المؤثر الخطي المستمر

لنفترض أن${\displaystyle F:X\to Y}$هو مؤثر خطي بين فضاءين متجهيين طوبولوجيين (TVSs). ما يلي متكافئ:

1. ${\displaystyle F}$متصل.
2. ${\displaystyle F}$يكون متصلاً عند نقطة ما${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$متصلة عند نقطة الأصل في${\displaystyle X.}$

لو${\displaystyle Y}$إذا كانت محدبة محليًا، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

4. لكل شبه معيار مستمر${\displaystyle q}$على${\displaystyle Y,}$يوجد شبه معيار متصل${\displaystyle p}$على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle q\circ F\leq p.}$^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كانت كلتاهما فضاءات هاوسدورف محدبة محليًا، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل ما يلي:

5. ${\displaystyle F}$هي دالة متصلة بشكل ضعيف ومنقولتها${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$الخرائط مجموعات فرعية متساوية الاستمرارية من${\displaystyle Y^{\prime }}$إلى مجموعات فرعية متساوية الاستمرارية من${\displaystyle X^{\prime }.}$

لو${\displaystyle X}$إذا كانت مساحة متسلسلة (مثل مساحة قابلة للقياس الزائف )، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

6. ${\displaystyle F}$تكون متصلة بشكل متسلسل عند نقطة ما (أو بشكل مكافئ، عند كل) نقطة من مجالها.

لو${\displaystyle X}$إذا كان الفضاء شبه قابل للقياس أو قابل للقياس (مثل الفضاء المعياري أو فضاء باناخ )، فيمكننا إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

7. ${\displaystyle F}$هو مؤثر خطي محدود (أي أنه يحول مجموعات جزئية محدودة من${\displaystyle X}$إلى مجموعات فرعية محدودة من${\displaystyle Y}$). ^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle Y}$إذا كان الفضاء شبه قابل للتطبيع (مثل الفضاء المعياري )، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل ما يلي:

8. ${\displaystyle F}$تُحدد هذه الدالة بعض الجوار للصفر إلى مجموعة فرعية محدودة من${\displaystyle Y.}$^{[ 3 ]}

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$كلاهما فضاءات معيارية أو شبه معيارية (ويرمز لكل من شبه المعيارين بـ${\displaystyle \|\cdot \|}$) عندئذٍ يمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

9. لكل${\displaystyle r>0}$يوجد بعض${\displaystyle \delta >0}$بحيث$${\displaystyle {\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.}$$

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات هاوسدورف محدبة محليًا مع${\displaystyle Y}$إذا كانت ذات أبعاد محدودة، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل ما يلي:

10. الرسم البياني لـ${\displaystyle F}$مغلق في${\displaystyle X\times Y.}$^{[ 4 ]}

تكون الدالة الخطية " محدودة في جوار " (لنقطة ما) إذا وفقط إذا كانت محدودة محليًا عند كل نقطة من نطاقها، وفي هذه الحالة تكون بالضرورة متصلة ^{[ 2 ]} (حتى لو لم يكن نطاقها فضاءً معياريًا ) وبالتالي محدودة أيضًا (لأن المؤثر الخطي المتصل هو دائمًا مؤثر خطي محدود ). ^{[ 6 ]}

بالنسبة لأي دالة خطية، إذا كانت محدودة في جوار معين ، فهي متصلة، ^{[ 2 ] [ 7 ]} وإذا كانت متصلة، فهي محدودة . ^{[ 6 ]} لا تصح العبارات العكسية عمومًا، لكنها تصح عندما يكون مجال الدالة الخطية فضاءً معياريًا . فيما يلي أمثلة وتفاصيل إضافية.

باختصار، بالنسبة للتطبيق الخطي على فضاء معياري (أو شبه معياري)، فإنّ كلاً من الاتصال والتقييد والتقييد في جوار معين متكافئ . يكون التطبيق الخطي الذي يكون مجاله أو مجاله المقابل معياريًا (أو شبه معياري) متصلاً إذا وفقط إذا كان محدودًا في جوار معين. ويكون المؤثر الخطي المحدود ذو القيم في فضاء محدب محليًا متصلاً إذا كان مجاله قابلاً للقياس (أو شبه قابل للقياس) ^{[ 2 ]} أو بورنولوجيًا ^{[ 6 ]} .

