مفارقة سفينة بيل الفضائية

مفارقة بيل الفضائية هي تجربة فكرية في النسبية الخاصة . وصفها لأول مرة إي. ديوان وم. بيران عام 1959 ^{[ 1 ]} ، لكنها اشتهرت على نطاق أوسع بعد أن طور جون ستيوارت بيل الفكرة عام 1976 ^{[ 2 ].} يتدلى خيط دقيق بين مركبتين فضائيتين ساكنتين في البداية في الإطار المرجعي S. تبدآن بالتسارع في نفس الاتجاه في آن واحد وبشكل متساوٍ، كما يُقاس في الإطار المرجعي S، وبالتالي تكون لهما نفس السرعة في جميع الأوقات عند النظر إليهما من الإطار المرجعي S. لذلك، تخضعان جميعًا لنفس انكماش لورنتز ، لذا يبدو أن المجموعة بأكملها منكمشة بالتساوي في الإطار المرجعي S بالنسبة لطولها عند البداية. للوهلة الأولى، قد يبدو أن الخيط لن ينقطع أثناء التسارع.

إلا أن هذه الحجة غير صحيحة، كما أوضح ديوان وبيران، ولاحقًا بيل. ^{[ 1 ] [ 2 ]} لا تخضع المسافة بين المركبتين الفضائيتين لانكماش لورنتز بالنسبة للمسافة عند البداية، لأنها في الإطار S تُعرَّف فعليًا بأنها ثابتة، نظرًا لتسارع المركبتين المتساوي والمتزامن في هذا الإطار. كما يتضح أن طول السكون بينهما قد ازداد في الإطار الذي تكونان فيه ساكنتين لحظيًا (S′)، لأن تسارع المركبتين ليس متزامنًا هنا بسبب نسبية التزامن . أما الخيط، كونه جسمًا ماديًا متماسكًا بفعل قوى كهروستاتيكية ، فيحافظ على طول سكونه نفسه. وبالتالي، في الإطار S، يجب أن يخضع لانكماش لورنتز، وهي نتيجة يمكن استنتاجها أيضًا عند أخذ المجالات الكهرومغناطيسية للأجسام المتحركة في الاعتبار. لذا، تُظهر الحسابات التي أُجريت في كلا الإطارين أن الخيط سينقطع. في S′ بسبب التسارع غير المتزامن وزيادة المسافة بين المركبات الفضائية، وفي S بسبب انكماش طول الخيط.

فيما يلي، يُعرَّف طول السكون ^{[ 3 ]} أو الطول الذاتي ^{[ 4 ]} لجسم ما بأنه طوله المقاس في إطار سكون الجسم . (يتوافق هذا الطول مع المسافة الذاتية بين حدثين في الحالة الخاصة، عندما يتم قياس هذين الحدثين في وقت واحد عند نقطتي النهاية في إطار سكون الجسم. ^{[ 4 ]} )

أوضح ديوان وبيران التجربة الفكرية من خلال كتابة ما يلي:

لنفترض وجود صاروخين متطابقين في التصميم، ساكنين في إطار مرجعي قصوري S. ولنفترض أنهما موجهان في الاتجاه نفسه، أحدهما خلف الآخر. إذا افترضنا أنه في وقت محدد مسبقًا، يتم إطلاق الصاروخين معًا (بالنسبة إلى S)، فإن سرعتيهما بالنسبة إلى S ستكونان متساويتين طوال الفترة المتبقية من التجربة (على الرغم من أنهما دالة للزمن). وهذا يعني، بحسب التعريف، أن المسافة بين الصاروخين بالنسبة إلى S لا تتغير حتى عندما تتسارع سرعتهما إلى سرعات نسبية. ^{[ 1 ]}

ثم تُكرر هذه العملية مرة أخرى، ولكن هذه المرة يُربط الجزء الخلفي من الصاروخ الأول بالجزء الأمامي من الصاروخ الثاني بخيط حريري. وخلصوا إلى ما يلي:

