نظرية بوخنر

في الرياضيات ، تُعرّف نظرية بوخنر (نسبةً إلى سالومون بوخنر ) تحويل فورييه-ستيلتيس لمقياس بوريل موجب محدود على خط الأعداد الحقيقية. ^{[ 1 ]} وبشكل أعم، في التحليل التوافقي ، تنص نظرية بوخنر على أنه تحت تحويل فورييه، تُقابل دالة متصلة موجبة محددة على زمرة أبيلية متراصة محليًا مقياسًا موجبًا محدودًا على الزمرة الثنائية بونترياجين . وقد أثبت غوستاف هيرغلوتز حالة المتتاليات لأول مرة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

نظرية بوخنر لمجموعة أبيلية متراصة محليًا${\displaystyle G}$، مع مجموعة مزدوجة${\displaystyle {\widehat {G}}}$يقول ما يلي: ^{[ 4 ]}

نظرية: لأي دالة موجبة محددة متصلة ومعيارية${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ (التطبيع هنا يعني أن${\displaystyle f}$يساوي 1 عند وحدة${\displaystyle G}$يوجد مقياس احتمالي فريد${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle {\widehat {G}}}$بحيث

$${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ),}$$

أي${\displaystyle f}$هو تحويل فورييه لمقياس احتمالي فريد${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle {\widehat {G}}}$. وعلى العكس من ذلك، فإن تحويل فورييه لمقياس احتمالي على${\displaystyle {\widehat {G}}}$هي بالضرورة دالة موجبة محددة مستمرة ومعيارية${\displaystyle f}$على${\displaystyle G}$هذه في الواقع مراسلة مباشرة بين طرفين.

تحويل جيلفاند -فورييه هو تماثل بين جبر المجموعة C*${\displaystyle C^{*}(G)}$و${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$. النظرية هي في الأساس البيان المزدوج لحالات الجبر C* التبادلي.

يمر برهان النظرية عبر حالات المتجهات على التمثيلات الوحدوية المستمرة بقوة لـ${\displaystyle G}$(يُظهر البرهان في الواقع أن كل دالة موجبة محددة مستمرة ومعيارية يجب أن تكون من هذا الشكل).

بفرض دالة موجبة محددة مستمرة ومعيارية${\displaystyle f}$على${\displaystyle G}$يمكن للمرء أن يبني تمثيلاً وحدوياً متصلاً بقوة لـ${\displaystyle G}$بطريقة طبيعية: دع${\displaystyle F_{0}(G)}$لتكن عائلة الدوال ذات القيم المركبة على${\displaystyle G}$مع دعم محدود، أي${\displaystyle h(g)=0}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle g}$النواة الموجبة المحددة${\displaystyle K(g_{1},g_{2})=f(g_{1}-g_{2})}$يحفز ناتجًا داخليًا (ربما يكون متدهورًا) على${\displaystyle F_{0}(G)}$. يؤدي قسمة الانحلال وأخذ الإكمال إلى فضاء هيلبرت

$${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f}),}$$

العنصر النموذجي الذي يمثله فئة التكافؤ${\displaystyle [h]}$. لسعر ثابت${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$، " مشغل المناوبة "${\displaystyle U_{g}}$محدد بواسطة${\displaystyle (U_{g}h)(g')=h(g'-g)}$، لممثل${\displaystyle [h]}$، هي وحدة. لذا فإن الخريطة

$${\displaystyle g\mapsto U_{g}}$$

هي تمثيلات موحدة لـ${\displaystyle G}$على${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f})}$باستمرار${\displaystyle f}$فهي متصلة بشكل ضعيف، وبالتالي فهي متصلة بشكل قوي. وبحسب التعريف، لدينا

$${\displaystyle \langle U_{g[e],[e]\rangle _{f}=f(g),}$$

أين${\displaystyle [e]}$هي فئة الدالة التي تساوي 1 في عنصر الهوية لـ${\displaystyle G}$وصفر في أي مكان آخر. ولكن بحسب تماثل جيلفاند-فورييه، فإن حالة المتجه${\displaystyle \langle \cdot [e],[e]\rangle _{f}}$على${\displaystyle C^{*}(G)}$هو تراجع دولة ما${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$وهو بالضرورة تكامل مقابل مقياس احتمالي${\displaystyle \mu }$ثم يؤدي تتبع التشاكلات إلى

$${\displaystyle \langle U_{g[e],[e]\rangle _{f}=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ).}$$

من ناحية أخرى، بالنظر إلى مقياس الاحتمالية${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle {\widehat {G}}}$، الوظيفة

$${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi )}$$

هي دالة موجبة محددة متصلة ومعيارية. استمرارية${\displaystyle f}$ويترتب على ذلك نظرية التقارب المسيطر . ولضمان الإيجابية المحددة، نأخذ تمثيلاً غير منحل لـ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$وينطبق هذا بشكل فريد على تمثيل جبر المضاعفات الخاص به.${\displaystyle C_{b}({\widehat {G}})}$وبالتالي تمثيل وحدوي متصل بقوة${\displaystyle U_{g}}$كما ذكرنا سابقاً، لدينا${\displaystyle f}$معطى بواسطة حالة متجهة ما على${\displaystyle U_{g}}$

$${\displaystyle f(g)=\langle U_{g}v,v\rangle ,}$$

وبالتالي فهي موجبة تمامًا.

التركيبان هما معكوسان لبعضهما البعض.

