حزمة باناش

في الرياضيات ، حزمة باناخ هي حزمة متجهة كل ليف منها عبارة عن فضاء باناخ ، أي فضاء متجه معياري كامل ، ربما يكون ذا أبعاد لا نهائية.

ليكن M فضاءً باناخياً من الفئة Cp حيث p ≥ 0، ويُسمى الفضاء الأساسي ؛ وليكن E فضاءً طوبولوجياً ، ويُسمى الفضاء الكلي ؛ وليكن π : E → M تطبيقاً متصلاً شاملاً . لنفترض أنه لكل نقطة x ∈ M ، فإن ^الليف E x ₌ π − ^{1 (} x ) قد أُعطي بنية فضاء باناخ. 

${\displaystyle \{U_{i}|i\in I\}}$

ليكن غطاءً مفتوحًا لـ M. ولنفترض أيضًا أنه لكل i ∈ I ، يوجد فضاء باناخ X _i ودالة τ _i

${\displaystyle \tau _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times X_{i}}$

بحيث

• التطبيق τ _i هو تماثل متماثل يتبادل مع الإسقاط على U _i ، أي أن المخطط التالي يتبادل :

ولكل x ∈ U _i، فإن الخريطة المستحثة τ _ix على الليف E _x

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X_{i}}$

هي خريطة خطية مستمرة قابلة للعكس ، أي تماثل في فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية ؛

• إذا كان U _i و U _j عنصرين من الغطاء المفتوح، فإن الخريطة

${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\to \mathrm {Lin} (X_{i};X_{j})}$

${\displaystyle x\mapsto (\tau _{j}\circ \tau _{i}^{-1})_{x}}$

هو تشاكل (خريطة قابلة للتفاضل من الفئة C ^p )، حيث يشير Lin( X ; Y ) إلى فضاء جميع الخرائط الخطية المستمرة من فضاء متجه طوبولوجي X إلى فضاء متجه طوبولوجي آخر Y.

تُسمى المجموعة {( _Uᵢ , _τᵢ ) _| ᵢ ∈ I } غطاءً تافهاً لـ π  : E → M ، وتُسمى التطبيقات τᵢ تطبيقات تافهة . يُقال إن غطائين تافهين متكافئان إذا حقق اتحادهما الشرطين المذكورين أعلاه. يُقال إن فئة التكافؤ لهذه الأغطية التافهة تُحدد بنية حزمة باناخ على π : E → M. 

إذا كانت جميع الفضاءات Xᵢ متماثلة كفضاءات متجهة طوبولوجية، فيمكن افتراض أنها جميعًا تساوي الفضاء Xᵢ نفسه . في هذه الحالة، يُقال إن π : E → M حزمة باناخ ذات ألياف Xᵢ . إذا كان M فضاءً متصلًا _، فإن هذا يتحقق بالضرورة، لأن مجموعة النقاط x ∈ M التي يوجد لها تطبيق تافه 

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X}$

بالنسبة لمساحة معينة X ، تكون مفتوحة ومغلقة في نفس الوقت .

في حالة الأبعاد المحدودة، فإن الشرط الثاني المذكور أعلاه مستنتج من الشرط الأول.

• إذا كان V أي فضاء باناخ، فإن الفضاء المماسي T _x V إلى V عند أي نقطة x ∈ V يكون متماثلاً بشكل واضح مع V نفسه. وبالتالي، فإن الحزمة المماسية T V لـ V هي حزمة باناخ ذات الإسقاط المعتاد.

${\displaystyle \pi$ :\mathrm {T} V\to V;}

${\displaystyle (x,v)\mapsto x.}$

تُعتبر هذه الحزمة "تافهة" بمعنى أن T V تقبل خريطة تافهة مُعرّفة عالميًا: دالة التطابق

${\displaystyle \tau =\mathrm {id}$ :\pi ^{-1}(V)=\mathrm {T} V\إلى V\times V;}

${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v).}$

• إذا كانت M أي مشعب باناخ، فإن حزمة المماس T M لـ M تشكل حزمة باناخ بالنسبة للإسقاط المعتاد، ولكنها قد لا تكون تافهة.
• وبالمثل، فإن حزمة الظل المشترك T* M ، التي يكون ليفها فوق نقطة x ∈ M هو الفضاء المزدوج الطوبولوجي للفضاء المماسي عند x :

${\displaystyle \pi ^{-1}(x)=\mathrm {T} _{x}^{*}M=(\mathrm {T} _{x}M)^{*};}$

كما يشكل حزمة باناخ بالنسبة للإسقاط المعتاد على M.

