نظرية زيرميلو للمجموعات

تُعدّ نظرية زيرميلو للمجموعات (يُشار إليها أحيانًا بالرمز ^Z- ) ، كما وردت في ورقة بحثية رائدة عام 1908 ^{[ 1 ]} بقلم إرنست زيرميلو ، أصل نظرية زيرميلو-فرانكل الحديثة للمجموعات (ZF) وامتداداتها، مثل نظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل للمجموعات (NBG). وتختلف هذه النظرية عن نظيراتها اللاحقة في بعض الجوانب، والتي لا تُفهم دائمًا، وكثيرًا ما تُنقل بشكل خاطئ. تُقدّم هذه المقالة البديهيات الأصلية ، مع النص الأصلي (مترجمًا إلى الإنجليزية) والترقيم الأصلي.

تُصاغ بديهيات نظرية زيرميلو للمجموعات على أساس الكائنات، بعضها (وليس بالضرورة كلها) مجموعات، أما الكائنات المتبقية فهي عناصر أولية وليست مجموعات. تتضمن لغة زيرميلو ضمنيًا علاقة انتماء ∈، وعلاقة مساواة = (إن لم تكن مضمنة في المنطق الأساسي)، ومسندًا أحاديًا يُحدد ما إذا كان الكائن مجموعة أم لا. غالبًا ما تفترض الإصدارات اللاحقة من نظرية المجموعات أن جميع الكائنات مجموعات، وبالتالي لا توجد عناصر أولية ولا حاجة للمسند الأحادي.

1. البديهية الأولى: بديهية الامتداد ( بديهية الامتداد ) "إذا كان كل عنصر من عناصر المجموعة M هو أيضًا عنصر من عناصر المجموعة N والعكس صحيح ... فإن M${\displaystyle \equiv }$باختصار ، كل مجموعة تتحدد بعناصرها.
2. البديهية الثانية: بديهية المجموعات الأولية ( Axiom der Elementarmengen ): "توجد مجموعة، هي المجموعة الفارغة (∅)، لا تحتوي على أي عنصر على الإطلاق. إذا كان a أي عنصر من عناصر المجال، فستوجد مجموعة { a } تحتوي على a فقط . إذا كان a و b أي عنصرين من عناصر المجال، فستوجد دائمًا مجموعة { a , b } تحتوي على a و b فقط ، ولا تحتوي على أي عنصر x مختلف عنهما." انظر بديهية المجموعة الفارغة وبديهية الاقتران .
3. البديهية الثالثة. بديهية الفصل ( Axiom der Aussonderung ) "عندما يتم تعريف الدالة الافتراضية – ( x ) لجميع عناصر المجموعة M ، فإن M تمتلك مجموعة جزئية M'  تحتوي على عناصر x من M التي تكون فيها – ( x ) صحيحة."
4. البديهية الرابعة. بديهية مجموعة القوى ( Axiom der Potenzmenge ) "لكل مجموعة T توجد مجموعة T'  ، وهي مجموعة القوى لـ T ، والتي تحتوي كعناصر على جميع المجموعات الجزئية من T  بالضبط ."
5. البديهية الخامسة: بديهية الاتحاد ( Axiom der Vereinigung ) "لكل مجموعة T توجد مجموعة ∪T ، وهي اتحاد T ، تحتوي كعناصر على جميع عناصر T  بالضبط ."
6. البديهية السادسة. بديهية الاختيار ( Axiom der Auswahl ) "إذا كانت T مجموعة جميع عناصرها مجموعات مختلفة عن ∅ ومنفصلة عن بعضها البعض، فإن اتحادها ∪T يتضمن على الأقل مجموعة جزئية واحدة S ₁ لها عنصر واحد فقط مشترك مع كل عنصر من عناصر T.  "
7. البديهية السابعة. بديهية اللانهاية ( Axiom des Unendlichen ) "يوجد في المجال مجموعة واحدة على الأقل Z تحتوي على المجموعة الفارغة كعنصر، وهي مُكوَّنة بحيث يكون لكل عنصر من عناصرها a عنصر آخر من الشكل { a }، بمعنى آخر، بحيث تحتوي مع كل عنصر من عناصرها a على المجموعة المقابلة { a } كعنصر." ^{[ 1 ]}

