وظيفة النافذة

عند تحليل إشارة عابرة في التحليل النمطي ، مثل النبضة، أو استجابة الصدمة، أو نبضة جيبية، أو نبضة ترددية متغيرة، أو نبضة ضوضاء، حيث يكون توزيع الطاقة مقابل الزمن غير منتظم للغاية، قد تكون النافذة المستطيلة هي الأنسب. على سبيل المثال، عندما تتركز معظم الطاقة في بداية التسجيل، فإن النافذة غير المستطيلة تُضعف معظم الطاقة، مما يؤدي إلى تدهور نسبة الإشارة إلى الضوضاء . ^{[ 10 ]}

قد يرغب المرء في قياس المحتوى التوافقي لنوتة موسيقية من آلة موسيقية معينة، أو التشوه التوافقي لمضخم صوت عند تردد محدد. بالرجوع إلى الشكل 2 ، نلاحظ عدم وجود تسريب عند مجموعة منفصلة من الترددات المتوافقة التي تم أخذ عينات منها بواسطة تحويل فورييه المنفصل (DFT). (النقاط الصفرية الطيفية هي في الواقع نقاط عبور الصفر، والتي لا يمكن عرضها على مقياس لوغاريتمي كهذا). هذه الخاصية فريدة للنافذة المستطيلة، ويجب ضبطها بشكل مناسب لتردد الإشارة، كما هو موضح أعلاه.

تُعطى النوافذ المثلثية بواسطة

${\displaystyle w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N,}$

حيث يمكن أن تكون L إما N ، ^{[ 20 ]} أو N  +  1، ^{[ 16 ] [ 21 ] [ 22 ]} أو N  +  2. ^{[ 23 ]} يُعرف الأول أيضًا باسم نافذة بارتليت أو نافذة فيجير . تتقارب جميع التعريفات الثلاثة عند قيم N الكبيرة . 

النافذة المثلثية هي نافذة B -spline من الرتبة الثانية . يمكن اعتبار الصيغة L  = N بمثابة التفاف لنافذتين مستطيلتين بعرض N / 2 . تحويل فورييه للنتيجة هو مربع قيم تحويل النافذة المستطيلة ذات العرض النصفي. 

بتعريف L ≜ N + 1 ، فإن نافذة بارزن، والمعروفة أيضًا باسم نافذة دي لا فالي بوسان ، ^{[ 16 ]} هي نافذة B -spline من الرتبة الرابعة المعطاة بواسطة

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq \left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac {L}{4}}\\2\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\ w_{0}\left(n-{\tfrac {N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

تتكون نافذة ويلش من مقطع مكافئ واحد :

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)^{2},\quad 0\leq n\leq N.}$^{[ 23 ]}

أو يمكن كتابتها كعاملين، كما هو الحال في توزيع بيتا :

${\displaystyle w[n]=\left(1+{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)\left(1-{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

تصل قيمة متعددة الحدود التربيعية المحددة إلى الصفر عند العينات الواقعة خارج نطاق النافذة مباشرة.

نافذة ويلش قريبة جدًا من نافذة الجيب ، وكما أن نوافذ قوى الجيب تُعدّ عائلةً مفيدةً من حيث المعاملات، فإن عائلة نوافذ قوى ويلش مفيدةٌ بالمثل. قوى نافذة ويلش أو النافذة المكافئة هي أيضًا توزيعات بيتا متناظرة ، وهي دوال جبرية بحتة (إذا كانت القوى نسبية)، على عكس معظم النوافذ التي هي دوال متسامية. إذا استُخدمت أسس مختلفة للعاملين في متعددة حدود ويلش، فإن النتيجة هي توزيع بيتا عام، وهو مفيد لإنشاء دوال نوافذ غير متناظرة .

جلسة${\displaystyle a_{0}=0.5;\quad a_{1}=-0.5}$ينتج نافذة هان :

${\displaystyle w[n]=\sum _{l=0}^{L-1}a_{l}\cos \left({\frac {2\pi ln}{N}}\right)=0.5-0.5\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$^{[ 24 ]}

سميت نسبةً إلى يوليوس فون هان ، ويُشار إليها أحيانًا باسم هانينغ ، المشتق من الفعل "to Hann". وتُعرف أيضًا باسم جيب التمام المرفوع ، نظرًا لتشابهها مع توزيع جيب التمام المرفوع .