ضمان أن "مستمر" يعني "محدود في جوار"

يُقال إن فضاءً افتراضيًا محدود محليًا إذا وُجدت جوار له تُشكّل أيضًا مجموعة محدودة . ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، كل فضاء معياري أو شبه معياري هو فضاء افتراضي محدود محليًا، لأن الكرة الوحدوية المتمركزة عند نقطة الأصل تُشكّل جوارًا محدودًا لنقطة الأصل.${\displaystyle B}$إذا كانت منطقة ما جوارًا محدودًا للأصل في نظام TVS (محدود محليًا)، فإن صورتها تحت أي تطبيق خطي متصل ستكون مجموعة محدودة (وبالتالي فإن هذا التطبيق محدود في هذا الجوار).${\displaystyle B}$وبالتالي، فإنّ التطبيق الخطي من نظام TVS محدود محليًا إلى أي نظام TVS آخر يكون متصلًا إذا وفقط إذا كان محدودًا في جوار معين . علاوة على ذلك، فإن أي نظام TVS يتمتع بهذه الخاصية يجب أن يكون نظام TVS محدودًا محليًا. بعبارة أخرى، إذا${\displaystyle X}$هي نظام تحويلات متغيرة بحيث يكون كل تطبيق خطي متصل (إلى أي نظام تحويلات متغيرة) مجاله هو${\displaystyle X}$إذا كانت بالضرورة محصورة في حي معين، فإن${\displaystyle X}$يجب أن يكون نظامًا متغيرًا محليًا محدودًا (لأن دالة التطابق${\displaystyle X\to X}$(دائماً ما تكون خريطة خطية متصلة).

أي تطبيق خطي من نظام TVS إلى نظام TVS محدود محليًا (مثل أي دالة خطية) يكون متصلًا إذا وفقط إذا كان محدودًا في جوار معين. ^{[ 8 ]} والعكس صحيح، إذا${\displaystyle Y}$هي نظام تحويلات متغيرة بحيث يكون كل تطبيق خطي متصل (من أي نظام تحويلات متغيرة) ذو مجال مكمل${\displaystyle Y}$إذا كانت بالضرورة محدودة في جوار معين ،${\displaystyle Y}$يجب أن يكون فضاءً متغيرًا محليًا محدودًا. ^{[ 8 ]} على وجه الخصوص، تكون الدالة الخطية على أي فضاء متغير متصلة إذا وفقط إذا كانت محدودة في جوار معين. ^{[ 8 ]}

وبالتالي عندما يكون مجال أو مجال المقابلة لخريطة خطية قابلاً للتطبيع أو شبه قابل للتطبيع، فإن الاستمرارية ستكون مكافئة لكونها محدودة في جوار.

ضمان أن "المحدود" يستلزم "المستمر"

المؤثر الخطي المتصل هو دائمًا مؤثر خطي محدود . ^{[ 6 ]} ولكن الأهم من ذلك، في الحالة العامة للمؤثر الخطي بين فضاءات متجهة طوبولوجية عشوائية، من الممكن أن يكون المؤثر الخطي محدودًا ولكنه غير متصل.

تكون الدالة الخطية التي يكون مجالها قابلاً للقياس الزائف (مثل أي فضاء معياري ) محدودة إذا وفقط إذا كانت متصلة. ^{[ 2 ]} وينطبق الأمر نفسه على الدالة الخطية من فضاء بورنولوجي إلى فضاء محدب محليًا . ^{[ 6 ]}

ضمان أن "محدود" يعني "محدود في جوار"

بشكل عام، بدون معلومات إضافية حول الخريطة الخطية أو مجالها أو مجالها المقابل، فإن كون الخريطة "محدودة" لا يعني بالضرورة أنها "محدودة في جوار".${\displaystyle F:X\to Y}$هو مؤثر خطي محدود من فضاء معياري${\displaystyle X}$ثم إلى بعض أجهزة التلفزيون${\displaystyle F:X\to Y}$هي بالضرورة متصلة؛ وذلك لأن أي كرة مفتوحة${\displaystyle B}$متمركزة عند نقطة الأصل في${\displaystyle X}$هي مجموعة جزئية محدودة (مما يعني أن${\displaystyle F(B)}$محدود لأن${\displaystyle F}$(هي دالة خطية محدودة) وجوار نقطة الأصل في${\displaystyle X,}$لهذا السبب.${\displaystyle F}$وبالتالي، فإن حدودها تقع في هذا الحي${\displaystyle B}$الأصل، الذي (كما ذكر أعلاه) يضمن الاستمرارية.