• ثمة صلة بين فضاءات بوخنر وحزم باناخ. لنأخذ على سبيل المثال فضاء بوخنر X  = L² ([0, T ]; H₁ (Ω))، الذي قد يكون مفيدًا عند دراسة معادلة الحرارة على المجال Ω. يمكن البحث عن حلول σ ∈ X لمعادلة الحرارة؛ فلكل زمن t ، تكون σ ( t ) دالة في فضاء سوبوليف H₁ ⁽ Ω). يمكن أيضًا التفكير في Y = [0, T ] × ^H₁ (Ω)، الذي يمتلك، كحاصل ضرب ديكارتي ، بنية حزمة باناخ على المتشعب [0, T ] مع الليف H₁ (Ω)، وفي هذه الحالة ^، تكون العناصر/الحلول σ ∈ X مقاطع عرضية للحزمة Y ذات انتظام محدد ( L² تحديدًا). ​​إذا ^كانت الهندسة التفاضلية للمسألة المطروحة ذات أهمية خاصة، فقد يكون منظور حزمة باناخ مفيدًا.             

يمكن تحويل مجموعة جميع حزم باناخ إلى فئة عن طريق تحديد التشكلات المناسبة.

ليكن π  : E → M و π ′  : E ′ → M ′ حزمتين من حزم باناخ. يتكون تشاكل حزمة باناخ من الحزمة الأولى إلى الثانية من زوج من التشاكلات

${\displaystyle f_{0}:M\to M';}$

${\displaystyle f:E\to E'.}$

لكي يكون f تشاكلاً، فهذا يعني ببساطة أن f دالة متصلة في الفضاءات الطوبولوجية. إذا كانت المتشعبات M و M ′ من الفئة Cp ^، فإن شرط كون f₀ _{تشاكلاً} هو أن تكون دالة قابلة للتفاضل بشكل متصل p مرة . يجب أن يحقق هذان التشاكلان شرطين (مرة أخرى، الشرط الثاني زائد في حالة الأبعاد المحدودة):

• الرسم التخطيطي

يتبادل، ولكل x ∈ M ، الخريطة المستحثة

${\displaystyle f_{x}:E_{x}\to E'_{f_{0}(x)}}$

هي خريطة خطية متصلة؛

• لكل x ₀ ∈ M توجد دوال تافهة

${\displaystyle \tau$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times X}

${\displaystyle \tau ':\pi '^{-1}(U')\to U'\times X'}$

بحيث يكون x ₀ ∈ U ، و f ₀ ( x ₀ ) ∈ U ′ ،

${\displaystyle f_{0}(U)\subseteq U'}$

والخريطة

${\displaystyle U\to \mathrm {Lin} (X;X')}$

${\displaystyle x\mapsto \tau '_{f_{0}(x)}\circ f_{x}\circ \tau ^{-1}}$

هو تشاكل (خريطة قابلة للتفاضل من الفئة C ^p ).

يمكن للمرء أن يأخذ حزمة باناش على مشعب واحد ويستخدم بنية السحب للخلف لتعريف حزمة باناش جديدة على مشعب ثان.

على وجه التحديد، ليكن π  : E → N حزمة باناخ، و f  : M → N تطبيقًا قابلًا للتفاضل (وكما هو معتاد، كل شيء من C ^p ). عندئذٍ، يكون السحب العكسي لـ π  : E → N هو حزمة باناخ f * π  : f * E → M التي تحقق الخصائص التالية:

• لكل x ∈ M ، ( f * E ) _x = E _{f ( x )} ؛
• يوجد مخطط تبادلي

حيث تمثل الخريطة الأفقية العلوية هوية كل ليف؛

• إذا كانت E تافهة، أي تساوي N × X لبعض فضاءات باناخ X ، فإن f * E تكون تافهة أيضًا وتساوي M × X ، و

${\displaystyle f^{*}\pi :f^{*}E=M\times X\to M}$

هو الإسقاط على الإحداثي الأول؛

• إذا كانت V مجموعة جزئية مفتوحة من N و U = f ^{− 1} ( V )، فإن

${\displaystyle f^{*}(E_{V})=(f^{*}E)_{U}}$

وهناك مخطط تبادلي

حيث تكون الخرائط في "الأمام" و "الخلف" هي نفسها الموجودة في الرسم التخطيطي السابق، والخرائط من "الخلف" إلى "الأمام" هي (ناتجة عن) الإضافات.

• لانغ، سيرج (1972). المشعبات التفاضلية . ريدينغ، ماساتشوستس - لندن - دون ميلز، أونتاريو: شركة أديسون-ويسلي للنشر.