سلسلة بويزو

سلسلة بويزو غير الصفرية${\displaystyle f}$يمكن كتابتها بشكل فريد على النحو التالي

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

مع${\displaystyle c_{k_{0}}\neq 0.}$التقييم​

${\displaystyle v(f)={\frac {k_{0}}{n}}}$

ل${\displaystyle f}$يمثل أصغر أس للترتيب الطبيعي للأعداد النسبية، والمعامل المقابل له${\textstyle c_{k_{0}}}$يُطلق عليه اسم المعامل الأولي أو معامل التقييم لـ ${\displaystyle f}$قيمة السلسلة الصفرية هي${\displaystyle +\infty .}$

الدالة v هي تقييم وتجعل متسلسلة بويزو حقلاً قيماً ، مع المجموعة الجمعية${\displaystyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية كمجموعة تقييمها .

أما بالنسبة لكل حقل ذي قيمة، فإن التقييم يحدد مسافة فائقة القياس وفقًا للصيغة التالية:${\displaystyle d(f,g)=\exp(-v(fg)).}$بالنسبة لهذه المسافة، يكون حقل متسلسلات بويزو فضاءً متريًا .

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

يُعبّر هذا عن أن متسلسلة بويزو هي نهاية مجاميعها الجزئية. مع ذلك، فإن حقل متسلسلات بويزو ليس كاملاً ؛ انظر أدناه §  حقل ليفي-سيفيتا .

تكون متسلسلات بويزو التي توفرها نظرية نيوتن-بويزو متقاربة بمعنى أن هناك جوارًا للصفر تكون فيه متقاربة (باستثناء الصفر إذا كانت القيمة سالبة). بتعبير أدق، ليكن

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

لتكن متسلسلة بويزو ذات معاملات مركبة . يوجد عدد حقيقي r ، يُسمى نصف قطر التقارب، بحيث تتقارب المتسلسلة إذا استُبدل T بعدد مركب غير صفري t قيمته المطلقة أقل من r ، وكان r هو أكبر عدد يحقق هذه الخاصية. تُعتبر متسلسلة بويزو متقاربة إذا كان لها نصف قطر تقارب غير صفري.

لأن العدد المركب غير الصفري له n جذرًا من الرتبة n ، يجب توخي الحذر عند الاستبدال: يجب اختيار جذر n محدد للعدد t ، ولنقل x . ثم يتكون الاستبدال من استبدال${\displaystyle T^{k/n}}$بواسطة${\displaystyle x^{k}}$لكل k .

ينتج وجود نصف قطر التقارب عن وجود مماثل لسلسلة قوى ، مطبقة على${\textstyle T^{-k_{0}/n}f,}$تُعتبر متسلسلة قوى في${\displaystyle T^{1/n}.}$

من ضمن نظرية نيوتن-بويزو أن سلسلة بويزو المعطاة لها نصف قطر تقارب موجب، وبالتالي تحدد دالة تحليلية ( متعددة القيم ) في جوار ما للصفر (ربما يتم استبعاد الصفر نفسه).

إذا كان الحقل الأساسي${\displaystyle K}$إذا تم ترتيبها ، فإن مجال سلسلة بويزو يتجاوز${\displaystyle K}$كما يتم ترتيبها بشكل طبيعي ( معجميًا ) على النحو التالي: سلسلة بويزو غير صفرية${\displaystyle f}$يُعتبر العدد ذو القيمة 0 موجبًا كلما كان معامل تقييمه كذلك. وهذا يعني أساسًا أن أي قوة نسبية موجبة للمتغير غير المحدد${\displaystyle T}$يتم جعلها موجبة، ولكنها أصغر من أي عنصر موجب في الحقل الأساسي${\displaystyle K}$.

إذا كان الحقل الأساسي${\displaystyle K}$يتمتع بتقييم${\displaystyle w}$ثم يمكننا بناء تقييم مختلف على حقل متسلسلات بويزو على${\displaystyle K}$عن طريق السماح بالتقييم${\displaystyle {\hat {w}}(f)}$يكون${\displaystyle \omega \cdot v+w(c_{k}),}$أين${\displaystyle v=k/n}$هو التقييم المحدد مسبقًا (${\displaystyle c_{k}}$(وهو أول معامل غير صفري) و${\displaystyle \omega }$كبيرة بلا حدود (بمعنى آخر، مجموعة القيم لـ${\displaystyle {\hat {w}}}$يكون${\displaystyle \mathbb {Q} \times \Gamma }$مرتبة حسب الترتيب المعجمي، حيث${\displaystyle \Gamma }$هي مجموعة القيم لـ${\displaystyle w}$وهذا يعني أساسًا أن التقييم المحدد مسبقًا${\displaystyle v}$يتم تصحيحها بمقدار ضئيل للغاية لمراعاة التقييم${\displaystyle w}$مُعطى في الحقل الأساسي.

