دالة زيتا الحسابية

إذا كان X هو طيف حقل منتهٍ يحتوي على q عنصرًا، فإن

${\displaystyle \zeta _{X}(s)={\frac {1}{1-q^{-s}}}.}$

بالنسبة لمجموعة متنوعة X على حقل منتهٍ، من المعروف من خلال صيغة غروتينديك للأثر أن

${\displaystyle \zeta _{X}(s)=Z(X,q^{-s})}$

أين${\displaystyle Z(X,t)}$هي دالة كسرية (أي ناتج قسمة كثيرات الحدود).

بفرض وجود نوعين X و Y على حقل منتهٍ، فإن دالة زيتا لـ${\displaystyle X\times Y}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle Z(X,t)\star Z(Y,t)=Z(X\times Y,t),}$

أين${\displaystyle \star }$يشير إلى عملية الضرب في الحلقة${\displaystyle W(\mathbf {Z} )}$من متجهات ويت للأعداد الصحيحة. ^{[ 1 ]}

إذا كان X هو طيف حلقة الأعداد الصحيحة، فإن ζX( s ₎ هي دالة زيتا لريمان. وبشكل أعم، إذا كان _X هو طيف حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي جبري ، فإن ζX ( s ) هي دالة زيتا لديديكيند .

دالة زيتا للفضاءات الأفينية والإسقاطية على مخطط X معطاة بالصيغة التالية

$//$

يمكن استنتاج المعادلة الأخيرة من المعادلة الأولى باستخدام أنه لأي X يمثل الاتحاد المنفصل لمخطط فرعي مغلق ومفتوح U و V على التوالي،

${\displaystyle \zeta _{X}(s)=\zeta _{U}(s)\zeta _{V}(s).}$

وبشكل أعم، تنطبق صيغة مماثلة على الاتحادات المنفصلة اللانهائية. وعلى وجه الخصوص، يُظهر هذا أن دالة زيتا لـ X هي حاصل ضرب دوال اختزال X بتردد الأعداد الأولية p :

${\displaystyle \zeta _{X}(s)=\prod _{p}\zeta _{X_{p}}(s).}$

يُطلق على هذا التعبير، الذي يشمل كل عدد أولي، أحيانًا اسم _جداء أويلر ، ويُسمى كل عامل منه عامل أويلر. في كثير من الحالات المهمة، يكون الليف العام XQ أملسًا . عندئذٍ، يكون عدد محدود فقط من _Xp شاذًا ( اختزال سيئ ). بالنسبة لجميع الأعداد الأولية تقريبًا، أي عندما يكون لـ X اختزال جيد، من المعروف أن عامل أويلر يتطابق مع العامل المقابل لدالة زيتا هاس-ويل لـ XQ _. لذلك، ترتبط هاتان الدالتان ارتباطًا وثيقًا.

افترض هاس وويل أن ζ _X ( s ) لها استمرار ميرومورفي إلى المستوى المركب وتفي بمعادلة وظيفية بالنسبة إلى s → n − s حيث n هو البعد المطلق لـ X.

وقد ثبت ذلك لـ n = 1 وبعض الحالات الخاصة جدًا عندما n > 1 للمخططات المسطحة على Z ولجميع قيم n ذات الخاصية الموجبة. ومن نتائج حدسيات ويل (وتحديدًا فرضية ريمان منها) أن دالة زيتا لها امتداد ميرومورفي حتى${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>n-{\tfrac {1}{2}}}$.

وفقًا لفرضية ريمان المعممة، يُفترض أن أصفار ζ _X ( s ) تقع داخل الشريط الحرج 0 ≤ Re( s ) ≤ n تقع على الخطوط الرأسية Re( s ) = 1/2, 3/2, ... وأقطاب ζ _X ( s ) داخل الشريط الحرج 0 ≤ Re( s ) ≤ n تقع على الخطوط الرأسية Re( s ) = 0, 1, 2, ... .

تم إثبات ذلك ( إميل أرتين ، وهيلموت هاس ، وأندريه ويل ، وألكسندر غروتينديك ، وبيير ديلين ) في خاصية موجبة لجميع قيم n . ولم يتم إثباته لأي مخطط مسطح على Z. وتُعد فرضية ريمان حالة جزئية من التخمين 2.

مع مراعاة الاستمرار التحليلي، يُفترض أن رتبة الصفر أو القطب وباقي دالة زيتا _X ( s ) عند النقاط الصحيحة داخل الشريط الحرج قابلة للتعبير عنها بواسطة ثوابت حسابية مهمة لـ X. وتُظهر حجة سير، استنادًا إلى الخصائص الأولية المذكورة أعلاه وتطبيع نوثر، أن دالة زيتا لـ X لها قطب عند s = n، ورتبته تساوي عدد المكونات غير القابلة للاختزال لـ X ذات البعد الأقصى. ^{[ 2 ]} ثانيًا، افترض تيت ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathrm {ord} _{s=n-1}\zeta _{X}(s)=rk{\mathcal {O}}_{X}^{\times }(X)-rk\mathrm {Pic} (X)}$

أي أن ترتيب الأقطاب يُمكن التعبير عنه برتبة مجموعات الدوال المنتظمة القابلة للعكس ومجموعة بيكارد . تُعدّ حدسية بيرش وسوينرتون-داير حالة جزئية من هذه الحدسية. في الواقع، تُكافئ حدسية تيت هذه تعميمًا لحدسية بيرش وسوينرتون-داير.

وبشكل أكثر عمومية، خمن سوليه ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {ord} _{s=n-m}\zeta _{X}(s)=-\sum _{i}(-1)^{i}rkK_{i}(X)^{(m)}}$

يشير الجانب الأيمن إلى فضاءات آدمز الذاتية لنظرية K الجبرية لـ X. هذه الرتب محدودة بموجب حدسية باس .

تُعرف هذه التخمينات عندما يكون n = 1 ، أي في حالة حلقات الأعداد والمنحنيات فوق الحقول المنتهية. أما بالنسبة لـ n > 1 ، فقد تم إثبات حالات جزئية من تخمين بيرش وسوينرتون-داير، ولكن حتى في حالة الخاصية الموجبة، يبقى التخمين مفتوحًا.