تُعدّ هذه الدالة من عائلة دوال مجموع جيب التمام وقوى الجيب. وعلى عكس نافذة هامينغ ، فإنّ نقاط نهاية نافذة هان تلامس الصفر. وتتلاشى الفصوص الجانبية الناتجة بمعدل 18 ديسيبل لكل أوكتاف تقريبًا. ^{[ 25 ]} 

جلسة${\displaystyle a_{0}}$يؤدي اختيار قيمة تقريبية 0.54، أو بدقة أكبر 25/46، إلى إنتاج نافذة هامينغ ، التي اقترحها ريتشارد دبليو هامينغ . يضع هذا الاختيار نقطة عبور الصفر عند التردد 5π / ( N  -  1)، مما يلغي الفص الجانبي الأول لنافذة هان، ويجعل ارتفاعها حوالي خُمس ارتفاع نافذة هان. ^{[ 16 ] [ 26 ] [ 27 ]} تُسمى نافذة هامينغ غالبًا بـ" وميض هامينغ" عند استخدامها لتشكيل النبضات . ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}

يؤدي تقريب المعاملات إلى منزلتين عشريتين إلى خفض مستوى الفصوص الجانبية بشكل ملحوظ، ^{[ 16 ]} وصولاً إلى حالة شبه متساوية التموج. ^{[ 27 ] وفي هذا السياق ،} تكون القيم المثلى للمعاملات هي a₀ ₌ 0.53836 و a₁ = 0.46164. ^{[ 27 ] [} ₃₁ ^]    

تُعرَّف نوافذ بلاكمان على النحو التالي:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right),}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}.}$

بحسب الاصطلاح الشائع، يشير مصطلح " نافذة بلاكمان " غير المحدد إلى اقتراح بلاكمان "غير الجاد" بقيمة α  =  0.16 ( حيث _a₀  =  0.42، و _a₁  =  0.5، و _a₂  =  0.08)، والذي يُقارب قيمة بلاكمان الدقيقة [ ^{33 ] ،} حيث a₀ ₌ 7938/18608 ≈ 0.42659، و _a₁ = 9240/18608 ≈ 0.49656، و a₂ = 1430/18608 ≈ 0.076849. ^{[ 34 ]} _{تضع هذه القيم الدقيقة أصفارًا عند الفصين الجانبيين} الثالث والرابع ^{[ 16 ]}  ، ولكنها تُؤدي إلى انقطاع عند الحواف وانخفاض في الإشارة بمقدار 6 ديسيبل/أوكتاف. لا تعمل المعاملات المقتطعة على إلغاء الفصوص الجانبية بنفس الكفاءة، ولكنها تتميز بانخفاض محسّن بمقدار 18 ديسيبل/أوكتاف. ^{[ 16 ] [ 35 ]}             

الشكل المتصل لنافذة نوتال،${\displaystyle w_{0}(x),}$ومشتقتها الأولى متصلة في كل مكان، مثل دالة هان . أي أن الدالة تؤول إلى الصفر عند x  =  ± N /2، على عكس نوافذ بلاكمان-ناتال، وبلاكمان-هاريس، وهامينغ. نافذة بلاكمان ( α  =  0.16 ) متصلة أيضًا بمشتقة متصلة عند الحافة، لكن "نافذة بلاكمان الدقيقة" ليست كذلك.

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

تعميم لعائلة هامينغ، تم إنتاجه عن طريق إضافة المزيد من دوال جيب التمام المزاحة، بهدف تقليل مستويات الفصوص الجانبية ^{[ 36 ] [ 37 ]}

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.4243801;\quad a_{1}=0.4973406;\quad a_{2}=0.0782793.}$^{[ 38 ]}

نافذة القمة المسطحة هي نافذة ذات قيمة سالبة جزئيًا، تتميز بفقدان ضئيل جدًا في نطاق التردد. هذه الخاصية مرغوبة لقياس سعات مكونات التردد الجيبية. ^{[ 17 ] [ 39 ]} مع ذلك، يؤدي عرض نطاقها الواسع إلى عرض نطاق ضوضاء عالٍ واختيار تردد أوسع، وهو ما قد يُعد عيبًا في بعض التطبيقات.