يترك

${\displaystyle P(y)=\sum _{a_{i}\neq 0}a_{i}(x)y^{i}}$

ليكن كثير حدود معاملاته غير الصفرية${\displaystyle a_{i}(x)}$هي كثيرات حدود، أو متسلسلات قوى، أو حتى متسلسلات بويزو في x . في هذا القسم، التقييم${\displaystyle v(a_{i})}$ل${\displaystyle a_{i}}$هو أصغر أس لـ x في${\displaystyle a_{i}.}$(ينطبق معظم ما يلي بشكل عام على المعاملات في أي حلقة ذات قيم .)

لحساب متسلسلة بويزو التي تمثل جذور P (أي حلول المعادلة الوظيفية )${\displaystyle P(y)=0}$أول ما يجب فعله هو حساب قيمة الجذور. هذا هو دور مضلع نيوتن.

لنفترض، في مستوى ديكارتي ، النقاط ذات الإحداثيات${\displaystyle (i,v(a_{i})).}$مضلع نيوتن للنقطة P هو الغلاف المحدب السفلي لهذه النقاط. أي أن حواف مضلع نيوتن هي القطع المستقيمة التي تصل بين نقطتين من هذه النقاط، بحيث لا تقع أي من هذه النقاط أسفل الخط الذي يدعم القطعة المستقيمة (ويُقصد بكلمة "أسفل" عادةً نسبةً إلى قيمة الإحداثي الثاني).

بالنظر إلى متسلسلة بويزو${\displaystyle y_{0}}$التقييم${\displaystyle v_{0}}$، تقييم${\displaystyle P(y_{0})}$هو على الأقل الحد الأدنى من الأرقام${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i}),}$وتساوي هذه القيمة الدنيا إذا تم الوصول إلى هذه القيمة الدنيا لقيمة i واحدة فقط . لذا، بالنسبة لـ${\displaystyle y_{0}}$بما أن P جذر ، يجب الوصول إلى القيمة الصغرى مرتين على الأقل. أي، يجب أن تكون هناك قيمتان${\displaystyle i_{1}}$و${\displaystyle i_{2}}$من أنا بحيث${\displaystyle i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})=i_{2}v_{0}+v(a_{i_{2}}),}$و${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i})\geq i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})}$لكل i .

إنه،${\displaystyle (i_{1},v(a_{i_{1}}))}$و${\displaystyle (i_{2},v(a_{i_{2}}))}$يجب أن ينتمي إلى أحد أضلاع مضلع نيوتن، و $${\displaystyle v_{0}=-{\frac {v(a_{i_{1}})-v(a_{i_{2}})}{i_{1}-i_{2}}}}$$ يجب أن يكون معاكساً لميل هذا الخط. هذا عدد نسبي بمجرد أن تصبح جميع التقييمات${\displaystyle v(a_{i})}$هي أعداد نسبية، وهذا هو سبب إدخال الأسس النسبية في متسلسلات بويزو.

باختصار، يجب أن يكون تقييم جذر P هو عكس ميل حافة متعددة حدود نيوتن.

المعامل الأولي لحل متسلسلة بويزو لـ${\displaystyle P(y)=0}$يمكن استنتاج ذلك بسهولة. لنفترض${\displaystyle c_{i}}$ليكن المعامل الأولي لـ${\displaystyle a_{i}(x),}$أي معامل${\displaystyle x^{v(a_{i})}}$في${\displaystyle a_{i}(x).}$يترك${\displaystyle -v_{0}}$ليكن ميل مضلع نيوتن، و${\displaystyle \gamma x_{0}^{v_{0}}}$ليكن الحد الأولي لحل متسلسلة بويزو المناظرة لـ${\displaystyle P(y)=0.}$إذا لم يحدث إلغاء، فإن المعامل الأولي لـ${\displaystyle P(y)}$سيكون${\textstyle \sum _{i\in I}c_{i}\gamma ^{i},}$ حيث I هي مجموعة المؤشرات i التي تحقق${\displaystyle (i,v(a_{i}))}$ينتمي إلى حافة المنحدر${\displaystyle v_{0}}$من مضلع نيوتن. لذا، لكي يكون له جذر، فإن المعامل الأولي${\displaystyle \gamma }$يجب أن يكون جذرًا غير صفري لكثير الحدود $${\displaystyle \chi (x)=\sum _{i\in I}c_{i}x^{i}}$$ (سيتم استخدام هذه الرموز في القسم التالي).