"وفقًا للنظرية الخاصة، يجب أن ينكمش الخيط بالنسبة إلى S لأنه يمتلك سرعة بالنسبة إلى S. ومع ذلك، بما أن الصواريخ تحافظ على مسافة ثابتة بينها بالنسبة إلى S، فإن الخيط (الذي افترضنا أنه مشدود في البداية) لا يمكن أن ينكمش: لذلك يجب أن يتشكل إجهاد حتى يصل الخيط في النهاية إلى حد مرونته وينقطع عند سرعات عالية بما فيه الكفاية." ^{[ 1 ]}

كما ناقش ديوان وبيران النتيجة من وجهة نظر الأطر المرجعية العطالية التي تتحرك لحظياً مع الصاروخ الأول، وذلك بتطبيق تحويل لورنتز :

"منذ${\displaystyle \scriptstyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$، (..) كل إطار مستخدم هنا له نظام تزامن مختلف بسبب${\displaystyle vx/c^{2}}$عامل. يمكن إثبات ذلك كـ${\displaystyle v}$مع ازدياد عدد الصواريخ، لن يظهر الصاروخ الأمامي على مسافة أكبر من الصاروخ الخلفي بالنسبة إلى إطار مرجعي قصوري لحظي فحسب، بل سيظهر أيضًا على أنه بدأ في وقت سابق. ^{[ 1 ]}

وخلصوا إلى ما يلي:

"يمكن للمرء أن يستنتج أنه كلما اضطر جسم ما إلى الحركة بطريقة تجعل جميع أجزائه لها نفس التسارع بالنسبة إلى إطار مرجعي قصوري (أو، بدلاً من ذلك، بطريقة تجعل أبعاده ثابتة بالنسبة إلى إطار مرجعي قصوري، ولا يوجد دوران)، فإن هذا الجسم يجب أن يتعرض بشكل عام لإجهادات نسبية." ^{[ 1 ]}

ثم ناقشوا الاعتراض القائل بأنه لا ينبغي أن يكون هناك فرق بين أ) المسافة بين طرفي قضيب متصل، و ب) المسافة بين جسمين غير متصلين يتحركان بنفس السرعة بالنسبة لإطار مرجعي قصوري. وقد دحض ديوان وبيران هذه الاعتراضات بالقول:

• بما أن الصواريخ مصممة بنفس الطريقة تمامًا، وتنطلق في نفس اللحظة في الإطار المرجعي S وبنفس التسارع، فلا بد أن تكون سرعتها ثابتة طوال الوقت في هذا الإطار. وبالتالي، فإنها تقطع المسافات نفسها في الإطار المرجعي S، لذا لا يمكن أن تتغير المسافة بينها في هذا الإطار. وإلا، لو تقلصت المسافة في الإطار المرجعي S، لكان ذلك سيؤدي إلى اختلاف سرعات الصواريخ في هذا الإطار أيضًا، وهو ما يتناقض مع الافتراض الأولي بتساوي التصميم والتسارع.
• كما جادلوا بأن هناك فرقًا بالفعل بين الحالتين (أ) و(ب): الحالة (أ) هي الحالة العادية لانكماش الطول، استنادًا إلى مفهوم طول سكون القضيب (l₀) _في S₀ _، والذي يظل ثابتًا طالما يمكن اعتبار القضيب صلبًا. في ظل هذه الظروف، ينكمش القضيب في S. لكن لا يمكن اعتبار المسافة صلبة في الحالة (ب) لأنها تتزايد بسبب التسارعات غير المتساوية في S₀ _، وسيتعين على الصواريخ تبادل المعلومات فيما بينها وتعديل سرعاتها للتعويض عن ذلك - كل هذه التعقيدات لا تظهر في الحالة (أ).

في نسخة بيل من التجربة الفكرية، تكون ثلاث مركبات فضائية A وB وC في حالة سكون مبدئيًا ضمن إطار مرجعي قصوري مشترك ، حيث تكون B وC على مسافة متساوية من A. ثم تُرسل إشارة من A لتصل إلى B وC في آنٍ واحد، مما يؤدي إلى بدء تسارع B وC في الاتجاه الرأسي (بعد برمجتهما مسبقًا بملفات تسارع متطابقة)، بينما تبقى A ساكنة في إطارها المرجعي الأصلي. ووفقًا لبيل، فإن هذا يعني أن B وC (كما تُرى في إطار سكون A) "ستمتلكان في كل لحظة نفس السرعة، وبالتالي ستظلان متباعدتين عن بعضهما بمسافة ثابتة". الآن، إذا رُبط خيط رفيع بين B وC، فلن يكون طويلًا بما يكفي بسبب انكماش الطول، وبالتالي سينقطع. وخلص إلى أن "المنع الاصطناعي للانكماش الطبيعي يفرض ضغطًا لا يُطاق". ^{[ 2 ]}

