التشكل الإيتالي

في الهندسة الجبرية ، يُعرف التشاكل الإيتالي ( بالفرنسية: [ etal ] ) بأنه تشاكل بين المخططات يكون إيتاليًا شكليًا وذا عرض محدود محليًا؛ ويرتبط التشاكل الإيتالي بمفهوم التغطية الإيتالية . وهذا نظير جبري لمفهوم التشاكل المحلي في الطوبولوجيا التحليلية المعقدة.

تُحقق هذه الدوال فرضيات نظرية الدالة الضمنية ، ولكن نظرًا لكبر حجم المجموعات المفتوحة في طوبولوجيا زاريسكي ، فإنها ليست بالضرورة متماثلات محلية. مع ذلك، تحتفظ الدوال الإيتالية بالعديد من خصائص المتماثلات التحليلية المحلية، وهي مفيدة في تعريف المجموعة الأساسية الجبرية والطوبولوجيا الإيتالية .

كلمة étale هي صفة فرنسية ، وتعني "الركود"، كما في "الركود"، أو مجازياً، الهدوء، وعدم الحركة، شيء متروك ليستقر. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle \phi :R\to S}$ليكن تشاكلاً حلقياً . وهذا يجعل${\displaystyle S}$أن${\displaystyle R}$الجبر. اختر متعددة حدود أحادية${\displaystyle f}$في${\displaystyle R[x]}$ومتعددة الحدود${\displaystyle g}$في${\displaystyle R[x]}$بحيث يكون المشتق${\displaystyle f'}$ل${\displaystyle f}$هي وحدة في${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$نقول ذلك${\displaystyle \phi }$هو معيار إيتال إذا${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يمكن اختيارها بحيث${\displaystyle S}$متماثل كـ${\displaystyle R}$-الجبر إلى${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$و${\displaystyle \phi }$هي الخريطة الأساسية.

يترك${\displaystyle f:X\to Y}$أن يكون تشاكلاً بين المخططات . نقول ذلك${\displaystyle f}$يكون الشيء إيتال إذا كان يمتلك أيًا من الخصائص المتكافئة التالية:

1. ${\displaystyle f}$مسطح وغير متفرع . ^{[ 2 ]}​
2. ${\displaystyle f}$هو شكل هندسي أملس وغير متفرع. ^{[ 2 ]}
3. ${\displaystyle f}$مسطحة، ذات عرض محدود محليًا ، ولكل${\displaystyle y}$في${\displaystyle Y}$الألياف${\displaystyle f^{-1}(y)}$هو الاتحاد المنفصل للنقاط، كل منها عبارة عن طيف امتداد حقل قابل للفصل محدود لحقل البقايا${\displaystyle \kappa (y)}$[ ^{2 ]​}
4. ${\displaystyle f}$مسطحة، ذات عرض محدود محليًا، ولكل${\displaystyle y}$في${\displaystyle Y}$وكل إغلاق جبري${\displaystyle k'}$من مجال البقايا${\displaystyle \kappa (y)}$الألياف الهندسية${\displaystyle f^{-1}(y)\otimes _{\kappa (y)}k'}$هو الاتحاد المنفصل للنقاط، كل منها متماثل مع${\displaystyle {\mbox{Spec }}k'}$[ ^{2 ]​}
5. ${\displaystyle f}$هو تشاكل أملس ذو بُعد نسبي صفري. ^{[ 3 ]}
6. ${\displaystyle f}$^{[ 4 ]} هو تشاكل سلس وتشاكل شبه منتهٍ محليًا .
7. ${\displaystyle f}$هي ذات عرض محدود محليًا، وهي تشاكل إيتالي قياسي محليًا، أي

   لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$، يترك${\displaystyle y=f(x)}$ثم هناك حي أفيني مفتوح${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ل${\displaystyle y}$وحي مفتوح ذو طابع تقاربي${\displaystyle \operatorname {Spec} S}$ل${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle f(\operatorname {Spec} S)}$يحتوي على${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$وبحيث يكون التماثل الحلقي${\displaystyle R\rightarrow S}$ناتج عن${\displaystyle f}$هو معيار إيتال. ^{[ 5 ]}