باختصار، تسمح متعددة حدود نيوتن بحساب سهل لجميع الحدود الأولية الممكنة لمتسلسلة بويزو التي تمثل حلولاً لـ${\displaystyle P(y)=0.}$

سيتألف برهان نظرية نيوتن-بويزو من البدء من هذه الحدود الأولية لحساب الحدود التالية لحلول سلسلة بويزو بشكل متكرر.

لنفترض أن الحد الأول${\displaystyle \gamma x^{v_{0}}}$من حلول سلسلة بويزو${\displaystyle P(y)=0}$تم حسابها بالطريقة المذكورة في القسم السابق. يبقى حساب${\displaystyle z=y-\gamma x^{v_{0}}.}$ولهذا السبب، قمنا بتحديد${\displaystyle y_{0}=\gamma x^{v_{0}},}$واكتب متسلسلة تايلور للدالة P على${\displaystyle z=y-y_{0}:}$

${\displaystyle Q(z)=P(y_{0}+z)=P(y_{0})+zP'(y_{0})+\cdots +z^{j}{\frac {P^{(j)}(y_{0})}{j!}}+\cdots }$

هذه دالة متعددة الحدود في z ومعاملاتها عبارة عن متسلسلات بويزو في x . يمكن تطبيق طريقة مضلع نيوتن عليها، والتكرار للحصول على حدود متسلسلة بويزو، واحدًا تلو الآخر. ولكن يلزم توخي الحذر لضمان ذلك.${\displaystyle v(z)>v_{0},}$وإثبات أنه يمكن الحصول على متسلسلة بويزو، أي أن مقامات أسس x تظل محدودة.

الاشتقاق بالنسبة إلى y لا يغير قيمة المعاملات بالنسبة إلى x ؛ أي

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0}),}$

وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا ${\displaystyle \chi ^{(j)}(\gamma )\neq 0,}$أين${\displaystyle \chi (x)}$هي متعددة الحدود في القسم السابق. إذا كانت m هي تعدد الحدود${\displaystyle \gamma }$كجذر لـ${\displaystyle \chi ,}$ويترتب على ذلك أن عدم المساواة هو مساواة لـ${\displaystyle j=m.}$الشروط بحيث${\displaystyle j>m}$يمكن نسيانها فيما يتعلق بالتقييمات، كما${\displaystyle v(z)>v_{0}}$و${\displaystyle j>m}$يعني

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0})>v\left(P^{(m)}(y_{0})z^{m}\right).}$

هذا يعني أنه عند تكرار طريقة مضلع نيوتن، يمكن بل يجب النظر فقط في جزء مضلع نيوتن الذي تنتمي إحداثياته ​​الأولى إلى الفترة${\displaystyle [0,m].}$يجب النظر في حالتين بشكل منفصل وستكونان موضوع الأقسام الفرعية التالية، وهما الحالة المتفرعة ، حيث m > 1 ، والحالة العادية حيث m = 1 .

تم شرح طريقة تطبيق مضلع نيوتن بشكل تكراري سابقًا. وبما أن كل تطبيق لهذه الطريقة قد يزيد، في حالة التفرع، من مقامات الأسس (القيم)، يبقى إثبات الوصول إلى الحالة المنتظمة بعد عدد محدود من التكرارات (وإلا فلن تكون مقامات أسس المتسلسلة الناتجة محدودة، ولن تكون هذه المتسلسلة متسلسلة بويزو). وبالمناسبة، سيتم أيضًا إثبات الحصول على عدد من حلول متسلسلة بويزو مطابق تمامًا لما هو متوقع، أي درجة${\displaystyle P(y)}$في ص .

دون الإخلال بعمومية المسألة، يمكن للمرء أن يفترض أن${\displaystyle P(0)\neq 0,}$إنه،${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$في الواقع، كل عامل y من${\displaystyle P(y)}$يوفر حلاً عبارة عن متسلسلة بويزو الصفرية، ويمكن استخراج هذه العوامل.

