المُقدِّر

لعينة معينة${\displaystyle x}$، " خطأ " المُقدِّر${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle e(x)={\widehat {\theta }}(x)-\theta ,}$$ أين${\displaystyle \theta }$يمثل المعلمة التي يتم تقديرها. يعتمد الخطأ، e ، ليس فقط على المُقدِّر (صيغة التقدير أو الإجراء)، ولكن أيضًا على العينة.

متوسط ​​مربع الخطأ لـ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$يُعرَّف بأنه القيمة المتوقعة (المتوسط ​​المرجح بالاحتمالية، على جميع العينات) لمربعات الأخطاء؛ أي $${\displaystyle \operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} [({\widehat {\theta }}(X)-\theta )^{2}].}$$ يُستخدم متوسط ​​مربع الخطأ (MSE) للإشارة إلى مدى بُعد مجموعة التقديرات، في المتوسط، عن المعلمة المُقدَّرة. لنأخذ المثال التالي: لنفترض أن المعلمة هي مركز الهدف ، وأن المُقدِّر هو عملية إطلاق السهام نحو الهدف، وأن كل سهم يُمثِّل التقديرات (العينات). عندئذٍ، يعني ارتفاع متوسط ​​مربع الخطأ أن متوسط ​​بُعد السهام عن مركز الهدف كبير، بينما يعني انخفاضه أن متوسط ​​بُعدها عن مركز الهدف صغير. قد تكون السهام مُتجمعة أو مُتباعدة. على سبيل المثال، حتى لو أصابت جميع السهام النقطة نفسها، ولكنها أخطأت الهدف بشكل كبير، فإن متوسط ​​مربع الخطأ يظل كبيرًا نسبيًا. أما إذا كان متوسط ​​مربع الخطأ منخفضًا نسبيًا، فمن المُرجَّح أن تكون السهام مُتجمعة بشكل أكبر (وليست مُتباعدة) حول الهدف.

لعينة معينة${\displaystyle x}$، الانحراف المعاينة للمُقدِّر${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle d(x)={\widehat {\theta }}(x)-\operatorname {E} [{\widehat {\theta }}(X)]={\widehat {\theta }}(x)-\operatorname {E} [{\widehat {\theta }}],}$$ أين${\displaystyle \operatorname {E} [{\widehat {\theta }}(X)]}$هي القيمة المتوقعة للمُقدِّر. الانحراف المعياري للعينة،${\displaystyle d}$، لا يعتمد فقط على المُقدِّر، ولكن أيضًا على العينة.

تباين​​${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$هي القيمة المتوقعة لمربعات انحرافات المعاينة؛ أي${\displaystyle \operatorname {Var} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} [({\widehat {\theta }}-\operatorname {E} [{\widehat {\theta }}])^{2}]}$يُستخدم هذا المقياس للإشارة إلى مدى بُعد مجموعة التقديرات، في المتوسط، عن القيمة المتوقعة لها. (لاحظ الفرق بين متوسط ​​مربع الخطأ والتباين). إذا كان المعلم هو مركز الهدف، والأسهم هي التقديرات، فإن التباين المرتفع نسبيًا يعني تشتت الأسهم، بينما يعني التباين المنخفض نسبيًا تجمعها. حتى مع انخفاض التباين، قد يظل تجمع الأسهم بعيدًا عن الهدف، وحتى مع ارتفاع التباين، قد تظل مجموعة الأسهم المتفرقة غير متحيزة. أخيرًا، حتى لو أخطأت جميع الأسهم الهدف بشكل كبير، فإذا أصابت جميعها نفس النقطة، فإن التباين يساوي صفرًا.

تحيز​​${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle B({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} [{\widehat {\theta }}]-\theta }$هي المسافة بين متوسط ​​مجموعة التقديرات، والمعلمة الوحيدة التي يتم تقديرها. انحياز${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$هي دالة للقيمة الحقيقية لـ${\displaystyle \theta }$وبالتالي فإن التحيز${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$يكون${\displaystyle b}$يعني ذلك أنه لكل${\displaystyle \theta }$تحيز${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$يكون${\displaystyle b}$.