8. ${\displaystyle f}$^{[ 2 ]} وهي ذات عرض محدود محليًا وهي إيتالية رسميًا .
9. ${\displaystyle f}$هي ذات عرض محدود محليًا وهي إيتالية رسميًا للخرائط من الحلقات المحلية، أي:

   يترك${\displaystyle A}$كن حلقة محلية و${\displaystyle J}$كن مثالاً يحتذى به${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle J^{2}=0}$. تعيين${\displaystyle Z=\operatorname {Spec} A}$و${\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Spec} A/J}$ودع${\displaystyle i\colon Z_{0}\rightarrow Z}$ليكن الغمر المغلق المتعارف عليه .${\displaystyle z}$تشير إلى النقطة المغلقة لـ${\displaystyle Z_{0}}$. يترك${\displaystyle h\colon Z\rightarrow Y}$و${\displaystyle g_{0}\colon Z_{0}\rightarrow X}$لتكن تشاكلات بحيث${\displaystyle f(g_{0}(z))=h(i(z))}$ثم يوجد شيء فريد${\displaystyle Y}$-مورفيزم${\displaystyle g\colon Z\rightarrow X}$بحيث${\displaystyle gi=g_{0}}$[ ^{6 ]​}

افترض أن${\displaystyle Y}$هي نوثرية محلياً و f من النوع المحدود محلياً. لـ${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$، يترك${\displaystyle y=f(x)}$ودع${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$لتكن الخريطة المستحثة على الحلقات المحلية المكتملة . عندئذٍ، تكون العبارات التالية متكافئة:

1. ${\displaystyle f}$is étale.
2. لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$^{[ 7 ]} إن الخريطة المستحثة على الحلقات المحلية المكتملة هي خريطة إيتالية شكليًا بالنسبة للطوبولوجيا الأدية.
3. لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$،${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$هو مجاني${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$الوحدة والألياف${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$هو حقل يمثل امتدادًا لحقل البقايا قابلًا للفصل منتهيًا${\displaystyle \kappa (y)}$[ ^{7 ]} (هنا ⁾${\displaystyle m_{y}}$هو المثال الأقصى لـ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$.)
4. ${\displaystyle f}$تُعتبر إيتال رسميًا بالنسبة لتطبيقات الحلقات المحلية ذات الخصائص الإضافية التالية. الحلقة المحلية${\displaystyle A}$قد يُفترض أنه أرتيني. إذا${\displaystyle m}$هو المثال الأقصى لـ${\displaystyle A}$، ثم${\displaystyle J}$يمكن افتراض استيفاء الشروط${\displaystyle mJ=0}$وأخيرًا، التشكل على حقول البقايا${\displaystyle \kappa (y)\rightarrow A/m}$يمكن افتراض أنه تماثل. ^{[ 8 ]}

بالإضافة إلى ذلك، جميع الخرائط على حقول البقايا${\displaystyle \kappa (y)\to \kappa (x)}$هي عمليات متماثلة، أو إذا${\displaystyle \kappa (y)}$إذا كان مغلقًا بشكل منفصل، فـ${\displaystyle f}$تكون إيتال إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$^{[ 7 ]} إن الخريطة المستحثة على الحلقات المحلية المكتملة هي تماثل.

أي غمر مفتوح هو إيتال لأنه متماثل محليًا.

تُعدّ المساحات المُغطّية أمثلة على التشكلات الإيتالية. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle d\geq 1}$هو عدد صحيح قابل للعكس في الحلقة${\displaystyle R}$ثم

${\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])}$

هي درجة علمية${\displaystyle d}$التشكل الإيتالي.

أي غطاء متفرع${\displaystyle \pi :X\to Y}$يحتوي على موضع غير متفرع

${\displaystyle \pi :X_{un}\to Y_{un}}$

وهو إيتال.

المورفيزمات

${\displaystyle {\text{Spec}}(L)\to {\text{Spec}}(K)}$

تكون الامتدادات الناتجة عن الحقول المنفصلة المحدودة إيتالية - فهي تشكل فضاءات تغطية حسابية مع مجموعة من تحويلات التغطية المعطاة بواسطة${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$.

