عملية غالتون-واتسون

عملية غالتون -واتسون ، والتي تُسمى أيضًا عملية بينامي-غالتون-واتسون أو عملية غالتون-واتسون المتفرعة ، هي عملية عشوائية متفرعة ناتجة عن دراسة فرانسيس غالتون الإحصائية لانقراض أسماء العائلات . ^{[ 1 ] [ 2 ]} تُصوّر هذه العملية أسماء العائلات على أنها أبوية (تنتقل من الأب إلى الابن)، بينما يكون النسل إما ذكرًا أو أنثى بشكل عشوائي، وتنقرض الأسماء إذا انقرض نسل العائلة (يموت حاملو اسم العائلة دون وجود ذرية ذكور).

أرست دراسة غالتون لهذه العملية الأساس لدراسة عمليات التفرع كفرع من فروع نظرية الاحتمالات ، وإلى جانب هذه العمليات اللاحقة، وجدت عملية غالتون-واتسون تطبيقات عديدة في علم الوراثة السكانية وعلوم الحاسوب وغيرها من المجالات. ^{[ 3 ]}

كان هناك قلق بين الفيكتوريين من أن الألقاب الأرستقراطية آخذة في الانقراض. ^{[ 4 ]}

في عام 1869، نشر غالتون كتاب "العبقرية الوراثية" ، الذي تناول فيه انقراض الجماعات الاجتماعية المختلفة.

طرح غالتون في الأصل سؤالاً رياضياً يتعلق بتوزيع الألقاب في مجتمع مثالي في عدد من مجلة The Educational Times عام 1873 : ^{[ 5 ]}

تستوطن أمة كبيرة، سنركز فيها فقط على الذكور البالغين، وعددهم N ، ولكل منهم لقب عائلي مختلف _{، منطقةً ما. ينص قانونهم السكاني على أنه في كل جيل، يكون لدى 0} % من الذكور البالغين ليس لديهم أبناء ذكور يصلون إلى سن الرشد؛ ولدى _1% منهم ابن ذكر واحد؛ ولدى 2% منهم ابنان ؛ _وهكذا حتى 5 _% منهم لديهم خمسة أبناء. أوجد: (1) ما هي نسبة الألقاب العائلية التي ستنقرض بعد r جيلًا؟ و(2) كم عدد الحالات التي يحمل فيها m شخصًا اللقب العائلي؟

رد القس هنري ويليام واتسون بحلٍّ. ^{[ 6 ]} ثم كتبا معًا بحثًا عام 1874 بعنوان "حول احتمالية انقراض العائلات" في مجلة المعهد الأنثروبولوجي لبريطانيا العظمى وأيرلندا (التي تُعرف الآن باسم مجلة المعهد الأنثروبولوجي الملكي ). ^{[ 7 ]} ويبدو أن غالتون وواتسون قد توصلا إلى طريقتهما بشكل مستقل عن العمل السابق الذي قام به آي جيه بينامي . ^{[ 8 ]} حلهما غير مكتمل، إذ ينص على أن جميع أسماء العائلات تنقرض باحتمالية 1.

كان بينامي قد نشر سابقًا حلّ المسألة عام ١٨٤٥، ^{[ ٩ ]} مع وعد بنشر الاشتقاق لاحقًا، إلا أنه لا يوجد أي منشور معروف لحلّه. (مع ذلك، يدّعي برو (١٩٩١) ^{[ ١٠ ]} أنه أعاد بناء البرهان). وقد استلهم بينامي من إميل ليتريه ^{[ ١١ ]} ولويس فرانسوا بينواستون دي شاتونوف (صديق بينامي). ^{[ ١٢ ] [ ١٣ ]}

نشر كورنو حلاً عام 1847، في الفصل الخامس، الفقرة 36 ​​من كتابه " أصل وحدود التوافق بين الجبر والهندسة" . [14] تتلخص المسألة في صياغته فيما يلي: لنفترض مقامرًا يشتري تذاكر يانصيب. سعر كل تذكرة 1 إيكو، وقيمة الجائزة 0، 1، ...، m إيكو، باحتمالات k₀، k₁ ^{، ... ،} kₘ على التوالي . يبدأ المقامر بـ ₁ إيكو _قبل الجولة الأولى _، وفي كل جولة ينفق كل ما يملك لشراء تذاكر يانصيب. لنفترض أن _pₙ يمثل احتمال إفلاس المقامر قبل الجولة ( n +1) من اليانصيب. ما هي نهاية pₙ _؟