يمكن تصميم النوافذ ذات السطح المستوي باستخدام طرق تصميم مرشحات التمرير المنخفض، ^{[ 39 ]} أو قد تكون من النوع المعتاد لمجموع جيب التمام :

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right).\end{aligned}}}$

يحتوي متغير Matlab على هذه المعاملات:

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

تتوفر اختلافات أخرى، مثل الفصوص الجانبية التي تتلاشى على حساب القيم الأعلى بالقرب من الفص الرئيسي. ^{[ 17 ]}

تُقاس نوافذ رايف-فينسنت ^{[ 40 ]} عادةً بمتوسط ​​قيمة يساوي واحدًا، بدلاً من قيمة ذروة تساوي واحدًا. وتعكس قيم المعاملات أدناه، المطبقة على المعادلة 1 ، هذا العرف.

الفئة الأولى، الرتبة 1 ( K = 1):${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$ مكافئ وظيفيًا لنافذة هان وقوة الجيب ( α  =  2 ).

الفئة الأولى، الرتبة 2 ( K = 2):${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$ مكافئ وظيفيًا لقوة الجيب ( α  =  4 ).

يتم تعريف الفئة الأولى بتقليل سعة الفصوص الجانبية ذات الرتبة العالية. تم جدولة معاملات الرتب حتى K=4. ^{[ 41 ]}

تعمل الفئة الثانية على تقليل عرض الفص الرئيسي لأقصى فص جانبي معين.

الفئة الثالثة هي حل وسط حيث يشبه الترتيب K  =  2 نافذة بلاكمان §  . ^{[ 41 ] [ 42 ]}

تأخذ دوال النافذة هذه الشكل التالي: ^{[ 47 ]}

${\displaystyle w[n]=\sin ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

تُعد النافذة المستطيلة ( α  =  0 )، ونافذة الجيب ( α  =  1 )، ونافذة هان ( α  =  2 ) أعضاءً في هذه العائلة.

بالنسبة للقيم الزوجية الصحيحة لـ α، يمكن أيضًا التعبير عن هذه الدوال في شكل مجموع جيب التمام:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right)-...}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|llll}\hline \alpha &a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\\hline 0&1\\2&0.5&0.5\\4&0.375&0.5&0.125\\6&0.3125&0.46875&0.1875&0.03125\\8&0.2734375&0.4375&0.21875&0.0625&7.8125\times 10^{-3}\\\hline \end{array}}}$

إن تحويل فورييه لدالة غاوسية هو أيضاً دالة غاوسية. وبما أن نطاق دالة غاوسية يمتد إلى ما لا نهاية، فلا بد من اقتطاعها عند نهايتي النافذة، أو تطبيق نافذة أخرى ذات نهايات صفرية عليها. ^{[ 48 ]}

بما أن لوغاريتم دالة غاوس ينتج عنه قطع مكافئ ، فيمكن استخدام ذلك لإجراء استيفاء تربيعي دقيق تقريبًا في تقدير التردد . ^{[ 49 ] [ 48 ] [ 50 ]}

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0.5\,}$

الانحراف المعياري للدالة الغاوسية هو σ  · N /2 فترات أخذ العينات. 

تُنتج نافذة غاوسية محصورة أصغر عرض نطاق ترددي ممكن للجذر التربيعي المتوسط ​​σω لعرض زمني مُعطى ( N + 1) _σt . _[ ^{51 ] تعمل} هذه النوافذ على تحسين حاصل ضرب عرض النطاق الترددي الزمني للجذر التربيعي المتوسط. ويتم حسابها كأصغر متجهات ذاتية لمصفوفة تعتمد على المعاملات. تتضمن عائلة النوافذ الغاوسية المحصورة _نافذة الجيب ونافذة  غاوسية في  حالتي σt الكبيرة والصغيرة على التوالي.