أي تشاكل حلقي من الشكل${\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n})}$حيث كل${\displaystyle f_{i}}$هي كثيرات حدود، وحيث يكون المحدد اليعقوبي${\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})}$هي وحدة في${\displaystyle S}$، هو إيتال. على سبيل المثال، التشكل${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)}$هو إيتالي ويتوافق مع درجة${\displaystyle n}$تغطية مساحة${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\in Sch/\mathbb {C} }$مع المجموعة${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$من تحولات سطح السفينة.

بالتوسع في المثال السابق، لنفترض أن لدينا تشاكلاً${\displaystyle f}$من الأصناف الجبرية المعقدة الملساء. بما أن${\displaystyle f}$إذا تم تحديدها بواسطة معادلات، فيمكننا تفسيرها على أنها خريطة للمتشعبات المعقدة. كلما كانت جاكوبيان${\displaystyle f}$غير صفري،${\displaystyle f}$هو تماثل موضعي للمتشعبات المعقدة وفقًا لنظرية الدالة الضمنية . وبحسب المثال السابق، فإن امتلاك مصفوفة جاكوبية غير صفرية هو نفسه كون المتشعب إيتالي.

يترك${\displaystyle f:X\to Y}$ليكن f تشاكلاً مهيمناً من النوع المحدود، حيث X و Y نوثيريان محلياً، وغير قابلين للاختزال، و Y طبيعي. إذا كان f غير متفرع ، فإنه يكون إيتالياً. ^{[ 9 ]}

بالنسبة للحقل K ، فإن أي جبر K -algebra A يكون مسطحًا بالضرورة. لذلك، يكون A جبرًا إيتاليًا إذا وفقط إذا كان غير متفرع، وهو ما يكافئ أيضًا

${\displaystyle A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus ...\oplus {\bar {K}},}$

أين${\displaystyle {\bar {K}}}$يمثل الإغلاق القابل للفصل للحقل K ، والطرف الأيمن عبارة عن مجموع مباشر منتهٍ، وجميع حدوده هي${\displaystyle {\bar {K}}}$. هذا التوصيف لجبر K- إيتالي هو حجر الزاوية في إعادة تفسير نظرية غالوا الكلاسيكية (انظر نظرية غالوا لغروتينديك ).

• يتم الحفاظ على أشكال Étale تحت التكوين والتغيير الأساسي.
• تكون التشكلات الإيتالية محلية على المصدر وعلى القاعدة. بعبارة أخرى،${\displaystyle f:X\to Y}$تكون إيتال إذا وفقط إذا كان لكل غطاء من${\displaystyle X}$من خلال المخططات الفرعية المفتوحة، يتم تقييد${\displaystyle f}$لكل مخطط فرعي مفتوح من الغطاء يكون إيتاليًا، وكذلك إذا وفقط إذا كان لكل غطاء من${\displaystyle Y}$بواسطة المخططات الفرعية المفتوحة، التشكلات المستحثة${\displaystyle f_{(U)}:X\times _{Y}U\to U}$هو إيتال لكل مخطط فرعي${\displaystyle U}$من الغطاء. على وجه الخصوص، من الممكن اختبار خاصية كونها إيتال على الأفينات المفتوحة${\displaystyle V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A)}$.
• إن ناتج عائلة محدودة من التشكلات الإيتالية هو إيتالي.
• بالنظر إلى عائلة منتهية من التشكلات${\displaystyle \{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\}}$الاتحاد المنفصل${\displaystyle \coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y}$تكون إيتال إذا وفقط إذا كان كل${\displaystyle f_{\alpha }}$is étale.
• يترك${\displaystyle f:X\to Y}$و${\displaystyle g:Y\to Z}$وافترض أن${\displaystyle g}$غير متفرعة و${\displaystyle gf}$هو إيتال. ثم${\displaystyle f}$هو إيتال. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle X}$و${\displaystyle X'}$انتهى إيتال${\displaystyle Y}$ثم أي${\displaystyle Y}$-التشكل بين${\displaystyle X}$و${\displaystyle X'}$is étale.
• الأشكال شبه المدمجة للقصة شبه محدودة .
• التشكل${\displaystyle f:X\to Y}$^{[ 10 ]} يكون الانغماس مفتوحًا إذا وفقط إذا كان إيتاليًا وجذريًا .
• لو ${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كان إيتاليًا وشاملًا،${\displaystyle \dim X=\dim Y}$(محدود أو غير ذلك).