بما أن الخاصية يفترض أن تكون صفرًا، يمكن للمرء أيضًا أن يفترض أن${\displaystyle P(y)}$هي متعددة حدود خالية من المربعات ، أي أن حلولها${\displaystyle P(y)=0}$جميعها مختلفة. في الواقع، لا يستخدم التحليل الخالي من المربعات سوى عمليات حقل المعاملات للتحليل.${\displaystyle P(y)}$إلى عوامل خالية من المربعات يمكن حلها بشكل منفصل. (فرضية الصفر المميز ضرورية، لأنه في الخاصية المميزة p ، يمكن أن يوفر التفكيك الخالي من المربعات عوامل غير قابلة للاختزال، مثل${\displaystyle y^{p}-x,}$التي لها جذور متعددة على امتداد جبري.)

في هذا السياق، يُعرَّف طول ضلع مضلع نيوتن بأنه الفرق بين إحداثيات طرفيه. طول المضلع هو مجموع أطوال أضلاعه. مع الفرضية${\displaystyle P(0)\neq 0,}$طول مضلع نيوتن للمعادلة P هو درجته في y ، أي عدد جذوره. طول ضلع مضلع نيوتن هو عدد جذور قيمة معينة. هذا العدد يساوي درجة متعددة الحدود المعرفة سابقًا.${\displaystyle \chi (x).}$

وبالتالي، تتوافق الحالة المتفرعة مع حلين (أو أكثر) لهما نفس الحد (أو الحدود) الابتدائي. ولأن هذه الحلول يجب أن تكون متميزة (فرضية خلوها من المربعات)، فلا بد من تمييزها بعد عدد محدود من التكرارات. أي أننا نحصل في النهاية على متعددة حدود.${\displaystyle \chi (x)}$أي أنها خالية من المربعات، ويمكن أن تستمر الحسابات كما في الحالة العادية لكل جذر من جذور${\displaystyle \chi (x).}$

بما أن تكرار الحالة العادية لا يزيد من مقامات الأسس، فإن هذا يدل على أن الطريقة توفر جميع الحلول كمتسلسلات بويزو، أي أن حقل متسلسلات بويزو على الأعداد المركبة هو حقل مغلق جبريًا يحتوي على حلقة متعددة الحدود أحادية المتغير ذات معاملات مركبة.

لا تنطبق نظرية نيوتن-بويزو على الحقول ذات الخاصية الموجبة. على سبيل المثال، المعادلة${\displaystyle X^{2}-X=T^{-1}}$لديه حلول

${\displaystyle X=T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}T^{1/2}-{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

و

${\displaystyle X=-T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}T^{1/2}+{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

(يمكن للمرء أن يتحقق بسهولة من الحدود القليلة الأولى أن مجموع وحاصل ضرب هاتين المتسلسلتين يساوي 1 و${\displaystyle -T^{-1}}$على التوالي؛ وهذا صحيح كلما كان للحقل الأساسي K خصائص مختلفة عن  2).

كما قد يوحي وجود قوى العدد 2 في مقامات معاملات المثال السابق، فإن نص النظرية غير صحيح في الخاصية الموجبة. مثال على ذلك معادلة آرتين-شراير${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$يوضح هذا: إن الاستدلال بالتقييمات يُظهر أن X يجب أن يكون له تقييم${\textstyle -{\frac {1}{p}}}$وإذا أعدنا كتابتها على النحو التالي${\displaystyle X=T^{-1/p}+X_{1}}$ثم

${\displaystyle X^{p}=T^{-1}+{X_{1}}^{p},{\text{ so }}{X_{1}}^{p}-X_{1}=T^{-1/p}}$

ويُظهر أحدهم بالمثل أن${\displaystyle X_{1}}$ينبغي أن يكون له تقييم${\textstyle -{\frac {1}{p^{2}}}}$وباتباع هذه الطريقة، يحصل المرء على المتسلسلة

${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots$ ;}

بما أن هذه المتسلسلة لا معنى لها كمتسلسلة بويزو - لأن الأسس لها مقامات غير محدودة - فإن المعادلة الأصلية ليس لها حل. ومع ذلك، فإن معادلات أيزنشتاين هذه هي أساسًا المعادلات الوحيدة التي ليس لها حل، لأنه إذا${\displaystyle K}$هي مجموعة مغلقة جبريًا ذات خاصية${\displaystyle p>0}$ثم مجال سلسلة بويزو${\displaystyle K}$هو الإغلاق المثالي لأقصى امتداد متفرع بشكل معتدل لـ${\displaystyle K(\!(T)\!)}$[ ^{4 ]​}

على غرار حالة الإغلاق الجبري، توجد نظرية مماثلة للإغلاق الحقيقي : إذا${\displaystyle K}$إذا كان حقلًا مغلقًا حقيقيًا، فإن حقل متسلسلات بويزو على${\displaystyle K}$هل يمثل هذا نهاية حقيقية لمجال سلسلة لوران الرسمية؟${\displaystyle K}$[ ^{5 ] (} هذا يستلزم النظرية السابقة لأن أي حقل مغلق جبريًا ذو خاصية صفرية هو الامتداد التربيعي الوحيد لبعض الحقول المغلقة الحقيقية.)