ذكر بيل أنه واجه شكوكًا كبيرة من "عالم تجريبي مرموق" عندما طرح المفارقة. في محاولة لحل الخلاف، أُجري استطلاع رأي غير رسمي وغير منهجي في سيرن . ووفقًا لبيل، كان هناك "إجماع واضح" يؤكد، بشكل خاطئ، أن الخيط لن ينقطع. ويضيف بيل:

بالطبع، كثيرون ممن يحصلون على إجابة خاطئة في البداية، يصلون إلى الإجابة الصحيحة بعد مزيد من التفكير. عادةً ما يشعرون بأنهم مُلزمون بمحاولة فهم كيف تبدو الأمور للمراقبين (ب) أو (ج). يكتشفون، على سبيل المثال، أن (ب) يرى (ج) يبتعد أكثر فأكثر، بحيث لا يعود بإمكان خيط معين أن يغطي المسافة. فقط بعد فهم هذا الأمر، وربما مع شعورٍ مُتبقٍ بعدم الارتياح، يقبل هؤلاء الأشخاص أخيرًا استنتاجًا بديهيًا تمامًا في ضوء تفسير (أ) للأمور، بما في ذلك انكماش فيتزجيرالد.

بشكل عام، خلص ديوان وبيران وبيل إلى أن الإجهادات النسبية تنشأ عندما تتسارع جميع أجزاء الجسم بنفس الطريقة بالنسبة إلى إطار مرجعي قصوري، وأن انكماش الطول له تبعات فيزيائية حقيقية. فعلى سبيل المثال، جادل بيل بأن انكماش طول الأجسام، وكذلك عدم انكماش الطول بين الأجسام في الإطار المرجعي S، يمكن تفسيره باستخدام الكهرومغناطيسية النسبية . تتسبب المجالات الكهرومغناطيسية المشوهة بين الجزيئات في انكماش الأجسام المتحركة، أو في تعرضها للإجهاد إذا ما أُعيقت عن ذلك. في المقابل، لا تؤثر مثل هذه القوى على الفراغ بين الأجسام. ^{[ 2 ]} (بشكل عام، أوضح ريتشارد فاينمان كيف يمكن اشتقاق تحويل لورنتز من حالة جهد شحنة تتحرك بسرعة ثابتة (كما هو ممثل بجهد ليينارد-فيشرت ). أما من الناحية التاريخية، فقد أشار فاينمان إلى أن هندريك لورنتز توصل إلى تحويل لورنتز بنفس الطريقة تقريبًا، ^{[ 5 ]} انظر أيضًا تاريخ تحويلات لورنتز .)

مع ذلك، يُفسر بيتكوف (2009) ^{[ 6 ]} وفرانكلين (2009) ^{[ 3 ]} هذه المفارقة تفسيراً مختلفاً. فقد اتفقا على أن الخيط سينقطع نتيجةً لتسارعات غير متساوية في إطارات الصاروخ، مما يؤدي إلى زيادة طول الراحة بينهما (انظر مخطط مينكوفسكي في قسم التحليل ). لكنهما رفضا فكرة أن هذه الإجهادات ناتجة عن انكماش الطول في الإطار المرجعي S. ويعود ذلك، في رأيهما، إلى أن انكماش الطول ليس له "وجود مادي"، بل هو مجرد نتيجة لتحويل لورنتز، أي دوران في فضاء رباعي الأبعاد لا يمكن أن يُسبب أي إجهاد في حد ذاته. وبالتالي، يُفترض أن حدوث هذه الإجهادات في جميع الإطارات المرجعية، بما في ذلك S، وانقطاع الخيط، هو نتيجة التسارع النسبي وحده. ^{[ 3 ] [ 6 ]}

