تحويل لابلاس ثنائي الجانب

في الرياضيات ، يُعد تحويل لابلاس ثنائي الجانب ، أو تحويل لابلاس الثنائي، تحويلاً تكاملياً مكافئاً لدالة توليد العزوم في الاحتمالات . ويرتبط تحويل لابلاس ثنائي الجانب ارتباطاً وثيقاً بتحويل فورييه ، وتحويل ميلين ، وتحويل Z، وتحويل لابلاس العادي أو أحادي الجانب .${\displaystyle f(t)}$هي دالة حقيقية أو مركبة القيمة للمتغير الحقيقي${\displaystyle t}$إذا تم تعريف تحويل لابلاس ذي الجانبين لجميع الأعداد الحقيقية، فإنه يُعرَّف بالتكامل

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(s)=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

يُفهم التكامل عادةً على أنه تكامل غير محدود ، والذي يتقارب إذا وفقط إذا كان كلا التكاملين

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}$

موجودة. يبدو أنه لا يوجد رمز مقبول عمومًا للتحويل ثنائي الجانب؛ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يشير المصطلح المستخدم هنا إلى "ثنائي الجانب". والتحويل ثنائي الجانب الذي يستخدمه بعض المؤلفين هو

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)=s{\mathcal {B}}\{f\}(s)=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

في الرياضيات البحتة ، الحجة${\displaystyle t}$يمكن أن يكون أي متغير، وتستخدم تحويلات لابلاس لدراسة كيفية تحويل المؤثرات التفاضلية للدالة.

في التطبيقات العلمية والهندسية ، الحجة ⁠${\displaystyle t}$غالباً ما يمثل الوقت (بالثواني)، والدالة${\displaystyle f(t)}$غالباً ما يمثل إشارة أو شكل موجة يتغير مع الزمن. في هذه الحالات، يتم تحويل الإشارات بواسطة مرشحات تعمل كعامل رياضي، ولكن مع قيد. يجب أن تكون هذه المرشحات سببية، مما يعني أن الناتج عند وقت معين ...${\displaystyle t}$لا يمكن الاعتماد على مدخلات تحدث في وقت لاحق${\displaystyle t'}$في علم البيئة السكانية ، الحجة${\displaystyle t}$غالباً ما يمثل الإزاحة المكانية في نواة الانتشار.

عند التعامل مع دوال الزمن ،${\displaystyle f(t)}$يُطلق على ⁠ اسم تمثيل المجال الزمني للإشارة، بينما ⁠${\displaystyle F(s)}$يُطلق على هذا اسم تمثيل مجال s (أو مجال لابلاس ). يُمثل التحويل العكسي توليف الإشارة كمجموع مكوناتها الترددية على جميع الترددات، بينما يُمثل التحويل الأمامي تحليل الإشارة إلى مكوناتها الترددية.

يمكن تعريف تحويل فورييه بدلالة تحويل لابلاس ثنائي الجانب .${\displaystyle F}$دالة​​${\displaystyle f}$⁠ :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=\left.F(s)\right|_{s=i\omega }=F(i\omega ).}$

تجدر الإشارة إلى أن تعريفات تحويل فورييه تختلف، وعلى وجه الخصوص

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=\left.F(s)\right|_{s=i\omega }={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)}$

يُستخدم غالبًا بدلاً من ذلك. من حيث تحويل فورييه، يمكننا أيضًا الحصول على تحويل لابلاس ثنائي الجانب حيث${\displaystyle \Re (s)=0}$، كما

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {F}}\{f(t)\}(-is).}$

يُعرَّف تحويل فورييه لدالة ما على الترددات الحقيقية، أي للترددات التخيلية البحتة .${\displaystyle s}$( حيث​${\displaystyle \Re (s)=0}$) ; للدوال${\displaystyle f}$⁠ التي تكون محدودة من الأعلى بمعنى مطلق بواسطة دالة أسية، فإن التعريف أعلاه يتقارب في شريط ⁠${\displaystyle a<\Im (s)<b}$بالنسبة للبعض​${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$، والتي قد لا تشمل الخيالي${\displaystyle s}$-المحور .

يُستخدم تحويل لابلاس بكثرة في نظرية التحكم ومعالجة الإشارات، لأنه يتعامل عمومًا مع استجابات الأنظمة الخطية السببية التي قد تنمو أُسّيًا. لا يتقارب تكامل تحويل فورييه للإشارات المتنامية أُسّيًا، مما يعني أن النظام الخطي الثابت تحت الإزاحة، الموصوف به، يكون مستقرًا أو حرجًا. في المقابل، يتقارب تحويل لابلاس في مكان ما لكل استجابة نبضية (سببية) تنمو أُسّيًا على الأكثر. وبما أنه لا توجد شبكات تغذية راجعة خطية تنمو نموًا فائقًا أُسّيًا ، فإن تحليل وحل الأنظمة الخطية الثابتة تحت الإزاحة باستخدام تحويل لابلاس، يأخذ شكله الأكثر عمومية في سياق تحويل لابلاس، وليس تحويل فورييه.