توجد أيضًا نتيجة مماثلة للإغلاق p-adic : إذا${\displaystyle K}$هو${\displaystyle p}$- حقل مغلق جذريًا فيما يتعلق بالتقييم${\displaystyle w}$ثم مجال سلسلة بويزو${\displaystyle K}$وهو أيضًا${\displaystyle p}$مغلق جذريًا. ^{[ 6 ]}

يترك${\displaystyle X}$ليكن منحنى جبريًا ^{[ 7 ]} معطى بمعادلة خطية${\displaystyle F(x,y)=0}$على حقل مغلق جبريًا${\displaystyle K}$ذات خاصية صفر، ولنعتبر نقطة${\displaystyle p}$على${\displaystyle X}$والتي يمكننا أن نفترض أنها${\displaystyle (0,0)}$نفترض أيضاً أن${\displaystyle X}$ليس محور الإحداثيات${\displaystyle x=0}$ثم توسيع بويزو لـ (الـ${\displaystyle y}$إحداثيات)${\displaystyle X}$في${\displaystyle p}$هي سلسلة بويزو${\displaystyle f}$أن يكون له تقييم إيجابي بحيث${\displaystyle F(x,f(x))=0}$.

وبشكل أدق، دعونا نحدد فروع${\displaystyle X}$في${\displaystyle p}$لتكون النقاط${\displaystyle q}$من عملية التطبيع${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle X}$أي خريطة إلى${\displaystyle p}$لكل واحد من هؤلاء${\displaystyle q}$يوجد إحداثي محلي${\displaystyle t}$ل${\displaystyle Y}$في${\displaystyle q}$(وهي نقطة ملساء) بحيث تكون الإحداثيات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يمكن التعبير عنها كمتسلسلة قوى رسمية من${\displaystyle t}$، يقول${\displaystyle x=t^{n}+\cdots }$(منذ${\displaystyle K}$بما أن المجموعة مغلقة جبريًا، يمكننا افتراض أن معامل التقييم يساوي  1) و${\displaystyle y=ct^{k}+\cdots }$ثم هناك سلسلة بويزو فريدة من نوعها على شكل${\displaystyle f=cT^{k/n}+\cdots }$(سلسلة قوى في${\displaystyle T^{1/n}}$), بحيث${\displaystyle y(t)=f(x(t))}$(التعبير الأخير ذو معنى لأن${\displaystyle x(t)^{1/n}=t+\cdots }$هي متسلسلة قوى محددة جيدًا في${\displaystyle t}$هذا توسيع من بويزو لـ${\displaystyle X}$في${\displaystyle p}$والذي يقال إنه مرتبط بالفرع الذي قدمه${\displaystyle q}$(أو ببساطة، توسع بويزو لهذا الفرع من${\displaystyle X}$)، وكل توسعة لـ Puiseux${\displaystyle X}$في${\displaystyle p}$يتم تقديمها بهذه الطريقة لفرع فريد من${\displaystyle X}$في${\displaystyle p}$[ ^{8 ] [ 9 ]​}

يُشار إلى وجود تمثيل رسمي لفروع منحنى أو دالة جبرية باسم نظرية بويزو : ويمكن القول إنها تحمل نفس المحتوى الرياضي لحقيقة أن حقل متسلسلات بويزو مغلق جبريًا، وهي وصف أكثر دقة تاريخيًا لعبارة المؤلف الأصلي. ^{[ 10 ]}

على سبيل المثال، المنحنى${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$(الذي يكون توحيده عبارة عن خط ذي إحداثيات${\displaystyle t}$والخريطة${\displaystyle t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$) له فرعان عند النقطة المزدوجة (0,0)، والتي تتوافق مع النقاط${\displaystyle t=+1}$و${\displaystyle t=-1}$فيما يتعلق بالتطبيع، فإن توسعات بويزو الخاصة به هي${\textstyle y=x+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$و${\textstyle y=-x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$على التوالي (هنا، كلاهما متسلسلات قوى لأن${\displaystyle x}$تكون الإحداثيات متساوية عند النقاط المقابلة في عملية التطبيع). عند النقطة الملساء${\displaystyle (-1,0)}$(وهو${\displaystyle t=0}$في عملية التطبيع)، لها فرع واحد، يُعطى بواسطة توسيع بويزو${\displaystyle y=-(x+1)^{1/2}+(x+1)^{3/2}}$(ال${\displaystyle x}$تتفرع الإحداثيات عند هذه النقطة، لذا فهي ليست متسلسلة قوى).