قدّم بول ناووركي (1962) ثلاثة حججٍ تُبرّر عدم انقطاع الخيط، ^{[ 7 ]} بينما بيّن إدموند ديوان (1963) في ردّه أن تحليله الأصلي لا يزال ساريًا. ^{[ 8 ]} بعد سنواتٍ عديدةٍ من صدور كتاب بيل، أفاد ماتسودا وكينوشيتا بتلقّيهما انتقاداتٍ لاذعةٍ بعد نشرهما مقالًا في مجلةٍ يابانيةٍ حول نسختهما المُعاد اكتشافها من المفارقة. مع ذلك، لم يذكر ماتسودا وكينوشيتا أوراقًا بحثيةً مُحدّدة، بل اكتفيا بالقول إن هذه الاعتراضات كُتبت باللغة اليابانية. ^{[ 9 ]}

ومع ذلك، تتفق معظم المنشورات على أن الخيط سينقطع، مع بعض إعادة الصياغة والتعديلات والسيناريوهات المختلفة، كما هو الحال في أعمال إيفيت ووانغسنيس (1960)، ^{[ 10 ]} ديوان (1963)، ^{[ 8 ]} رومان (1963)، ^{[ 11 ]} إيفيت (1972)، ^{[ 12 ]} غيرشتين ولوغونوف (1998)، ^{[ 13 ]} تارتاليا وروجييرو (2003)، ^{[ 14 ]} كورنويل (2005)، ^{[ 15 ]} فلوريس (2005)، ^{[ 16 ]} سيماي (2006)، ^{[ 17 ]} ستاير (2007)، ^{[ 18 ]} فرويند (2008)، ^{[ 19 ]} ريدزيتش (2008)، ^{[ 20 ]} بيريجودوف (2009)، ^{[ 21 ]} ريدزيتش (2009)، ^{[22] 22 غو} (2009)، ^{[ 23 ]} بيتكوف (2009)، ^{[ 6 ]} فرانكلين (2009)، ^{[ 3 ]} ميلر (2010)، ^{[ 24 ]} فيرنفلوريس (2011)، ^{[ 25 ]} كاسنر (2012)، ^{[ 26 ]} ناتاريو (2014)، ^{[ 27 ]} لويس وبارنز وستيكا (2018)، ^{[ 28 ]} بوكور (2018). ^{[ 29 ]} تمت مناقشة مشكلة مماثلة أيضًا فيما يتعلق بالتسارع الزاوي : جرون (1979)، ^{[ 30 ]} ماكجريجور (1981)، ^{[ 31 ]} جرون (1982، 2003). ^{[ 32 ] [ 33 ]}

تسارع فوري

مخطط مينكوفسكي : الطول${\displaystyle L'}$المسافة بين السفن في S′ بعد التسارع أطول من الطول السابق${\displaystyle L'_{old}}$في S′، وأطول من الطول الذي لم يتغير${\displaystyle L}$في S. الخطوط الرفيعة هي "خطوط التزامن".

مخطط لوديل لنفس السيناريو

وبالمثل، في حالة مفارقة سفينة بيل الفضائية، فإن العلاقة بين طول الراحة الأولي${\displaystyle L}$بين السفن (المماثلة لطول الحركة في S بعد التسارع) وطول السكون الجديد${\displaystyle L'}$في S′ بعد التسارع، هو: ^{[ 3 ] [ 6 ] [ 8 ] [ 16 ]}

${\displaystyle L'=\gamma L}$.

يمكن حساب هذه الزيادة في الطول بطرق مختلفة. على سبيل المثال، إذا انتهى التسارع، فستبقى السفن ثابتة في نفس الموقع في إطار السكون النهائي S′، لذا يكفي حساب المسافة بين إحداثيات x المحولة من S إلى S′.${\displaystyle x_{A}}$و${\displaystyle x_{B}=x_{A}+L}$مواقع السفن في S، ومواقعها في إطار الراحة الجديد S′ هي: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}\\&=\gamma L\end{aligned}}}$