تُعرف نظرية المجموعات الأكثر استخدامًا وقبولًا باسم ZFC، وهي تتألف من نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات، بما في ذلك بديهية الاختيار (AC). توضح الروابط مواضع تطابق بديهيات نظرية زيرميلو. لا يوجد تطابق تام لـ"بديهية المجموعات الأولية". يمكن تقسيمها إلى بديهية المجموعة الفارغة ، وبديهية الاقتران ، وبديهية إضافية تؤكد وجود المجموعات الأحادية . مع ذلك، يمكن استنتاج وجود المجموعات الأحادية ضمن نظرية زيرميلو للمجموعات كما يلي: إذا وُجدت المجموعة a، فإن a و a موجودتان، وبالتالي، من خلال الاقتران، توجد المجموعة { a , a }، ومن ثم، من خلال التمديد، فإن { a , a } = { a }. كما أن بديهية المجموعة الفارغة مفترضة ضمنيًا في بيان زيرميلو لبديهية اللانهاية.

لا تتضمن نظرية زيرميلو للمجموعات بديهيتي الاستبدال والانتظام . نُشرت بديهية الاستبدال لأول مرة عام ١٩٢٢ على يد أبراهام فرانكل وثورالف سكوليم ، _اللذين اكتشفا بشكل مستقل أن بديهيات زيرميلو لا تُثبت وجود المجموعة { Z₀ _, Z₁ , Z₂ , _{... }} حيث _Z₀ هي مجموعة الأعداد الطبيعية و Zₙ₊₁ هي مجموعة قوى Zₙ . أدرك كلاهما أن بديهية الاستبدال ضرورية لإثبات ذلك. في العام التالي، أشار جون فون نيومان _إلى أن بديهية الانتظام ضرورية لبناء نظريته في الأعداد الترتيبية . وقد صاغ ^فون نيومان بديهية الانتظام عام ١٩٢٥. ^[ _٢ ^]   

في نظام ZFC الحديث، تُفسَّر "الدالة الافتراضية" المشار إليها في بديهية الفصل على أنها "أي خاصية قابلة للتعريف بصيغة من الدرجة الأولى ذات معاملات"، وبالتالي تُستبدل بديهية الفصل بمخطط بديهي . لم يكن مفهوم " صيغة الدرجة الأولى " معروفًا عام 1908 عندما نشر زيرميلو نظامه البديهي، وقد رفض لاحقًا هذا التفسير لكونه مُقيِّدًا للغاية. تُعتبر نظرية مجموعات زيرميلو عادةً نظرية من الدرجة الأولى مع استبدال بديهية الفصل بمخطط بديهي يتضمن بديهية لكل صيغة من الدرجة الأولى . ويمكن أيضًا اعتبارها نظرية في منطق الدرجة الثانية ، حيث تصبح بديهية الفصل بديهية واحدة فقط. من المرجح أن يكون تفسير الدرجة الثانية لنظرية مجموعات زيرميلو أقرب إلى تصور زيرميلو نفسه لها، وهو أقوى من تفسير الدرجة الأولى. لم يعد يتم تضمين بديهية المجموعة الفارغة عادةً في بديهيات نظرية المجموعات لأنها تتبع من بديهية (مخطط) الفصل لأي صيغة متناقضة مثل${\displaystyle x\neq x}$.

منذ${\displaystyle (V_{\lambda },V_{\lambda +1})}$- أين${\displaystyle V_{\alpha }}$هل الرتبة-${\displaystyle \alpha }$تُشكّل المجموعة في التسلسل الهرمي التراكمي نموذجًا لنظرية مجموعة زيرميلو من الدرجة الثانية ضمن ZFC كلما${\displaystyle \lambda }$هو عدد ترتيبي حدي أكبر من أصغر عدد ترتيبي لانهائي${\displaystyle \omega }$وبناءً على ذلك، فإن اتساق نظرية مجموعات زيرميلو من الرتبة الثانية (وبالتالي اتساق نظرية مجموعات زيرميلو من الرتبة الأولى أيضًا) هو نظرية من نظريات ZFC. إذا افترضنا${\displaystyle \lambda =\omega \cdot 2}$لا يتحقق شرط وجود عدد أصلي غير قابل للعد في نهاية المجموعة القوية في هذا النموذج؛ وبالتالي لا يمكن إثبات وجود ℶω (أصغر عدد أصلي غير قابل للعد في نهاية المجموعة القوية) في نظرية زيرميلو للمجموعات من الرتبة الثانية. وبالمثل، فإن _{المجموعة}${\displaystyle V_{\omega \cdot 2}\cap L}$(حيث L هو الكون القابل للإنشاء ) يشكل نموذجًا لنظرية مجموعة زيرميلو من الدرجة الأولى حيث لا يتحقق وجود عدد أصلي ضعيف غير قابل للعد، مما يدل على أن نظرية مجموعة زيرميلو من الدرجة الأولى لا يمكنها حتى إثبات وجود أصغر عدد أصلي مفرد .${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$. ضمن هذا النموذج، فإن الأعداد الأصلية اللانهائية الوحيدة هي أعداد ألف المقيدة بالأعداد الترتيبية ذات الفهرس المحدود.