المنحنى${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$(الذي يكون توحيده مرة أخرى خطًا بإحداثيات${\displaystyle t}$والخريطة${\displaystyle t\mapsto (t^{2},t^{3})}$من ناحية أخرى، له فرع واحد عند نقطة التقاء الأغصان${\displaystyle (0,0)}$، الذي توسعت شركة بويزو التابعة له${\displaystyle y=x^{3/2}}$.

متى${\displaystyle K=\mathbb {C} }$في مجال الأعداد المركبة، يكون توسيع بويزو لمنحنى جبري (كما هو مُعرَّف أعلاه) متقاربًا بمعنى أنه بالنسبة لاختيار مُعطى لـ${\displaystyle n}$الجذر النوني لـ${\displaystyle x}$تتقارب هذه النتائج عندما تكون صغيرة بما يكفي.${\displaystyle |x|}$وبالتالي، حدد معلمات تحليلية لكل فرع من فروع${\displaystyle X}$في جوار${\displaystyle p}$(وبشكل أدق، تتم عملية تحديد المعلمات بواسطة${\displaystyle n}$الجذر النوني لـ${\displaystyle x}$).

حقل متسلسلات بويزو ليس كاملاً كفضاء متري . ويمكن وصف اكتماله، المسمى حقل ليفي-تشيفيتا ، على النحو التالي: إنه حقل التعبيرات الشكلية من الشكل${\textstyle f=\sum _{e}c_{e}T^{e},}$حيث يمثل نطاق المعاملات (أي مجموعة e التي تحقق${\displaystyle c_{e}\neq 0}$) هو مدى متتالية متزايدة من الأعداد النسبية، إما أن تكون منتهية أو تميل إلى${\displaystyle +\infty }$بمعنى آخر، تقبل هذه المتسلسلات أسسًا ذات مقامات غير محدودة، بشرط وجود عدد محدود من الحدود ذات أس أقل من${\displaystyle A}$لأي حد معين${\displaystyle A}$. على سبيل المثال،${\textstyle \sum _{k=1}^{+\infty }T^{k+{\frac {1}{k}}}}$ليست متسلسلة بويزو، لكنها نهاية متتالية كوشي من متسلسلات بويزو؛ وعلى وجه الخصوص، هي نهاية${\textstyle \sum _{k=1}^{N}T^{k+{\frac {1}{k}}}}$مثل${\displaystyle N\to +\infty }$ومع ذلك، فإن هذا الإكمال لا يزال غير "مكتمل بشكل كامل" بالمعنى الذي يسمح بامتدادات غير تافهة وهي حقول ذات قيم لها نفس مجموعة القيم وحقل البقايا، ^{[ 11 ] [ 12 ]} وبالتالي فرصة إكماله بشكل أكبر.

تُعدّ متسلسلات هان تعميمًا أوسع لمتسلسلات بويزو، وقد قدّمها هانز هان أثناء إثباته لنظرية التضمين عام 1907، ثم درسها في منهجه لحلّ المسألة السابعة عشرة لهيلبرت . في متسلسلة هان، بدلًا من اشتراط أن يكون مقام الأسس محدودًا، يُشترط أن تُشكّل مجموعة جزئية مُرتبة جيدًا من زمرة القيم (عادةً ما تكون π = 1).${\displaystyle \mathbb {Q} }$أو${\displaystyle \mathbb {R} }$وقد عُممت هذه المتسلسلات لاحقًا بواسطة أناتولي مالتسيف وبرنهارد نيومان لتشمل حالة غير تبادلية (لذلك تُعرف أحيانًا باسم متسلسلات هان-مالتسيف-نيومان ). وباستخدام متسلسلات هان، يُمكن وصف الإغلاق الجبري لحقل متسلسلات القوى في الخاصية الموجبة، وهو وصف يُشابه إلى حد ما حقل متسلسلات بويزو. ^{[ 13 ]}