابتتين، وهما بؤرتا المنحنيات ، ثابتًا. في ظروف خاصة جدًا (عندما يكون نصف المسافة بين النقطتين مساويًا للجذر التربيعي للثابت)، ينتج عن ذلك شكل ليمنيسكات.

في عام 1694، درس يوهان برنولي حالة منحنى ليمنيسكات لبيضاوي كاسيني، المعروف الآن باسم منحنى ليمنيسكات برنولي (الموضح أعلاه)، وذلك في سياق مسألة " المنحنيات متساوية الزمن " التي طرحها لايبنتز سابقًا . ومثل منحنى هيبوبيد، فهو منحنى جبري، أي مجموعة أصفار متعددة الحدود.${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})}$درس جاكوب برنولي، شقيق برنولي، المنحنى نفسه في العام نفسه، وأطلق عليه اسم "اللمنيسكات". ^{[ 9 ]} ويمكن تعريفه هندسيًا أيضًا بأنه المحل الهندسي للنقاط التي يساوي حاصل ضرب بُعديها عن بؤرتيها مربع نصف المسافة بين البؤرتين. ^{[ 10 ]} وهو حالة خاصة من منحنى "الهيبوبيد" (لمنيسكات بوث)، مع${\displaystyle d=-c}$ويمكن تشكيلها كمقطع عرضي لحلقة يكون قطر ثقبها الداخلي وقطر مقطعها العرضي الدائري متساويين. ^{[ 2 ]} الدوال الإهليلجية اللمنسكاتية هي نظائر للدوال المثلثية لللمنسكات برنولي، وتظهر ثوابت اللمنسكات عند حساب طول قوس هذا اللمنسكات.

يُعدّ منحنى ليمنيسكات آخر، وهو منحنى ليمنيسكات جيرونو أو منحنى ليمنيسكات هيغنز، مجموعة الأصفار لكثير الحدود من الدرجة الرابعة${\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}$[ ^{12 ] [ 13 ]} منحنى فيفياني ، ^وهو منحنى ثلاثي الأبعاد يتكون من تقاطع كرة مع أسطوانة، له أيضًا شكل الرقم ثمانية، وله إسقاط جيرونو المستوي. ^{[ 14 ]}

تشمل المنحنيات الجبرية الأخرى التي تتخذ شكل الرقم ثمانية ما يلي:

• منحنى الشيطان ، وهو منحنى يُعرَّف بالمعادلة الرباعية${\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})}$حيث يكون أحد المكونات المتصلة على شكل الرقم ثمانية، ^{[ 15 ]}
• منحنى وات ، وهو منحنى على شكل الرقم ثمانية يتكون من وصلة ميكانيكية. منحنى وات هو مجموعة الأصفار لمعادلة متعددة الحدود من الدرجة السادسة${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$ولها منحنى برنولي كحالة خاصة.