بتعريف L ≜ N + 1 ، يتم تقريب نافذة غاوسية محصورة ذات عرض زمني L × σ _{t بشكل جيد بواسطة:} ^{[ 51 ]}

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(n-L)]}{G(-{\tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

أين${\displaystyle G}$هي دالة غاوسية:

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma _{t}}}\right)^{2}\right)}$

الانحراف المعياري للنافذة التقريبية يساوي تقريبًا (أي القيم الكبيرة لـ N ) L × σ _t لـ σ _t < 0.14 . ^{[ 51 ]}

يُعدّ نموذج النافذة الطبيعية المعممة نسخةً أكثر تعميمًا من نافذة غاوس. ^{[ 52 ]} وباستخدام الترميز المُستخدم في نافذة غاوس أعلاه، يُمكننا تمثيل هذه النافذة على النحو التالي:

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

لأي مناسبة${\displaystyle p}$. في${\displaystyle p=2}$هذه نافذة غاوسية، وكما${\displaystyle p}$الأساليب${\displaystyle \infty }$وهذا يُقارب نافذة مستطيلة. ولا يوجد تحويل فورييه لهذه النافذة بصيغة مغلقة في حالة عامة.${\displaystyle p}$ومع ذلك، يُظهر هذا مزايا أخرى لكونها نافذة سلسة ذات نطاق ترددي قابل للتعديل. فمثل نافذة توكي ،  توفر هذه النافذة بشكل طبيعي "قمة مسطحة" للتحكم في توهين السعة لسلسلة زمنية (وهو ما لا يمكننا التحكم فيه باستخدام نافذة غاوس). باختصار، إنها تُقدم حلاً وسطاً جيداً (قابلاً للتحكم) من حيث التسرب الطيفي ودقة التردد وتوهين السعة، بين نافذة غاوس والنافذة المستطيلة. انظر أيضاً ^{[ 53 ]} لدراسة حول تمثيل هذه النافذة (أو الدالة) في مجال الزمن والتردد .

يمكن اعتبار نافذة Tukey، والمعروفة أيضًا باسم نافذة cosine-tapered ، بمثابة فص cosine بعرض Nα /2 (يغطي Nα /2  +  1 ملاحظات) يتم دمجه مع نافذة مستطيلة بعرض N (1 − α /2) .

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$^{[ 54 ] [ ب ] [ ج ]}

عند α  =  0 تصبح مستطيلة، وعند α  =  1 تصبح نافذة هان.

تُعرف نافذة "Planck-taper" بأنها دالة نتوءية استُخدمت على نطاق واسع ^{[ 55 ]} في نظرية تقسيمات الوحدة في المتشعبات . وهي دالة ملساء (a${\displaystyle C^{\infty }}$دالة) في كل مكان، لكنها تساوي صفرًا تمامًا خارج منطقة محددة، وتساوي واحدًا تمامًا على فاصل زمني داخل تلك المنطقة، وتتغير بسلاسة وبشكل رتيب بين هذين الحدين. وقد اقتُرح استخدامها كدالة نافذة في معالجة الإشارات لأول مرة في سياق علم فلك الموجات الثقالية ، مستوحى من توزيع بلانك . ^{[ 56 ]} وهي تُعرَّف كدالة متعددة التعريفات :

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n}}-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon N-n}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad &\varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$

يتم التحكم في مقدار التناقص التدريجي بواسطة المعامل ε ، حيث تعطي القيم الأصغر انتقالات أكثر حدة.

تعمل دالة DPSS (المتتالية الكروية المتطاولة المنفصلة) أو دالة Slepian أو المخروط أو النافذة على زيادة تركيز الطاقة في الفص الرئيسي ، ^{[ 57 ]} وتستخدم في التحليل الطيفي متعدد المخاريط ، والذي يعمل على تقليل الضوضاء في الطيف وتقليل فقدان المعلومات عند حواف النافذة.