تندرج نظرية تحويل لابلاس ضمن نطاق التحويلات التكاملية الأكثر عمومية ، أو حتى التحليل التوافقي العام . في هذا الإطار وهذه التسمية، تُعد تحويلات لابلاس ببساطة شكلاً من أشكال تحليل فورييه، وإن كانت أكثر عمومية.

إذا كانت u دالة هيفسايد المتدرجة ، وتساوي صفرًا عندما تكون وسيطتها أقل من صفر، وتساوي نصفًا عندما تكون وسيطتها تساوي صفرًا، وتساوي واحدًا عندما تكون وسيطتها أكبر من صفر، فإن تحويل لابلاس${\displaystyle {\mathcal {L}}}$يمكن تعريفها بدلالة تحويل لابلاس ثنائي الجانب بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={\mathcal {B}}\{fu\}.}$

من ناحية أخرى، لدينا أيضاً

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {L}}\{f\}+{\mathcal {L}}\{f\circ m\}\circ m,}$

أين​${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto -x}$⁠ هي الدالة التي تضرب في سالب واحد، لذلك يمكن تعريف أي من نسختي تحويل لابلاس بدلالة الأخرى.

يمكن تعريف تحويل ميلين بدلالة تحويل لابلاس ثنائي الجانب كما يلي:

${\displaystyle {\mathcal {M}}\{f\}={\mathcal {B}}\{f\circ {\exp }\circ m\},}$

مع​${\displaystyle m}$كما سبق، وبالعكس يمكننا الحصول على التحويل ثنائي الجانب من تحويل ميلين بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {M}}\{f\circ m\circ \log \}.}$

دالة توليد العزوم لدالة كثافة الاحتمال المستمرة${\displaystyle f(x)}$يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(-s)}$⁠ .

يمكن العثور على الخصائص التالية في براسويل (2000) وأوبنهايم وويلسكي (1997) .

خصائص تحويل لابلاس الثنائي

ملكية	المجال الزمني	نطاق s	شريط التقارب	تعليق
تعريف	${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle F(s)={\mathcal {B}}\{f\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,e^{-st}\,dt}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\beta }$
تغيير المقياس الزمني	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)}$	${\displaystyle \alpha <a^{-1}\,\Re (s)<\beta }$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$
انعكاس	${\displaystyle f(-t)}$	${\displaystyle F(-s)}$	${\displaystyle -\beta <\Re (s)<-\alpha }$
مشتق مجال التردد	${\displaystyle tf(t)}$	${\displaystyle -F'(s)}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\beta }$
المشتق العام في مجال التردد	${\displaystyle t^{n}f(t)}$	${\displaystyle (-1)^{n}\,F^{(n)}(s)}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\beta }$
المشتق	${\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle sF(s)}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\beta }$
مشتق عام	${\displaystyle f^{(n)}(t)}$	${\displaystyle s^{n}\,F(s)}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\beta }$
التكامل في مجال التردد	${\displaystyle {\frac {1}{t}}\,f(t)}$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma }$		لا يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان التكامل موجودًا
التكامل في المجال الزمني	${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	${\displaystyle \max(\alpha ,0)<\Re (s)<\beta }$
التكامل في المجال الزمني	${\displaystyle \int _{t}^{\infty }f(\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\min(\beta ,0)}$
تغيير التردد	${\displaystyle e^{at}\,f(t)}$	${\displaystyle F(s-a)}$	${\displaystyle \alpha +\Re (a)<\Re (s)<\beta +\Re (a)}$
تغيير الوقت	${\displaystyle f(t-a)}$	${\displaystyle e^{-as}\,F(s)}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\beta }$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
تعديل	${\displaystyle \cos(at)\,f(t)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}F(s-ia)+{\tfrac {1}{2}}F(s+ia)}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\beta }$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
الفرق المحدود	${\displaystyle f(t+{\tfrac {1}{2}}a)-f(t-{\tfrac {1}{2}}a)}$	${\displaystyle 2\sinh({\tfrac {1}{2}}as)\,F(s)}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\beta }$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
الضرب	${\displaystyle f(t)\,g(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }$	${\displaystyle \alpha _{f}+\alpha _{g}<\Re (s)<\beta _{f}+\beta _{g}}$	${\displaystyle \alpha _{f}<c<\beta _{f}}$يتم إجراء التكامل على طول الخط الرأسي .${\displaystyle \Re (\sigma )=c}$داخل منطقة التقارب.
الاقتران المعقد	${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$	${\displaystyle {\overline {F({\overline {s}})}}}$	${\displaystyle \alpha <\Re (s)<\beta }$
التفاف	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$	${\displaystyle \max(\alpha _{f},\alpha _{g})<\Re (s)<\min(\beta _{f},\beta _{g})}$
الارتباط المتبادل	${\displaystyle (f\star g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(\tau )}}\,g(t+\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle {\overline {F(-{\overline {s}})}}\cdot G(s)}$	${\displaystyle \max(-\beta _{f},\alpha _{g})<\Re (s)<\min(-\alpha _{f},\beta _{g})}$