يوجد نوعان من المُقدِّرات: المُقدِّرات المتحيزة والمُقدِّرات غير المتحيزة. ويمكن تحديد ما إذا كان المُقدِّر متحيزًا أم لا من خلال العلاقة بين${\displaystyle \operatorname {E} [{\widehat {\theta }}]-\theta }$و 0:

• لو${\displaystyle \operatorname {E} [{\widehat {\theta }}]-\theta \neq 0}$،${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$متحيز.
• لو${\displaystyle \operatorname {E} [{\widehat {\theta }}]-\theta =0}$،${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$محايد.

الانحياز هو أيضاً القيمة المتوقعة للخطأ، لأن${\displaystyle \operatorname {E} [{\widehat {\theta }}]-\theta =\operatorname {E} [{\widehat {\theta }}-\theta ]}$إذا كان المعيار هو مركز الهدف والأسهم تمثل تقديرات، فإن قيمة مطلقة عالية نسبيًا للانحياز تعني أن متوسط ​​موضع الأسهم بعيد عن الهدف، بينما قيمة مطلقة منخفضة نسبيًا للانحياز تعني أن متوسط ​​موضع الأسهم دقيق. قد تكون الأسهم متباعدة أو متقاربة. العلاقة بين الانحياز والتباين مماثلة للعلاقة بين الدقة والضبط .

المُقدِّر${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$هو مُقدِّر غير متحيز لـ${\displaystyle \theta }$إذا وفقط إذا${\displaystyle B({\widehat {\theta }})=0}$الانحياز خاصيةٌ للمُقدِّر، لا للتقدير نفسه. غالبًا ما يُشار إلى "تقدير منحاز" أو "تقدير غير منحاز"، ولكن المقصود في الواقع هو "تقدير من مُقدِّر منحاز" أو "تقدير من مُقدِّر غير منحاز". كما يخلط الكثيرون بين "خطأ" تقدير واحد و"انحياز" المُقدِّر. فكون خطأ أحد التقديرات كبيرًا لا يعني بالضرورة انحياز المُقدِّر. في الواقع، حتى لو كانت جميع التقديرات ذات قيم مطلقة فلكية لأخطائها، فإن القيمة المتوقعة للخطأ تساوي صفرًا، مما يعني أن المُقدِّر غير منحاز. كذلك، لا يمنع انحياز المُقدِّر من أن يكون خطأ التقدير صفرًا في حالة معينة. الوضع الأمثل هو الحصول على مُقدِّر غير منحاز ذي تباين منخفض، مع محاولة الحد من عدد العينات التي يكون فيها الخطأ شديدًا (أي تقليل القيم الشاذة ). ومع ذلك، فإن عدم التحيز ليس شرطاً أساسياً. ففي كثير من الأحيان، إذا سُمح بتحيز طفيف، يمكن إيجاد مُقدِّر ذي متوسط ​​خطأ تربيعي أقل و/أو عدد أقل من تقديرات العينة الشاذة.

يُعدّ "التقدير غير المتحيز بالوسيط" بديلاً عن صيغة "غير المتحيز" المذكورة أعلاه، حيث يتوافق وسيط توزيع التقديرات مع القيمة الحقيقية؛ وبالتالي، على المدى الطويل، سيكون نصف التقديرات أقل من القيمة الحقيقية والنصف الآخر أعلى منها. وبينما ينطبق هذا مباشرةً على التقديرات ذات القيم العددية فقط، يمكن تعميمه على أي مقياس للنزعة المركزية للتوزيع: انظر التقديرات غير المتحيزة بالوسيط .

في مشكلة عملية،${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$يمكن أن تكون هناك دائمًا علاقة وظيفية مع${\displaystyle \theta }$على سبيل المثال، إذا نصت نظرية وراثية على وجود نوع من الأوراق (الخضراء النشوية) التي تحدث باحتمالية${\displaystyle p_{1}=1/4\cdot (\theta +2)}$، مع${\displaystyle 0<\theta <1}$ثم، من أجل${\displaystyle n}$الأوراق، المتغير العشوائي${\displaystyle N_{1}}$أو عدد الأوراق الخضراء النشوية، يمكن نمذجتها باستخدام${\displaystyle \mathrm {Bin} (n,p_{1})}$التوزيع. يمكن استخدام هذا الرقم للتعبير عن المُقدِّر التالي لـ${\displaystyle \theta }$:${\displaystyle {\widehat {\theta }}=4/n\cdot N_{1}-2}$يمكن للمرء أن يثبت ذلك${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$هو مُقدِّر غير متحيز لـ${\displaystyle \theta }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\widehat {\theta }}]&=\operatorname {E} [4/n\cdot N_{1}-2]=4/n\cdot \operatorname {E} [N_{1}]-2\\[1ex]&=4/n\cdot np_{1}-2=4\cdot p_{1}-2\\[1ex]&=4\cdot 1/4\cdot (\theta +2)-2=\theta +2-2\\[1ex]&=\theta .\end{aligned}}}$$

