نظرية أبيل

في الرياضيات ، تربط نظرية أبيل للمتسلسلات القوى نهاية متسلسلة القوى بمجموع معاملاتها . وقد سميت نسبة إلى عالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل ، الذي أثبتها في عام 1826. ^{[ 1 ]}

لنبدأ سلسلة تايلور$${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$ لتكن متسلسلة قوى ذات معاملات حقيقية${\displaystyle a_{k}}$لنفترض أن المتسلسلة $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$$يتقارب . ثم${\displaystyle G(x)}$وهي متصلة من اليسار عند${\displaystyle x=1,}$إنه، $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.}$$

تنطبق النظرية نفسها على متسلسلات القوى المركبة$${\displaystyle G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},}$$ بشرط أن${\displaystyle z\to 1}$بالكامل داخل قطاع ستولز واحد ، أي منطقة من القرص المفتوح حيث $${\displaystyle |1-z|\leq M(1-|z|)}$$ لبعض القيم الثابتة والمحدودة${\displaystyle M>1}$بدون هذا القيد، قد لا توجد النهاية: على سبيل المثال، متسلسلة القوى $${\displaystyle \sum _{n>0}{\frac {z^{3^{n}}-z^{2\cdot 3^{n}}}{n}}}$$ يتقارب إلى${\displaystyle 0}$في${\displaystyle z=1,}$لكنها غير محدودة بالقرب من أي نقطة أخرى من الشكل${\displaystyle e^{\pi i/3^{n}},}$إذن القيمة عند${\displaystyle z=1}$ليس هذا هو الحد الأقصى${\displaystyle z}$يميل إلى 1 في القرص المفتوح بأكمله.

لاحظ أن تقارب${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$يشير ذلك إلى أن نصف قطر تقارب متسلسلة القوى${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$لا يقل عن 1، مما يضمن التقارب لـ${\displaystyle |z|<1}$.

لاحظ أيضًا أنه وفقًا لنظرية النهاية المنتظمة ،${\displaystyle G(z)}$متصلة على الفترة المغلقة الحقيقية${\displaystyle [0,t]}$ل${\displaystyle t<1,}$بفضل التقارب المنتظم للمتسلسلة على المجموعات الجزئية المدمجة من قرص التقارب (باستخدام اختبار فايرشتراس إم ). تسمح لنا نظرية أبيل بالقول أكثر من ذلك، وهو أن تقييد${\displaystyle G(z)}$ل${\displaystyle [0,1]}$متصل.

قطاع ستولز

قطاع ستولز${\displaystyle |1-z|\leq M(1-|z|)}$لها معادلة صريحة$${\displaystyle y^{2}=-{\frac {M^{4}(x^{2}-1)-2M^{2}((x-1)x+1)+2{\sqrt {M^{4}(-2M^{2}(x-1)+2x-1)}}+(x-1)^{2}}{(M^{2}-1)^{2}}}}$$ويتم رسمها على اليمين لقيم مختلفة.

الطرف الأيسر من القطاع هو${\displaystyle x={\frac {1-M}{1+M}}}$والطرف الأيمن هو${\displaystyle x=1}$. عند الطرف الأيمن، يصبح مخروطًا بزاوية${\displaystyle 2\theta }$أين${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{M}}}$.

وكنتيجة مباشرة لهذه النظرية، إذا${\displaystyle z}$هو أي عدد مركب غير صفري تكون المتسلسلة $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$$ إذا تقاربت، فإن ذلك يترتب عليه أن $${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}G(tz)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$$ حيث يتم أخذ الحد من الأسفل .

يمكن تعميم النظرية أيضًا لتشمل المجاميع التي تتباعد إلى ما لا نهاية؛ انظر أدناه. إذا $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\infty }$$ ثم $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}G(x)\to \infty .}$$

لكن إذا كانت المتسلسلة معروفة فقط بأنها متباعدة، ولكن لأسباب أخرى غير التباعد إلى ما لا نهاية، فقد لا يصح ادعاء النظرية: خذ، على سبيل المثال، متسلسلة القوى لـ $${\displaystyle {\frac {1}{1+z}}.}$$

في${\displaystyle z=1}$المتسلسلة تساوي${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ,}$لكن${\displaystyle {\tfrac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$

ونشير أيضًا إلى أن النظرية تنطبق على أنصاف أقطار التقارب الأخرى غير${\displaystyle R=1}$: يترك $${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$ لتكن متسلسلة قوى بنصف قطر تقارب${\displaystyle R>0,}$ولنفترض أن المتسلسلة تتقارب عند${\displaystyle x=R.}$ثم${\displaystyle G(x)}$وهي متصلة من اليسار عند${\displaystyle x=R,}$إنه، $${\displaystyle \lim _{x\to R^{-}}G(x)=G(R).}$$

تسمح لنا نظرية أبيل بتقييم العديد من المتسلسلات بصيغة مغلقة إذا استطعنا أولاً إثبات تقاربها. على سبيل المثال، لننظر إلى المتتالية $${\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}.}$$ المجموع${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$يتقارب باستخدام اختبار المتسلسلة المتناوبة ، لذا يمكننا تطبيق نظرية أبيل على الدالة المولدة المقابلة.${\displaystyle G_{a}(z)}$نحصل على $${\displaystyle G_{a}(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}},\qquad 0<z<1,}$$ عن طريق تكامل متسلسلة القوى الهندسية المتقاربة بانتظام حدًا حدًا على${\displaystyle [-z,0]}$وهكذا السلسلة $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$$ يتقارب إلى${\displaystyle \lim \limits _{z\to 1^{-}}G_{a}(z)=\ln 2}$بحسب نظرية أبيل. وبالمثل، $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$ يتقارب إلى${\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}.}$

${\displaystyle G_{a}(z)}$تُسمى الدالة المولدة للمتتالية${\displaystyle a.}$تُعدّ نظرية أبيل مفيدةً في كثير من الأحيان عند التعامل مع الدوال المولدة للمتتاليات الحقيقية غير السالبة ، مثل الدوال المولدة للاحتمالات . وهي مفيدةٌ بشكلٍ خاص في نظرية عمليات غالتون-واتسون .