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاء متجهي طوبولوجي (TVS) على الحقل${\displaystyle \mathbb {F} }$(${\displaystyle X}$(ليس بالضرورة أن تكون هاوسدورف أو محدبة محليًا ) ولتكن${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$لتكن دالة خطية على${\displaystyle X.}$ ما يلي متكافئ: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle f}$متصل.
2. ${\displaystyle f}$دالة متصلة بانتظام على${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle f}$يكون متصلاً عند نقطة ما من${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$متصلة عند نقطة الأصل.
   • بحسب التعريف،${\displaystyle f}$يقال إنها متصلة عند نقطة الأصل إذا كان لكل كرة مفتوحة (أو مغلقة)${\displaystyle B_{r}}$نصف قطر${\displaystyle r>0}$مركزها في${\displaystyle 0}$في المجال المشترك${\displaystyle \mathbb {F} ,}$يوجد بعض الأحياء${\displaystyle U}$من أصل في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$
   • لو${\displaystyle B_{r}}$إذا كانت كرة مغلقة، فإن الشرط هو${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$يتحقق إذا وفقط إذا${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.}$
     • من المهم أن${\displaystyle B_{r}}$أن تكون كرة مغلقة في هذا التوصيف الأعلى . بافتراض أن${\displaystyle B_{r}}$بدلاً من ذلك، تكون الكرة مفتوحة، ثم${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<r}$يُعد شرطًا كافيًا ولكنه ليس شرطًا ضروريًا لـ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$أن يكون صحيحًا (على سبيل المثال، عندما${\displaystyle f=\operatorname {Id} }$خريطة الهوية على${\displaystyle X=\mathbb {F} }$و${\displaystyle U=B_{r}}$), بينما المتباينة غير الصارمة${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}$بل هو شرط ضروري ولكنه غير كافٍ لـ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$أن يكون صحيحًا (على سبيل المثال، انظر${\displaystyle X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,}$والحي المغلق${\displaystyle U=[-r,r]}$وهذا أحد الأسباب العديدة التي تجعل العديد من التعريفات التي تتضمن دوال خطية، مثل المجموعات القطبية على سبيل المثال، تتضمن جوارات مغلقة (بدلاً من مفتوحة) وغير صارمة.${\displaystyle \,\leq \,}$(بدلاً من أن يكون صارماً)${\displaystyle \,<\,}$) عدم المساواة.
5. ${\displaystyle f}$محصورة في حي (نقطة ما). بعبارة أخرى،${\displaystyle f}$هو محدود محلياً عند نقطة ما من نطاقه.
   • وهذا يعني صراحةً وجود جوار ما${\displaystyle U}$نقطة ما${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle f(U)}$هي مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle \mathbb {F}$ ;} ^{[ 2 ]} أي، بحيث${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$هذه السيادة على الحي${\displaystyle U}$يساوي${\displaystyle 0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f=0.}$
   • من المهم ملاحظة أن كون الدالة الخطية "محدودة في جوار" لا يُعادل بالضرورة كونها " دالة خطية محدودة "، لأنه (كما ذُكر سابقًا) من الممكن أن تكون الدالة الخطية محدودة ولكنها غير متصلة. مع ذلك، فإن الاتصال والتقييد متكافئان إذا كان المجال فضاءً معياريًا أو شبه معياري ؛ أي أنه بالنسبة للدالة الخطية على فضاء معياري، فإن كونها "محدودة" يُعادل كونها "محدودة في جوار".
6. ${\displaystyle f}$محصورة في جوار نقطة الأصل . بعبارة أخرى،${\displaystyle f}$هي محدودة محلياً عند نقطة الأصل.
   • المساواة${\displaystyle \sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|}$ينطبق على جميع الكميات القياسية${\displaystyle s}$ومتى${\displaystyle s\neq 0}$ثم${\displaystyle sU}$سيكون ذلك في جوار الأصل. لذا، على وجه الخصوص، إذا${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$إذا كان عددًا حقيقيًا موجبًا، فإنه لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle r>0,}$المجموعة${\displaystyle N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U}$هو حي الأصل و${\displaystyle \displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.}$استخدام${\displaystyle r:=1}$يثبت البيان التالي عندما${\displaystyle R\neq 0.}$
7. يوجد بعض الأحياء${\displaystyle U}$من الأصل بحيث${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$
   • تتحقق هذه المتباينة إذا وفقط إذا${\displaystyle \sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r}$لكل حقيقي${\displaystyle r>0,}$مما يدل على أن المضاعفات العددية الموجبة${\displaystyle \{rU:r>0\}}$في هذا الحي الواحد${\displaystyle U}$سوف تحقق تعريف الاستمرارية عند نقطة الأصل الواردة في (4) أعلاه.
   • بحسب تعريف المجموعة${\displaystyle U^{\circ },}$والذي يُطلق عليه اسم القطب (المطلق) لـ${\displaystyle U,}$عدم المساواة${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$يتحقق إذا وفقط إذا${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$تلعب المجموعات القطبية، وبالتالي هذه المتباينة المحددة أيضاً، أدواراً مهمة في نظرية الازدواجية .
8. ${\displaystyle f}$هي محدودة محلياً عند كل نقطة من نطاقها.
9. نواة${\displaystyle f}$مغلق في${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}
10. أيضاً${\displaystyle f=0}$وإلا فإن نواة${\displaystyle f}$ليس كثيفًا في${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}
11. يوجد شبه معيار متصل${\displaystyle p}$على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle |f|\leq p.}$
    • بخاصة،${\displaystyle f}$تكون متصلة إذا وفقط إذا كان المعيار النصفي${\displaystyle p:=|f|}$هو متصل.
12. الرسم البياني لـ${\displaystyle f}$مغلق. ^{[ 9 ]}
13. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$متصلة، حيث${\displaystyle \operatorname {Re} f}$يشير إلى الجزء الحقيقي من${\displaystyle f.}$

