عامل محدود

الموسوعة الحرة

في التحليل الوظيفي ونظرية المؤثرات ، يُعدّ المؤثر الخطي المحدود نوعًا خاصًا من التحويلات الخطية ، وله أهمية بالغة في الأبعاد اللانهائية . في الأبعاد المحدودة، ينقل التحويل الخطي مجموعة محدودة إلى مجموعة محدودة أخرى (على سبيل المثال، يتحول المستطيل في المستوى إما إلى متوازي أضلاع أو إلى قطعة مستقيمة محدودة عند تطبيق تحويل خطي). أما في الأبعاد اللانهائية، فلا تكفي الخطية وحدها لضمان بقاء المجموعات المحدودة محدودة؛ لذا فإن المؤثر الخطي المحدود هو تحويل خطي ينقل المجموعات المحدودة إلى مجموعات محدودة أخرى.

بصورة رسمية، هو تحويل خطيل:X→Y{\displaystyle L:X\to Y}بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية (TVSs)X{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}التي تحدد المجموعات الفرعية المحدودة منX{\displaystyle X}إلى مجموعات فرعية محدودة منY.{\displaystyle Y.} لوX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت فضاءات متجهة معيارية (نوع خاص من فضاءات المتجهات)،ل{\displaystyle L}تكون محدودة إذا وفقط إذا كان هناك بعضم≥0{\displaystyle M\geq 0}بحيث يكون ذلك لجميعx∈X،{\displaystyle x\in X,}‖لx‖Y≤م‖x‖X.{\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.} الحد الأدنى من ذلكم{\displaystyle M}يُطلق عليه اسم معيار المشغل لـل{\displaystyle L}ويرمز إليه بـ‖ل‖.{\displaystyle \|L\|.} يكون المؤثر الخطي بين الفضاءات المعيارية متصلاً إذا وفقط إذا كان محدوداً.

تم توسيع مفهوم المؤثر الخطي المحدود من الفضاءات المعيارية إلى جميع الفضاءات المتجهة الطوبولوجية.

خارج نطاق التحليل الوظيفي، عندما تكون الدالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا أطلق عليها اسم " محدودة "، فهذا يعني عادةً أن صورتهاو(X){\displaystyle f(X)}هي مجموعة جزئية محدودة من مجالها المقابل. تتمتع الدالة الخطية بهذه الخاصية إذا وفقط إذا كانت متطابقة.0.{\displaystyle 0.} وبالتالي، في التحليل الوظيفي، عندما يُطلق على عامل خطي اسم "محدود"، فإنه لا يُقصد به أبدًا هذا المعنى المجرد (وجود صورة محدودة).

في فضاءات المتجهات المعيارية

كل مؤثر محدود يكون متصلاً وفقًا لشرط ليبشيتز عند0.{\displaystyle 0.}

تكافؤ التقييد والاستمرارية

يكون المؤثر الخطي بين الفضاءات المعيارية محدودًا إذا وفقط إذا كان متصلًا .

دليل

لنفترض أنل{\displaystyle L}محدودة. إذن، بالنسبة لجميع المتجهاتx،ح∈X{\displaystyle x,h\in X}معح{\displaystyle h}لدينا غير الصفر ‖ل(x+ح)-ل(x)‖=‖ل(ح)‖≤م‖ح‖.{\displaystyle \|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.} تأجيرح{\displaystyle h}الانتقال إلى الصفر يُظهر أنل{\displaystyle L}متصل عندx.{\displaystyle x.} علاوة على ذلك، بما أن الثابتم{\displaystyle M}لا يعتمد علىx،{\displaystyle x,}هذا يدل على أن ذلك في الواقعل{\displaystyle L}هي متصلة بشكل منتظم ، بل ومتصلة وفقًا لشرط ليبشيتز .

وعلى العكس من ذلك، يترتب من الاستمرارية عند المتجه الصفري وجودε>0{\displaystyle \varepsilon >0}بحيث‖ل(ح)‖=‖ل(ح)-ل(0)‖≤1{\displaystyle \|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1}لجميع المتجهاتح∈X{\displaystyle h\in X}مع‖ح‖≤ε.{\displaystyle \|h\|\leq \varepsilon .} وبالتالي، بالنسبة لجميع القيم غير الصفريةx∈X،{\displaystyle x\in X,}يمتلك المرء ‖لx‖=‖‖x‖εل(εx‖x‖)‖=‖x‖ε‖ل(εx‖x‖)‖≤‖x‖ε⋅1=1ε‖x‖.{\displaystyle \|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \varepsilon }L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \varepsilon }\left\Vert L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \varepsilon }\cdot 1={1 \over \varepsilon }\|x\|.} وهذا يثبت أنل{\displaystyle L}محدود. وهو المطلوب إثباته