A desired property for estimators is the unbiased trait where an estimator is shown to have no systematic tendency to produce estimates larger or smaller than the true parameter. Additionally, unbiased estimators with smaller variances are preferred over larger variances because it will be closer to the "true" value of the parameter. The unbiased estimator with the smallest variance is known as the minimum-variance unbiased estimator (MVUE).

To find if an estimator ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ is unbiased, it is easy to follow along the equation ${\displaystyle \operatorname {E} [{\widehat {\theta }}]-\theta =0}$. With estimator T with and parameter of interest ${\displaystyle \theta }$ solving the previous equation so it is shown as ${\displaystyle \operatorname {E} [T]=\theta }$ the estimator is unbiased. Looking at the figure to the right despite ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{2}}$ being the only unbiased estimator, if the distributions overlapped and were both centered around ${\displaystyle \theta }$ then distribution ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{1}}$ would actually be the preferred unbiased estimator.

Expectation When looking at quantities in the interest of expectation for the model distribution there is an unbiased estimator which should satisfy the two equations below.

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\left(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}\right)}$$

E1

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\overline {X}}_{n}\right]=\mu }$$

E2

Variance Similarly, when looking at quantities in the interest of variance as the model distribution there is also an unbiased estimator that should satisfy the two equations below.

$${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$$

V1

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[S_{n}^{2}\right]=\sigma ^{2}}$$

V2

Note we are dividing by n − 1 because if we divided with n we would obtain an estimator with a negative bias which would thus produce estimates that are too small for ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. It should also be mentioned that even though ${\displaystyle S_{n}^{2}}$ is unbiased for ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ the reverse is not true.^[4]

• The mean squared error, variance, and bias, are related: ${\displaystyle \operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {Var} ({\widehat {\theta }})+(B({\widehat {\theta }}))^{2},}$ i.e. mean squared error = variance + square of bias. In particular, for an unbiased estimator, the variance equals the mean squared error.
• The standard deviation of an estimator ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ of ${\displaystyle \theta }$ (the square root of the variance), or an estimate of the standard deviation of an estimator ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ of ${\displaystyle \theta }$, is called the standard error of ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$.
• The bias-variance tradeoff will be used in model complexity, over-fitting and under-fitting. It is mainly used in the field of supervised learning and predictive modelling to diagnose the performance of algorithms.