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كانت فضاءات متجهة معقدة، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل ما يلي:

14. الجزء الخيالي${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ل${\displaystyle f}$متصل.

إذا كان المجال${\displaystyle X}$إذا كانت مساحة متسلسلة ، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

15. ${\displaystyle f}$تكون متصلة بشكل متسلسل عند نقطة ما (أو بشكل مكافئ، عند كل) نقطة من مجالها. ^{[ 2 ]}

إذا كان المجال${\displaystyle X}$إذا كانت قابلة للقياس أو شبه قابلة للقياس (على سبيل المثال، فضاء فريشيه أو فضاء معياري )، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

16. ${\displaystyle f}$هو مؤثر خطي محدود (أي أنه يحول المجموعات الجزئية المحدودة من مجاله إلى مجموعات جزئية محدودة من مجاله المقابل). ^{[ 2 ]}

إذا كان المجال${\displaystyle X}$هو فضاء بورنولوجي (على سبيل المثال، TVS قابل للقياس الزائف ) و${\displaystyle Y}$إذا كانت محدبة محليًا، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

17. ${\displaystyle f}$هو مؤثر خطي محدود . ^{[ 2 ]}
18. ${\displaystyle f}$تكون متصلة بشكل متسلسل عند نقطة ما (أو بشكل مكافئ، عند كل) نقطة من مجالها. ^{[ 10 ]}
19. ${\displaystyle f}$متصلة بشكل متسلسل عند نقطة الأصل.

وإذا كان بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي على الأعداد الحقيقية (وهذا يعني على وجه الخصوص أن${\displaystyle f}$إذا كانت القيمة حقيقية، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

20. يوجد شبه معيار متصل${\displaystyle p}$على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle f\leq p.}$^{[ 1 ]}
21. لبعض الأشياء الحقيقية${\displaystyle r,}$نصف الفضاء${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$مغلق.
22. لأي شخص حقيقي${\displaystyle r,}$نصف الفضاء${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$مغلق. ^{[ 11 ]}

لو${\displaystyle X}$إذا كان الأمر معقدًا، فإما أن تكون جميعها الثلاثة${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$و${\displaystyle \operatorname {Im} f}$إما أن تكون متصلة (على التوالي، محدودة )، أو أن تكون الثلاثة غير متصلة (على التوالي، غير محدودة).

لو${\displaystyle X}$هو فضاء معياري معقد و${\displaystyle f}$دالة خطية على${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$^{[ 14 ]} (حيث يكون أحد الجانبين لانهائيًا إذا وفقط إذا كان الجانب الآخر لانهائيًا).

كل دالة خطية مستمرة غير تافهة على TVS${\displaystyle X}$هي خريطة مفتوحة . ^{[ 1 ]} إذا${\displaystyle f}$دالة خطية على فضاء متجهي حقيقي${\displaystyle X}$وإذا${\displaystyle p}$هو شبه معيار في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle |f|\leq p}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f\leq p.}$^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$هي دالة خطية و${\displaystyle U\subseteq X}$إذا كانت مجموعة جزئية غير فارغة، فبتعريف المجموعات $${\displaystyle f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},}$$ الأعلى${\displaystyle \,\sup _{u\in U}|f(u)|\,}$يمكن كتابتها بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي:${\displaystyle \,\sup |f(U)|\,}$لأن $${\displaystyle \sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.}$$ لو${\displaystyle s}$إذا كان كمية قياسية $${\displaystyle \sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|}$$ بحيث إذا${\displaystyle r>0}$هو عدد حقيقي و${\displaystyle B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F}$ الكرة المغلقة التي نصف قطرها r هي :|c|\leq r\ ${\displaystyle r}$إذا كان مركزها نقطة الأصل، فإن ما يلي يكون متكافئاً:

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$