معظم خصائص تحويل لابلاس الثنائي تشبه إلى حد كبير خصائص تحويل لابلاس الأحادي، ولكن هناك بعض الاختلافات المهمة:

خصائص التحويل أحادي الجانب مقابل خصائص التحويل ثنائي الجانب

	المجال الزمني أحادي الجانب	المجال الزمني الثنائي	مجال أحادي الجانب	مجال ثنائي-'s
التمايز	${\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle sF(s)-f(0)}$	${\displaystyle sF(s)}$
التفاضل من الدرجة الثانية	${\displaystyle f''(t)}$	${\displaystyle f''(t)}$	${\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)}$	${\displaystyle s^{2}F(s)}$
التفاف	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)}$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)}$

تُعدّ متطلبات التحويل الثنائي للتقارب أكثر صعوبة من متطلبات التحويل الأحادي. وعادةً ما تكون منطقة التقارب أصغر.

إذا​${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة قابلة للتكامل محليًا (أو بشكل أعم مقياس بوريل محليًا ذو تباين محدود )، فإن تحويل لابلاس${\displaystyle F(s)}$من​​${\displaystyle f}$يتقارب بشرط أن تكون النهاية

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$

يوجد تحويل لابلاس. يتقارب تحويل لابلاس تقاربًا مطلقًا إذا كان التكامل

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$

موجود ( كتكامل ليبيغ صحيح ). يُفهم تحويل لابلاس عادةً على أنه متقارب شرطيًا، مما يعني أنه يتقارب بالمعنى الأول بدلاً من المعنى الأخير.

مجموعة القيم التي ⁠${\displaystyle F(s)}$التقارب المطلق يكون إما على الشكل التالي :${\displaystyle \Re (s)>a}$وإلا​​${\displaystyle \Re (s)\geq a}$، حيث​${\displaystyle a}$⁠ هو ثابت حقيقي ممتد ، ⁠${\displaystyle -\infty \leq a\leq \infty }$( يستنتج هذا من نظرية التقارب المسيطر ) . الثابت${\displaystyle a}$يُعرف هذا باسم فاصلة التقارب المطلق ، ويعتمد على سلوك نمو${\displaystyle f(t)}$[ ^{3 ]} وبالمثل ، ^فإن التحويل ثنائي الجانب يتقارب تقاربًا مطلقًا في شريط من الشكل التالي :${\displaystyle a<\Re (s)<b}$وربما يشمل ذلك الأسطر${\displaystyle \Re (s)=a}$أو​​${\displaystyle \Re (s)=b}$[ ⁴ ] مجموعة ^{جزئية من} قيم${\displaystyle s}$تُسمى المنطقة التي يتقارب فيها تحويل لابلاس تقاربًا مطلقًا بمنطقة التقارب المطلق أو نطاق التقارب المطلق. وفي حالة التقارب من الجانبين، تُسمى أحيانًا بشريط التقارب المطلق. ويكون تحويل لابلاس تحليليًا في منطقة التقارب المطلق.

وبالمثل، فإن مجموعة القيم التي من أجلها${\displaystyle F(s)}$تُعرف المنطقة التي يتقارب فيها تحويل لابلاس (بشكل مشروط أو مطلق) بمنطقة التقارب المشروط، أو ببساطة منطقة التقارب (ROC). إذا كان تحويل لابلاس يتقارب (بشكل مشروط) عند هذه المنطقة،${\displaystyle s=s_{0}}$ثم يتقارب تلقائيًا لجميع${\displaystyle s}$مع​​${\displaystyle \Re (s)>\Re (s_{0})}$) . لذلك، فإن منطقة التقارب هي نصف مستوى على الشكل ⁠${\displaystyle \Re (s)>a}$، وربما يشمل ذلك بعض نقاط خط الحدود${\displaystyle \Re (s)=a}$في منطقة التقارب ،${\displaystyle \Re (s)>\Re (s_{0})}$) ، تحويل لابلاس لـ${\displaystyle f}$يمكن التعبير عن ذلك بالتكامل بالتجزئة كتكامل

${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$

أي في منطقة التقارب${\displaystyle F(s)}$يمكن التعبير عنها بشكل فعال على أنها تحويل لابلاس المتقارب مطلقًا لدالة أخرى. وعلى وجه الخصوص، فهي دالة تحليلية.