التقييد النسبي

بفرض وجود مؤثرين خطيين معرفين جزئياًأ:د(أ)⊂X→Y،ب:د(ب)⊂X→Y{\displaystyle A:D(A)\subset X\to Y,B:D(B)\subset X\to Y}نقول ذلكب{\displaystyle B}محصورة نسبياً بـأ{\displaystyle A}(أو ذلك)ب{\displaystyle B}يكونأ{\displaystyle A}(محدود)، إذا وفقط إذاد(ب)⊂د(أ){\displaystyle D(B)\subset D(A)}ويوجدأ،ب≥0{\displaystyle a,b\geq 0}بحيث‖بx‖≤أ‖أx‖+ب‖x‖،∀x∈د(ب){\displaystyle \|Bx\|\leq a\|Ax\|+b\|x\|,\quad \forall x\in D(B)}أدنى مستوى من كل ذلكأ{\displaystyle a}هو النسبيأ{\displaystyle A}حدودب{\displaystyle B}[ 1 ]​

في فضاءات هيلبرت

بما أن فضاءات هيلبرت هي فضاءات معيارية كاملة ذات معيار مستحث من الضرب الداخلي، فإن ما سبق ينطبق هنا أيضًا. والجدير بالذكر أن فضاء المؤثرات الخطية المحدودةل(ح){\displaystyle L(H)}يتحول فضاء هيلبرت H إلى جبر C*، وخاصةً إلى فضاء مؤثرات . ومن الممكن تعريف مفاهيم مختلفة للتقييد بالنسبة للمؤثر T.

على سبيل المثال، يُطلق على T اسم محدود القوة إذا‖تين‖ل(ح)<∞{\displaystyle \|T^{n}\|_{L(H)<\infty }لجميع الأعداد الطبيعية n. هذا الشرط يعني أن T محدودة، بالطبع، ولكن العكس ليس بالضرورة صحيحًا.

شرط آخر للتقييد هو التقييد متعدد الحدود: يكون المؤثر T على L(H) محدودًا متعدد الحدود إذا وُجد ثابت موجبك{\displaystyle K}(الذي يعتمد فقط على T) بحيث‖ص(تي)‖ل(ح)≤كرشفة|z|≤1|ص(z)|{\displaystyle \|p(T)\|_{L(H)}\leq K\sup _{|z|\leq 1}|p(z)|}لكل كثيرات الحدود (التحليلية) p المعرفة على القرص المغلق الواحديد¯{\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}ومرة أخرى، هذا الشرط يعني محدودية القوة ومحدودية المعيار، ولكن العكس ليس بالضرورة صحيحًا.

علاوة على ذلك، المشغلتي:ح→ح{\displaystyle T\colon H\to H}يُطلق على الدالة اسم دالة محدودة متعددة الحدود تمامًا إذا وُجد ثابت موجب K بحيث‖P(تي)‖من×ن(ب(ح))≤كرشفة|z|≤1‖P(z)‖من×ن{\displaystyle \|P(T)\|_{M_{n\times n}(B(H))}\leq K\sup _{|z|\leq 1}\|P(z)\|_{M_{n\times n}}}لجميع مصفوفات كثيرات الحدود (التحليلية)P=(صأناج)1≤أنا،ج≤ن{\displaystyle P=(p_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}ولكل الأعداد الطبيعية n. هنا، تُستنتج معايير المصفوفة المقابلة بشكل طبيعي من بنية فضاءن×ن{\displaystyle n\times n}المصفوفات وP(تي){\displaystyle P(T)}يمكن فهمها على أنها حساب الدوال متعددة الحدود . كل مؤثر محدود متعدد الحدود تمامًا يكون محدودًا متعدد الحدود ومحدودًا من حيث القوة، بالإضافة إلى كونه محدودًا من حيث المعيار، ولكن العكس لا ينطبق بشكل عام.

من الأمثلة الإيجابية للمؤثرات المحدودة متعددة الحدود تمامًا المؤثرات الانكماشية T، [ 2 ] أي تلك التي‖تي‖ل(ح)≤1{\displaystyle \|T\|_{L(H)}\leq 1}هذا صحيح.