درس رونالد أ. فيشر في عام 1922 المشكلة نفسها من منظور علم الوراثة. فبدلاً من دراسة انقراض أسماء العائلات، درس احتمالية اختفاء جين طافر في نهاية المطاف ضمن مجموعة سكانية كبيرة. ^{[ 15 ]} وقد حلّ هالدين المشكلة في عام 1927. ^{[ 16 ]}

كان أغنر كراروب إرلانغ عضوًا في عائلة كراروب المرموقة، التي كانت على وشك الانقراض. في عام 1929، نشر إرلانغ المسألة نفسها بعد وفاته (يظهر نعيه بجانب المسألة). توفي إرلانغ دون أن ينجب أطفالًا. حلّها ستيفنسن في عام 1930.

للاطلاع على تاريخ مفصل، انظر كيندال (1966 ^{[ 17 ]} و1975 ^{[ 13 ]} ) وألبرتسن ^{[ 18 ]} وأيضًا القسم 17 من سيمكين ورويتشودري. ^{[ 19 ]}

لنفترض، لأغراض هذا النموذج، أن الألقاب تُورَث لجميع الأبناء الذكور من آبائهم. ولنفترض أن عدد أبناء الرجل متغير عشوائي موزع على المجموعة  {  0،  1،  2،  3،  ...  }. ولنفترض كذلك أن أعداد أبناء الرجال المختلفين متغيرات عشوائية مستقلة ، جميعها لها نفس التوزيع.

ثم إن أبسط استنتاج رياضي جوهري هو أنه إذا كان متوسط ​​عدد أبناء الرجل 1 أو أقل، فإن لقبهم سينقرض على الأرجح ، وإذا كان أكثر من  1، فهناك احتمال أكبر من الصفر لبقائه لأي عدد معين من الأجيال.

ومن النتائج المترتبة على ارتفاع احتمالات الانقراض أنه إذا نجا سلالة ما ، فمن المحتمل أنها شهدت، عن طريق الصدفة البحتة، معدل نمو مرتفع بشكل غير عادي في أجيالها الأولى على الأقل مقارنة ببقية السكان.

عملية غالتون-واتسون هي عملية عشوائية${\displaystyle \lbrace X_{n}\rbrace _{n\in \mathbb {N} }}$والتي تتطور وفقًا لصيغة التكرار${\displaystyle X_{0}=1}$و

${\displaystyle X_{n+1}=\sum _{j=1}^{X_{n}}\xi _{j}^{(n)}}$

أين${\displaystyle \{\xi _{j}^{(n)}:n,j\in \mathbb {N} \}}$هي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات القيم العددية الطبيعية.

على غرار أسماء العائلات،${\displaystyle X_{n}}$يمكن اعتبارها عدد النسل (على طول خط الذكور) في${\displaystyle n}$الجيل -th، و${\displaystyle \xi _{j}^{(n)}}$يمكن اعتبارها عدد الأطفال (الذكور) من${\displaystyle j}$-th من هؤلاء النسل. تنص علاقة التكرار على أن عدد النسل في${\displaystyle (n+1)}$الجيل رقم - هو المجموع الكلي${\displaystyle n}$أحفاد الجيل - من عدد أبناء ذلك الحفيد.

احتمالية الانقراض (أي احتمالية الانقراض النهائي) تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr(X_{n}=0).\,}$

من الواضح أن هذا يساوي صفرًا إذا كان لكل فرد من أفراد المجموعة سليل واحد فقط. وباستثناء هذه الحالة (التي تُسمى عادةً الحالة التافهة)، يوجد شرط ضروري وكافٍ بسيط، سيتم توضيحه في القسم التالي.

في الحالة غير البسيطة، يكون احتمال الانقراض النهائي مساوياً لـ${\displaystyle 1}$لو${\displaystyle \mathbb {E} \left[\xi _{1}\right]\leq 1}$وهو أقل من ذلك بكثير${\displaystyle 1}$لو${\displaystyle \mathbb {E} \left[\xi _{1}\right]>1}$.

يمكن معالجة هذه العملية تحليلياً باستخدام طريقة الدوال المولدة للاحتمالات .

إذا كان عدد الأطفال${\displaystyle \xi _{j}}$تتبع كل عقدة توزيع بواسون بمعامل${\displaystyle \lambda }$، ويمكن إيجاد علاقة تكرارية بسيطة بشكل خاص لاحتمالية الانقراض الكلية${\displaystyle x_{n}}$بالنسبة لعملية تبدأ بفرد واحد في كل مرة${\displaystyle n}$:

${\displaystyle x_{n+1}=e^{\lambda (x_{n}-1)},\,}$

مما يعطي المنحنيات المذكورة أعلاه.