عرض ديوان (1963) طريقة أخرى، موضحًا أهمية نسبية التزامن . ^{[ 8 ]} يصف منظور الإطار S′، حيث تكون السفينتان في حالة سكون بعد انتهاء التسارع. تتسارع السفينتان في آن واحد.${\displaystyle t_{A}=t_{B}}$في S (بافتراض التسارع في زمن صغير للغاية )، على الرغم من أن B يتسارع ويتوقف في S′ قبل A بسبب نسبية التزامن، مع فرق زمني:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=t'_{B}-t'_{A}=\gamma \left(t_{B}-{\frac {vx_{B}}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(t_{A}-{\frac {vx_{A}}{c^{2}}}\right)\\&={\frac {\gamma vL}{c^{2}}}\end{aligned}}}$

بما أن السفن تتحرك بنفس السرعة في S′ قبل التسارع، فإن طول السكون الابتدائي${\displaystyle L}$يتم اختصارها في S′ بواسطة${\displaystyle L'_{old}=L/\gamma }$بسبب انكماش الطول. من إطار S′، يبدأ الجسم B بالتسارع قبل الجسم A ويتوقف عن التسارع قبله أيضًا. ولهذا السبب، ستكون سرعة B دائمًا أعلى من سرعة A حتى يتوقف A عن التسارع، ويصبح كلاهما في حالة سكون بالنسبة إلى S′. تستمر المسافة بين B وA في الازدياد حتى يتوقف A عن التسارع. على الرغم من أن مسار تسارع A يتأخر بمقدار إزاحة${\displaystyle \Delta t'}$يقطع كل من A وB نفس المسافة بتسارعهما الخاص. لكن مسار B الزمني يتضمن التسارع وأيضًا السكون في S` لـ${\displaystyle \Delta t'}$حتى يتوقف الجسم A عن التسارع. ومن ثم، يمكن حساب المسافة الإضافية التي قطعها الجسم B خلال المسار بأكمله عن طريق قياس المسافة التي قطعها الجسم B خلال هذه المرحلة. وقد توصل ديوان إلى هذه العلاقة (بصيغة مختلفة): ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=L'_{old}+v\Delta t'={\frac {L}{\gamma }}+{\frac {\gamma v^{2}L}{c^{2}}}\\&=\gamma L\end{aligned}}}$

وقد لاحظ العديد من المؤلفين أيضًا أن الطول الثابت في S والطول المتزايد في S′ يتوافق مع صيغة انكماش الطول${\displaystyle L=L'/\gamma }$لأن طول الراحة الأولي${\displaystyle L}$تزداد بمقدار${\displaystyle \gamma }$في S′، والتي يتم تقليصها في S بنفس العامل، لذلك تبقى كما هي في S: ^{[ 6 ] [ 14 ] [ 18 ]}

${\displaystyle L_{contr.}=L'/\gamma =\gamma L/\gamma =L}$

باختصار: بينما تزداد مسافة الراحة بين السفن إلى${\displaystyle \gamma L}$في S′، يتطلب مبدأ النسبية أن يحافظ الوتر (الذي لم يتغير تركيبه الفيزيائي) على طوله في حالة السكون${\displaystyle L}$في نظامها الساكن الجديد S′. لذلك، ينكسر في S′ نتيجةً لزيادة المسافة بين السفن. وكما ذُكر سابقًا ، يُمكن الحصول على النتيجة نفسها عند النظر فقط إلى الإطار الابتدائي S باستخدام انكماش طول الخيط (أو انكماش مجالاته الجزيئية المتحركة) بينما تبقى المسافة بين السفن ثابتةً بسبب تساوي التسارع.

تسارع مناسب ثابت

الخطوط العالمية (المنحنيات الزرقاء الداكنة) لمراقبين A وB يتسارعان في نفس الاتجاه وبنفس المقدار الثابت للتسارع الذاتي (حركة زائدية). عند النقطتين A′ وB′، يتوقف المراقبان عن التسارع.

مراقبان في إطار تسارع بورن الصلب، لهما نفس أفق ريندل . يمكنهما اختيار الزمن الخاص لأحدهما كزمن إحداثيات إطار ريندل.

مراقبان لهما نفس التسارع الذاتي (مركبات بيل الفضائية). ليسا في حالة سكون في نفس إطار ريندل، وبالتالي لديهما آفاق ريندل مختلفة.