Consider a random variable following a normal probability distribution${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, and a biased estimator of the mean ${\displaystyle \mu =\theta }$ of that distribution $${\displaystyle {\hat {\theta }}(X)={\bar {X}}_{n}+B={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}+B,}$$ where ${\displaystyle B}$ follows a degenerate distribution, i.e. ${\displaystyle P(B=b)=1}$, such that $${\displaystyle \mathrm {E} [{\hat {\theta }}(X)]=\mathrm {E} [{\bar {X}}_{n}]+\mathrm {E} [B]=\mu +b,}$$$${\displaystyle \mathrm {B} ({\hat {\theta }}(X))=b,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Var} ({\hat {\theta }}(X))&=\mathrm {E} [({\bar {X}}_{n}+B-\mu -b)^{2}]\\[2ex]&={\color [rgb]{0.12156862745098039,0.4666666666666667,0.7058823529411765}\mathrm {E} [({\bar {X}}_{n}-\mu )^{2}]}+{\color [rgb]{1,0.4980392156862745,0.054901960784313725}\mathrm {E} [(B-b)^{2}]}+{\color [rgb]{0.17254901960784313,0.6274509803921569,0.17254901960784313}2\mathrm {E} [({\bar {X}}_{n}-\mu )(B-b)]}\\[2ex]&={\color [rgb]{0.12156862745098039,0.4666666666666667,0.7058823529411765}\mathrm {Var} ({\bar {X}}_{n}-\mu )+\mathrm {E} [({\bar {X}}_{n}-\mu )^{2}]}+{\color [rgb]{1,0.4980392156862745,0.054901960784313725}\mathrm {Var} (B-b)+\mathrm {E} [(B-b)^{2}]}\\[0.5ex]&\qquad {}+{\color [rgb]{0.17254901960784313,0.6274509803921569,0.17254901960784313}2\underbrace {\mathrm {Cov} ({\bar {X}}_{n}-\mu ,B-b)} _{|\cdots |^{2}\leqslant \mathrm {Var} ({\bar {X}}_{n}-\mu )\mathrm {Var} (B-b)=0}+2\mathrm {E} [{\bar {X}}_{n}-\mu ]\mathrm {E} [B-b]}\\&={\frac {\sigma ^{2}}{n}},\end{aligned}}}$$ where all the terms are zero except ${\displaystyle \mathrm {Var} ({\bar {X}}_{n}-\mu )=\mathrm {Var} ({\bar {X}}_{n})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$ using the Bienaymé formula, and $${\displaystyle \mathrm {MSE} ({\hat {\theta }}(X))=\mathrm {E} [({\bar {X}}_{n}+B-\mu )^{2}]=\mathrm {E} [({\bar {X}}_{n}-\mu )^{2}]+\mathrm {E} [B^{2}]={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+b^{2}.}$$ نتحقق من العلاقة بين متوسط ​​مربع الخطأ والتباين والتحيز. فيما يلي توضيح للخصائص الكمية لتقدير متوسط ​​التوزيع الاحتمالي، مع الأخذ في الاعتبار${\displaystyle \mu =0}$،${\displaystyle \sigma =1}$و${\displaystyle b=1/2}$.

دالة كثافة الاحتمال${\displaystyle \phi }$من التوزيع الطبيعي القياسي (باللون الأزرق) مع عينة${\displaystyle \{x_{i}\}_{n}}$ل${\displaystyle n=10}$قيم (${\displaystyle {\color [rgb]{1,0.4980392156862745,0.054901960784313725}\bullet }}$) والتقدير المرتبط به${\displaystyle {\hat {\theta }}(\{x_{i}\}_{n})}$(${\displaystyle {\color [rgb]{0.17254901960784313,0.6274509803921569,0.17254901960784313}\blacksquare }}$). المتوسط${\displaystyle \theta =0}$من التوزيع الأصلي والمتوسط${\displaystyle \mathrm {E} ({\hat {\theta }})=1/2}$كما يتم عرض متوسط ​​تقدير المقدر (وهو متوسط ​​توزيع المعاينة الخاص به، انظر الصورة على اليمين)، بالإضافة إلى الخطأ.${\displaystyle e}$وانحراف المعاينة${\displaystyle d}$.

التوزيع الاحتمالي للمُقدِّر${\displaystyle {\hat {\theta }}(X)}$مع المتوسط، والتباين (مربع الخطأ المعياري )، ومتوسط ​​مربع الخطأ. يُمثل اللون الأحمر التوزيع الدقيق المعروف في حالة كون التوزيع الأصلي طبيعيًا والمُقدِّر هو متوسط ​​العينة (المتحيز). يُظهر اللون الأخضر المدرج التكراري لـ 20000 تقدير. يتقارب المدرج التكراري مع التوزيع الدقيق في حالة العينات اللانهائية. تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة لعدد مُحدد من التقديرات، تضمن نظرية النهاية المركزية أن توزيع تقدير مُقدِّر متوسط ​​العينة (المتحيز) يتقارب أيضًا مع التوزيع الدقيق في حالة حجم العينة اللانهائي.

المُقدِّر المتسق هو مُقدِّر تتقارب سلسلة تقديراته احتماليًا مع الكمية المُقدَّرة مع ازدياد حجم العينة (عادةً حجم العينة ) بلا حدود. بعبارة أخرى، زيادة حجم العينة تزيد من احتمالية اقتراب المُقدِّر من مُعامل المجتمع.

رياضياً، المُقدِّر هو مُقدِّر متسق للمعلمة${\displaystyle \theta }$، إذا وفقط إذا كان ذلك بالنسبة لتسلسل التقديرات${\displaystyle \{t_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ولجميع${\displaystyle \varepsilon >0}$مهما كان حجمها صغيراً، لدينا $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \left\{\left|t_{n}-\theta \right|\leq \varepsilon \right\}=1.}$$يمكن تسمية الاتساق المحدد أعلاه بالاتساق الضعيف. أما المتتالية فتُسمى متسقة بقوة إذا تقاربت بشكل شبه مؤكد إلى القيمة الحقيقية.

يمكن تحويل المُقدِّر الذي يتقارب إلى مُضاعفٍ لمعاملٍ ما إلى مُقدِّرٍ متسقٍ بضرب المُقدِّر بمعامل قياس ، أي القيمة الحقيقية مقسومةً على القيمة التقاربية للمُقدِّر. ويحدث هذا بكثرةٍ في تقدير معاملات القياس باستخدام مقاييس التشتت الإحصائي .

يمكن اعتبار المُقدِّر متسقًا مع معيار فيشر طالما أن دالة المُقدِّر هي نفس دالة التوزيع التجريبي التي تُمثل دالة التوزيع الحقيقي. وفقًا للصيغة التالية: $${\displaystyle {\widehat {\theta }}=h(T_{n}),\theta =h(T_{\theta })}$$ أين${\displaystyle T_{n}}$و${\displaystyle T_{\theta }}$يمثلان دالة التوزيع التجريبية ودالة التوزيع النظرية على التوالي. ومن الأمثلة البسيطة للتحقق من اتساق مقدر ما وفقًا لطريقة فيشر، التحقق من اتساق المتوسط ​​والتباين. على سبيل المثال، للتحقق من اتساق المتوسط${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {X}}}$وللتحقق من التباين، تأكد من أن${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=SSD/n}$[ ^{5 ]​}

المقدر الطبيعي التقاربي هو مقدر متسق يكون توزيعه حول المعلمة الحقيقية${\displaystyle \theta }$يقترب من التوزيع الطبيعي بانحراف معياري يتقلص بما يتناسب مع${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$حجم العينة${\displaystyle n}$ينمو. باستخدام${\displaystyle {\xrightarrow {D}}}$للدلالة على التقارب في التوزيع ، مقدِّر${\displaystyle t_{n}}$يكون التوزيع طبيعيًا تقاربيًا إذا $${\displaystyle {\sqrt {n}}(t_{n}-\theta )\ \xrightarrow {D} \ N(0,V),}$$ بالنسبة للبعض${\displaystyle V}$.

في هذه التركيبة${\displaystyle V/n}$يمكن تسميتها بالتباين التقاربي للمُقدِّر. ومع ذلك، يُطلق عليها بعض المؤلفين أيضًا اسم${\displaystyle V}$التباين التقاربي . ^{[ 6 ]} لاحظ أن التقارب لن يحدث بالضرورة لأي قيمة منتهية${\displaystyle n}$لذلك، فإن هذه القيمة ليست سوى تقريب للتباين الحقيقي للمُقدِّر، بينما في النهاية يكون التباين التقاربي${\displaystyle V/n}$يساوي صفرًا ببساطة. وعلى وجه الخصوص، فإن توزيع المُقدِّر${\displaystyle t_{n}}$يتقارب بشكل ضعيف إلى دالة ديراك دلتا متمركزة عند${\displaystyle \theta }$.

في ظل شروط معتدلة على توزيع البيانات، تشير نظرية النهاية المركزية إلى التقارب الطبيعي لمتوسط ​​العينة.${\displaystyle {\bar {X}}}$كمُقدِّر للمتوسط ​​الحقيقي. وبشكلٍ عام، تكون مُقدِّرات الاحتمال الأقصى طبيعية تقاربياً في ظل شروط انتظام ضعيفة نسبياً - انظر قسم التقارب في مقالة الاحتمال الأقصى. مع ذلك، ليست كل المُقدِّرات طبيعية تقاربياً؛ وأبسط الأمثلة نجدها عندما تقع القيمة الحقيقية للمعلمة على حدود منطقة المعلمة المسموح بها.

تُستخدم كفاءة المُقدِّر لتقدير الكمية المطلوبة بأقل خطأ ممكن. في الواقع، لا يوجد مُقدِّر أمثل صريح، بل يوجد فقط مُقدِّر أفضل. وتعتمد كفاءة المُقدِّر على اختيار دالة خسارة مُحددة ، وتنعكس في خاصيتين مرغوبتين طبيعيًا للمُقدِّرات: عدم التحيز.${\displaystyle \operatorname {E} [{\widehat {\theta }}]-\theta =0}$وأن يكون متوسط ​​الخطأ التربيعي (MSE) في حده الأدنى${\displaystyle \operatorname {E} [({\widehat {\theta }}-\theta )^{2}]}$. لا يمكن بشكل عام تحقيق كليهما في وقت واحد: قد يكون للمقدر المتحيز متوسط ​​خطأ تربيعي أقل من أي مقدر غير متحيز (انظر تحيز المقدر ).

تربط هذه المعادلة متوسط ​​مربع الخطأ بانحياز المقدر: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [({\widehat {\theta }}-\theta )^{2}]=\left(\operatorname {E} [{\widehat {\theta }}]-\theta \right)^{2}+\operatorname {Var} ({\widehat {\theta }})}$$يمثل الحد الأول متوسط ​​مربع الخطأ، ويمثل الحد الثاني مربع انحياز المُقدِّر، ويمثل الحد الثالث تباين المُقدِّر. يمكن تحديد جودة المُقدِّر من خلال المقارنة بين التباين، ومربع انحياز المُقدِّر، أو متوسط ​​مربع الخطأ. يكون تباين المُقدِّر الجيد (ذو الكفاءة العالية) أصغر من تباين المُقدِّر الرديء (ذو الكفاءة المنخفضة). ويكون مربع انحياز المُقدِّر الجيد أصغر من انحياز المُقدِّر الرديء. ويكون متوسط ​​مربع الخطأ للمُقدِّر الجيد أصغر من متوسط ​​مربع الخطأ للمُقدِّر الرديء. لنفترض وجود مُقدِّرين،${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{1}}$هو المُقدِّر الجيد و${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{2}}$هذا هو التقدير غير الدقيق. يمكن التعبير عن العلاقة المذكورة أعلاه بالصيغ التالية:$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} ({\widehat {\theta }}_{1})<\operatorname {Var} ({\widehat {\theta }}_{2}),\\[0.2cm]&\left|\operatorname {E} ({\widehat {\theta }}_{1})-\theta \right|<\left|\operatorname {E} ({\widehat {\theta }}_{2})-\theta \right|,\\[0.2cm]&\operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }}_{1})<\operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }}_{2}).\end{aligned}}}$$إلى جانب استخدام الصيغة لتحديد كفاءة المُقدِّر، يمكن أيضًا تحديدها من خلال الرسم البياني. فإذا كان المُقدِّر كفؤًا، سيظهر في الرسم البياني للتكرار مقابل القيمة منحنى ذو تكرار عالٍ في المنتصف وتكرار منخفض على الجانبين. على سبيل المثال:

إذا لم يكن المقدر فعالاً، فسيكون هناك منحنى أكثر انحداراً نسبياً في الرسم البياني للتردد مقابل القيمة.

ببساطة، يتميز المُقدِّر الجيد بمنحنى ضيق، بينما يتميز المُقدِّر السيئ بمنحنى واسع. وعند رسم هذين المنحنيين على رسم بياني واحد بمحور ص مشترك ، يصبح الفرق أكثر وضوحًا.

من بين المُقدِّرات غير المتحيزة، يوجد غالبًا مُقدِّر ذو أقل تباين، يُسمى مُقدِّر التباين الأدنى غير المتحيز ( MVUE ). في بعض الحالات ، يوجد مُقدِّر كفء غير متحيز ، بالإضافة إلى كونه الأقل تباينًا بين المُقدِّرات غير المتحيزة، فإنه يُحقق حد كرامر-راو ، وهو حد أدنى مطلق للتباين لإحصاءات متغير ما.

فيما يتعلق بـ "أفضل المقدرات غير المتحيزة"، انظر أيضًا حد كرامر-راو ، ونظرية جاوس-ماركوف ، ونظرية ليمان-شيفيه ، ونظرية راو-بلاكويل .