نظرية بوخنر في الحالة الخاصة للمجموعة المنفصلة${\displaystyle \mathbb {Z} }$يُشار إليها غالبًا باسم نظرية هيرغلوتز، وتنص على أن الدالة${\displaystyle f}$على${\displaystyle \mathbb {Z} }$مع${\displaystyle f(0)=1}$تكون موجبة التحديد إذا وفقط إذا وُجد مقياس احتمالي${\displaystyle \mu }$على الدائرة${\displaystyle \mathbb {T} }$بحيث $${\displaystyle f(k)=\int _{\mathbb {T} }e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x),}$$ هي معاملات متسلسلة فورييه-ستيلتيس . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

وبالمثل، الدالة المتصلة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C} }$مع${\displaystyle f(0)=1}$تكون موجبة التحديد إذا وفقط إذا وُجد مقياس احتمالي${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$بحيث

$${\displaystyle f(t)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi i\xi \cdot t}\,d\mu (\xi ).}$$

هنا،${\displaystyle f}$تكون موجبة التحديد إذا كان لأي مجموعة منتهية من النقاط${\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb {R} ^{d}}$وأي أعداد مركبة${\displaystyle \rho _{1},\cdots ,\rho _{N}\in \mathbb {C} }$، هناك يحمل

$${\displaystyle \sum _{p,q=1}^{N}f(\alpha _{p}-\alpha _{q})\rho _{p}{\bar {\rho }}_{q}\geqslant 0.}$$

في الإحصاء ، يمكن استخدام نظرية بوخنر لوصف الارتباط التسلسلي لنوع معين من السلاسل الزمنية . وهي عبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية.${\displaystyle \{f_{n}\}}$تُعتبر السلسلة الزمنية ذات المتوسط ​​0 سلسلة زمنية مستقرة (بالمعنى الواسع) إذا كان التباين

$${\displaystyle \operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})}$$

يعتمد فقط على${\displaystyle nm}$الوظيفة

$${\displaystyle g(nm)=\operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})}$$

تُسمى هذه الدالة دالة التغاير الذاتي للسلسلة الزمنية. بافتراض أن المتوسط ​​يساوي صفرًا،

$${\displaystyle g(nm)=\langle f_{n},f_{m}\rangle ,}$$

أين${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$يرمز إلى الجداء الداخلي على فضاء هيلبرت للمتغيرات العشوائية ذات العزوم الثانية المحدودة. ومن ثم، فمن البديهي أن${\displaystyle g}$هي دالة موجبة التحديد على الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$بحسب نظرية بوخنر، يوجد مقياس موجب فريد${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle [0,1]}$بحيث

$${\displaystyle g(k)=\int e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).}$$

هذا الإجراء${\displaystyle \mu }$يُطلق عليه اسم المقياس الطيفي للسلسلة الزمنية. وهو يوفر معلومات حول "الاتجاهات الموسمية" للسلسلة.

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle z}$كن${\displaystyle m}$الجذر النوني للوحدة (مع التعريف الحالي، هذا هو${\displaystyle 1/m\in [0,1]}$) و${\displaystyle f}$ليكن متغيرًا عشوائيًا متوسطه 0 وتباينه 1. لنفترض السلسلة الزمنية${\displaystyle \{z^{n}f\}}$دالة التغاير الذاتي هي

$${\displaystyle g(k)=z^{k}.}$$

من الواضح أن المقياس الطيفي المقابل هو كتلة نقطة ديراك المتمركزة عند${\displaystyle z}$ويرجع ذلك إلى حقيقة أن السلسلة الزمنية تتكرر كل${\displaystyle m}$فترات.

متى${\displaystyle g}$إذا كان الاضمحلال سريعًا بما فيه الكفاية، فإن المقياس${\displaystyle \mu }$وهي متصلة تمامًا بالنسبة لمقياس ليبيغ، ومشتق رادون-نيكوديم الخاص بها.${\displaystyle f}$يُطلق عليها اسم الكثافة الطيفية للسلسلة الزمنية. عندما${\displaystyle g}$يكمن في${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {Z} )}$،${\displaystyle f}$هو تحويل فورييه لـ${\displaystyle g}$.

• نظرية بوخنر-مينلوس
• الدالة المميزة (نظرية الاحتمالات)
• دالة موجبة محددة على مجموعة
• نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكتاني

• بوخنر، س. (1955)، التحليل التوافقي ونظرية الاحتمالات ، مطبعة جامعة كاليفورنيا، رقم ISBN 978-0-520-34529-4{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• هيلسون، هنري (2010)، التحليل التوافقي ، المجلد  7، جورجاون: وكالة هندوستان للكتاب، doi : 10.1007/978-93-86279-47-7 ، ISBN 978-93-80250-05-2
• كاتزنيلسون، يتسحاق (2004)، مقدمة في التحليل التوافقي ، مطبعة جامعة كامبريدج، doi : 10.1017/cbo9781139165372 ، ISBN 978-0-521-83829-0
• لوميس، إل إتش (1953)، مقدمة في التحليل التوافقي المجرد ، فان نوستراند
• ماروياما، تورو (2017)، "نظرية تمثيل هيرغلوتز-بوخنر عبر نظرية التوزيعات" ، مجلة جمعية بحوث العمليات اليابانية ، 60 (2): 122-135 ، doi : 10.15807/jorsj.60.122 ، ISSN 0453-4514 
• ريد، مايكل؛ سيمون، باري (1975)، الجزء الثاني: تحليل فورييه، الترافق الذاتي ، سان دييغو، نيويورك، بيركلي [إلخ]: إلسيفير، رقم ISBN 0-12-585002-6
• رايتر، هانز؛ ستيجمان، يان ديرك (2000)، التحليل التوافقي الكلاسيكي والمجموعات المدمجة محليًا ، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد عند الطلب، ISBN 0-19-851189-2
• رودين، دبليو. (1990)، تحليل فورييه على المجموعات ، وايلي-إنترساينس، رقم ISBN 0-471-52364-X