بدلاً من التغيرات اللحظية في الاتجاه، تسمح النسبية الخاصة أيضاً بوصف السيناريو الأكثر واقعية للتسارع الذاتي الثابت ، أي التسارع الذي يشير إليه مقياس التسارع المتحرك . وهذا يؤدي إلى حركة زائدية ، حيث يغير المراقب باستمرار إطاراته المرجعية اللحظية ^{[ 34 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right)\\c\tau &={\frac {c^{2}}{\alpha }}\operatorname {asinh} {\frac {\alpha t}{c}},\quad ct={\frac {c^{2}}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle t}$يمثل الزمن الإحداثي في ​​الإطار المرجعي الخارجي، و${\displaystyle \tau }$الزمن الخاص في الإطار اللحظي، والسرعة اللحظية معطاة بالعلاقة التالية:

${\displaystyle v={\frac {\alpha t}{\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}}=c\tanh {\frac {\alpha \tau }{c}}}$

يُشابه المعالجة الرياضية لهذه المفارقة معالجة حركة بورن الصلبة . إلا أنه بدلاً من السؤال عن المسافة الفاصلة بين مركبتين فضائيتين لهما نفس التسارع في إطار مرجعي قصوري، فإن مسألة حركة بورن الصلبة تسأل: "ما هو منحنى التسارع المطلوب للمركبة الفضائية الثانية لكي تبقى المسافة بين المركبتين ثابتة في إطارهما المرجعي الخاص ؟" ^{[ 35 ] [ 34 ] [ 36 ]} ولكي تحافظ المركبتان الفضائيتان، وهما في حالة سكون مبدئيًا في إطار مرجعي قصوري، على مسافة خاصة ثابتة، يجب أن يكون للمركبة الفضائية المتقدمة تسارع خاص أقل. ^{[ 3 ] [ 36 ] [ 37 ]}

يمكن وصف إطار بورن الصلب هذا باستخدام إحداثيات ريندل (إحداثيات كوتلر-مولر) ^{[ 34 ] [ 38 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}ct&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\right)\sinh {\frac {\alpha t'}{c}},&y&=y',\\x&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\right)\cosh {\frac {\alpha t'}{c}}-{\frac {c^{2}}{\alpha }},&z&=z'.\end{aligned}}\ (t'=\tau )}$

يتطلب شرط صلابة بورن أن يختلف التسارع المناسب للمركبات الفضائية بمقدار ^{[ 38 ]}

${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {\alpha _{1}}{1+{\frac {\alpha _{1}L'}{c^{2}}}}}}$

والطول${\displaystyle L'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}$يتم قياس لورنتز في إطار ريندل (أو الإطار المرجعي اللحظي بالقصور الذاتي) بواسطة أحد المراقبين، ويتم تقليصه إلى${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$في الإطار المرجعي الخارجي بالقصور الذاتي بواسطة ^{[ 38 ]}

${\displaystyle L={\frac {L'}{\cosh {\frac {\alpha t'}{c}}}}=L'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

وهي نفس النتيجة المذكورة أعلاه. بالتالي، في حالة صلابة بورن، فإن ثبات الطول L' في الإطار اللحظي يعني أن L في الإطار الخارجي يتناقص باستمرار، وبالتالي لا ينقطع الخيط. مع ذلك، في حالة مفارقة مركبة بيل الفضائية، يُنتهك شرط صلابة بورن، لأن ثبات الطول L في الإطار الخارجي يعني أن L' في الإطار اللحظي يزداد، وبالتالي ينقطع الخيط (بالإضافة إلى ذلك، يصبح التعبير عن زيادة المسافة بين مراقبين لهما نفس التسارع الذاتي أكثر تعقيدًا في الإطار اللحظي ^{[ 17 ]} ).

• الحركة الزائدية (النسبية)
• المفارقة الفيزيائية
• إحداثيات ريندل
• مفارقة سوبلي
• مفارقة التوأم

• مايكل وايس؛ دون كوكس (1995-2017): مفارقة سفينة بيل الفضائية ، أسئلة وأجوبة حول النسبية على يوزنت
• ماثيو روود (2022): مصعد أينشتاين: خطوط العالم، تجربة ميكلسون-مورلي، ومفارقة النسبية . مفارقة نسبية أخرى في إطار مرجعي متسارع بثلاثة صواريخ: يبدو أن جسيمًا من المادة يتحرك بسرعة تفوق سرعة الضوء.