يتم تعديل بديهية اللانهاية عادةً الآن لتأكيد وجود أول عدد ترتيبي لانهائي من نوع فون نيومان${\displaystyle \omega }$لا تستطيع بديهيات زيرميلو الأصلية إثبات وجود هذه المجموعة، كما لا تستطيع بديهيات زيرميلو المعدلة إثبات بديهية زيرميلو عن اللانهاية. ^{[ 3 ]} لا تستطيع بديهيات زيرميلو (الأصلية أو المعدلة) إثبات وجود${\displaystyle V_{\omega }}$كمجموعة، ولا من أي رتبة في التسلسل الهرمي التراكمي للمجموعات ذات الفهرس اللانهائي. في أي صياغة، لا تستطيع نظرية زيرميلو للمجموعات إثبات وجود الترتيب فون نيومان${\displaystyle \omega \cdot 2}$، على الرغم من إثبات وجود مثل هذا النوع من الترتيب ؛ وبالتالي فإن تعريف فون نيومان للأعداد الترتيبية لا يتم استخدامه في نظرية مجموعة زيرميلو.

سمح زيرميلو بوجود عناصر أولية ليست مجموعات ولا تحتوي على أي عناصر؛ وعادة ما يتم حذف هذه العناصر الآن من نظريات المجموعات.

نظرية ماك لين للمجموعات، التي قدمها ماك لين ( 1986 ) ، هي نظرية زيرميلو للمجموعات مع تقييد بديهية الفصل بصيغ الرتبة الأولى التي يكون فيها كل مُكمِّم محدودًا. تُشابه نظرية ماك لين للمجموعات في قوتها نظرية التوبوس مع كائن عدد طبيعي ، أو النظام الوارد في كتاب "مبادئ الرياضيات" . وهي قوية بما يكفي لإجراء معظم العمليات الرياضية العادية غير المرتبطة مباشرةً بنظرية المجموعات أو المنطق. 

يذكر المدخل أن وجود علم نظرية المجموعات نفسه "يبدو مهددًا ببعض التناقضات أو "المغالطات"، التي يمكن استخلاصها من مبادئه - وهي مبادئ تحكم تفكيرنا بالضرورة، على ما يبدو - والتي لم يُعثر لها على حل مُرضٍ تمامًا حتى الآن". ويشير زيرميلو، من بين أمور أخرى، إلى مغالطة راسل .

يقول إنه يريد أن يوضح كيف يمكن اختزال النظرية الأصلية لجورج كانتور وريتشارد ديديكيند إلى بضعة تعريفات وسبعة مبادئ أو بديهيات. ويضيف أنه لم يتمكن من إثبات اتساق هذه البديهيات.

يمكن تلخيص الحجة غير البنائية لتبرير اتساقها على النحو التالي. لنُعرّف V _α حيث α أحد الأعداد الترتيبية 0، 1، 2، ...، ω ، ω +1، ω +2، ...، ω ·2 كما يلي:

• V ₀ هي المجموعة الفارغة.
• بالنسبة لـ α كلاحق من الشكل β +1، يتم تعريف V _α على أنها مجموعة جميع المجموعات الفرعية من V _β .
• بالنسبة لـ α حد (على سبيل المثال ω , ω ·2) ثم يتم تعريف V _α على أنه اتحاد V _β لـ β < α .

_{إذن ،} تكون بديهيات نظرية زيرميلو للمجموعات متسقة لأنها صحيحة في النموذج Vω _·2 . قد يعتبر غير البنائيين هذا دليلاً صحيحاً، بينما قد لا يعتبره البنائيون كذلك: فبينما لا توجد مشاكل في بناء المجموعات حتى Vω _، فإن بناء Vω _{+ 1} أقل وضوحاً لأنه لا يمكن تعريف كل مجموعة جزئية من Vω تعريفاً _{بنائياً .} يمكن تحويل هذا الدليل إلى برهان صحيح بإضافة بديهية جديدة واحدة للانهائية إلى نظرية زيرميلو للمجموعات، وهي ببساطة أن Vω _·2 موجودة . من المفترض أن هذا غير مقنع للبنائيين، ولكنه يُظهر أن اتساق نظرية زيرميلو للمجموعات يمكن إثباته بنظرية لا تختلف كثيراً عن نظرية زيرميلو نفسها، وإنما أقوى منها قليلاً.