في عملية نقل لقب العائلة الكلاسيكية غالتون - واتسون الموصوفة أعلاه، لا يلزم النظر إلا إلى الرجال، لأن الذكور فقط هم من ينقلون لقب العائلة إلى الأحفاد. وهذا يعني عمليًا إمكانية اعتبار التكاثر لا جنسيًا. (وبالمثل، عند تحليل انتقال الميتوكوندريا، لا يلزم النظر إلا إلى النساء، لأن الإناث فقط هن من ينقلن الميتوكوندريا إلى الأحفاد).

يُعدّ نموذج "عملية غالتون - واتسون ثنائية الجنس" نموذجًا أقرب إلى التكاثر الجنسي الفعلي، حيث تتكاثر فيه الأزواج فقط. ( يشير مصطلح "ثنائي الجنس" في هذا السياق إلى عدد الجنسين المعنيين، وليس إلى الميول الجنسية ). في هذه العملية، يُفترض أن كل طفل ذكر أو أنثى، بشكل مستقل عن الآخر، باحتمالية محددة، وتُحدد "دالة التزاوج" عدد الأزواج التي ستتشكل في جيل معين. وكما في السابق، يُعتبر تكاثر الأزواج المختلفة مستقلاً عن بعضها البعض. الآن، يُقابل الحالة البديهية حالة تكاثر كل ذكر وأنثى في زوج واحد فقط، ليُنجبا نسلًا واحدًا من الذكور وآخر من الإناث، وأن تأخذ دالة التزاوج قيمة الحد الأدنى لعدد الذكور والإناث (والذي يكون متساويًا من الجيل التالي فصاعدًا).

بما أن التكاثر الكلي خلال جيل واحد يعتمد بشكل كبير على وظيفة التزاوج، فلا يوجد عمومًا شرط ضروري وكافٍ بسيط للانقراض النهائي كما هو الحال في عملية غالتون - واتسون الكلاسيكية. مع ذلك، وباستثناء الحالة غير التافهة، فإن مفهوم متوسط ​​التكاثر (بروس، 1984) يسمح بشرط كافٍ عام للانقراض النهائي، والذي سيتم تناوله في القسم التالي.

يُعدّ الاستشهاد بأمثلة تاريخية لعملية غالتون-واتسون أمرًا معقدًا نظرًا لأن تاريخ أسماء العائلات غالبًا ما ينحرف بشكل كبير عن النموذج النظري. ومن الجدير بالذكر أنه يمكن استحداث أسماء جديدة، وتغيير الأسماء الموجودة خلال حياة الشخص، كما أن الناس تاريخيًا غالبًا ما اتخذوا أسماء أشخاص لا تربطهم بهم صلة قرابة، لا سيما النبلاء. وبالتالي، فإن قلة عدد أسماء العائلات في الوقت الحاضر لا يُعدّ بحد ذاته دليلًا على انقراض أسماء معينة بمرور الوقت، أو على انقراضها نتيجةً لزوال سلالات العائلات - فهذا يتطلب وجود عدد أكبر من الأسماء في الماضي، وأن انقراضها كان نتيجةً لانقطاع السلالة، وليس لتغير الاسم لأسباب أخرى، مثل اتخاذ التابعين اسم سيدهم.

تُعدّ الأسماء الصينية مثالًا مدروسًا جيدًا على انقراض الألقاب: فبعد أكثر من ألفي عام من شيوع استخدام أسماء العائلات، لا يوجد حاليًا سوى حوالي 3100 لقب مستخدم في الصين، مقارنةً بما يقارب 12000 لقب مسجل في الماضي، ^{[ 20 ] [ 21 ]} حيث يحمل 22% من السكان أسماء لي ووانغ وتشانغ (أي ما يقارب 300 مليون نسمة)، بينما تغطي أكثر 200 اسم شيوعًا (6.5%) 96% من السكان. وقد تغيرت الأسماء أو انقرضت لأسباب مختلفة، منها اتخاذ الناس أسماء حكامهم، وتبسيط الكتابة، والمحرمات المتعلقة باستخدام حروف من اسم الإمبراطور ، وغيرها. ^{[ 21 ]} ورغم أن انقراض سلالات أسماء العائلات قد يكون عاملًا في انقراض الألقاب، إلا أنه ليس العامل الوحيد أو حتى العامل الأهم. في الواقع، يُعدّ العامل الأهم الذي يؤثر على شيوع الألقاب هو تبني مجموعات عرقية أخرى، تُعرّف نفسها بأنها من عرق الهان ، أسماءً من هذا العرق. ^{[ 21 ]} علاوة على ذلك، فبينما ظهرت أسماء جديدة لأسباب مختلفة، إلا أن اختفاء الأسماء القديمة فاق ذلك. ^{[ 21 ]}