ينتهي الفص الرئيسي عند نطاق ترددي محدد بواسطة المعامل α . ^{[ 58 ]}

تم إنشاء نوافذ كايزر أدناه عن طريق تقريب بسيط لنوافذ DPSS:

نافذة كايزر، أو نافذة كايزر-بيسل، هي تقريب بسيط لنافذة DPSS باستخدام دوال بيسل ، وقد اكتشفها جيمس كايزر . ^{[ 59 ] [ 60 ]}

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad 0\leq n\leq N}$^{[ د ] [ 16 ] : ص 73}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

أين${\displaystyle I_{0}}$هي دالة بيسل المعدلة من النوع الأول من الرتبة الصفرية. معامل ^متغير${\displaystyle \alpha }$يُحدد هذا التوازن بين عرض الفص الرئيسي ومستويات الفصوص الجانبية لنمط التسرب الطيفي. ويُعطى عرض الفص الرئيسي، بين نقاط الصفر، بالمعادلة التالية:${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha ^{2}}},}$بوحدات خانات DFT، ^{[ 67 ]} وقيمة نموذجية لـ${\displaystyle \alpha }$هو 3.

يقلل من معيار تشيبيشيف للفصوص الجانبية لعرض فص رئيسي معين. ^{[ 68 ]}

دالة نافذة دولف-تشيبيشيف ذات الطور الصفري${\displaystyle w_{0}[n]}$يُعرَّف عادةً بدلالة تحويل فورييه المنفصل ذي القيم الحقيقية ،${\displaystyle W_{0}[k]}$[ ^{69 ]​}

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{T_{N}(\beta )}}={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{10^{\alpha }}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x ) هي متعددة حدود تشيبيشيف من النوع الأول من الرتبة n ، والتي يتم تقييمها في x ، ويمكن حسابها باستخدام

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}-1\leq x\leq 1\\\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(-x){\big )}&{\text{if }}x\leq -1,\end{cases}}}$

و

${\displaystyle \beta =\cosh \!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh ^{-1}(10^{\alpha }){\big )}}$

هو الحل الإيجابي الحقيقي الفريد لـ${\displaystyle T_{N}(\beta )=10^{\alpha }}$، حيث تحدد المعلمة α معيار تشيبيشيف للفصوص الجانبية إلى −20 α  ديسيبل. ^{[ 68 ]}

يمكن حساب دالة النافذة من W ₀ ( k ) عن طريق تحويل فورييه المنفصل العكسي (DFT): ^{[ 68 ]}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

يمكن الحصول على النسخة المتأخرة من النافذة عن طريق:

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

والتي يجب حسابها للقيم الزوجية لـ N على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(n-N/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k)\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{aligned}}}$

وهو تحويل فورييه المنفصل العكسي لـ${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

الاختلافات:

• بسبب شرط التموج المتساوي، تحتوي نافذة المجال الزمني على انقطاعات عند الحواف. ويُعدّ تقريب نافذة تايلور أحد الحلول التي تتجنب هذه الانقطاعات، وذلك بالسماح للتموجات المتساوية بالتلاشي عند الحواف .
• يتوفر أيضًا بديل لتعريف DFT العكسي..

تم تقديم نافذة الموجات فوق الكروية في عام 1984 بواسطة روي ستريت ^{[ 70 ]} ولها تطبيقات في تصميم مصفوفات الهوائيات، ^{[ 71 ]} وتصميم المرشحات غير المتكررة، ^{[ 70 ]} وتحليل الطيف. ^{[ 72 ]}

كغيرها من النوافذ القابلة للتعديل، تحتوي نافذة Ultraspherical على معايير تُستخدم للتحكم في عرض الفص الرئيسي لتحويل فورييه وسعة الفصوص الجانبية النسبية. وبخلاف النوافذ الأخرى، تتميز هذه النافذة بمعيار إضافي يُستخدم لضبط معدل انخفاض (أو ارتفاع) سعة الفصوص الجانبية. ^{[ 72 ] [ 73 ] [ 74 ]}

يمكن التعبير عن النافذة في المجال الزمني على النحو التالي: ^{[ 72 ]}

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu }(x_{0})+\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}C_{N}^{\mu }\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi }{N+1}}\right)\cos {\frac {2n\pi k}{N+1}}\right]}$

أين${\displaystyle C_{N}^{\mu }}$هي متعددة الحدود فائقة الكروية من الدرجة N، و${\displaystyle x_{0}}$و${\displaystyle \mu }$التحكم في أنماط الفصوص الجانبية. ^{[ 72 ]}

قيم محددة معينة لـ${\displaystyle \mu }$ينتج عنه نوافذ أخرى معروفة:${\displaystyle \mu =0}$و${\displaystyle \mu =1}$أعطِ نوافذ دولف-تشيبيشيف وساراماكي على التوالي. ^{[ 70 ]} انظر هنا للاطلاع على توضيح للنوافذ فائقة الكروية ذات المعاملات المختلفة.