يعلق زيرميلو قائلاً إن البديهية الثالثة في نظامه هي المسؤولة عن إزالة التناقضات. وهي تختلف عن التعريف الأصلي الذي وضعه كانتور، كما يلي.

لا يمكن تعريف المجموعات بشكل مستقل بأي مفهوم منطقي قابل للتعريف. بل يجب بناؤها بطريقة ما من مجموعات مُنشأة مسبقًا. على سبيل المثال، يمكن بناؤها بأخذ مجموعات القوى، أو يمكن فصلها كمجموعات جزئية من مجموعات "معطاة" بالفعل. وهذا، كما يقول، يُزيل الأفكار المتناقضة مثل "مجموعة جميع المجموعات" أو "مجموعة جميع الأعداد الترتيبية".

يتغلب على مفارقة راسل من خلال هذه النظرية: "كل مجموعة${\displaystyle M}$يمتلك مجموعة فرعية واحدة على الأقل${\displaystyle M_{0}}$هذا ليس عنصرًا من${\displaystyle M}$." يترك${\displaystyle M_{0}}$لتكن مجموعة جزئية من${\displaystyle M}$ذلك، بحسب البديهية الثالثة، يتم فصله بمفهوم "${\displaystyle x\notin x}$". ثم${\displaystyle M_{0}}$لا يمكن أن يكون في${\displaystyle M}$. ل

1. لو${\displaystyle M_{0}}$هو في${\displaystyle M_{0}}$، ثم${\displaystyle M_{0}}$يحتوي على عنصر x الذي ينتمي إليه x ( أي${\displaystyle M_{0}}$(نفسها)، وهو ما يتعارض مع تعريف${\displaystyle M_{0}}$.
2. لو${\displaystyle M_{0}}$ليس في${\displaystyle M_{0}}$وبافتراض${\displaystyle M_{0}}$إذا كان عنصرًا من M ، فإن${\displaystyle M_{0}}$هو عنصر من عناصر M يحقق التعريف "${\displaystyle x\notin x}$وكذلك في${\displaystyle M_{0}}$وهذا تناقض.

لذلك، فإن الافتراض هو${\displaystyle M_{0}}$هو في${\displaystyle M}$هذا خطأ، مما يثبت النظرية. وبالتالي، لا يمكن أن تكون جميع عناصر المجال الشامل B عناصر في نفس المجموعة. "هذا يُنهي تناقض راسل بالنسبة لنا."

هذا ما ترك مشكلة "المجال ب "، والذي يبدو أنه يشير إلى شيء ما. وقد أدى ذلك إلى فكرة وجود فئة مناسبة .

قد تكون ورقة زيرميلو البحثية أول من ذكر اسم " نظرية كانتور ". تنص نظرية كانتور على ما يلي: "إذا كانت M مجموعة اختيارية، فإن M دائمًا أقل من P( M ) [مجموعة القوى لـ M ]. كل مجموعة لها عدد عناصر أقل من مجموعة مجموعاتها الجزئية".

يثبت زيرميلو ذلك من خلال النظر في دالة φ : M → P( M ). وبحسب البديهية الثالثة، فإن هذا يُعرّف المجموعة التالية M'  :

M'  = { m : m ∉ φ ( m )}.

لكن لا يمكن لأي عنصر m'  من M  أن يقابل M'  ، أي بحيث يكون φ ( m'  ) = M'  . وإلا فإننا سنصل إلى تناقض.

1. إذا كان m'  ينتمي إلى M'،  فبحسب التعريف m'  ∉ φ ( m'  ) = M'  ، وهو الجزء الأول من التناقض.
2. إذا لم يكن m' في  M'  ولكنه في M،  فبحسب التعريف m'  ∉ M'  = φ ( m'  )، وهو ما يعني بحسب التعريف أن m'  موجود في M'  ، وهو الجزء الثاني من التناقض.

وبالتالي، بالتناقض، فإن m'  غير موجود. لاحظ التشابه الكبير بين هذا البرهان والطريقة التي حلّ بها زيرميلو مفارقة راسل.

• S (نظرية المجموعات)