في فضاءات المتجهات الطوبولوجية

مؤثر خطيF:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}يُطلق على العلاقة بين فضاءين متجهيين طوبولوجيين اسم مؤثر خطي محدود أو ببساطة محدود إذا كانب⊆X{\displaystyle B\subseteq X}محصور في​X{\displaystyle X}ثمF(ب){\displaystyle F(B)}محصور فيY.{\displaystyle Y.} تُسمى مجموعة جزئية من فضاء فون نيومان محدودة (أو بتعبير أدق، محدودة فون نيومان ) إذا كانت جميع جوارات نقطة الأصل تستوعبها . في الفضاء المعياري (وحتى في الفضاء شبه المعياري )، تكون المجموعة الجزئية محدودة فون نيومان إذا وفقط إذا كانت محدودة معياريًا. وبالتالي، بالنسبة للفضاءات المعيارية، فإن مفهوم المجموعة المحدودة فون نيومان مطابق للمفهوم المعتاد للمجموعة الجزئية المحدودة معياريًا.

الاستمرارية والحدودية

كل مؤثر خطي متصل تسلسليًا بين متغيرات تفاضلية هو مؤثر محدود. [ 3 ] وهذا يعني أن كل مؤثر خطي متصل بين متغيرات تفاضلية قابلة للقياس هو مؤثر محدود. مع ذلك، بشكل عام، لا يشترط أن يكون المؤثر الخطي المحدود بين متغيرين تفاضليين متصلًا.

تُتيح هذه الصياغة تعريف المؤثرات المحدودة بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية العامة كمؤثر ينقل المجموعات المحدودة إلى مجموعات محدودة أخرى. في هذا السياق، يظل صحيحًا أن كل دالة متصلة محدودة، إلا أن العكس غير صحيح؛ فالمؤثر المحدود ليس بالضرورة متصلًا. وهذا يعني أيضًا أن التقييد لم يعد مكافئًا لاستمرارية ليبشيتز في هذا السياق.

إذا كان المجال فضاءً بورنولوجيًا (على سبيل المثال، فضاء TVS شبه متري ، أو فضاء فريشيه ، أو فضاء معياري )، فإن أي مؤثر خطي إلى أي فضاء محدب محليًا آخر يكون محدودًا إذا وفقط إذا كان متصلًا. أما بالنسبة لفضاءات LF ، فيكون العكس أضعف؛ أي دالة خطية محدودة من فضاء LF تكون متصلة تسلسليًا .

لوF:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}هو مؤثر خطي بين فضاءين متجهيين طوبولوجيين، وإذا وُجدت جواريو{\displaystyle U}من أصل فيX{\displaystyle X}بحيثF(يو){\displaystyle F(U)}هي مجموعة جزئية محدودة منY،{\displaystyle Y,}ثمF{\displaystyle F}متصلة. [ 4 ] غالبًا ما يُلخص هذا الأمر بالقول إن المؤثر الخطي المحدود في جوار ما لنقطة الأصل يكون بالضرورة متصلًا. على وجه الخصوص، أي دالة خطية محدودة في جوار ما لنقطة الأصل تكون متصلة (حتى لو لم يكن مجالها فضاءً معياريًا ).

فضاءات بورنولوجيا

الفضاءات البورنولوجية هي تحديدًا تلك الفضاءات المحدبة محليًا التي يكون فيها كل مؤثر خطي محدود إلى فضاء محدب محليًا آخر متصلًا بالضرورة. أي أن فضاء TVS محدب محليًاX{\displaystyle X}تكون فضاءً بورنولوجيًا إذا وفقط إذا كان لكل TVS محدب محليًاY،{\displaystyle Y,}مؤثر خطيF:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت محدودة. [ 5 ]

كل فضاء معياري هو فضاء بيولوجي.

خصائص المؤثرات الخطية المحدودة

يتركF:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}ليكن مؤثرًا خطيًا بين فضاءات متجهة طوبولوجية (ليس بالضرورة فضاءات هاوسدورف). ما يلي متكافئ:

  1. F{\displaystyle F}[ 5 ] محدود (محلياً)؛
  2. (تعريف):F{\displaystyle F}[ 5 ]​
  3. F{\displaystyle F}تُحوّل الخرائط المجموعات الفرعية المحدودة من نطاقها إلى مجموعات فرعية محدودة من صورتهاأنا⁡F:=F(X){\displaystyle \operatorname {Im} F:=F(X)}; [ 5 ]
  4. F{\displaystyle F}[ 5 ]​
    • المتتالية الصفرية هي، بحسب التعريف، متتالية تتقارب إلى نقطة الأصل.
    • وبالتالي فإن أي دالة خطية متصلة بشكل متسلسل عند نقطة الأصل هي بالضرورة دالة خطية محدودة.
  5. F{\displaystyle F}تُحوّل كل متتالية صفرية متقاربة لماكي إلى مجموعة فرعية محدودة منY.{\displaystyle Y.}[ ملاحظة 1 ]
    • تسلسلx∙=(xأنا)أنا=1∞{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}ويُقال إنها متقاربة مع أصل ماكي فيX{\displaystyle X}إذا وُجدت متتالية متباعدةر∙=(رأنا)أنا=1∞→∞{\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }عدد حقيقي موجب بحيثر∙=(رأناxأنا)أنا=1∞{\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}هي مجموعة جزئية محدودة منX.{\displaystyle X.}