توجد العديد من نظريات بالي-وينر المتعلقة بالعلاقة بين خصائص اضمحلال ⁠${\displaystyle f}$وخصائص تحويل لابلاس داخل منطقة التقارب.

في التطبيقات الهندسية، تكون الدالة المقابلة لنظام خطي ثابت مع الزمن (LTI) مستقرة إذا كان كل مدخل محدود ينتج عنه مخرج محدود.

لا تراعي التحويلات الثنائية السببية . وهي منطقية عند تطبيقها على الدوال العامة، ولكن عند التعامل مع دوال الزمن (الإشارات)، يُفضل استخدام التحويلات الأحادية.

يمكن استنتاج قائمة الأمثلة المثيرة للاهتمام التالية لتحويل لابلاس الثنائي من تحويلات فورييه أو لابلاس أحادية الجانب المقابلة (انظر أيضًا براسويل (2000) ):

تحويلات لابلاس الثنائية المختارة

وظيفة	المجال الزمني${\displaystyle f(t)={\mathcal {B}}^{-1}\{F\}(t)}$⁠	نطاق لابلاس s​${\displaystyle F(s)={\mathcal {B}}\{f\}(s)}$⁠	منطقة التقارب	تعليق
نبضة مستطيلة	${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{aligned}1&\quad {\text{if}}\;|t|<{\tfrac {1}{2}}\\{\tfrac {1}{2}}&\quad {\text{if}}\;|t|={\tfrac {1}{2}}\\0&\quad {\text{if}}\;|t|>{\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}\right.}$	${\displaystyle 2s^{-1}\,\sinh {\frac {s}{2}}}$	${\displaystyle -\infty <\Re (s)<\infty }$
نبضة مثلثة	${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{aligned}1-|t|&\quad {\text{if}}\;|t|\leq 1\\0&\quad {\text{if}}\;|t|>1\end{aligned}}\right.}$	${\displaystyle \left(2s^{-1}\,\sinh {\frac {s}{2}}\right)^{2}}$	${\displaystyle -\infty <\Re (s)<\infty }$
نبضة غاوسية	${\displaystyle \exp \left(-a^{2}\,t^{2}-b\,t\right)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{a}}\,\exp {\frac {(s+b)^{2}}{4\,a^{2}}}}$	${\displaystyle -\infty <\Re (s)<\infty }$	${\displaystyle \Re (a^{2})>0}$
اضمحلال أسي	${\displaystyle e^{-at}\,u(t)=\left\{{\begin{aligned}&0&&\;{\text{if}}\;t<0&\\&e^{-at}&&\;{\text{if}}\;0<t&\end{aligned}}\right.}$	${\displaystyle {\frac {1}{s+a}}}$	${\displaystyle -\Re (a)<\Re (s)<\infty }$	${\displaystyle u(t)}$هي دالة الخطوة هيفسايد
النمو الأسي	${\displaystyle -e^{-at}\,u(-t)=\left\{{\begin{aligned}&-e^{-at}&&\;{\text{if}}\;t<0&\\&0&&\;{\text{if}}\;0<t&\end{aligned}}\right.}$	${\displaystyle {\frac {1}{s+a}}}$	${\displaystyle -\infty <\Re (s)<-\Re (a)}$
	${\displaystyle e^{-|t|}}$	${\displaystyle {\frac {2}{1-s^{2}}}}$	${\displaystyle -1<\Re (s)<1}$
	${\displaystyle e^{-a|t|}}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}-s^{2}}}}$	${\displaystyle -\Re (a)<\Re (s)<\Re (a)}$	${\displaystyle \Re (a)>0}$
	${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{\cos(\pi s/2)}}}$	${\displaystyle -1<\Re (s)<1}$
	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-t}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}}$	${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$

• مرشح سببي
• نظام غير سببي
• النظام السببي
• مرشح Sinc – مرشح Sinc المثالي (المعروف أيضًا باسم المرشح المستطيل) هو مرشح غير سببي وله تأخير لا نهائي.