تتزايد نافذة بواسون، أو بشكل أعم النافذة الأسية، بشكل أُسّي باتجاه مركز النافذة، ثم تتناقص أُسّيًا في النصف الثاني منها. ولأن الدالة الأسية لا تصل إلى الصفر أبدًا، فإن قيم النافذة عند حدودها لا تساوي الصفر (ويمكن اعتبارها ضرب دالة أسية في نافذة مستطيلة ^{[ 75 ]} ). وهي تُعرَّف بـ

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

حيث τ هو ثابت الزمن للدالة. تتلاشى الدالة الأسية بمعدل e  ≃  2.71828 أو ما يقارب 8.69  ديسيبل لكل ثابت زمني. ^{[ 76 ]} هذا يعني أنه لتحقيق تلاشٍ مستهدف قدره D  ديسيبل على مدى نصف طول النافذة، يُعطى ثابت الزمن τ بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

نافذة بلانك  -تابر مضروبة بنافذة كايزر ، والتي تُعرَّف بدلالة دالة بيسل مُعدَّلة . طُوِّرت دالة النافذة الهجينة هذه لتقليل مستوى الفصوص الجانبية القصوى لنافذة بلانك-تابر مع الحفاظ على اضمحلالها التقاربي الجيد. ^{[ 77 ]} تحتوي هذه الدالة على مُعاملين قابلين للضبط، ε من نافذة بلانك-تابر و α من نافذة كايزر، مما يسمح بتعديلها لتناسب متطلبات إشارة مُحدَّدة.

نافذة هان مضروبة في نافذة بواسون . لـ${\displaystyle \alpha \geqslant 2}$لا تحتوي على فصوص جانبية، إذ يتلاشى تحويل فورييه الخاص بها إلى ما لا نهاية بعيدًا عن الفص الرئيسي دون وجود نقاط دنيا محلية. ولذلك، يمكن استخدامها في خوارزميات تسلق التلال مثل طريقة نيوتن . ^{[ 78 ]} تُعرَّف نافذة هان-بواسون كما يلي:

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,}$

حيث α هو معامل يتحكم في ميل الدالة الأسية.

نافذة GAP هي عائلة من دوال النافذة القابلة للتعديل والتي تعتمد على توسيع متعدد الحدود متناظر من الرتبة${\displaystyle K}$إنها دالة متصلة ذات مشتقة متصلة في كل مكان. وباستخدام مجموعة مناسبة من معاملات التوسع ورتبة التوسع، يمكن لنافذة GAP محاكاة جميع دوال النوافذ المعروفة، وإعادة إنتاج خصائصها الطيفية بدقة.

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma }}\right)^{2k},\quad -{\frac {N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}},}$^{[ 79 ]}

أين${\displaystyle \sigma }$هو الانحراف المعياري لـ${\displaystyle \{n\}}$تسلسل.

بالإضافة إلى ذلك، بدءًا من مجموعة من معاملات التوسع${\displaystyle a_{2k}}$يمكن تحسين نافذة GAP، التي تحاكي دالة نافذة معروفة، من خلال إجراءات تقليل المعاملات للحصول على مجموعة جديدة من المعاملات التي تُحسّن خاصية طيفية واحدة أو أكثر، مثل عرض الفص الرئيسي، وتوهين الفصوص الجانبية، ومعدل انخفاض الفصوص الجانبية. ^{[ 80 ]} وبالتالي، يمكن تطوير دالة نافذة GAP بخصائص طيفية مُصممة خصيصًا للتطبيق المحدد.

$${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$$

• تُستخدم في إعادة أخذ العينات لانكزوس
• بالنسبة لنافذة لانكزوس،${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \sin(\pi x)/\pi x}$
• تُعرف أيضًا باسم نافذة sinc ، وذلك للأسباب التالية:$${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$$يمثل الفص الرئيسي لدالة sinc المعيارية