المصدر: ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$و${\displaystyle s_{n}=\left({\sum _{k=0}^{n}a_{k}}\right)-S\!.}$ثم استبدال${\displaystyle a_{k}=s_{k}-s_{k-1}}$وإجراء عملية بسيطة على المتسلسلة ( الجمع بالتجزئة ) ينتج عنه $${\displaystyle G_{a}(z)=S+(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}.}$$

منح${\displaystyle \varepsilon >0,}$يختار${\displaystyle n}$كبيرة بما يكفي بحيث${\displaystyle |s_{k}|<\varepsilon }$للجميع${\displaystyle k\geq n}$ولاحظ أن $${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \varepsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\varepsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\varepsilon M}$$ متى${\displaystyle z}$يقع ضمن زاوية ستولز المحددة. كلما${\displaystyle z}$قريب بما فيه الكفاية من${\displaystyle 1}$لدينا $${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\varepsilon ,}$$ لهذا السبب.${\displaystyle \left|G_{a}(z)-S\right|<(M+1)\varepsilon }$متى${\displaystyle z}$كلاهما قريب بما فيه الكفاية من${\displaystyle 1}$وضمن زاوية ستولز.

لإثبات صحة الادعاء بـ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=+\infty }$، يترك${\displaystyle x\in (0,1)}$و${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$. منذ${\displaystyle (s_{k})_{k}}$يتباعد إلى${\displaystyle +\infty }$يمكننا أن نجد، لأي${\displaystyle M\in \mathbb {R} _{+}}$، أ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle s_{k}>3M}$للجميع${\displaystyle k\geq N}$نكتب، من أجل${\displaystyle n>N}$: $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=\left[{(1-x)\sum _{k=0}^{N-1}s_{k}x^{k}}\right]+\left\{{(1-x)\left[{\sum _{k=N}^{n-1}s_{k}x^{k}}\right]+s_{n}x^{n}}\right\}}$$ بما أن الحد الأول على الجانب الأيمن يختفي عندما${\displaystyle x\to 1}$، يمكننا أن نجد${\displaystyle x_{1}\in (0,1)}$بحيث يتجاوز${\displaystyle -M}$حينما${\displaystyle x_{1}<x<1}$يمكن تقدير الحد الثاني من خلال: $${\displaystyle (1-x)\left[{\sum _{k=N}^{n-1}s_{k}x^{k}}\right]+s_{n}x^{n}>3M\left\{{(1-x)\left[{\sum _{k=N}^{n-1}x^{k}}\right]+x^{n}}\right\}=3Mx^{N}.}$$ وبالتالي، إذا تركنا${\displaystyle x_{2}=(2/3)^{1/N}}$ثم لـ${\displaystyle x_{2}<x<1}$وهذا يتجاوز${\displaystyle 2M}$وبدمجها، نحصل على، لأي${\displaystyle n>N}$و${\displaystyle \max(x_{1},x_{2})<x<1}$: $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}>M.}$$ وهذا يثبت ما يلي: $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\liminf _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=+\infty }$$

لاحظ أنه في غياب افتراضات إضافية، فإن السلسلة${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$قد لا تتقارب عندما${\displaystyle |x|<1}$ومن هنا جاء استخدام الحد الأدنى .

تُسمى عكس نظرية مثل نظرية أبيل بنظريات تاوبر : لا يوجد عكس دقيق لها، ولكن النتائج مشروطة بفرضية معينة. يحتوي مجال المتسلسلات المتباعدة ، وطرق جمعها، على العديد من النظريات من النوع الأبلي والنوع التاوبر .

في الحالة الحقيقية، الوظائف${\displaystyle x^{k}}$يمكن استبدالها بدوال محدودة غير سالبة${\displaystyle u_{k}(x)}$يتناقص بشكل رتيب مع${\displaystyle k}$(أي،${\displaystyle u_{k}(x)\geq u_{k+1}(x)}$) بحيث${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}u_{k}(x)=1}$للجميع${\displaystyle k}$[ ^{3 ]} هذا يتبع من اختبار التقارب المنتظم لأبيل وتطبيق ^نظرية النهاية المنتظمة .

• صيغة أبيل للجمع بالتجزئة – نسخة التكامل بالتجزئة من طريقة أبيل للجمع بالتجزئة 
• إعادة تجميع ناخبِن – نظرية تحدد معدل نمو الدوال التحليلية. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الجمع بالتجزئة – نظرية لتبسيط مجاميع نواتج المتتاليات 

• أهلفورس، لارس فاليريان (1 سبتمبر 1980). التحليل المركب (  الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل للتعليم العالي. الصفحات 41-42 . ISBN  0-07-085008-9.- أطلق أهلفورس عليها اسم نظرية نهاية أبيل .

• ويتاكر، إي تي؛ واتسون، جي إن (2021). دورة في التحليل الحديث (  الطبعة الخامسة). مطبعة جامعة كامبريدج.

• قابلية الجمع الأبيلية في موقع PlanetMath . (نظرة عامة على النظريات الأبيلية من هذا النوع)
• أ. أ. زاخاروف (2001) [1994]، "طريقة جمع أبيل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية تقارب أبيل" . عالم الرياضيات .