نظرية مجموعات أكرمان

في الرياضيات والمنطق ، تُعرف نظرية مجموعات أكرمان (AST، والمعروفة أيضًا باسم${\displaystyle A^{*}/V}$^{[ 1 ]} ) هينظرية مجموعةاقترحهاويلهلم أكرمانفي عام 1956. ^{[ 2 ]}

تختلف نظرية المجموعات التحليلية (AST) عن نظرية زيرميلو-فرانكل (ZF) في أنها تسمح بوجود فئات حقيقية ، أي كائنات ليست مجموعات، بما في ذلك فئة جميع المجموعات. وتستبدل AST العديد من بديهيات ZF القياسية لبناء مجموعات جديدة بمبدأ يُعرف باسم مخطط أكرمان. وبشكل بديهي، يسمح هذا المخطط ببناء مجموعة جديدة إذا أمكن تعريفها بصيغة لا تشير إلى فئة جميع المجموعات. وفي استخدامها للفئات، تختلف AST عن نظريات المجموعات البديلة الأخرى، مثل نظرية مورس-كيلي ونظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل، في أن الفئة قد تكون عنصرًا من فئة أخرى.

أثبت ويليام ن. راينهارت في عام 1970 أن نظرية AST تُعادل نظرية ZF في قوتها، مما يضعها على أسس متساوية. وعلى وجه الخصوص، تكون نظرية AST متسقة إذا وفقط إذا كانت نظرية ZF متسقة.

تُصاغ شجرة بناء الجملة المجردة (AST) باستخدام منطق الرتبة الأولى .${\displaystyle L_{\{\in ,V\}}}$تحتوي شجرة بناء الجملة المجردة (AST) على علاقة ثنائية واحدة${\displaystyle \in }$يشير إلى عضوية المجموعة وثابت واحد${\displaystyle V}$يشير إلى فئة جميع المجموعات . استخدم أكرمان دالة منطقية.${\displaystyle M}$بدلاً من${\displaystyle V}$وهذا يعادل كل واحد من${\displaystyle M}$و${\displaystyle V}$يمكن تعريف أحدهما بدلالة الآخر. ^{[ 3 ]}

سنشير إلى عناصر من${\displaystyle V}$تُصنف الكائنات العامة كفئات ، بينما تُصنف الكائنات العامة كفئات . أما الفئة التي لا تُصنف كمجموعة فتُسمى فئة حقيقية.

الصيغة التالية منسوبة إلى راينهارت. ^{[ 4 ]} تتضمن البديهيات الخمس مخططين للبديهيات . أما صياغة أكرمان الأصلية فقد اقتصرت على البديهيات الأربع الأولى فقط، متجاهلةً بديهية الانتظام . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ ملاحظة 1 ]}

لم تتضمن بديهيات أكرمان الأصلية الانتظام، واستخدمت رمزًا محمولًا.${\displaystyle M}$بدلاً من الرمز الثابت${\displaystyle V}$[ ^{2 ]} نتبع ليفي ورينهارت في استبدال ^حالات${\displaystyle Mx}$مع${\displaystyle x\in V}$هذا مكافئ لأن${\displaystyle M}$يمكن تعريفها على النحو التالي:${\displaystyle x\in V}$، وعلى العكس من ذلك، المجموعة${\displaystyle V}$يمكن الحصول عليها في الصيغة الأصلية لأكرمان من خلال تطبيق الفهم على المسند${\displaystyle \phi ={\text{True}}}$[ ^{3 ]​}

في نظرية المجموعات البديهية، يستبدل رالف شيندلر مخطط أكرمان (المخطط البديهي 4) بمبدأ الانعكاس التالي : لأي صيغة${\displaystyle \phi }$مع متغيرات حرة${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$،

${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}{\in }V\to (\phi \leftrightarrow \phi ^{V}).}$

هنا،${\displaystyle \phi ^{V}}$يشير إلى نسبية${\displaystyle \phi }$ل${\displaystyle V}$، والذي يحل محل جميع المحددات الكمية في${\displaystyle \phi }$من الشكل${\displaystyle \forall x}$و${\displaystyle \exists x}$بواسطة${\displaystyle \forall x{\in }V}$و${\displaystyle \exists x{\in }V}$[ ^{8 ]​}

يترك${\displaystyle L_{\{\in \}}}$كن لغة الصيغ التي لا تذكر${\displaystyle V}$.

في عام 1959، أثبت أزرييل ليفي أنه إذا${\displaystyle \phi }$هي صيغة من${\displaystyle L_{\{\in \}}}$ويثبت AST${\displaystyle \phi ^{V}}$ثم تثبت ZF${\displaystyle \phi }$[ ^{3 ]​}

في عام 1970، أثبت ويليام ن. راينهارت أنه إذا${\displaystyle \phi }$هي صيغة من${\displaystyle L_{\{\in \}}}$وتثبت ZF ذلك${\displaystyle \phi }$ثم يثبت AST${\displaystyle \phi ^{V}}$[ ^{4 ]​}

لذلك، فإنّ كلاً من AST وZF قابلان للتفسير المتبادل في امتدادات محافظة لبعضهما البعض. وبالتالي فهما متسقان بالتساوي .

من السمات المميزة لشجرة بناء الجملة المجردة (AST) أنه على عكس شجرة بناء الجملة الطبيعية (NBG) ومتغيراتها، يمكن أن يكون الصنف المناسب عنصرًا من صنف مناسب آخر. ^{[ 7 ]}

قام ف. أ. مولر بتطوير امتداد لنظرية المجموعات المجردة (AST) لنظرية الفئات يُسمى ARC. وذكر مولر أن ARC "تؤسس نظرية المجموعات الكانتورية بالإضافة إلى نظرية الفئات، وبالتالي يمكن اعتبارها نظرية تأسيسية للرياضيات بأكملها". ^{[ 9 ]}

• أسس الرياضيات
• قائمة بنظريات المجموعات البديلة
• نظرية زيرميلو للمجموعات