لوX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت محدبة محليًا، فيمكن إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

  1. F{\displaystyle F}[ 6 ]​​​
  2. F-1{\displaystyle F^{-1}}خرائط الأقراص البورنيفورية فيY{\displaystyle Y}إلى أقراص آكلة اللحوم فيX.{\displaystyle X.}[ 6 ]

لوX{\displaystyle X}هو فضاء بورنولوجي وY{\displaystyle Y}إذا كانت محدبة محليًا، فيمكن إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

  1. F{\displaystyle F}تكون متصلة بشكل متسلسل عند نقطة ما (أو بشكل مكافئ، عند كل نقطة) من مجالها. [ 7 ]
    • تكون الخريطة الخطية المتصلة تسلسليًا بين اثنين من TVSs محدودة دائمًا، [ 3 ] ولكن العكس يتطلب افتراضات إضافية (مثل أن يكون المجال بورنولوجيًا وأن يكون المجال المقابل محدبًا محليًا).
    • إذا كان المجالX{\displaystyle X}إذا كان أيضًا فضاءً تسلسليًا ،F{\displaystyle F}تكون متصلة تسلسلياً إذا وفقط إذا كانت متصلة.
  2. F{\displaystyle F}متصلة تسلسلياً عند نقطة الأصل .

أمثلة

  • أي مؤثر خطي بين فضاءين معياريين محدودين الأبعاد يكون محدودًا، ويمكن اعتبار هذا المؤثر بمثابة ضرب بمصفوفة ثابتة .
  • أي مؤثر خطي معرف على فضاء معياري محدود الأبعاد يكون محدوداً.
  • في فضاء التسلسلج٠٠{\displaystyle c_{00}}من متواليات الأعداد الحقيقية التي تنتهي بالصفر، مع الأخذ في الاعتبارℓ1{\displaystyle \ell ^{1}}المعيار، المؤثر الخطي للأعداد الحقيقية الذي يُعيد مجموع متتالية، محدود، ومعياره يساوي 1. إذا تم اعتبار نفس الفضاء معℓ∞{\displaystyle \ell ^{\infty }}المعيار، نفس العامل غير محدود.
  • العديد من التحويلات التكاملية هي مؤثرات خطية محدودة. على سبيل المثال، إذا ك:[أ،ب]×[ج،د]→R{\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} } إذا كانت دالة متصلة، فإن المؤثرل{\displaystyle L}محدد في الفضاءج[أ،ب]{\displaystyle C[a,b]}من الدوال المتصلة على[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}مزود بالمعيار الموحد والقيم في الفضاءج[ج،د]{\displaystyle C[c,d]}معل{\displaystyle L}معطاة بالصيغة (لو)(y)=∫أبك(x،y)و(x)دx،{\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,} هذا المؤثر محدود. وهو في الواقع مؤثر مضغوط . تشكل المؤثرات المضغوطة فئة مهمة من المؤثرات المحدودة.
  • مُعامل لابلاسΔ:ح2(Rن)→ل2(Rن){\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,} ( مجالها هو فضاء سوبوليف وتأخذ قيمًا في فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي ) محدودة.
  • عامل الإزاحة أحادي الجانب على فضاء Lpℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}من بين جميع التسلسلات(x0،x1،x2،...){\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}من الأعداد الحقيقية معx02+x12+x22+⋯<∞،{\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}ل(x0،x1،x2،...)=(0،x0،x1،x2،...){\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)} محدودة. من السهل ملاحظة أن معيارها المؤثر هو1.{\displaystyle 1.}

المؤثرات الخطية غير المحدودة

يتركX{\displaystyle X}ليكن فضاء جميع كثيرات الحدود المثلثية على[-π،π]،{\displaystyle [-\pi ,\pi ],}مع الوضع الطبيعي

‖P‖=∫-ππ|P(x)|دx.{\displaystyle \|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.}

المشغلل:X→X{\displaystyle L:X\to X}الدالة التي تُحوّل متعددة الحدود إلى مشتقتها غير محدودة. في الواقع، بالنسبة لـvن=هـأنانx{\displaystyle v_{n}=e^{inx}}معن=1،2،...،{\displaystyle n=1,2,\ldots ,}لدينا‖vن‖=2π،{\displaystyle \|v_{n}\|=2\pi ,}بينما‖ل(vن)‖=2πن→∞{\displaystyle \|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty }مثلن→∞،{\displaystyle n\to \infty ,}لذال{\displaystyle L}غير محدود.