التشكلات الإيتالية

دالة : س → ص  

هي النظير الجبري للتشاكلات التفاضلية المحلية . بتعبير أدق، يكون التشاكل بين المتنوعات الملساء إيتاليًا عند نقطة ما إذا كان التفاضل بين الفضاءات المماسية المتناظرة تشاكلًا. وهذا بدوره هو الشرط اللازم لضمان أن يكون التطبيق بين المشعبات تشاكلًا تفاضليًا محليًا، أي أنه لأي نقطة y ∈ Y ، توجد جوار مفتوح U للنقطة x بحيث يكون تقييد f على U تشاكلًا تفاضليًا. لا تنطبق هذه النتيجة في الهندسة الجبرية، لأن الطوبولوجيا فيها غير دقيقة. على سبيل المثال، لننظر إلى إسقاط f للقطع المكافئ

ص  = س ² 

إلى المحور y . هذا التشاكل إيتالي عند كل نقطة باستثناء نقطة الأصل (0، 0)، لأن التفاضل يُعطى بواسطة 2x ، والذي لا يتلاشى عند هذه النقاط.

مع ذلك، لا يوجد معكوس محلي ( زاريسكي ) للدالة f ، لأن الجذر التربيعي ليس دالة جبرية ، إذ لا يُعطى بواسطة كثيرات الحدود. لكن يوجد حل لهذه المشكلة باستخدام طوبولوجيا إيتال. والنص الدقيق هو كالتالي: إذا${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت الدالة إيتالية ومنتهية، فإنه لأي نقطة y تقع في Y ، يوجد تشاكل إيتالي V → Y يحتوي على y في صورته ( يمكن اعتبار V جوارًا إيتاليًا مفتوحًا لـ y )، بحيث عندما نغير أساس f إلى V ، فإن${\displaystyle X\times _{Y}V\to V}$(العضو الأول سيكون الصورة العكسية لـ V بواسطة f إذا كانت V جوارًا مفتوحًا زاريسكي) هو اتحاد منفصل محدود لمجموعات فرعية مفتوحة متماثلة مع V. بعبارة أخرى، محليًا إيتاليًا في Y ، يكون التشكل f غطاءً طوبولوجيًا محدودًا.

للحصول على شكل سلس${\displaystyle f:X\to Y}$f ، ذات البعد النسبي n ، ومحلية إيتالية في X وفي Y ، هي غمر مفتوح في فضاء أفيني${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}}$هذه هي النسخة التناظرية من نظرية البنية المتعلقة بالغمر .

• النقاء (الهندسة الجبرية)

• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• الأماكن القريبة : جان ديودوني (1964)، “Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné)  : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première Partie” , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5– 259, doi : 10.1007/bf02684747 ، S2CID 118147570 
• الأماكن القريبة : ديودونيه ، جان (1964)، “Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la cooperative de Jean Dieudonné)  : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première Partie” , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 20 : 5– 259, doi : 10.1007/bf02684747 ، S2CID 118147570 
• جروتينديك، الكسندر. ديودونيه ، جان (1967)، “Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la cooperative de Jean Dieudonné)  : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième Partie” , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5– 333, doi : 10.1007/BF02732123 ، S2CID 189794756 
• الأماكن القريبة : رينود، ميشيل (2003) [1971]، Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) ، باريس: Société Mathématique de France، xviii+327، أرخايف : math.AG/0206203 ، ISBN 978-2-85629-141-2
• جي إس ميلن (1980)، Étale cohomology ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 0-691-08238-3
• جيه إس ميلن (2008). محاضرات في علم التماثل الإيتالي