في المقابل، اعتمدت بعض الدول أسماء عائلية مؤخرًا فقط. وهذا يعني أنها لم تشهد انقراضًا للألقاب لفترة طويلة، وأن هذه الأسماء اعتُمدت عندما كان عدد سكان الدولة كبيرًا نسبيًا، وليس كما كان في العصور القديمة حيث كان عدد السكان أقل. ^{[ 21 ]} علاوة على ذلك، غالبًا ما اختيرت هذه الأسماء بطريقة إبداعية، وهي متنوعة للغاية. ومن الأمثلة على ذلك:

• تضمّ اليابان أسماءً عائليةً ، يعود استخدامها الشائع إلى عصر ميجي في أواخر القرن التاسع عشر (حين تجاوز عدد السكان 30 مليون نسمة)، ويبلغ عددها أكثر من 100 ألف اسم عائلة، وتتسم ألقابها بتنوع كبير، كما تفرض الحكومة على الأزواج استخدام اللقب نفسه. وقد كشفت أبحاث حديثة أن عامة الناس في اليابان خلال فترة إيدو لم تكن لديهم ألقاب عائلية رسمية، بل كان كل فرد منهم يختار لقبه الخاص بشكل عفوي. وقد اتضح أن عددًا قليلًا جدًا من الألقاب العائلية قد استُحدث حديثًا خلال عصر ميجي. ^{[ 22 ]}
• لم تتضمن العديد من الأسماء الهولندية اسم عائلة رسمي إلا منذ الحروب النابليونية في أوائل القرن التاسع عشر. قبل ذلك، كانت أسماء العائلات مشتقة من أسماء الأب ^{[ 23 ]} (مثل: Jansen = ابن جون)، أو الصفات الشخصية (مثل: de Rijke = الغني)، أو المواقع الجغرافية (مثل: van Rotterdam)، أو المهن (مثل: Visser = الصياد)، وأحيانًا من مزيج من هذه الصفات (مثل: Jan Jansz van Rotterdam). يوجد أكثر من 68,000 اسم عائلة هولندي.
• لم تتضمن الأسماء التايلاندية اسم العائلة إلا منذ عام ١٩٢٠، ولا يُسمح إلا لعائلة واحدة باستخدام اسم عائلة معين؛ لذا يوجد عدد كبير من الأسماء التايلاندية. علاوة على ذلك، يُغيّر التايلانديون أسماء عائلاتهم بشكل متكرر، مما يُعقّد عملية التحليل.

من ناحية أخرى، فإن بعض الأمثلة على التركيز العالي لأسماء العائلات لا تعود في المقام الأول إلى عملية جالتون-واتسون:

• يضمّ الفيتناميون حوالي 100 اسم عائلة، حيث يتشارك 60% من السكان ثلاثة أسماء عائلية. ويُقدّر أن اسم "نغوين" وحده يستخدمه ما يقارب 40% من الفيتناميين، بينما يتشارك 90% منهم 15 اسمًا. مع ذلك، وكما يُبيّن تاريخ اسم "نغوين"، فإنّ هذا يعود في جزء كبير منه إلى فرض الأسماء على الناس أو تبنّيها لأسباب لا علاقة لها بالصلة الوراثية.

وتشمل التطبيقات الحديثة احتمالات بقاء جين طافر جديد ، أو بدء تفاعل نووي متسلسل ، أو ديناميكيات تفشي الأمراض في أجيالها الأولى من الانتشار، أو فرص انقراض مجموعات صغيرة من الكائنات الحية .

• عملية التفرع
• عملية التفرع المعتمدة على الموارد
• انهيار النسب

• هاريس، ثيودور إدوارد (1963). نظرية العمليات المتفرعة (PDF) . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . المجلد.  119. برلين: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 978-3-642-51868-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

• "بقاء طفرة واحدة" بقلم بيتر إم. لي من جامعة يورك
• عملية غالتون-واتسون البسيطة: المنهج الكلاسيكي ، جامعة مونستر