خصائص فضاء المؤثرات الخطية المحدودة

فضاء جميع المؤثرات الخطية المحدودة منX{\displaystyle X}لY{\displaystyle Y}يُرمز إليه بـب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}.

  • ب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}هو فضاء متجهي معياري.
  • لوY{\displaystyle Y}إذا كان باناش كذلك، فكذلكب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}; على وجه الخصوص، الفضاءات المزدوجة هي فضاءات باناخ.
  • لأيأ∈ب(X،Y){\displaystyle A\in B(X,Y)}نواةأ{\displaystyle A}هو فضاء خطي مغلق منX{\displaystyle X}.
  • لوب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}باناش وX{\displaystyle X}إذا كان الأمر غير تافه،Y{\displaystyle Y}هو باناش.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ البرهان: لنفترض جدلاً أنx∙=(xأنا)أنا=1∞{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}يتقارب إلى0{\displaystyle 0}لكنF(x∙)=(F(xأنا))أنا=1∞{\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}غير محدود فيY.{\displaystyle Y.}اختر حيًا منفتحًا ومتوازنًاV{\displaystyle V}من أصل فيY{\displaystyle Y}بحيثV{\displaystyle V}لا يمتص التسلسلF(x∙).{\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right).}استبدالx∙{\displaystyle x_{\bullet }}مع وجود تسلسل فرعي إذا لزم الأمر، يمكن افتراض ذلك دون فقدان للعمومية.F(xأنا)∉أنا2V{\displaystyle F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V}لكل عدد صحيح موجبأنا.{\displaystyle i.}التسلسلz∙:=(xأنا/أنا)أنا=1∞{\displaystyle z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }}هل تتقارب منحنيات ماكي إلى نقطة الأصل (بما أن(أناzأنا)أنا=1∞=(xأنا)أنا=1∞→0{\displaystyle \left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}محصور فيX{\displaystyle X}) لذلك، بافتراض،F(z∙)=(F(zأنا))أنا=1∞{\displaystyle F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}محصور فيY.{\displaystyle Y.}لذا اختر حقيقيًار>1{\displaystyle r>1}بحيثF(zأنا)∈رV{\displaystyle F\left(z_{i}\right)\in rV}لكل عدد صحيحأنا.{\displaystyle i.}لوأنا>ر{\displaystyle i>r}إذا كان عددًا صحيحًا، فبما أنV{\displaystyle V}متوازن،F(xأنا)∈رأناV⊆أنا2V،{\displaystyle F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,}وهذا تناقض. وهو المطلوب إثباته. يمكن تعميم هذا البرهان بسهولة لإعطاء توصيفات أقوى لـ "F{\displaystyle F}"محدود." على سبيل المثال، كلمة "بحيث أن(رأناxأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}هي مجموعة جزئية محدودة منX.{\displaystyle X.}يمكن استبدال عبارة "في تعريف "ماكي المتقارب إلى الأصل" بعبارة "بحيث أن(رأناxأنا)أنا=1∞→0{\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}فيX.{\displaystyle X.}"
  1. ↑ مرتاد، محمد هشام (2022)، "التقييد النسبي" ، في مرتاد، محمد هشام (محرر)، أمثلة مضادة في نظرية المؤثرات ، تشام: دار نشر سبرينغر الدولية، ص 553-566 ، doi : 10.1007/978-3-030-97814-3_31 ، ISBN  978-3-030-97814-3
  2. ↑ بولسن، فيرن، محرر (2003)، "الخرائط الموجبة تمامًا" ، الخرائط المحدودة تمامًا وجبر المؤثرات ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ص 26-42 ، doi : 10.1017/cbo9780511546631.004 ، ISBN  978-0-521-81669-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 2025-08-03
  3. 1 2 ويلانسكي 2013 ، ص 47-50.
  4. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 156-175.
  5. 1 2 3 4 5 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 441-457.
  6. 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 444.
  7. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 451-457.

فهرس

  • "المؤثر المحدود" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
  • كريزيج، إروين: مقدمة في التحليل الوظيفي مع تطبيقات ، وايلي، 1989
  • ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
  • ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .