تمثيل المحور والزاوية

لنفترض أنك تقف على الأرض واخترت اتجاه الجاذبية ليكون الاتجاه السالب للمحور z . عندئذٍ ، إذا استدرت إلى يسارك، فسوف تدور بمقدار -π / 2 راديان (أو -90° ) حول المحور -z . وباعتبار تمثيل المحور والزاوية زوجًا مرتبًا ، فإن هذا سيكون $${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

يمكن تمثيل المثال أعلاه كمتجه دوران بمقدار π / 2 يشير إلى اتجاه المحور z ،$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

تُحدث الخريطة الأسية تحولاً من تمثيل الدورانات بمحور الزاوية إلى مصفوفات الدوران ، $${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

بشكل أساسي، باستخدام متسلسلة تايلور ، يمكن استنتاج علاقة مغلقة بين هذين التمثيلين. بفرض متجه وحدة${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$يمثل محور الدوران الوحدوي، وزاوية، θ ∈ R ، مصفوفة الدوران المكافئة R معطاة على النحو التالي، حيث K هي مصفوفة الضرب الاتجاهي لـ ω ، أي Kv = ω × v لجميع المتجهات v ∈ R ³ ، $${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

بما أن المصفوفة K متناظرة عكسيًا، ومجموع مربعات عناصرها فوق القطر الرئيسي يساوي 1، فإن متعددة الحدود المميزة P ( t ) للمصفوفة K هي P ( t ) = det( K - tI ) = -( ^t³ + t ) . وبما أن P ( K ) = 0 وفقًا لنظرية كايلي-هاميلتون ، فإن هذا يعني أن $${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$ ونتيجة لذلك، فإن K ⁴ = – K ² ، K ⁵ = K ، K ⁶ = K ² ، K ⁷ = – K .

يستمر هذا النمط الدوري إلى ما لا نهاية، وبالتالي يمكن التعبير عن جميع القوى الأعلى لـ K بدلالة K و K² . ومن ثم، من المعادلة ^أعلاه ، يتبين أن $${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$ إنه، $${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

باستخدام صيغة متسلسلة تايلور للدوال المثلثية .

هذا اشتقاق جبري لي، على عكس الاشتقاق الهندسي في مقالة صيغة دوران رودريغز . ^{[ 1 ]}

بسبب وجود الخريطة الأسية المذكورة أعلاه، فإن متجه الوحدة ω الذي يمثل محور الدوران، والزاوية θ يطلق عليهما أحيانًا الإحداثيات الأسية لمصفوفة الدوران R.

لنفترض أن K تستمر في الإشارة إلى المصفوفة 3  ×  3 التي تؤثر على الضرب الاتجاهي مع محور الدوران ω : K ( v ) = ω × v لجميع المتجهات v فيما يلي.

لاستخراج تمثيل المحور والزاوية لمصفوفة الدوران ، احسب زاوية الدوران من أثر مصفوفة الدوران : $${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$ ثم استخدم ذلك لإيجاد المحور المعياري، $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

أين${\displaystyle R_{ij}}$هو أحد مكونات مصفوفة الدوران،${\displaystyle R}$، في${\displaystyle i}$الصف رقم - و${\displaystyle j}$العمود رقم -th.

هذه الصيغة لا تعمل مع${\displaystyle \omega }$إذا كانت R متناظرة. لأن هذا ممكن فقط عندما${\displaystyle \theta =k\pi }$لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle k}$، لذا sin(${\displaystyle \theta }$) = 0، مما يؤدي إلى القسمة على صفر في الصيغة. ومع ذلك، فإن نهاية الصيغة لـ${\displaystyle \omega }$، مثل${\displaystyle \theta \to k\pi }$، يعطي القيمة الصحيحة لـ${\displaystyle \omega }$أما بالنسبة للحالة العامة${\displaystyle \omega }$يمكن أيضًا إيجادها باستخدام الفضاء الصفري لـ RI ، انظر مصفوفة الدوران#تحديد المحور .

إن تمثيل المحور والزاوية ليس فريدًا لأن دورانًا من${\displaystyle -\theta }$عن${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$ هو نفسه دوران${\displaystyle \theta }$عن${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$بالطبع، إضافة أي مضاعف صحيح للعدد 2π إلى${\displaystyle \theta }$سيؤدي ذلك أيضًا إلى نفس الدوران؛ والطريقة الأفضل هي التقييد${\displaystyle \theta }$إلى الفاصل الزمني [0، 2π) أو (-π، π).

لو${\displaystyle \theta }$يُبحث عن شخص معروف${\displaystyle (R,\omega )}$إذا كان الزوج متوافقًا، فيجب أن يكون ذلك متسقًا مع اتجاه${\displaystyle \omega }$المحور (بمعنى آخر، يجب أن يقع في الربع المناسب من دائرة الوحدة المحددة بواسطة${\displaystyle \sin \theta }$و${\displaystyle \cos \theta }$). بالنظر إلى مصفوفة الضرب التقاطعي${\displaystyle \mathbf {K} }$وهو متاح أيضًا لـ${\displaystyle \omega }$ويمكن ضمان هذا الاتساق من خلال تعميم صيغة التتبع المذكورة أعلاه على النحو التالي: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \theta ={\rm {atan2}}(-{\rm {Tr}}(\mathbf {K} R),{\rm {Tr}}(R)-1),}$$ حيث أن atan2 هي دالة الظل العكسي ذات الوسيطين، والتي توفر الإشارة الصحيحة لـ${\displaystyle \theta }$في${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$الفاصل الزمني. تحل هذه الطريقة غموض الإشارة الموجود في الحدود خارج المحور لـ${\displaystyle R}$.

اللوغاريتم المصفوفي لمصفوفة الدوران R هو $${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

يحدث استثناء عندما تكون القيم الذاتية للمصفوفة R مساوية لـ -1 . في هذه الحالة، لا يكون اللوغاريتم فريدًا. ومع ذلك، حتى في حالة كون θ = π، فإن معيار فروبينيوس للوغاريتم هو $${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$ بفرض مصفوفات الدوران A و B ، $${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$ هي المسافة الجيوديسية على مشعب ثلاثي الأبعاد لمصفوفات الدوران.

بالنسبة للدوران الصغير، قد تكون الحسابات المذكورة أعلاه لـ θ غير دقيقة عدديًا، لأن مشتقة دالة arccos تؤول إلى اللانهاية عندما θ → 0. في هذه الحالة، ستوفر الحدود خارج المحور معلومات أفضل عن θ ، لأنه بالنسبة للزوايا الصغيرة، R ≈ I + θ K. (وذلك لأن هذين الحدين هما أول حدين في متسلسلة تايلور لـ exp( θ K ) ).

تُعاني هذه الصيغة أيضًا من مشاكل عددية عند θ = π ، حيث لا تُقدّم الحدود غير المحورية معلوماتٍ حول محور الدوران (الذي لا يزال مُعرّفًا حتى مع وجود غموض في الإشارة). في هذه الحالة، يجب إعادة النظر في الصيغة المذكورة أعلاه.

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$ عند θ = π ، لدينا $${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$ وهكذا دع $${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$ لذا فإن الحدود القطرية لـ B هي مربعات عناصر ω ويمكن تحديد الإشارات (حتى غموض الإشارة) من إشارات الحدود خارج المحور لـ B. 

يحوّل التعبير التالي إحداثيات المحور والزاوية إلى متجهات ( رباعيات الوحدة ): $${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

بالنظر إلى متجه q = r + v ممثلًا بقيمته العددية r ومتجهه v ، يمكن استخراج إحداثيات المحور والزاوية باستخدام ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

يستخدم التعبير الأكثر استقرارًا عدديًا لزاوية الدوران دالة atan2 : $${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,}$$ حيث | v | هو المعيار الإقليدي للمتجه الثلاثي v .